蝴蝶定理在圆锥曲线中的应用

Application of the Butterfly Theorem in Conic Curves

摘要: 在高中数学教学中，圆锥形曲线占据了关键的地位，同时它也被视为高考的核心内容。其知识本身具有复杂性、抽象性和综合性，因此有必要深入挖掘圆锥曲线的解题方法。有利于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。教育改革的趋势以及人才培养的需求在高考数学测试中得到体现，这也为教学活动提供了指引。

Abstract: In the high school mathematics teaching, the conical curve occupies a key position, and it is also regarded as the core content of the college entrance examination. The knowledge itself is complex, abstract and comprehensive, so it is necessary to dig deep into the solution of conic curve. It is helpful to cultivate students’ mathematical thinking ability and problem-solving ability. The trend of educational reform and the need for talent training are reflected in the mathematics test of the college entrance examination, which also provides guidance for teaching activities.

1. 问题提出

《普通高中数学课程标准》(2017年版2020年修订)在教学中建议强调：教师要加强学习方法指导，帮助学生养成良好的学习习惯，敢于质疑、善于思考，理解概念、把握本质，数形结合、明晰算理，厘清知识的来龙去脉，建立知识的关联。蝴蝶定理是几何学中的一个经典定理[1]。它可以用来描述圆锥曲线上的某些特殊性质，如弦的中点性质等。圆锥曲线是一种常见的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线等。它是解析几何和代数学中的重要研究对象。蝴蝶定理的多种形式和推广也应用在考试中，例如，在2020年北京高考试卷中20题的第(2)问。在实际教学中多数学生能够记住圆锥曲线的定义和标准方程以及常用结论，一些常规问题通过简单的套用也能准确地得到答案，但是对综合性较强的题目无从下手，所以需要对高考圆锥曲线试题的题型进行剖析，对解题方法进行研究。

蝴蝶定理的图形与圆锥曲线的图形有相似之处。蝴蝶定理的图形通常是由两个对称的部分组成，而圆锥曲线的图形也具有对称性。这种相似性使得蝴蝶定理可以应用于圆锥曲线的研究中。例如，在解决圆锥曲线的交点等问题时，可以利用蝴蝶定理将问题转化为更简单的形式，从而更容易找到解决方案。

2. 蝴蝶定理

蝴蝶定理被称为欧几里得几何花园中的“常青树”。这个定理描述的是，在一个圆内，如果有一条过中点的弦，那么这条弦与原来的弦所交的两段线段相等。如图1所示，若M是弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，连接AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

Figure 1. Butterfly theorem in the circle (Scan the code to see Figure 1 animation demonstration)

图1. 圆中蝴蝶定理(扫码看图1动画演示)

“工欲善其事，必先利其器”，在探究活动中合理使用GeoGebra进行动态演示，不仅可以使原本枯燥乏味的数学知识变得更加生动形象，更能促进学生养成操作、观察猜想、归纳验证的学习习惯。利用GeoGebra展示圆中的蝴蝶定理，通过移动点D，观察XM与XY的长度变化，如图1。在这个过程中，既能激发学生的学习兴趣，又有利于培养学生直观想象能力。

蝴蝶定理的证明方法多种多样，最早的证明是由霍纳在1815年给出的。在初等数学中，斯特温提出了一种面积证法。此外，还有许多其他优美的解法，如利用向量、参数方程等。若将圆换成椭圆或抛物线，利用仿射变换很容易将圆中的相关结论推广至二次曲线[2]。

2.1. 椭圆中的“蝴蝶定理”

如图2所示，椭圆的左、右顶点为A、B。点F是线段AB上任意一点，过点F作直线MN与椭圆

交于点M，N。连接AM，BN，则$\frac{k_{AM}}{k_{BN}}=\frac{\left|\text{BF}\right|}{\left|\text{AF}\right|}=\frac{a-x_F}{a+x_F}$ 。

Figure 2. The “butterfly theorem” in ellipses

图2. 椭圆中的“蝴蝶定理”

证明：过点F作直线PQ垂直于x轴，分别与AM交于点P，与BN交于点Q，与椭圆交于点S，T。

由于ST$\perp$ AB，所以根据椭圆的对称性，可得|FS| = |FT|。

根据蝴蝶定理有|FP| = |FQ|。在RtΔAPF中，设直线AM的倾角为α，则$k_1=\tan \alpha =\frac{\left|\text{PF}\right|}{\left|\text{AF}\right|}$ ；在RtΔBQF中，设直线BN的倾角为β，则$k_2=\tan \beta =\frac{\left|\text{FQ}\right|}{\left|\text{BF}\right|}$ ；于是有$\frac{k_1}{k_2}=\frac{\frac{\left|\text{PF}\right|}{\left|\text{AF}\right|}}{\frac{\left|\text{FQ}\right|}{\left|\text{BF}\right|}}=\frac{\left|\text{BF}\right|}{\left|\text{AF}\right|}=\frac{a-x_F}{a+x_F}$ ，故原式得证。

在实际教学中，教师可以引导学生通过观察图形并运用定理，即两条直线分别过椭圆的左、右顶点，直线另外两点在椭圆上，过左右顶点的直线与直线另外两点的连线相交于一点，这四条直线组成的图形形如蝴蝶，此时，两条直线斜率的比值与左右顶点有关。为了提高学生的学习效果，教师给学生布置课后作业，让学生通过b站、微信公众号、小红书上查阅资料，了解和学习更多有关蝴蝶定理的知识。在此过程中，有利于学生领悟知识的本质。

2.2. 抛物线中的“蝴蝶定理”

如图3，若A，B，C，D四点均在抛物线$y^2=2px$ 上，且AC与BD交x轴于点T，弦AB，CD分别与x轴交于点M，N，当AB斜率存在时，必有

$\frac{k_{CD}}{k_{AB}}=\frac{x_M}{x_T}=\frac{x_T}{x_N}$ 且有$x_T^2=x_M\cdot x_N$

Figure 3. The “butterfly theorem” in the parabola

图3. 抛物线中的“蝴蝶定理”

圆锥曲线在高考解答题中主要考查定点、定值、范围、弦长等问题，也是对学生“一题多解”能力的考查。在学习和了解蝴蝶定理的过程中，学生可以更好地掌握几何学中的基本概念和解题方法，同时也可以提高他们的思维能力和解决问题的能力。

3. 蝴蝶定理在圆锥曲线中的应用

3.1. 蝴蝶定理在椭圆中的应用

以椭圆为载体的压轴题或次压轴题涉及的考点有定点和定值问题。例如2020年的全国卷第21题的定值问题，因其综合性强，所以对于大部分学生来说是一个难点[3]。

例1 (2020年高考全国1卷理数第20题文数第21题)已知A、B分别为椭圆E：$\frac{x^2}{a}+y^2=1\left(a>1\right)$ 的左、右顶点，G为E的上顶点，$AG\cdot GB=8$ ，P为直线$x=6$ 上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与

E的另一个交点为D。

(1) 求E的方程；

(2) 证明：直线CD过定点。

第1问中的椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+y^2=1$ 。第二问是以椭圆为载体考查直线过定点问题，常规解法：① 设

点P，已知A点和P点可得直线PA的方程；② 因为直线PA与椭圆相交于A、C两点，可联立直线和椭圆的方程，将其化简为关于x的式子。再根据韦达定理可以求出点C的横坐标，由点C的横坐标顺势可求C点的纵坐标；③ 同理可得D点坐标；④ 已知C、D两点可得直线CD的方程，根据方程可知直线过定点。

[解法1] 设P(6,m)，A(−3,0)，B(3,0)

则直线AP的方程为：$y=\frac{m}{9}\left(x+3\right)$

联立直线AP与椭圆方程，整理得：$\left(m^2+9\right)x^2+6m^{2}x+9m^2-81=0$

由韦达定理$-3x_C=\frac{9m^2-81}{m^2+9}$ ，得$x_C=\frac{27-3m^2}{9+m^2}$

将$x_C$ 代入直线PA的方程可得$y_C=\frac{6m}{m^2+9}$ ，即$\text{C}\left(\frac{27-3m^2}{m^2+9},\frac{6m}{m^2+9}\right)$

直线PB的方程为：$y=\frac{m}{3}\left(x-3\right)$

联立直线PB的方程与椭圆方程，整理得：$\left(m^2+1\right)x^2-6m^{2}x+9m^2-9=0$

由韦达定理$3x_D=\frac{9m^2-9}{1+m^2}$ ，得$x_D=\frac{3m^2-3}{1+m^2}$

将$x_D$ 代入直线PB的方程可得$y_D=\frac{-2m}{m^2+1}$ ，即$\text{D}\left(\frac{3m^2-3}{m^2+1},\frac{-2m}{m^2+1}\right)$

根据C、D两点可得$k_{CD}=\frac{4m}{3\left(3-m^2\right)}$ ，所以直线CD的方程为$y=\frac{4m}{3\left(3-m^2\right)}\left(x-\frac{3}{2}\right)$

故直线CD过定点$\left(\frac{3}{2},0\right)$

常规方法是学生常用的方法。但这种方法对运算能力要求较高，尤其是对于那些没有经过充分训练的学生来说，更容易出现错误。因此，在教学过程中，教师要教授学生化简的技巧，减轻学生的计算负担。

相较于代数解法，几何解法更具直观性，且凸显了现象背后的本质，进一步的解题思路也是水到渠成。因此，部分学生画出对应的几何图形，如图4。结合图形学生会产生新的解题思路：① 过Q点作x轴的垂线，设点P，再根据点A、P可得直线P的斜率，同理可得直线PB的斜率，两者作商得斜率比；② 利用蝴蝶定理也可得斜率比(有关坐标的)；③ 根据相等关系，得Q点，即直线过定点。

[解法2] 如图4，设直线CD与轴相交于点Q，过点Q做x轴的垂线，交AC、BD于点I、J。设直线AP、BP的斜率分别为k₁，k₂。

Figure 4. Auxiliary line diagram

图4. 辅助线图

设P(6,y_p)，因为A(−3,0)，B(3,0)，所以$\frac{k_1}{k_2}=\frac{\frac{y_p-0}{6+3}}{\frac{y_p-0}{6-3}}=\frac{1}{3}$ 。

由椭圆的对称性可知，Q是EF的中点，Q也是IJ的中点。根据蝴蝶定理，可得IQ = JQ。

因为$\frac{k_1}{k_2}=\frac{\frac{\left|\text{IQ}\right|}{\left|\text{AQ}\right|}}{\frac{\left|\text{JQ}\right|}{\left|\text{BQ}\right|}}=\frac{\left|\text{BQ}\right|}{\left|\text{AQ}\right|}=\frac{3-x_Q}{3+x_Q}=\frac{1}{3}$ ，可得$x_Q=\frac{3}{2}$ 。

因此直线CD过定点$\text{Q}\left(\frac{3}{2},0\right)$ 。

例2已知椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点，设直线AP的斜率为k₁，直线BQ的斜率为k₂，证明：$\frac{k_1}{k_2}$ 为定值。

证明：设P(x₁,y₁)，Q(x₂,y₂)。直线PQ过点F(1,0)，则直线PQ的方程为$x=ty+1$ ，将直线PQ与椭圆方程联立得$\left(3t^2+4\right)y^2+6ty-9=0$ ，由$\Delta >0$ ，根据韦达定理得$y_1+y_2=\frac{-6t}{3t^2+4}$ ，$y_1{y}_2=\frac{-9}{3t^2+4}$ ，则$\frac{y_1{y}_2}{y_1+y_2}=\frac{3}{2t}$ 。故$t{y}_1{y}_2=\frac{3}{2}\left(y_1+y_2\right)$ 。又因为$k_1=\frac{y_1}{x_1+2}$ ，$k_2=\frac{y_2}{x_2-2}$ ，所以$\frac{k_1}{k_2}=\frac{y_1}{x_1+2}\cdot \frac{x_2-2}{y_2}$ ，将分式中的x₁和x₂用y₁和y₂进行表示，最后通过化简可得$\frac{k_1}{k_2}=\frac{\frac{1}{2}{y}_1+\frac{3}{2}{y}_2}{\frac{3}{2}{y}_1+\frac{9}{2}{y}_2}=\frac{1}{3}$ 为定值。

这是一道证明题，虽然不能直接运用蝴蝶定理进行解答，但是由蝴蝶定理可得$\frac{k_1}{k_2}=\frac{\text{AF}}{\text{BF}}=\frac{1}{3}$ ，可以帮

助我们预测出正确答案。在解决问题时，教师可以引导学生从不同角度去思考问题，有利于培养学生的发散思维以及综合解决问题的能力。

例3 (2023年浙江金华十校开学调考卷第16题)已知椭圆E：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ 过椭圆左焦点F任做一条弦PQ (不与长轴重合)，椭圆的左、右顶点为A、B，设直线AP的斜率为k₁，直线BQ的斜率为k₂。如图5，则$k_1{k}_2+\frac{1}{k_2^2}$ 的最小值为。

Figure 5. Question 16

图5. 第16题

解：由椭圆方程可知A(−3,0)，B(3,0)，F(−2,0)。根据蝴蝶定理，有$\frac{k_1}{k_2}=\frac{\left|\text{BF}\right|}{\left|\text{AF}\right|}=5$ 。

即$k_1=5k_2$ 。根据基本不等式，有$k_1{k}_2+\frac{1}{k_2^2}=5k_2^2+\frac{1}{k_2^2}\ge 2\sqrt{5k_2^2\cdot \frac{1}{k_2^2}}=2\sqrt{5}$ ，当且仅当$5k_2^2=\frac{1}{k_2^2}$ 时，等号成立。即最小值为$2\sqrt{5}$ 。

在椭圆中的定点、定值问题中，为了培养学生运用蝴蝶定理解决问题的能力。首先，向学生介绍蝴蝶定理的历史背景和基本概念，让学生明白该定理在几何领域的重要性。其次，通过具体的图形和示例，帮助学生直观地理解蝴蝶定理的内容和应用范围[4]。这样有利于更多的学生了解蝴蝶定理。再次，通过加深难度来培养学生识别问题中涉及椭圆和蝴蝶定理相关元素的能力。例如，识别椭圆上的特定点、切线、直径等，并理解它们之间的关系。最后，通过具体的例题，演示如何运用蝴蝶定理解决问题。在解决问题的过程中，帮助学生灵活运用定理的能力。

3.2. 蝴蝶定理在抛物线中的应用

除了椭圆，抛物线也涉及蝴蝶型。例如2022年全国甲卷理数就是以抛物线为载体，考查蝴蝶型中蕴含的定点、定值结论[5]。

例4 (2022年全国高考数学甲卷理科第20题)设抛物线C：$y^2=2px\left(p>0\right)$ 的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点。当直线MD垂直于x轴时，$\left|\text{MF}\right|=3$ 。

(1) 求C的方程；

(2) 设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为$\alpha$ ，$\beta$ 。当$\alpha -\beta$ 取得最大值时，求直线AB的方程。

第一问的抛物线方程为$y^2=4x$ ，第二问是以抛物线为载体求解直线方程问题。常规思路：① 设点的坐标，根据三点共线可写出直线MN的方程；② 直线MD的方程与抛物线的方程联系，由根与系数的关系及斜率公式可得$k_{MN}=2k_{AB}$ ；③ 再通过差角的正切公式和基本不等式可得$k_{AB}$ ；④ 设直线AB的方程并与抛物线方程联立，最后利用韦达定理即可求解。

[解法1] 设$\text{M}\left(\frac{y_1^2}{4},y_1\right)$ ，$\text{N}\left(\frac{y_2^2}{4},y_2\right)$ ，$\text{A}\left(\frac{y_3^2}{4},y_3\right)$ ，$\text{N}\left(\frac{y_4^2}{4},y_4\right)$

因为点M，F，N共线，所以$k_{MN}=k_{FN}$ ，由$\frac{y_1}{\frac{y_1^2}{4}-1}=\frac{y_2}{\frac{y_2^2}{4}-1}$ ，得$\left(y_1-y_2\right)\left(y_1{y}_2+4\right)=0$

又$y_1-y_2\ne 0$ ，所以$y_1{y}_2=-4$

直线MD的方程为：$x=ty+2$

联立直线MD和抛物线方程，得$y^2-4ty-8=0$

则$\Delta >0$ ，$y_1{y}_3=-8$ ，又$y_1{y}_2=-4$ ，所以$y_3=2y_2$

同理$y_4=2y_1$ ($y_2{y}_4=-8$ ，$y_1{y}_2=-4$ )

又因$k_{MN}=\frac{4}{y_1+y_2}$ ，$k_{AB}=\frac{4}{y_3+y_4}$

所以$k_{MN}=2k_{AB}$

又因为MN、AB的倾斜角分别为$\alpha$ ，$\beta$

要使$\alpha -\beta$ 最大，则$\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$

$\tan \left(\alpha -\beta \right)=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta }=\frac{k_{AB}}{1+2k_{AB}^2}\le \frac{k_{AB}}{2\sqrt{2}{k}_{AB}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

取等条件为$k_{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

设直线AB的方程为$x=\sqrt{2}y+n$

联立直线AB和抛物线方程，得$y^2-4\sqrt{2}y-4n=0$

则$\Delta >0$ ，$y_3{y}_4=-4n=-16$ ，所以$n=4$

所以直线AB的方程为$x=\sqrt{2}y+4$

[解法2] 如图6，由抛物线中的蝴蝶定理知$\frac{k_{AB}}{k_{MN}}=\frac{x_F}{x_D}=\frac{x_D}{x_E}=\frac{1}{2}$ ，即$k_{MN}=2k_{AB}$ ，$x_E=\frac{x_D^2}{x_F}=4$ 。

欲使$\alpha -\beta$ 取得最大值，则直线AB的斜率必存在，且斜率为正。

则$\tan \left(\alpha -\beta \right)=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta }=\frac{k_{AB}}{1+2k_{AB}^2}\le \frac{k_{AB}}{2\sqrt{2}{k}_{AB}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，取等条件为$k_{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

因为直线AB过点E，所以所求直线AB的方程为$y=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-4\right)$ 。

Figure 6. Question 20

图6. 第20题

在教学中，教师可以引导学生根据题意画出图形，这样既有利于激发学生的学习兴趣，又有利于培养学生数形结合的能力。教师通过设计相关的问题串，有利于学生联想到用定理解决问题。例如，“形如蝴蝶，你能想到什么定理？”“定理的内容是什么”“结合已知条件，怎样用定理解决问题”。通过教师给予的提示，学生能自然地想到蝴蝶定理并回忆定理的内容，最后有利于帮助更多的学生运用定理解决问题。

例5 (2023年太原市高三一模理科卷第20题)已知抛物线$y^2=2px\left(p>0\right)$ 的焦点为F，点O为坐标原点，一条直线过定点M(4,0)与抛物线相交于A，B两点，且OA$\perp$ OB。

(1) 求抛物线方程；

(2) 连接AF，BF并延长交抛物线于C，D两点，设ΔFAB和ΔFCD的面积分别为S₁和S₂，则$\frac{S_1}{S_2}$ 是

否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由。

Figure 7. Taiyuan 1 model question 20

图7. 太原一模第20题

解：如图7，由(1)知，$y^2=4x$ ，也可得F(1,0)，设直线DC与x轴交于点H，由蝴蝶定理得， $\frac{k_{CD}}{k_{AB}}=\frac{x_M}{x_F}=\frac{x_F}{x_H}=\frac{1}{4}=4$ ，易得$x_H=\frac{1}{4}$ ，即$\text{H}\left(\frac{1}{4},0\right)$ 。设直线AB的方程为：$x=ty+4$ ，有$k_{AB}=\frac{1}{t}$ 。因为$\frac{k_{CD}}{k_{AB}}=4$ ，所以$k_{CD}=\frac{4}{t}$ 。易得直线DC的方程为$y=\frac{4}{t}\left(x-\frac{1}{4}\right)=\frac{4}{t}x-\frac{1}{t}$ ，整理得$4x=ty+1$ ；设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，D(x₄,y₄)，联立直线CD与抛物线方程可得$y^2-ty-1=0$ ，由韦达定理得$y_3+y_4=t$ ，$y_3{y}_4=-1$ 。$S_2=S_{\Delta FCD}=\frac{1}{2}\cdot \left|\text{HF}\right|\cdot \left|y_4-y_3\right|=\frac{3}{8}\sqrt{t^2+4}$ ，又$S_1=S_{\Delta FAB}=\frac{1}{2}\cdot \left|\text{MF}\right|\cdot \left|y_2-y_1\right|=6\sqrt{t^2+4}$ ，由此得$\frac{S_1}{S_2}=16$ 。

例6 (2021武汉4月)设抛物线E：$y^2=8x$ 的焦点为F，过F作直线l交抛物线E于A，B两点，若l的斜率存在且为k₁，点P(3,0)，直线AP与E的另一个交点为C，直线BP与E的另一个交点为D，设直

线CD的斜率为k₂，证明：$\frac{k_1}{k_2}$ 值为定值。

证明：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，D(x₄,y₄)，则$k_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8}{y_1+y_2}$ ，同理可得$k_2=\frac{8}{y_3+y_4}$ ，设直线AC的方程为$x=my+3$ ，与抛物线方程联立得$y^2-8my-24=0$ ，可得$y_1{y}_3=-24$ ，同理$y_2{y}_4=-24$ ，故$y_3=\frac{-24}{y_1}$ ，$y_4=\frac{-24}{y_2}$ ，所以$\frac{k_2}{k_1}=\frac{y_1+y_2}{y_3+y_4}=\frac{y_1{y}_2}{-24}$ 。设直线AB的方程为$x=ty+2$ ，与抛物线方程联立，得$y^2-8ty-16=0$ ，则$y_1{y}_2=-16$ ，故$\frac{k_2}{k_1}=\frac{2}{3}$ 为定值。

由蝴蝶定理可知$\frac{k_1}{k_2}=\frac{x_F}{x_P}=\frac{2}{3}$ ，可用此结果来检验证明得到的答案是否正确，显然答案正确。

通过上述6个例题将蝴蝶定理应用于圆锥曲线的教学中，对于学生而言，有利于学生深入了解圆锥曲线的性质和特点。这种学习方式有助于学生更好地掌握圆锥曲线的知识[6]。对于教师来说，在教学中融入蝴蝶定理，可以丰富教学内容，使课堂教学更加生动有趣。同时，教师也可以通过引导学生运用蝴蝶定理解决问题，提高自身的教学水平。因此，有必要学习圆锥曲线中蝴蝶定理的相关知识[7]。

4. 结语

本文以高考数学试题和同类型试题为切入点，同时以著名的几何问题——蝴蝶定理为理论依据，介绍了它在椭圆以及抛物线中的应用。为了达到更好地学习效果，(1) 在学习兴趣方面上，教师可以利用图形的特征——“蝴蝶型”，来帮助学生记忆和理解几何模型。(2) 在探究定理的过程中，除了培养学生的逻辑推理能力以外，即运用代数方法进行证明，更要注重培养学生的直观想象能力或数形结合的数学思想。教师利用动画软件展示圆中蝴蝶定理的视频，以此为基础学生再通过线上资源学习椭圆、抛物线、双曲线上的蝴蝶定理，经历其探究过程，加深对圆锥曲线及相关结论的理解。从而，运用蝴蝶定理解决圆锥曲线中的相关问题，不仅降低了解题难度，还为我们将结论推广到双曲线提供了思路。

基金项目

本文系黄冈师范学院校级研究生培养教改项目“基于OBE理念的教育硕士研究生在线示范课程的建设与应用研究——以《数学微格教学》为例”；黄冈市教育科学规划课题“基于学科核心素养培育的高中数学情境教学的实施策略及评价体系研究”(项目编号：2023JB11)的阶段性研究成果。

NOTES

^*通讯作者。