基于特殊幂级数的双曲完备极小曲面研究

Research on Hyperbolic Complete Minimal Surfaces Based on Special Power Series

摘要: 在双曲完备极小曲面及Hadamard缺项幂级数的研究背景下，以Brito构造ℝ3中位于两个平行平面间完备极小曲面族的方法为基础，利用Holder不等式、Cauchy-Schwarz不等式对拆分成多项的|Ck|进行放缩，比较不同不等式的放缩效果，使得|Ck|尽可能小，从而使得h(z)适用条件扩大，且找到在某个范围条件下的双曲完备极小曲面族，丰富相关实例。

Abstract: In the context of the study on hyperbolic complete minimal surfaces and power series with Hadamard gaps, based on the method of Brito’s construction of a family of complete minimal surfaces between two parallel planes inℝ3, we use Holder inequality and Cauchy-Schwarz inequality to scale the|Ck|which is splited into multiple terms, and compare the scale effects of the different inequalities to make the|Ck|as small as possible, to make the applicable conditions ofh(z)wider. And families of hyperbolic complete minimal surfaces are found under a range of conditions, enriching the relevant examples.

1. 引言

简单来说，极小曲面就是平均曲率处处为0的曲面，它是微分几何中的重要课题，其丰富的理论知识也推动着复分析等数学分支的发展进步。通过对极小曲面例子的研究，数学家们通过研究发现在 ${ℝ}^3$ 中没有紧且无边界的极小曲面，完备的极小曲面就是这类极小曲面中的重要内容。

Hadamard缺项幂级数是一种具有广泛应用前景的数学工具，可以用于研究完备极小曲面的性质。这种缺项幂级数具有独特的性质，如可以在极限情况下收敛到某一函数并具有缺项性。

在极小曲面的蓬勃发展中，1954年，Calabi [1] 提出了两个猜想，他的两个猜想是完备极小曲面研究过程中的一个深刻问题，其猜想的复杂性和特殊性，将数学与物理学中的许多问题联系到一起，吸引着众多数学家不断进行探究，为极小曲面的理论发展注入了源源不断的动力。

1980年，F. Xavier [2] 和L.M. Jorge [2] 利用Runge逼近定理证明了 ${ℝ}^3$ 中存在非平坦的完备极小曲面完全包含在两个平行的平面之间，从而否定了其猜想1。1996年，Nadirashvili [3] 利用Runge逼近定理否定了其猜想2，即存在极小浸入到 ${ℝ}^3$ 中单位球的具有负Gauss曲率的完备极小曲面。

然而他们的证明只是表明存在相应的完备极小曲面，但是他们的证明过程并没有给出具体的构造此类极小曲面的方法，并且相应的双曲完备极小曲面例子也非常少。

因此1992年，Brito [4] 首次具体使用了一些具有Hadamard间隙的特殊幂级数构造了 ${ℝ}^3$ 中位于两个平行平面间的完备极小曲面，从而给出了Calabi [1] 猜想1不成立的具体的反例，有如下定理：

定理1 [4] 若 $h\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{z}^{n_j}}$ 是一个Hadamard缺项幂级数，其中， $z\in ℂ$ ， $j=1,2,\cdots$ ，且满足下列条件：

(1)收敛；

(2)；

(3)发散；

则对于单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内的任意发散曲线 $\gamma$ ，有。

令Weierstrass表示 [5] [6] 中的 $f=1$ 且 $g=h^{\prime }$ ，即可得到 ${ℝ}^3$ 中两个平行平面间的完备极小曲面族。

2022年，张建肖 [7] 在Brito的基础上减弱条件(2)，限定 $n_j$ 后项与前项的比值，并受孙道椿 [8] 证明方法的启发，扩大了条件(2)的范围，得到定理2。

定理2 [7] 若是一个Hadamard缺项幂级数，其中， $z\in ℂ$ ， $j=1,2,\cdots$ ，且满足下列条件：

(1) $\left|\frac{a_{j+1}}{a_j}\right|\le \eta <1,\left|a_j\right|\ne 0$ ；

(2) 对于充分大的 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ，满足 ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k-1}{\sum }}\left|a_j\right|n_j}<\frac{1}{4\text{e}}\left|a_k\right|n_k$ 且 $\frac{q_k}{2}-\ln q_k\ge 1-\ln \frac{1-\eta }{8\eta }$ ，其中 $q_k=\frac{n_{k+1}}{n_k}$ 且 $q_k>2$ ；

(3)发散；

则对于单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内的任意发散曲线 $\gamma$ ，有。

本文在此基础上进一步细化探究，利用两个不等式比较放缩优劣，针对具体条件作出适当调整，减弱条件的局限性，构造更多满足条件的完备极小曲面，给出具体例子说明，得到定理3。

定理3 若 $h\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{z}^{n_j}}$ 是一个Hadamard缺项幂级数，其中， $z\in ℂ$ ， $j\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ， $\frac{n_{k+1}}{n_k}\ge q>1$ ，且 $h\left(z\right)$ 满足下列条件：

(1) $\left|\frac{a_{j+1}}{a_j}\right|\le \eta <1，\left|a_j\right|\ne 0$ ；

(2)对于充分大的 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ，满足

， $1<q<6$ ， $\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\le \frac{1}{17\text{e}q}\sqrt{\frac{\left(q^2-q\right){\text{e}}^{q^3}}{\left(q^6-q^5+q^3+1\right)+\left(q^2-q\right)\left({\text{e}}^{q^3-q}+q^2{\text{e}}^{q^3-q^2}\right)}}$ ；

(3)发散；

则对于单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内的任意发散曲线 $\gamma$ ，有。

2. 相关定义

设 $\mathbb{D}=\left\{z\in ℂ:\left|z\right|<1\right\}$ 为复平面 $ℂ$ 中的单位圆盘，本文我们讨论 $\mathbb{D}$ 参数化下的完备极小曲面。

定义1 [4] 设 $h\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{z}^{n_j}}$ 是一个收敛半径为1的幂级数，其中 $z\in ℂ$ ， $j=1,2,\cdots$ ，并且有 $\frac{n_{j+1}}{n_j}\ge q>1$ ，则称 $h\left(z\right)$ 为Hadamard缺项幂级数。

定义2 [5] [9] 称 $k_1={\max }_{\left|v\right|=1}{k}_v$ 和 $k_2={\min }_{\left|v\right|=1}{k}_v$ 为曲面 $\sum$ 的主曲率， $K=k_1{k}_2$ 和 $H=\frac{k_1+k_2}{2}$ 分别为曲面 $\sum$ 的Gauss曲率和平均曲率。

定义3 [5] ${ℝ}^3$ 中平均曲率 $H\equiv 0$ 的曲面称为极小曲面。

定义4 [5] 设 $\Omega$ 是 ${ℝ}^2$ 中的开子集，如果对 $\Omega$ 的任意紧子集 $E$ ，存在 $t_0<a$ ，使得 $\gamma \left(t\right)\notin E,\forall t\in \left(t_0,a\right)$ (即 $\gamma \left(t\right)\to \partial \Omega$ )。

定义5 [5] 设 $I:\Omega \subset {ℝ}^2\to {ℝ}^3$ 是一个浸入，且 $\Omega$ 具有诱导度量，即 ${\Vert v\Vert }_{\Omega }={\Vert I_{\ast }v\Vert }_{{ℝ}^3}$ ，这里 $I_{\ast }:T_z\left(\Omega \right)\to T_{I\left(z\right)}\left({ℝ}^3\right)$ 是浸入 $I$ 的切映射。如果任意光滑的发散曲线 $\gamma :\left[0,a\right]\to \Omega$ 有无限长度(相对于诱导度量)，那么称浸入 $I:\Omega \subset {ℝ}^2\to {ℝ}^3$ 是完备的。

定义6 [5] 设 $\sum :\Omega \to {ℝ}^3$ 是单连通的极小曲面，由黎曼映射定理 [10] ，可以设 $\Omega$ 共形于 $\mathbb{D}=\left\{z\in ℂ:\left|z\right|<1\right\}$ 或 $\Omega =ℂ$ ，如果 $\Omega$ 共形于 $\mathbb{D}$ ，称 $\sum$ 为双曲的，如果 $\Omega =ℂ$ ，称 $\sum$ 为抛物的。

3. 定理3证明

对任意的 $k\in N$ ，令

$R_k=\left\{z\in \mathbb{D}:1-\frac{1}{n_k}\le \left|z\right|\le 1-\frac{1}{2n_k}\right\}$ , (1)

每一个 $R_k$ 是半径为 $\frac{1}{2n_k}$ 的圆环，当 $k$ 充分大时， $R_k$ 互不相交。

由

,

对任意固定的 $k\in N$ ，令 $A_k=a_k{n}_k{z}^{n_k}$ ，，，

则有

$\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|\ge \left|{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_j{n}_j{z}^{n_j}}\right|=\left|A_k\right|-\left|B_k\right|-\left|C_k\right|,z\in \mathbb{D},k\in N$ (2)

现假设 $k$ 充分大，

当 $z\in R_k$ 时，由(1)，有 $\left|A_k\right|\ge \left|a_k\right|n_k{\left(1-\frac{1}{n_k}\right)}^{n_k}$ 。

因为，所以存在 $k_1\in N$ ， $k\ge k_1$ ，有

$\left|A_k\right|\ge \frac{1}{2\text{e}}\left|a_k\right|n_k,k\ge k_1,z\in R_k$ . (3)

另一方面，由定理3中的条件(2)，存在 $k_2\in N$ ， $k_2\ge k_1$ ，有

(4)

当 $0<x<1$ 时， $\ln \left(1-x\right)<-x$ ，所以当 $z\in R_k$ 时，

由定理3中条件(1)中的 $\left|\frac{a_{j+1}}{a_j}\right|\le \eta <1$ ，得到

再由Holer不等式 [11] ，有

对进行放缩，有

可以发现当 $0<\beta \le 2$ 时， $x^{\beta -1}{\text{e}}^{-\frac{\beta x}{2n_k}}$ 在 $x>n_k$ 时单调递减；当 $\beta >2$ ， $q>\text{}\frac{2\beta -3}{\beta }$ 时， $x^{\beta -1}{\text{e}}^{-\frac{\beta x}{2n_k}}$ 在 $x\ge n_k$ 时单调递减。此处假设 $\beta =3$ ， $\alpha =\frac{3}{2}$ ，则有

对 $j=k+1,k+2,\cdots$ ，可以得到

所以

因此

此时

故有

$\left|C_k\right|\le \left|a_k\right|n_{k+2}\frac{\eta }{\sqrt[\frac{3}{2}]{1-{\eta }^{\frac{3}{2}}}}\frac{1}{q}\sqrt[3]{{\text{e}}^{-\frac{3}{2}\text{q}}+\frac{27q^6-27q^5+18q^4+24q^2+16}{27q^2\left(q-1\right)}{\text{e}}^{-\frac{3}{2}{q}^2}}$

当 $\frac{\eta }{\sqrt[\frac{3}{2}]{1-{\eta }^{\frac{3}{2}}}}\le \frac{1}{16q}{\text{e}}^{\frac{q^2}{2}-1}\sqrt[3]{\frac{27q^2\left(q-1\right)}{\left(27q^6-27q^5+18q^4+24q^2+16\right)+27q^2\left(q-1\right){\text{e}}^{\frac{3}{2}\left(q^2-q\right)}}}$ 时，

$\left|C_k\right|\le \frac{1}{16\text{e}}\left|a_k\right|n_k$ (5)

由(2)、(3)、(4)、(5)可得

存在 $k_2\in N$ ， $k_2\ge k_1$ ，使得

$\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|\ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)\frac{1}{\text{e}}\left|a_k\right|n_k=\frac{3}{16}\left|a_k\right|n_k$

取单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内的发散曲线 $\gamma$ ，对任意的 $k\ge l$ ， $l\in N$ ， $\gamma$ 必定穿过 $R_k$ ，则

从上述证明过程中发现， $\beta =2$ 是一个特殊值，故取Holder不等式中的 $\alpha =2$ ， $\beta =2$ ，即利用Cauchy-Schwarz [11] 不等式进行放缩得到

下面对进行放缩，

当提出 $k+1$ 项和 $k+2$ 项时，有

因为当 $x>n_k$ 时，函数 $x{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}$ 是单调递减函数，故当 $j=k+1,k+2,\cdots$ 时，

则有

$n_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}\le \frac{q}{q-1}{\displaystyle {\int }_{n_{j-1}}^{n_j}x{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}}\text{d}x$

故

${\displaystyle \underset{j=k+3}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}\le \frac{q}{q-1}{\displaystyle {\int }_{n_{k+2}}^{\infty }x{\text{e}}^{-\frac{x}{n_k}}}\text{d}x$

因此

$\left|C_k\right|\le \left|a_k\right|n_{k+2}\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\frac{1}{q}\sqrt{{\text{e}}^{-q}+\frac{q^4-q^3+q^2+1}{q^2-q}{\text{e}}^{-q^2}}$ (6)

再由条件 $\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\le \frac{1}{16q}{\text{e}}^{\frac{q^2}{2}-1}\sqrt{\frac{q^2-q}{\left(q^4-q^3+q^2+1\right)+\left(q^2-q\right){\text{e}}^{q^2-q}}}$

可以得到

$\left|C_k\right|\le \frac{1}{16\text{e}}\left|a_k\right|n_k$

当提出前三项时，有

同样可以得到

因此

${\displaystyle \underset{j=k+1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_j^2{\text{e}}^{-\frac{n_j}{n_k}}}\le n_{k+3}^2\frac{1}{q^4}\left({\text{e}}^{-q}+q^2{\text{e}}^{-q^2}+\frac{q^6-q^5+q^3+1}{q^2-q}\cdot {\text{e}}^{-q^3}\right)$

$\left|C_k\right|\le \left|a_k\right|n_{k+3}\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\frac{1}{q^2}\sqrt{{\text{e}}^{-q}+q^2{\text{e}}^{-q^2}+\frac{q^6-q^5+q^3+1}{q^2-q}\cdot {\text{e}}^{-q^3}}$ (7)

因为当 $1<q<6$ 时，有

$\sqrt{{\text{e}}^{-q}+q^2{\text{e}}^{-q^2}+\frac{q^6-q^5+q^3+1}{q^2-q}\cdot {\text{e}}^{-q^3}}$ 小于 $\sqrt{{\text{e}}^{-\text{q}}+\frac{q^4-q^3+q^2+1}{q^2-q}{\text{e}}^{-q^2}}$ ，

所以对比(6)和(7)式可知(7)式的结果放缩程度更优，再由定理3中条件(2)中的

$\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\le \frac{1}{17\text{e}q}\sqrt{\frac{\left(q^2-q\right){\text{e}}^{q^3}}{\left(q^6-q^5+q^3+1\right)+\left(q^2-q\right)\left({\text{e}}^{q^3-q}+q^2{\text{e}}^{q^3-q^2}\right)}}$ 得到

$\left|C_k\right|\le \frac{1}{17\text{e}}\left|a_k\right|n_k$ (8)

由(2)、(3)、(4)、(8)可得

存在 $k_2\in N$ ， $k_2\ge k_1$ ，使得

$\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|\ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{17}\right)\frac{1}{\text{e}}\left|a_k\right|n_k=\frac{13}{68}\left|a_k\right|n_k$

取单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内的发散曲线 $\gamma$ ，对任意的 $k\ge l$ ， $l\in N$ ， $\gamma$ 必定穿过 $R_k$ ，则

在上述定理的证明过程中，本文给出不断精确的条件，且发现在同等程度的放缩下，取 $\alpha =2$ ， $\beta =2$

的Holder不等式(即Cauchy-Schwarz不等式)放缩效果明显优于取 $\alpha =\frac{3}{2}$ ， $\beta =3$ 的Holder不等式。同时在证明过程中，由定理给出的条件(2)可以使得 $\left|C_k\right|$ 进一步缩小到小于 $\frac{1}{17\text{e}}\left|a_k\right|n_k$ 。

4. 举例说明

设， $z\in ℂ$ 。

例子1说明：当 $a_j={0.9}^j$ ， $n_j={16}^j$ 时，此时 $q=16$ ， $\eta =0.9$ 。显然此时该例子不满足定理2中的条

件(2)，但是满足文中条件 $\frac{\eta }{\sqrt[\frac{3}{2}]{1-{\eta }^{\frac{3}{2}}}}\le \frac{1}{16q}{\text{e}}^{\frac{q^2}{2}-1}\sqrt[3]{\frac{27q^2\left(q-1\right)}{\left(27q^6-27q^5+18q^4+24q^2+16\right)+27q^2\left(q-1\right){\text{e}}^{\frac{3}{2}\left(q^2-q\right)}}}$ ，且此时。

例子2说明：当 $a_j={0.6}^j$ ， $n_j={12}^j$ 时，此时 $q=12$ ， $\eta =0.6$ 。易得此例子满足证明过程中

$\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\le \frac{1}{16q}{\text{e}}^{\frac{q^2}{2}-1}\sqrt{\frac{q^2-q}{\left(q^4-q^3+q^2+1\right)+\left(q^2-q\right){\text{e}}^{q^2-q}}}$ ，但是不满足例子1所满足的条件。所以在证明过程中同等程度的放缩下得到了更加精细的结果。

例子3说明：在此基础上，本文发现，当 $1.5<q<2.15$ 时，我们都能找到相应的 $0<\eta <1$ 使得 $a_j$ ， $n_j$ 满足定理3，例如 $a_j={0.023}^j$ ， $n_j=2^j$ 时， $q=2$ ， $\eta =0.023$ 。此时该例子显然满足 $1<q<6$ ，且

，同时 $q$ ， $\eta$ 满足 $\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\le \frac{1}{17\text{e}q}\sqrt{\frac{\left(q^2-q\right){\text{e}}^{q^3}}{\left(q^6-q^5+q^3+1\right)+\left(q^2-q\right)\left({\text{e}}^{q^3-q}+q^2{\text{e}}^{q^3-q^2}\right)}}$ ，又发散，此例子完全满足定理3的三个条件，但是此例子并不满足文中 $\frac{\eta }{\sqrt{1-{\eta }^2}}\le \frac{1}{16q}{\text{e}}^{\frac{q^2}{2}-1}\sqrt{\frac{q^2-q}{\left(q^4-q^3+q^2+1\right)+\left(q^2-q\right){\text{e}}^{q^2-q}}}$ 条件。