TPACK视域下的高中数学教学设计研究

Research on High School Mathematics Instructional Design in the Perspective of TPACK

摘要: 随着中国教育体制改革的深入，信息技术与课程的有机整合是新课程改革的热点话题，TPACK (整合技术的学科教学知识)的研究是这一热点话题的典型代表，根据《普通高中数学课程标准(2017年版) 2020年修订》对三角函数的内容要求，通过信息技术与课程教学整合，借助GeoGebra软件精准并动态地演示筒车灌溉过程，并建立 函数模型，利用软件中滑杆的滑动，让学生主观感受各参数对三角函数图像的影响，在这个过程中，采用启发式教学法、讨论法和实践法等教学方法，做到技术、教学法和知识的深度整合，从而让学生更好地理解三角函数中的知识点，减弱对三角函数的惧怕感，提高学习兴趣，让学生主动发现、探索知识，在提高教学质量的同时提升学生的数学素养。

Abstract: With the deepening reform of China’s education system, the organic integration of information technology and curriculum has become a hot topic in the new curriculum reform. Research on Technological Pedagogical Content Knowledge (TPACK) serves as a typical representative of this hot topic. According to the “Revised 2020 Edition of the High School Mathematics Curriculum Standard (2017 Version),” the content requirements for trigonometric functions, through the integration of information technology and curriculum instruction, the precise and dynamic demonstration of the process of water irrigation by a sprinkler cart can be achieved using GeoGebra software. A function model of can be established. By manipulating the sliders in the software, students can subjectively experience the influence of various parameters on the graph of trigonometric functions. In this process, teaching methods such as heuristic teaching, discussion, and practice are employed to achieve a deep integration of technology, pedagogy, and knowledge. This enables students to better understand the key points of trigonometric functions, reduce their fear of trigono-metric functions, increase their interest in learning, and encourage students to actively discover and explore knowledge. By improving the quality of teaching, students’ mathematical literacy is enhanced.

1. 研究背景

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中指出，信息技术的应用要依据课程设计和实施的具体情况，注重信息技术与数学课程的深度融合，把技术作为辅助教学的工具来促进教与学形式的改善 [1] 。

TPACK是Technological Pedagogical Content Knowledge的缩写，即整合技术的学科教学知识，将TPACK理论应用于高中数学三角函数的教学设计中，正是课程标准要求的信息技术与数学课程深度融合的具体体现。TPACK理论是美国学者科勒(Koehler)和米什拉(Mishra)于2005年在舒尔曼(Shulman)提出的学科教学知识PCK的基础上提出的，随后国内外学者对TPACK展开了大量的理论和实践研究，研究结果表明，大家一致认为对于TPACK的研究将有利于提高教师掌握和运用信息技术的能力 [2] 。

而三角函数作为高中数学课程中一个重要的部分，其概念具有抽象性的特点，相比较指数函数和对数函数，无论是函数的性质还是特点都要复杂的多，这对高中生学习三角函数有一定的难度。因此，运用TPACK理论，整合信息技术(如GeoGebra几何作图软件)和三角函数的内容进行教学设计，就能将三角函数中的难以理解的抽象的代数问题转化为动态的直观的几何问题，将复杂的性质(如周期性、单调性、奇偶性)图形化，帮助学生学习理解，从而提高教学效率。

尽管一些学者已经使用TPACK理论对中小学数学进行了研究，但是对于高中数学课程中具体章节的教学设计研究还比较缺乏。此外，TPACK理论是整合了三种知识要素形成的新知识，由于涉及的条件和因素较多且彼此交互作用，因此被认为是一种“结构不良”的知识，解决的问题属于“劣性问题”。这意味着对于不同的教师、课程或教学观念，需要不同的解决方法来整合信息技术于学科教学过程中。因此，以三角函数中的一节内容为例，在TPACK视域下探讨高中数学教学设计研究具有重要意义。

2. 文献综述

本文研究与TPACK在高中数学的教学设计有关，TPACK理论在数学领域方面的研究主要为教师TPACK的影响因素研究以及职前与在职教师TPACK的能力发展和培养研究，尼斯根据教师实例，探究得到职前教师本身对信息技术的态度，一定程度上影响了其能否在教学过程中有效的应用信息技术 [3] 。詹艺按照TPACK框架对微课教学中师生对话进行编码和分类，认为在真实的教学情境中进行迭代式的教学设计，或许能更有效地推动教师信息技术整合能力的提升 [4] 。

TPACK理论在数学方面的研究从最开始的概念理论解读和国外研究现状分析转向针对教师的TPACK水平现状研究、影响因素等的分析，并在近几年尝试运用到学科当中，对TPACK理论的应用和开发旨在为我国信息技术与课程的整合提供新思路和理论参考。汪霞认为，将TPACK理论与教学设计相结合的教学方式能为小学数学课堂带来新的思路，构建了基于TPACK理论的小学数学教学设计框架，利用构建的框架进行具体的教学设计，较好的借助技术帮助学生掌握了重点知识并突破了难点知识 [5] 。谢宇航提到，用计算机模拟物理实验，采用投影的方式展现出来，学生观察得更加清楚，教师操作更便捷，同时能够实现在传统教学中难以达到的实验 [6] 。宁海钰提出，学生都普遍通过TPACK模型下的高中数学单元教学，强化了基础知识的学习，学习的思维和思想方法上都有了很大的提升 [7] 。

本文以研究函数“ $y=A\sin \left(\omega x+\phi \right)$ ”为例，在TPACK理念指导下，通过信息技术与课程教学整合，突出学生的主体性和教师的指导性，为学生创造良好的数学素养培养环境，由特殊到一般、由简单到复杂 [7] ，从而展开思维进阶课堂教学，让学生在各种体验活动、探究活动中掌握知识的同时提升逻辑推理、直观想象和数学建模等核心素养，将TPACK理论与教学设计相结合的教学方式为高中数学三角函数章节带来新的教学思路。

3. TPACK理论框架

上世纪80年代，在世界教师教育领域中，教师专业化运动已经迅速流行并成为主要发展方向。在这种时代背景下，美国学者舒尔曼(Shulman)在教师专业特征的“示范性”和“学术性”的激烈争论中，提出了学科教学法知识(PCK)的概念 [8] ，之后美国学者科勒(Koehler)和米什拉(Mishra)于2005年在舒尔曼(Shulman)提出的学科教学知识PCK的基础上提出了TPACK理论。

TPACK框架包含三个核心要素，即学科内容知识(CK)、教学法知识(PK)和技术知识(TK)；四个复合要素，即学科教学知识(PCK)、整合技术的学科内容知(TCK)、整合技术的教学法知识(TPK)、整合技术的学科教学知识(TPACK) [9] ，如图1所示。

Figure 1. TPACK framework

图1. TPACK框架

CK是指教师在课堂上传授给学生的学科知识，包括基本概念、原理、定律、方法等。PK是指教师在课堂教学过程中运用教育学、心理学等学科的理论知识，使用各种教学方法和技巧，以及在教学实践中积累生成的教学经验和技能。TK包括传统的教学技术(如黑板、幻灯片等)和现代信息技术(如计算机、网络等)，是教师必备的教学工具和技术手段。PCK是指教师将学科知识转化为学生易于理解和掌握的形式，使学生能够理解、掌握和运用所学知识的能力。TPK是指教师在教学过程中将教学技术和方法相结合，通过多媒体(电子视频和PPT)、计算机软件等技术手段，激发学生的学习兴趣，促进师生互动和生生互动，提高教学效果。TCK是指教师结合技术手段来讲解或学习学科内容知识，以达到最佳的教学效果和学习效果，是教师将学科知识与教学技术相结合的应用技能。

4. 教学策略

在TPACK视域下，三角函数的教学需要兼顾学科知识、教学方法和技术工具的使用，因此需要采用一系列有效的教学策略来提高学生的学习效果，在三角函数的教学中，通过合理运用TPACK视域的教学策略，可以帮助学生更好地理解三角函数的相关概念和应用，提高他们的学习兴趣和学习成效。

知识内容(CK)：筒车运动模型、各参数对函数 $y=A\sin \left(\omega x+\phi \right)$ 的影响、实际应用。

教学知识(PK)：讲授法、讨论法、启发式教学法、演示法、练习法。

技术知识(TK)：计算机、PPT幻灯片、Geogebra软件动态演示。

教学内容知识(PCK)：教学目标和重难点分析；设计预习、教学环节和步骤、设计教学评价内容。

技术内容知识(TCK)：通过PPT、视频软件展示筒车运动轨迹和海水波浪运动规律；利用Geogebra软件建立海水波浪运动模型，培养学生数学建模素养。

技术教学知识(TPK)：使用多媒体播放筒车运动、波浪运动为教学做铺垫；通过PPT、视频软件进行筒车运动轨迹海水波浪运动规律实验，合作建立模型，展示成果；在PPT等多媒体上设计课堂问答与知识归纳环节。

整合技术的学科教学法知识(TPACK)：通过多媒体展示筒车、海波的运动，让学生理解函数 $y=A\sin \left(\omega x+\phi \right)$ 图像；通过Geogebra软件滑杆演示进一步了解函数中各参数对图像的影响，在教师的引导、小组合作、交流后逐步培养数学建模与解决实际应用的能力，提升数学素养。

5. TPACK理论下的教学目标

1) 通过展示筒车运动的视频和海水潮汐波动变化，给出筒车与海波运动规律的数学刻画，学会建立形如 $y=A\sin \left(\omega x+\phi \right)$ 的数学模型，培养学生的数学建模素养。

2) 通过信息技术软件，如Geogebra软件的现场动态演示操作，直观感受 $y=A\sin \left(\omega x+\phi \right)$ 中各参数对函数图像变化的影响，深刻理解各参数的实际意义和它们之间的联系，培养学生逻辑推理和直观想象素养。

3) 体会三角函数是描述周期变化现象的重要的高中数学模型，能用三角函数刻画并解决一些简单实际问题。

6. 教学活动设计

6.1. 引入新课

问题1：如何建立匀速圆周运动数学模型

教师活动：在PPT上展示明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图示描绘的人们利用筒车轮的圆周运动进行灌溉的动态视频(如图2)，结合相关视频引导学生发现筒车上每一个节点的运动轨迹有什么规律，同时问学生生活中有没有其他事物有着相同的运动规律(例如海波的运动，如图3)。

Figure 2. Cylinder car movement video

图2. 筒车运动视频

Figure 3. Video of ocean wave fluctuations

图3. 海浪波动视频

学生活动：在教师的引导下举出类似的例子，理解匀速圆周运动的大致模型。

设计意图：通过PPT中《农政全书》相关内容与视频展示，并通过教师的引导分析让学生理解筒车运动的原理(筒车运动过程中角速度的大小，半径的大小对灌溉效率的影响，以及不同高度的筒车有何不同)，以及海浪波动的特征(不同海浪波峰之间的距离，以及不同振幅、频率的海波有何不同)。

6.2. 构建模型

问题2：盛水筒距离水面的相对高度h都与哪些量有关？

教师活动：通过观看筒车的视频，引导把筒车抽象成如图所示的几何图形．在水流量稳定的情况下，筒车从P₀处出发，逆时针做匀速圆周运动到达P₁点的过程中，盛水筒距离水面的相对高度H都与哪些量有关？

在提出问题后，让学生自行画出筒车运动模型，教师在Geogebra软件中绘制与教材对应的图像(如图4)，与学生绘制结果进行对比分析。

学生活动：通过对教材以及Geogebra软件动态演示的观察，学生讨论回答“筒车的半径r、筒车转动的角速度ω、转轮中心到水面的距离h以及时间t。”

追问：既然每个时间t都有唯一的高度H与之对应，那如何建立坐标系与模型将筒车的运动描述出来呢？

学生活动：学生在纸上画出对应图像后，教师打开Geogebra软件并告诉同学们，该软件的绘图编程原理和同学们手工绘图的原理(如五点作图法)是相同的，为学生建立软件作图和手工作图之间的联系，激发学生的学习兴趣，同时培养数学抽象与直观想象的素养。

教师在Geogebra软件中以筒车中心点为原点构建直角坐标系，当t = 0时，盛水桶位于点P₀的位置，通过拖动滑杆的位置，学生可以观察到以x轴正半轴为始边，OP₁为终边的角为 $\omega t+\phi$ ，将筒车的运动半径与之相乘即可得到高度h，经过同学们间的讨论与教师的提醒下得到了表达式： $h=r\sin \left(\omega t+\phi \right)+h$ 。

设计意图：通过调整滑杆，动态演示各参数对函数图像的影响，帮助学生更直观地理解该知识点，由于动态效果演示让学生对该知识点的形成过程印象更深刻，更容易牢记该知识点，从而减弱学生对三角函数的惧怕感。

Figure 4. Graph drawn using Geogebra

图4. Geogebra绘制图像

6.3. 探究结果

问题3：参数A、 $\omega$ 、 $\phi$ 对 $y=A\sin \left(\omega x+\phi \right)$ 的影响。

教师活动：在问题1的基础上，教师让学生们绘制出了盛水筒距离水面的相对高度h的表达式图像，并引导学生发现该图像与多媒体播放的波浪运动视频的相似之处。

让学生结合问题1筒车中单个水桶的运动模型，在纸上绘制大致函数图像，并思考该图像与三角函数图像之间如何变换。

将函数 $y=\sin x$ 经过平移、拉伸，参照单位圆上Q₁、Q₂的运动位置(如图5)，合作讨论，思考参数A、 $\omega$ 、 $\phi$ 对函数图像的影响。

在学生讨论发言后，教师通过GeoGebra软件，通过分别设置三角函数中各个参数的大小：使用滑动条A、 $\omega$ 、 $\phi$ 调整各个参数作出一般式图(如图6)，并与筒车中单个水桶随时间的运转轨迹形成对照，学生独立思考，然后回答大致思路：先取特殊值，进行观察，进而猜想出一般结论。

学生活动：思考并回答问题，先以小组形式在草稿纸上使用“五点作图法”画出函数图像，随后在GeoGebra软件函数动态变化与教材中静态图片的对照下，学生经过讨论总结各个参数对函数 $y=A\sin \left(\omega x+\phi \right)$ 的影响。

设计意图：借助信息技术，结合教学内容通过软件图像上一个点的变化来研究参数对函数 $y=A\sin \left(\omega x+\phi \right)$ 图象变化的影响，并结合水车模型与波浪的运动来解释这种变化的实际意义，例如A决定了筒车的半径大小，ω的数值影响了筒车的运转速度(ω越大，单位时间内运送的水更多)，φ决定了筒车的水平位置；而在波浪运动模型中，A决定了波浪的振幅，ω的数值决定了波峰之间的距离(ω越大，波峰间距离越小)，φ决定了波浪的水平位置。教师通过问题引导学生在观察发现的基础上进行理性的思考，提升直观想象和逻辑推理素养。

Figure 5. Translation transformations of the function $y=\sin x$ in the textbook

图5. 教材中函数 $y=\sin x$ 的平移变换

Figure 6. Adjusting various parameters using sliders A, ω, and φ in GeoGebra software

图6. .在GeoGebra软件中使用滑动条A、ω、φ调整各个参数

6.4. 教学反思

虽然信息技术正在朝着多样化的方向发展，这就使得教师有了更多教学方式的选择，但是信息技术不能完全取代教师的教学，教师对信息技术的过度依赖会适得其反。同时，教师还应该将技术知识、教学法知识和学科内容知识有机地结合起来，以便更好地丰富学生的感性认识，提高学生对知识的吸收率，提高学生的数学素养。

7. 结束语

将信息技术与高中数学教学相整合已成为学者们研究的方向。将TPACK理论与教学设计相结合的教学方式能为高中数学课堂带来新的思路。本研究将TPACK理论与教学设计相结合，以中学数学作为切入点，构建了基于TPACK理论的高中数学教学设计框架，进而以三角函数的章节片段作为本次研究的具体案例，利用构建的框架进行具体的教学设计。

TPACK理论对高中数学教学设计具有一定指导意义。教师在进行基于TPACK的教学设计时，需要对教学内容、方法及技术等进行清晰的分析与理解并进行技术整合，信息技术与教育教学相互融合，不仅可以培养学生的和问题探究与合作学习的能力，也能促进教学生在信息教育的过程中逐步培养数学核心素养。

NOTES

^*通讯作者。