极大交换子在分层Lie群中的有界性

Boundedness of Maximal Commutators on Stratified Lie Groups

摘要: 本文借助于Orlicz空间的相关理论与工具，在分层Lie群G中考虑了由Lipschitz函数和Hardy-Littlewood极大算子生成的交换子M_b和[b,M]的有界性。

Abstract: In this paper, the authors consider the boundedness of commutators M_b and [b,M] generated by Lipschitz function and Hardy-Littlewood maximal operator on stratified Lie groups G with the help of relevant theories and tools of Orlicz space.

1. 引言

交换子估计在调和分析和偏微分方程的许多应用中起着重要的作用，见 [1] [2] [3] [4]。设T为经典奇异积分，由T生成的交换子 $\left[b,T\right]$ 可定义为

$\left[b,T\right]\left(f\right)\left(x\right)=b\left(x\right)T\left(f\right)\left(x\right)-T\left(bf\right)\left(x\right)$.(1)

1976年，Coifman，Rochberg和Weiss [1] 给出了BMO空间的一种等价刻画，证明了当 $b\in \text{BMO}\left({ℝ}^n\right)$ 时，交换子 $\left[b,T\right]$ 的 $L^p\left({ℝ}^n\right)$ $1<p<\infty$ 有界性。1978年，Janson [5] 利用交换子 $\left[b,T\right]$ 对Lipschitz空间 ${\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }\left({ℝ}^n\right)$ 进行了一些描述，证明了 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }\left({ℝ}^n\right)$ 的充要条件是交换子 $\left[b,T\right]$ 从 $L^p\left({ℝ}^n\right)$ 到 $L^q\left({ℝ}^n\right)$ 有界，其中 $0<\beta <1$， $1<p<\frac{n}{\beta }$， $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}=\frac{\beta }{n}$ (同见 [6] )。

设 $f\in L_{loc}^1\left(\mathbb{G}\right)$，定义极大算子M为

$M\left(f\right)\left(x\right)=\underset{B\ni x}{\sup }\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y}$，

其中上确界取遍 $\mathbb{G}$ 中包含x的所有球B。 $\left|B\right|$ 表示球B的Haar测度。

对于局部可积函数b，定义M和b生成的交换子 $M_b$ 为

$M_b\left(f\right)\left(x\right)=\underset{B\ni x}{\sup }\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|b\left(x\right)-b\left(y\right)\right|\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y}$，

其中上确界取遍 $\mathbb{G}$ 中包含x的所有球B。令b属于适当的函数，定义M和b生成的交换子 $\left[b,M\right]$ 为

$\left[b,M\right]\left(f\right)\left(x\right)=b\left(x\right)M\left(f\right)\left(x\right)-M\left(bf)\right)\left(x\right)$.

不难注意到交换子 $M_b$ 和 $\left[b,M\right]$ 有本质的不同，其中 $M_b$ 是正次线性的，而 $\left[b,M\right]$ 既不是正的也不是次线性的。

交换子 $M_b$ 和 $\left[b,M\right]$ 已经被许多学者研究过，例如见 [7] [8] [9] [10] [11] 等。2000年Bastero [8] 等人证明了Hardy-Littlewood极大算子的交换子 $\left[b,M\right]$ 的 $L^p$ 有界性。2017年张 [10] 通过Hardy-Littlewood极大交换子 $M_b$ 在Lebesgue空间和Morrey空间中的有界性刻画了Lipschitz函数空间；同时借助极大算子的交换子 $\left[b,M\right]$ 在Lebesgue空间和Morrey空间中的有界性，刻画了当 $b\ge 0$ 时的Lipschitz空间。

受 [10] 的启发，本文在分层Lie群中考虑Orlicz空间中一些类似的结果，研究当 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$ 时，交换子 $M_b$ 和 $\left[b,M\right]$ 的有界性。

在本文中，对任意的 $x\in \mathbb{G}$，和所有的 $r>0$，令 $B\left(x,r\right)$ 是以x为中心r为半径的球，记 $B=B\left(x,r\right)$， $\lambda B=B\left(x,\lambda r\right)$。字母C表示一个与主要参数无关的正常数，但在不同的位置可以不同。用 $A\lesssim B$ 表示 $A\le CB$ ；若 $A\lesssim B$ 且 $B\lesssim A$，则记为 $A\approx B$，表示A与B等价。

2. 预备知识

下面介绍分层Lie群的相关记号和概念，更详细的信息参见 [4] [12] [13]。

设 $\mathbb{G}$ 是一个有限维，连通且单连通Lie群， $\mathcal{G}$ 是它的李代数。如果 $X,Y\in \mathcal{G}$，那么它们的李括号积 $\left[X,Y\right]=XY-YX\in \mathcal{G}$ 将被称为一阶换位运算。令 $\mathcal{G}$ 是有限维分层幂零Lie代数，即存在向量空间分解的直和

$\mathcal{G}=V_1\oplus \cdots \oplus V_m$， (2)

其中 $V_j\left(2\le j\le m\right)$ 中的每个元素都是 $V_1$ 元素的 $\left(j-1\right)$ 阶Lie积。同样的(2)式是一个分层，当 $i+j\le m$ 时， $\left[V_i,V_j\right]=V_{i+j}$ ；否则， $\left[V_i,V_j\right]=0$。设 $X=\left\{X_1,\cdots ,X_n\right\}$ 是 $V_1$ 的基， $V_j$ 中的 $X_{ij}$ 是由长度为j的换位运算组成的， $1\le i\le k_j$。令 $X_{i1}=X_i,i=1,\cdots ,n$ 且 $k_1=n$，则称 $X_{i1}$ 是长度为1的Lie积。如果 $X_1,\cdots ,X_n$ 是 $V_1$ 的基，那么假设 $\Vert X_j\Vert =1,j=1,\cdots ,n$。

若 $\mathbb{G}$ 是与 $\mathcal{G}$ 相关的单连通Lie群，则指数映射是一个从 $\mathcal{G}$ 到 $\mathbb{G}$ 的整体微分同胚。因此对于每个 $g\in \mathbb{G}$，有 $x=\left(x_{ij}\right)\in {ℝ}^N$， $1\le i\le k_j$， $1\le j\le m$， $N={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{k}_j}$，使得 $g=\exp \left({\displaystyle \sum x_{ij}{X}_{ij}}\right)$。在 $\mathbb{G}$ 上的齐次范数函数 $\left|\cdot \right|$ 可由定义得 $\left|g\right|={\left({{\displaystyle \sum \left|x_{ij}\right|}}^{2\cdot m!/j}\right)}^{1/\left(2\cdot m!\right)}$，而 $Q={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}j}{k}_j$ 是 $\mathbb{G}$ 上的齐次维数，因此 $d\left({\delta }_{r}x\right)=r^{Q}dx,r>0$。 ${\delta }_r$ 在 $\mathbb{G}$ 上的扩张被定义为

${\delta }_r\left(g\right)=\exp \left({\displaystyle \sum r^j{x}_{ij}{X}_{ij}}\right),g=\exp \left({\displaystyle \sum x_{ij}{X}_{ij}}\right)$.

由于 $\mathbb{G}$ 是幂零的，指数映射是 $\mathbb{G}$ 到 $\mathbb{G}$ 的微分同构，它将 $\mathbb{G}$ 上的Lebesgue测度取为 $\mathbb{G}$ 上的双不变Haar测度dx。将群 $\mathbb{G}$ 的恒等式称为原点，用e表示。

群 $\mathbb{G}$ 上的齐次范数是一个从 $\mathbb{G}$ 到 $\left[0,\infty \right)$ 的连续函数 $x\to \rho \left(x\right)$，它在 $\mathbb{G}\backslash \left\{0\right\}$ 上是 $C^{\infty }$，满足

$\{\begin{array}{l}\rho \left(x^{-1}\right)=\rho \left(x\right)\\ \rho \left({\delta }_{t}x\right)=t\rho \left(x\right)\\ \rho \left(e\right)=0\end{array}\forall x\in \mathbb{G},t>0$.

在 [13] 中表明， $\mathbb{G}$ 上至少存在一个齐次范数，而 $\mathbb{G}$ 上的任意两个齐次范数都是等价的。由此确定了 $\mathbb{G}$ 上的齐次范数，它满足三角不等式：对 $\forall x,y\in \mathbb{G}$，存在一个常数 $c_0\ge 1$，使得 $\rho \left(xy\right)\le c_0\left(\rho \left(x\right)+\rho \left(y\right)\right)$ (见 [14] )。利用这个范数定义了以x为中心，r为半径的球为 $B\left(x,r\right)=\left\{y\in \mathbb{G}:\rho \left(y^{-1}x\right)<r\right\}$，用 $B_r=B\left(e,r\right)=\left\{y\in \mathbb{G}:\rho \left(y\right)<r\right\}$ 表示以 $\mathbb{G}$ 的恒等元素e为中心，r为半径的开球， ${}^{\complement }B\left(x,r\right)=\mathbb{G}\backslash B\left(x,r\right)$ 表示球 $B\left(x,r\right)$ 的补。易知存在 $c_1=c_1\left(\mathbb{G}\right)$，使得

$\left|B\left(x,r\right)\right|=c_1{r}^{Q}x\in \mathbb{G},r>0$.

因此 $\mathbb{G}$ 满足体积加倍条件，即存在一个常数C，对任意的 $x\in \mathbb{G}$ 和 $r>0$，有

$\left|B\left(x,2r\right)\right|\le C\left|B\left(x,r\right)\right|$.

分层Lie群中最基本的偏微分算子是与X相关的拉普拉斯算子 $\mathcal{L}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i^2}$ 给出的 $\mathbb{G}$ 上的二阶偏微分算子。

为了说明结果，给出如下一些定义。

定义2.1 [15] 若函数 $\Phi :\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ 是凸的，左连续的，且满足 $\underset{r\to +0}{\lim }\Phi \left(r\right)=\Phi \left(0\right)=0$ 和 $\underset{x\to \infty }{\lim }\Phi \left(r\right)=\infty$，则称函数 $\Phi$ 为Young函数。

用 $\mathcal{Y}$ 表示Young函数集，即

$0<\Phi \left(r\right)<\infty ,0<r<\infty$.

对于Young函数 $\Phi$ 和 $0\le s\le \infty$，设 ${\Phi }^{-1}\left(s\right)=\inf \left\{r\ge 0:\Phi \left(r\right)>s\right\}$，如果 $\Phi \in \mathcal{Y}$，那么 ${\Phi }^{-1}$ 是 $\Phi$ 的反函数。

已知

$r\le {\Phi }^{-1}\left(r\right){\tilde{\Phi }}^{-1}\left(r\right)\le 2rr\ge 0$，(3)

其中 $\tilde{\Phi }\left(r\right)$ 被定义为

$\tilde{\Phi }\left(r\right)=\{\begin{array}{l}\sup \left\{rs-\Phi \left(s\right):s\in \left[0,\infty \right)\right\},r\in \left[0,\infty \right)\\ \infty ,r=\infty \end{array}$.

对任意的 $r\ge 0$，存在常数 $C>1$，使得

$\Phi \left(r\right)\le \frac{1}{2C}\Phi (\; C\; r\; )$

成立，则称Young函数 $\Phi$ 满足 ${\nabla }_2$ -条件，用 $\Phi \in {\nabla }_2$ 表示。

根据文 [16] 下面给出Lie群上的Orlicz空间和弱Orlicz空间的定义。

定义2.2 对于Young函数 $\Phi$，集合

$L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)=\left\{f\in L_{\text{loc}}^1\left(\mathbb{G}\right):{\int }_{\mathbb{G}}\Phi \left(k\left|f\left(x\right)\right|\right)\text{d}x<\infty ,k>0\right\}$，

和

$W{L}^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)=\left\{f\in L_{\text{loc}}^1\left(\mathbb{G}\right):\underset{t>0}{\sup }\Phi \left(t\right)m\left(t,kf\right)<\infty ,k>0\right\}$.

被称为Lie群上的Orlicz空间和弱Orlicz空间。对于所有的球 $B\subset \mathbb{G}$，使得 $f{\chi }_B\in L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 成立，则称空间 $L_{\text{loc}}^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 为所有函数f的集合。

Orlicz空间 $L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 是Banach空间，范数为

${\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}=\inf \left\{\lambda >0:{\displaystyle {\int }_{\mathbb{G}}\Phi \left(\frac{\left|f\left(x\right)\right|}{\lambda }\right)\text{d}x}\le 1\right\}$，

${\Vert f\Vert }_{W{L}^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}=\inf \left\{\lambda >0:\underset{t>0}{\sup }\Phi \left(t\right)m\left(\frac{f}{\lambda },t\right)\le 1\right\}$.

如果 $\Phi \left(r\right)=r^p,1\le p<\infty$，则 $L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)=L^p\left(\mathbb{G}\right)$。如果 $\Phi \left(r\right)=0,0\le r\le 1$，且 $\Phi \left(r\right)=\infty ,r>1$，则 $L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)=L^{\infty }\left(\mathbb{G}\right)$。

文中所需要的最主要的例子是 $\Phi \left(t\right)=t\left(1+{\log }^{+}t\right)$，并且由 $\Phi \left(t\right)\approx \mathrm{expt}$ 给出Young函数的补。

定义2.3 [17] 设 $0<\beta <1$，令b属于 ${\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$ 空间，用 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$ 表示，若存在一个常数 $C>0$，对任意的 $x,y\in \mathbb{G}$，有

$\left|b\left(x\right)-b\left(y\right)\right|\le C\rho {\left(x,y\right)}^{\beta }$，

则最小的这个常数C称为b的 ${\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }$ 范数，用 ${\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }}$ 表示。

为了证明定理3.1和定理3.2，需要以下引理。

引理2.1 [18] 设 $\Omega \subset \mathbb{G}$ 是一个可测集合，函数f和g在 $\Omega$ 上可测，对于Young函数 $\Phi$ 及其补函数 $\tilde{\Phi }$，以下不等式成立

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|f\left(x\right)g\left(x\right)\right|\text{d}x}\le 2{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\Omega \right)}{\Vert g\Vert }_{L^{\tilde{\Phi }}\left(\Omega \right)}$.

引理2.2 设 $\Phi$ 是Young函数，D是 $\mathbb{G}$ 中具有有限Haar测度的集合，有

${\Vert {\chi }_D\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}={\Vert {\chi }_D\Vert }_{W{L}^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}=\frac{1}{{\Phi }^{-1}\left({\left|D\right|}^{-1}\right)}$.

证明 已知D是 $\mathbb{G}$ 中具有有限Haar测度的集合，因此有

$\begin{array}{c}{\Vert {\chi }_D\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}=\inf \left\{\lambda >0:{\displaystyle {\int }_D\Phi }\left(\frac{1}{\lambda }\right)\text{d}x\le 1\right\}\\ =\inf \left\{\lambda >0:\frac{1}{\lambda }\le {\Phi }^{-1}\left({\left|D\right|}^{-1}\right)\right\}\\ =\inf \left\{\lambda >0:\lambda \ge \frac{1}{{\Phi }^{-1}\left({\left|D\right|}^{-1}\right)}\right\}\\ =\frac{1}{{\Phi }^{-1}\left({\left|D\right|}^{-1}\right)}\end{array}$，

$\begin{array}{c}{\Vert {\chi }_D\Vert }_{W{L}^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}=\inf \left\{\lambda >0:\underset{t>0}{\sup }\Phi \left(\frac{t}{\lambda }\right)\left|\left\{x\in \mathbb{G}:\left|{\chi }_D\left(x\right)\right|>t\right\}\right|\le 1\right\}\\ =\inf \left\{\lambda >0:\underset{0<t<1}{\sup }\Phi \left(\frac{t}{\lambda }\right)\left|\left\{x\in \mathbb{G}:\left|{\chi }_D\left(x\right)\right|>t\right\}\right|\le 1\right\}\\ =\inf \left\{\lambda >0:\Phi \left(\frac{1}{\lambda }\right)\le {\left|D\right|}^{-1}\right\}\\ =\inf \left\{\lambda >0:\lambda \ge \frac{1}{{\Phi }^{-1}\left({\left|D\right|}^{-1}\right)}\right\}\\ =\frac{1}{{\Phi }^{-1}\left({\left|D\right|}^{-1}\right)}\end{array}$.

由引理2.1，引理2.2和(3)式，可以得到以下估计。

引理2.3 设 $\Phi$ 是Young函数，对任意的球B，有

${\displaystyle {\int }_B\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y}\le 2\left|B\right|{\Phi }^{-1}\left({\left|B\right|}^{-1}\right){\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }(\; B\; )}$

成立。

引理2.4 [19] 设 $\Phi$ 是一个Young函数，

1) 算子M从 $L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 到 $W{L}^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 有界，即

${\Vert Mf\Vert }_{W{L}^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}\le C_0{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}$，

其中常数 $C_0$ 与f无关。

2) 算子M在 $L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 上有界，即存在不依赖于f的常数 $C_0$，使得

${\Vert Mf\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}\le C_0{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }(\; G\; )}$

成立，当且仅当 $\Phi \in {\nabla }_2$。

3. 定理及其证明

定理3.1 令 $0<\beta <1$，且 $b\in L_{\text{loc}}^1\left(\mathbb{G}\right)$，若 $\Phi ,\Psi$ 是Young函数且 $\Phi \in \mathcal{Y}\cap {\nabla }_2$，对所有的 $r>0$，存在不依赖于r的 $C>0$，使得

$r^{\beta }{\Phi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)\le C{\Psi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)$， (4)

则当 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$ 时，有 $M_b$ 从 $L^{\text{}\Phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 到 $L^{\Psi }\left(\mathbb{G}\right)$ 有界。

证明 由 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$，可得

$\begin{array}{c}{M}_{b}f\left(x\right)=\underset{B\ni x}{\sup }{\left|B\right|}^{-1}{\displaystyle {\int }_B\left|b\left(x\right)-b\left(y\right)\right|\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)}\underset{B\ni x}{\sup }{\left|B\right|}^{-1+\frac{\beta }{Q}}{\displaystyle {\int }_B\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y}\\ =C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)}{M}_{\beta }f\left(x\right)\end{array}$.(5)

下面证明 $M_{\beta }$ 从 $L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 到 $L^{\Psi }\left(\mathbb{G}\right)$ 有界。对任意的 $x\in \mathbb{G}$，和所有的 $r>0$，设 $B=B\left(x,r\right)$。令 $f=f_1+f_2$，其中 $f_1\left(y\right)=f\left(y\right){\chi }_{2c_{0}B}\left(y\right),f_2\left(y\right)=f\left(y\right){\chi }_{{}^{\complement }\left(2c_{0}B\right)}\left(y\right),c_0\ge 1$，则有

$M_{\beta }f\left(x\right)\le M_{\beta }{f}_1\left(x\right)+M_{\beta }{f}_2\left(x\right)$.

设y为B中任意一点，若 $B\left(y,t\right){\cap }^{\complement }\left(B\left(x,2c_{0}r\right)\right)\ne \varnothing$，则 $t>r$。事实上，若 $z\in B\left(y,t\right){\cap }^{\complement }\left(B\left(x,2c_{0}r\right)\right)$，则

$t>\rho \left(y^{-1}z\right)\ge \frac{1}{c_0}\rho \left(x^{-1}z\right)-\rho \left(x^{-1}y\right)>2r-r=r$.

另一方面， $B\left(y,t\right){\cap }^{\complement }\left(B\left(x,2c_{0}r\right)\right)\subset B\left(x,2c_{0}t\right)$。实际上，若 $z\in B\left(y,t\right){\cap }^{\complement }\left(B\left(x,2c_{0}r\right)\right)$，则

$\rho \left(x^{-1}z\right)\le c_0\rho \left(y^{-1}z\right)+c_0\rho \left(x^{-1}y\right)<c_{0}t+c_{0}r<2c_{0}t$.

于是，由引理2.3可得

$\begin{array}{c}{M}_{\beta }{f}_2\left(y\right)=\underset{t>0}{\sup }\frac{1}{{\left|B\left(y,t\right)\right|}^{1-\frac{\beta }{Q}}}{\displaystyle {\int }_{B\left(y,t\right)}\left|f\left(z\right){\chi }_{{}^{\complement }\left(2c_{0}B\right)}\left(z\right)\right|\text{d}z}\\ \le C\underset{t>r}{\sup }\frac{1}{{\left|B\left(x,2c_{0}t\right)\right|}^{1-\frac{\beta }{Q}}}{\displaystyle {\int }_{B\left(x,2c_{0}t\right)}\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}\\ =C\underset{t>2c_{0}r}{\sup }\frac{1}{{\left|B\left(x,2c_{0}t\right)\right|}^{1-\frac{\beta }{Q}}}{\displaystyle {\int }_{B\left(x,t\right)}\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}\\ \le C{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}\underset{r<t<\infty }{\sup }{t}^{\beta }{\Phi }^{-1}\left({\left|B\left(x,t\right)\right|}^{-1}\right)\end{array}$. (6)

由Hedberg’s的技巧(见 [20] )和(6)式，可得

$M_{\beta }f\left(y\right)\le C\left(r^{\beta }Mf\left(y\right)+{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}\underset{r<t<\infty }{\sup }{t}^{\beta }{\Phi }^{-1}\left(t^{-Q}\right)\right)$.

因此由(4)式得

$\left|M_{\beta }f\left(x\right)\right|\le C\left(Mf\left(x\right)\frac{{\Psi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)}{{\Phi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)}+{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }}{\Psi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)\right)$.

取 $r>0$，令 ${\Phi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)=\frac{Mf\left(x\right)}{C_0{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}}$，其中 $C_0$ 与引理2.4中一致，则有

$\frac{{\Psi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)}{{\Phi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)}=\frac{\left({\Psi }^{-1}\circ \Phi \right)\left(\frac{Mf\left(x\right)}{C_0{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}}\right)}{\frac{Mf\left(x\right)}{C_0{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}}}$，

可得

$\left|M_{\beta }f\left(x\right)\right|\le C_1{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}\left({\Psi }^{-1}\circ \Phi \right)\left(\frac{Mf\left(x\right)}{C_0{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}}\right)$.

由于 $\Phi \in {\nabla }_2$，根据引理2.4(2)有

${\displaystyle {\int }_B\Psi \left(\frac{\left|M_{\beta }f\left(x\right)\right|}{C_1{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}}\right)\text{d}x}\le {\displaystyle {\int }_B\Phi }\left(\frac{Mf\left(x\right)}{C_0{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}}\right)\text{d}x\le {\int }_{\mathbb{G}}\Phi \left(\frac{Mf\left(x\right)}{{\Vert Mf\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}}\right)\text{d}x\le 1$，

即

${\Vert M_{\beta }f\Vert }_{L^{\Psi }\left(B\right)}\le C{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}$ (7)

在(7)式中取遍B的上确界可得

${\Vert M_{\beta }f\Vert }_{L^{\Psi }\left(\mathbb{G}\right)}\le C{\Vert f\Vert }_{L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)}$. (8)

从而 $M_{\beta }$ 从 $L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 到 $L^{\Psi }\left(\mathbb{G}\right)$ 有界。故结合(5)式和(8)式定理得证。

定理3.2 令 $0<\beta <1$，且 $b\in L_{\text{loc}}^1\left(\mathbb{G}\right)$，若 $\Phi$ 和 $\Psi$ 是Young函数且 $\Phi \in \mathcal{Y}\cap {\nabla }_2$，对所有的 $r>0$，存在不依赖于r的 $C>0$，使得

${\Psi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)\approx r^{\beta }{\Phi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)$，

则当 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$ 且 $b\ge 0$ 时，有 $\left[b,M\right]$ 从 $L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 到 $L^{\Psi }\left(\mathbb{G}\right)$ 有界。

证明 设b是非负局部可积函数，对任意的 $x\in \mathbb{G}$，由 [10] 中定理1.4的证明思想，可得点态估计

$\begin{array}{c}\left|\left[b,M\right]f\left(x\right)\right|=\left|b\left(x\right)Mf\left(x\right)-M\left(bf\right)\left(x\right)\right|\\ =\left|\underset{B\ni x}{\sup }\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{B}b}\left(x\right)\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y-\underset{B\ni x}{\sup }\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{B}b}\left(y\right)\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y\right|\\ \le \underset{B\ni x}{\sup }\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|b\left(x\right)-b\left(y\right)\right|\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y}\\ =M_b\left(f\right)\left(x\right)\end{array}$. (9)

又因为 ${\Psi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)\approx r^{\beta }{\Phi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)$，所以 $r^{\beta }{\Phi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)\le C{\Psi }^{-1}\left(r^{-Q}\right)$，且Young函数 $\Phi$ 和 $\Psi$，又满足 $\Phi \in \mathcal{Y}\cap {\nabla }_2$，则对任意 $f\in L_{\text{loc}}^1\left(\mathbb{G}\right)$，由定理3.1和(9)式可得当 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\beta }\left(\mathbb{G}\right)$ 时， $\left[b,M\right]$ 从 $L^{\Phi }\left(\mathbb{G}\right)$ 到 $L^{\Psi }\left(\mathbb{G}\right)$ 有界。

基金项目

省属高校基本科研业务费备案项目(No. 2019-KYYWF-0909, 1355ZD010, 1354MSYTD006)；

中央财政支持地方高校发展专项资金优秀青年项目(2020YQ07)。