α-Lu^¨ roth展式若干度量性质

Some Metric Properties in α-Lu^¨ roth Expansions

摘要: 对于α-Lüroth展式，在此篇文章我们研究了α-Lüroth展式的一些度量性质，获得了该展式数字“0-1”律，基于该结果，得到了相应的重对数律，进一步完善了该展式的度量性质。作为交错Lüroth展式的推广，该论文的结论包括了交错Lüroth的相应的结果。

Abstract: For the α-Lüroth expansion, some metric properties, such as “0-1” law, iterated logarithm law of the digits are studied in this paper. As the extension of alternating-Lüroth expansion, the conclusions in this paper include those of alternating-Lüroth case.

1. 引言

对单位区间上的划分 $\alpha =\left\{A_n:n\in N\right\}$，定义α-Lüroth映射 $L_{\alpha }\left(x\right):\left[0,1\right]\to \left[0,1\right]$ 为：

$L_{\alpha }\left(x\right):=\{\begin{array}{l}\frac{t_n-x}{a_n},x\in A_n,n\in N\\ 0,x=0\end{array}$。

这里 $a_n=\lambda \left(A_n\right)$ 为的Lebesgue测度， $t_n:={\displaystyle \underset{k=n}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_k}$，并且规定 ${\left\{A_n\right\}}_{n\ge 1}$ 依次从左至右顺序排列的为左开右闭区间。按照该算法，任意的 $x\in \left(0,1\right]$，均可以展成如下形式的α-Lüroth展式：

$x=t_{l_1\left(x\right)}+{\displaystyle \underset{j=2}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(-1\right)}^{j-1}}\left({\displaystyle \underset{1\le i\le j}{\prod }{a}_{l_1\left(x\right)}}\right)t_{l_j\left(x\right)}$，

这里，如果 $L_{\alpha }^{n-1}\left(x\right)\in A_{l_n}$，则 $l_n\left(x\right)=l_n\in N$，并且，如果对某个x满足 $L_{\alpha }^k\left(x\right)=0$，则 ${\left\{l_n\left(x\right)\right\}}_{n\ge 1}$ 为有限序列，除 $x=1$ 外，有限序列的最后一项大于或等于2的整数。为了简便，我们通常用 ${\left[l_1,l_2,\cdots ,l_k\right]}_{\alpha }$ 表示有限α-Lüroth，用 ${\left[l_1,l_2,\cdots ,l_k,\cdots \right]}_{\alpha }$ 表示无穷展式。

对于该展式，一些基本的度量性质，如增长速度，逼近速度和数字频率可以通过Birkhoff’s定理 [1] 得到。Lüroth和交替Lüroth的情形就像连分式一样 [2] - [7]。在本文中，我们考虑α-Lüroth展式“0-1”率和重对数率。

定理1.1 令 $\alpha$ 是指数 $0<\theta \le 1$ 的展式， $\varphi \left(n\right)$ 是定义于 $N$ 上的正值函数，则：

1) 如果 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\text{1}}{\varphi \left(n\right)}}$ 发散，则 $\lambda \left(A\right)=0$,即。

2) 如果 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\text{1}}{\varphi \left(n\right)}}$ 收敛，则 $\lambda \left\{x\in \left(0,1\right]:l_n\left(x\right)>\varphi \left(n\right)i.o.n\right\}=\text{0}$。

对任意的 $x\in \left(0,1\right]$，令

$L_n\left(x\right)=\max \left\{l_1\left(x\right),\cdots ,l_n\left(x\right)\right\}$。

定理1.2 令 $\alpha$ 是指数 $0<\theta \le 1$ 的展式，对几乎处处的 $x\in \left[0,1\right)$，有：

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{\log l_n\left(x\right)-\log n}{\log \log n}=1$，

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{\log L_n\left(x\right)-\log n}{\log \log n}=\text{1}$。

定理1.3 令 $\alpha$ 是指数 $0<\theta \le 1$ 的展式，对几乎处处的 $x\in \left[0,1\right)$，有：

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{\log l_n\left(x\right)-\log n}{\log \log n}=-\infty$，

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{\log L_n\left(x\right)-\log n}{\log \log n}=0$。

在整篇文章中，我们用 $\lambda (\cdot )$ 表示Lebesgue测度， $[\cdot ]$ 表示取整数部分， $|\cdot |$ 表示一个集合的直径。

2. 准备工作

本节主要讨论α-Lüroth展式的一些基本性质。如需了解更多关于α-Lüroth展式的结果，可见参考文献 [1] [8]。

定义2.1 对每一个k阶正整数数组 $l_1,l_2,\cdots ,l_k$，定义α-Lüroth展式第n个柱集为：

$I\left(l_1,l_2,\cdots ,l_k\right):=\left\{x\in \left[0,1\right):l_i\left(x\right)=l_i\text{for}1\le i\le k\right\}$。

定义2.2 令 $\alpha :=\left\{A_n:n\in N\right\}$ 是一个可数的单位分割，则：

1) 若对于 $\rho >1$，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{t_n}{t_{n+1}}=\rho$ ；则 $\alpha$ 是扩张的；

2) 如果分割 $\alpha$ 的尾部满足幂律，，其中 $\psi :N\to R^{+}$ 是一个缓变函数，则 $\alpha$ 是指数 $\theta >0$ 的指数扩张的；

3) 如果n充分大，我们有，则分割 $\alpha$ 最终是递减的。

引理2.1 对任意的 $x\in \left(0,1\right]$，有：

$\lambda \left(I\left(l_1,l_2,\cdots ,l_k\right)\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\prod }}\lambda \left(I\left(l_i\right)\right)}$，

这里 $\lambda (\cdot )$ 表示Lebesgue测度。

引理2.2 令 $\alpha$ 是指数 $\theta >0$ 且递减的扩张分割。对任意的 $\text{0}<\eta <\theta$，存在 $N>0$,使得当满足对于任意的整数 $n>N$，有：

$n^{-\left(1+\theta +\eta \right)}\le a_n\le n^{-\left(1+\theta -\eta \right)}$， (2.1)

和

$n^{-\left(\theta +\eta \right)}\le t_n\le n^{-\left(\theta -\eta \right)}$。 (2.2)

引理2.3 令 $\alpha$ 是满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{t_n}{t_{n+1}}=\rho >1$ 的分割，则

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\log a_n}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{t_n}{t_{n+1}}=-\log \rho$。

为了简单起见，我们可以假设(2.1)和(2.2)对于所有 $n\ge 1$ 有分割 $\alpha$ 从跳跃开始减小，即对于所有 $n\ge 1$ 有 $a_{n+1}\le a_n$。这并不影响本文的研究。

3. 主要结果的证明

3.1. 定理1.2的证明

我们令 $\varphi \left(n\right)=n\log n$，对于任意的k满足 $n_k=n$，这里我们有 $n_k=k^{\left[\frac{2}{\theta }\right]+1}$ 和 $\varphi \left(n\right)=\text{0}$，反之我们有 $\varphi \left(n\right)=\left(\left[\frac{2}{\theta }\right]+1\right)n^{\left[\frac{2}{\theta }\right]+1}\log n$。我们令

$a_n=\{\begin{array}{l}{n}_k\log n_{k}k\in N,n=n_k\\ 0n\ne n_k\end{array}$。

注意到 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{\varphi {\left(n\right)}^{\theta }}}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{\varphi {\left(n_k\right)}^{\theta }}}$，我们研究右上级数的收敛性。

根据Rabbe判别法，我们可以有 ${\displaystyle \underset{n=2}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{2^{\theta }{n}^2{\left(\log n\right)}^{\theta }}}<+\infty$。

通过定理1.1，我们可以推断出如下的结论，

$\lambda \left\{x\in \left(0,1\right]:l_n\left(x\right)\le a_{n}i.o.n\right\}=1$。

则，我们可以有

$\frac{\log l_n-\log n}{\log \log n}\le \frac{\log a_n-\log n}{\log \log n}$，

考虑到右端序列满足以 $n=n_k$ 为子序列。

可以推断 $\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{\log a_n-\log n}{\log \log n}=1$，因此，我们推断出以下结果：

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{\log l_n-\log n}{\log \log n}\le 1$。

然后，我们令 $\varphi \left(n\right)=n{\left(\log n\right)}^{1+\epsilon }$，和前面的一样我对门得到关于 $\theta \in \left(0,1\right]$ 的结论。

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{\log l_n-\log n}{\log \log n}=1$。

因此，我们有

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{\log L_n-\log n}{\log \log n}=1$。

3.2. 定理1.3的证明

为了证明序列 $l_n$ 的下限，我们首先得到同样的结论，

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{\log l_n-\log n}{\log \log n}\le -\infty$。

当 $\theta \in \left(1,+\infty \right)$ 时，证明过程是相同的。然后，我们给出 $L_n$ 的“0-1”比率。

我们回想起在条件下定义的集合 $A_{\gamma }$，我们定义序列

$b_n=\{\begin{array}{l}{n}_k{\left(\log n_k\right)}^{\gamma }k\in N,n=n_k\\ 0n\ne n_k\end{array}$。

对于任意的 $\gamma >0$，取 $n_k=k^{\left[\frac{2}{\theta }\right]}$，我们定义 $p\left(n\right)=n-\#\left\{k:k^{\left[\frac{2}{\theta }\right]}\le n\right\}$，回忆等式，我们有

${\left(1-\frac{1}{{\left(n{\left(\log n\right)}^{\gamma }\right)}^{\left(\theta -\epsilon \right)}}\right)}^n\le \lambda \left(A_{\gamma }\right)\le {\left(1-\frac{1}{{\left(n{\left(\log n\right)}^{\gamma }\right)}^{\left(\theta +\epsilon \right)}}\right)}^n$。

因此，根Fatou引理，我们推断，

$\begin{array}{l}\lambda \left\{{\displaystyle \underset{m\ge 1}{\cap }{\displaystyle \underset{n\ge m}{\cup }x\in \left[0,1\right):L_n\left(x\right)\le n{\left(\log n\right)}^{\gamma }}}\right\}\\ \ge \underset{n\to \infty }{\lim \sup }\lambda \left\{x\in \left[0,1\right):L_n\left(x\right)\le n{\left(\log n\right)}^{\gamma }\right\}\\ \ge \underset{n\to \infty }{\lim \sup }{\left(1-\frac{1}{{\left(n{\left(\log n\right)}^{\gamma }\right)}^{\left(\theta -\epsilon \right)}}\right)}^n\end{array}$。

这里，我们取 $b_n$ 为 ${\left\{n{\left(\log n\right)}^{\gamma }\right\}}_{n\ge 1}$ 的子序列。因此，我们用下面的方法计算上限，

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }{\left(1-\frac{1}{{\left(n{\left(\log n\right)}^{\gamma }\right)}^{\left(\theta -\epsilon \right)}}\right)}^n\ge \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{{\left(n^{\left[\frac{\text{2}}{\theta }\right]}{\left(\left[\frac{\text{2}}{\theta }\right]\log n\right)}^{\gamma }\right)}^{\left(\theta -\epsilon \right)}}\right)}^n\ge \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{{\left(n^{\frac{\text{2}}{\theta }}{\left(\frac{\text{2}}{\theta }\log n\right)}^{\gamma }\right)}^{\left(\theta -\epsilon \right)}}\right)}^{n-p\left(n\right)}=1$。

因此，我们有

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{\log L_n-\log n}{\log \log n}\le \gamma$。

对于任意的 $\gamma >0$，我们有

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{\log L_n-\log n}{\log \log n}\le 0$。

为了计算极限，我们假设 $\tau >0$。我们定义

$\overline{A_{\frac{\tau }{\theta }}}=\left\{x\in \left[0,1\right):L_n\left(x\right)\le n^{{}_{\frac{1}{\theta }}}{\left(\log n\right)}^{-\frac{\tau }{\theta }},L_{n+1}\left(x\right)\le {\left(n+1\right)}^{{}^{{}_{\frac{1}{\theta }}}}{\left(\log \left(n+1\right)\right)}^{-\frac{\tau }{\theta }}\right\}$。

因此，我们有

$\begin{array}{c}\lambda \left(\overline{A_{\frac{\tau }{\theta }}}\right)=\lambda \left\{x\in \left[0,1\right):L_n\left(x\right)\le n^{{}_{\frac{1}{\theta }}}{\left(\log n\right)}^{-\frac{\tau }{\theta }},L_{n+1}\left(x\right)\le {\left(n+1\right)}^{{}^{{}_{\frac{1}{\theta }}}}{\left(\log \left(n+1\right)\right)}^{-\frac{\tau }{\theta }}\right\}\\ \le {\left(1-\frac{1}{{\left(n^{\frac{\theta +\epsilon }{\theta }}{\left(\log n\right)}^{\gamma }\right)}^{-\frac{\tau \left(\theta +\epsilon \right)}{\theta }}}\right)}^n\frac{1}{{\left(n+1\right)}^{\frac{\theta -\epsilon }{\theta }}{\left(\log \left(n+1\right)\right)}^{-\frac{\tau \left(\theta +\epsilon \right)}{\theta }}}\\ \le {\text{e}}^{-\frac{1}{{\left(\log n\right)}^{-\tau }}}\cdot \frac{{\left(\log n\right)}^{\tau }}{n}\\ \le {\text{e}}^{-\frac{1}{{\left(\log n\right)}^{\tau }}}\cdot n^{\tau -1}\\ \le {\text{e}}^{-\frac{1}{n^{\tau }}}\cdot n^{\tau -1}\end{array}$。

注意到这一点，

${\text{e}}^{-\frac{1}{n^{\tau }}}\cdot n^{\tau -1}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(-1\right)}^k\frac{1}{k!n^{k\tau }}}\cdot n^{\tau -1}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(-1\right)}^k\frac{1}{k!n^{\left(k-1\right)\tau +1}}}$，

我们取满足 $\left(k_0-1\right)\tau +1>1$ 和 ${\text{e}}^{-\frac{1}{n^{\tau }}}\cdot n^{\tau -1}<\frac{1}{k_0!n^{k_0\tau }}$ 的 $k_0>1$，其中 $k_0\in N$。

因此，

${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\lambda \left(\overline{A_{\frac{\tau }{\theta }}}\right)}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{k_0!n^{\left(k_0-1\right)\tau }}}\le +\infty$。

根据定理1.1，我们有

$\lambda \left\{L_n\left(x\right)\le n^{\frac{1}{\theta }}{\left(\log n\right)}^{-\frac{\tau }{\theta }}i.o.n\right\}=0$。

我们得到了

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{\log L_n-\log n}{\log \log n}\ge -\frac{\tau }{\theta }$。

对于任意的 $\tau >0$ 和 $\theta \in \left(\text{0,1}\right]$，我们有

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{\log L_n-\log n}{\log \log n}\ge -\text{0}$。

当时 $\theta =1$，这就是交替Lüroth展式的情形。

基金项目

这项工作得到了湖南农业大学大学生创新性实验计划项目(编号SCX1802)的支持。