1. 引言
对单位区间上的划分
,定义α-Lüroth映射
为:
。
这里
为的Lebesgue测度,
,并且规定
依次从左至右顺序排列的为左开右闭区间。按照该算法,任意的
,均可以展成如下形式的α-Lüroth展式:
,
这里,如果
,则
,并且,如果对某个x满足
,则
为有限序列,除
外,有限序列的最后一项大于或等于2的整数。为了简便,我们通常用
表示有限α-Lüroth,用
表示无穷展式。
对于该展式,一些基本的度量性质,如增长速度,逼近速度和数字频率可以通过Birkhoff’s定理 [1] 得到。Lüroth和交替Lüroth的情形就像连分式一样 [2] - [7]。在本文中,我们考虑α-Lüroth展式“0-1”率和重对数率。
定理1.1 令
是指数
的展式,
是定义于
上的正值函数,则:
1) 如果
发散,则
,即。
2) 如果
收敛,则
。
对任意的
,令
。
定理1.2 令
是指数
的展式,对几乎处处的
,有:
,
。
定理1.3 令
是指数
的展式,对几乎处处的
,有:
,
。
在整篇文章中,我们用
表示Lebesgue测度,
表示取整数部分,
表示一个集合的直径。
2. 准备工作
本节主要讨论α-Lüroth展式的一些基本性质。如需了解更多关于α-Lüroth展式的结果,可见参考文献 [1] [8]。
定义2.1 对每一个k阶正整数数组
,定义α-Lüroth展式第n个柱集为:
。
定义2.2 令
是一个可数的单位分割,则:
1) 若对于
,有
;则
是扩张的;
2) 如果分割
的尾部满足幂律,,其中
是一个缓变函数,则
是指数
的指数扩张的;
3) 如果n充分大,我们有,则分割
最终是递减的。
引理2.1 对任意的
,有:
,
这里
表示Lebesgue测度。
引理2.2 令
是指数
且递减的扩张分割。对任意的
,存在
,使得当满足对于任意的整数
,有:
, (2.1)
和
。 (2.2)
引理2.3 令
是满足
的分割,则
。
为了简单起见,我们可以假设(2.1)和(2.2)对于所有
有分割
从跳跃开始减小,即对于所有
有
。这并不影响本文的研究。
3. 主要结果的证明
3.1. 定理1.2的证明
我们令
,对于任意的k满足
,这里我们有
和
,反之我们有
。我们令
。
注意到
,我们研究右上级数的收敛性。
根据Rabbe判别法,我们可以有
。
通过定理1.1,我们可以推断出如下的结论,
。
则,我们可以有
,
考虑到右端序列满足以
为子序列。
可以推断
,因此,我们推断出以下结果:
。
然后,我们令
,和前面的一样我对门得到关于
的结论。
。
因此,我们有
。
3.2. 定理1.3的证明
为了证明序列
的下限,我们首先得到同样的结论,
。
当
时,证明过程是相同的。然后,我们给出
的“0-1”比率。
我们回想起在条件下定义的集合
,我们定义序列
。
对于任意的
,取
,我们定义
,回忆等式,我们有
。
因此,根Fatou引理,我们推断,
。
这里,我们取
为
的子序列。因此,我们用下面的方法计算上限,
。
因此,我们有
。
对于任意的
,我们有
。
为了计算极限,我们假设
。我们定义
。
因此,我们有
。
注意到这一点,
,
我们取满足
和
的
,其中
。
因此,
。
根据定理1.1,我们有
。
我们得到了
。
对于任意的
和
,我们有
。
当时
,这就是交替Lüroth展式的情形。
基金项目
这项工作得到了湖南农业大学大学生创新性实验计划项目(编号SCX1802)的支持。