关于给定序列的分布性质

On the Nature of Distribution of the Given Sequence

摘要: 本文主要研究了形如序列qny的分布，令y为一个固定的实数，{qn}n=1∞是一个正的整数序列，常数α<1，定义集合Wy,α如下所示：Wy,α={γ∈[0,1):‖qny−γ‖<1nα对无穷多个  n∈ℕ  成立}.序列{qn}为指数序列且取qk=ak=3k，则对μ-几乎任意一个y，有λ(Wy,α)>0成立。

Abstract: The main idea of this paper is to study the distribution of the sequence with the formqny, let y be a fixed real number,{qn}n=1∞be a positive integers sequence, constantα<1, and define the setWy,αas follows:Wy,α={γ∈[0,1):‖qny−γ‖<1nα for infinitely many n∈ℕ}.Here, sequence{qn}is an exponential sequence andqk=ak=3k. Then, forμ-almost every y, we obtain thatλ(Wy,α)>0.

1. 引言

令y为一个固定的实数，${\left\{q_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 是一个正的整数序列，$\Vert \cdot \Vert$ 表示离最近整数的距离。定义集合如下所示：

$W_{y,\alpha }=\left\{\gamma \in \left[0,1\right):\Vert q_{n}y-\gamma \Vert <\frac{1}{n^{\alpha }}对无穷多个n\in \mathbb{N}成立\right\}.$ (1)

当$\alpha >1$ 时，根据Borel-Cantelli引理，显然有以上集合是一个Lebesgue零测集。

以上问题来自著名的Littlewood猜想[1]。丢番图逼近中的Littlewood猜想涉及的研究内容是具有相同分母的有理数同时逼近两个实数。非齐次Littlewood猜想阐述了以下问题，即：对于给定的实数对$\left(\alpha ,\beta \right)$ ，有：

$\underset{q\to \infty }{\lim \inf }q\cdot \Vert q\alpha \Vert \cdot \Vert q\beta \Vert =0.$ (2)

对于以上集合$W_{y,\alpha }$ ，Haynes等在文章[2]中得出了以下结论：若序列${\left\{q_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 以指数级增长但不是超指数级增长，且$\alpha <1/2$ ，考虑任意一个具有足够好的Fourier变换的测度，对于几乎每一个y，集合$W_{y,\alpha }$ 等于单位区间$\left[0,1\right)$ 。此外，对任意$x\in Bad$ ，集合Bad定义如下：

$Bad=\left\{x\in \left[0,1\right):\underset{q\to \infty }{\lim \inf }q\Vert qx\Vert =0\right\},$

存在一个具有最大Hausdorff维数的集合$G\subseteq Bad$ ，使得对任意$y\in G$ 以及任意$\gamma$ ，有：

$q\Vert qx\Vert \Vert qy-\gamma \Vert <\frac{1}{{\left(\log q\right)}^{1/2-\epsilon }}.$ (3)

事实上，(3)式中的上界在[3]中被Chow和Zafeiropoulos改进到${\left(\log \log \log q\right)}^{\epsilon +1/2}/{\left(\log q\right)}^{1/2}$ 。注意到该上界的分母中的对数的指数幂是1/2，这表明了当$\alpha >1/2$ 时，关于集合$W_{y,\alpha }$ 的性质的研究会更复杂，Pollington等在[4]中的研究也证明了这一点。

Kristensen和Persson在文章[5]中研究了在$1/2<\alpha <1$ 的情况下，关于集合$W_{y,\alpha }$ 的性质。他们得出了一个结论，即：考虑序列$\left\{q_n\right\}$ ，对具有正Fourier维数的测度$\mu$ ，对几乎任意一个y，集合$W_{y,\alpha }$ 具有正的Lebesgue测度。若此时加上条件$\mu$ 是Lebesgue测度，则可以将序列$\left\{q_n\right\}$ 的增长速度放宽至比线性增长快一点，同时得到集合$W_{y,\alpha }$ 的Lebesgue测度等于1。此外，若序列$\left\{q_n\right\}$ 是缺项序列，Chow和Technau在[6]中证明了对$\mu$ -几乎任意一个y，集合$W_{y,\alpha }$ 等于单位区间$\left[0,1\right)$ 。

Kristensen和Persson在[5]中指出以上结果可能不是最优的，因此，本文研究并改进了此结果，考虑了给定序列的分布性质。我们用$\lambda$ 表示$\left[0,1\right)$ 区间上的Lebesgue测度，$\mu$ 表示$\left[0,1\right)$ 区间上的Borel概率测度，且定义测度$\mu$ 的Fourier维数为：

${\dim }_F\left(\mu \right)=\sup \left\{A>2:\left|\widehat{\mu }\left(\xi \right)\right|=O\left({\left(\log \left|\xi \right|\right)}^{-A}\right)\right\}.$ (4)

令$\widehat{\mu }$ 表示该测度的Fourie变换，定义如下：

$\widehat{\mu }\left(\xi \right)={\displaystyle \int {\text{e}}^{2\pi ix\xi }\text{d}\mu \left(x\right).}$(5)

类比[5]中的定理1，本文的研究内容是在给定测度$\mu$ 的Fourier维数如(4)的情况下，考虑集合$W_{y,\alpha }$ 的Lebesgue测度。同时，本文考虑序列$\left\{q_n\right\}$ 为指数序列，即：$a^k\left(a>1\right)$ ，特别地，为了方便计算，本文直接代入具体的序列$a_k=3^k$ 进行计算。

研究形如序列$q_{n}y$ 的小数部分的轨道分布引起了许多学者的关注。例如，如果序列$q_{n}y$ 包含按递增顺序排列的形如$2^i{3}^j$ 的所有数字，Furstenberg [7]证明了其轨道要么是有限的，要么是稠密的。此外，他还猜测若其轨道是稠密的，则此时轨道也是均匀分布的。而在Rudnick和Sarnak在文章[8]中研究了关于$n=1$ 时的序列。在这之后，形如这类序列的分布同样也引起了相当大的关注。

Littlewood猜想至今仍未被解决，但是近几十年，许多数学家也取得了重要的研究进展。在度量数论中，连分数发挥着巨大作用。不过，到现在为止，单单依靠连分数工具中的渐进分式去解决Littlewood猜想及其相关引申问题几乎不太可能。

因此，介于Littlewood猜想以及其衍生问题的不断提出，相应的解决问题的新方法以及看待问题的新角度也在不断引入，尤其是对测度、维数等方面的性质的研究愈发深入。故而本文研究了由Littlewood猜想引申而来的关于序列$q_{n}y$ 的分布性质，通过综合运用现代数学理论和严谨的推理证明，对该类问题进行了系统的探究，并得到了一个具有创新性的理论研究结果。

2. 主要定理及其证明

2.1. 主要定理

定理1：若$\mu$ 表示$\left[0,1\right)$ 区间上具有正的傅里叶维数的测度，且$\mu$ 满足条件：

$\left|\widehat{\mu }\left(\xi \right)\right|=O\left({\left(\log \left|\xi \right|\right)}^{-A}\right),$ (6)

其中，常数$A\ge 2$ ，序列$\left\{q_n\right\}$ 为指数序列且$a^k=3^k$ ，定义集合

$W_{y,\alpha }=\left\{\gamma \in \left[0,1\right):\Vert q_{n}y-\gamma \Vert <\frac{1}{n^{\alpha }}对无穷多个n\in \mathbb{N}成立\right\}.$ (7)

其中，$\alpha <1$ ，则对$\mu$ -几乎任意一个y，有$\lambda \left(W_{y,\alpha }\right)>0$ 成立。

要研究集合$W_{y,\alpha }$ 的Lebesgue测度，只需考虑以$q_{k}y$ 为球心，$k^{-\alpha }$ 为半径的球集在单位区间上的分布情况，从而得到关于集合$W_{y,\alpha }$ 的测度的一个结论，也就是研究了关于形如序列$q_{n}y$ 的分布性质。

引理1：(Chung-Erdös不等式[9])令$A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 为一列事件，关于至少有一个事件发生的概率下界，存在以下不等式成立：

$\mathbb{P}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{A}_i}\right)\ge \frac{{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n\mathbb{P}\left(A_i\right)}\right)}^2}{{\displaystyle \sum _{1\le i,j\le n}\mathbb{P}\left(A_i\cap A_j\right)}}.$

2.2. 定理1的证明过程

首先，为了表示集合$W_{y,\alpha }$ 中的元素$\gamma$ ，即表示离序列$q_{k}y$ 的距离为$k^{-\alpha }$ 的点集，故我们只需定义球形集合$A_k$ ，

$A_k=A_k\left(y\right)=\left\{\gamma \in \left[0,1\right):\Vert q_{k}y-\gamma \Vert <k^{-\alpha }\right\}=B\left(q_{k}y,k^{-\alpha }\right).$

也就是说，集合$A_k$ 表示以$q_{k}y$ 为球心，$k^{-\alpha }$ 为半径的球集，显然该集合的Lebesgue测度为$2k^{-\alpha }$ ，即：

$\lambda \left(A_k\right)=2k^{-\alpha }.$

为了研究球形集合$A_k$ 的上极限集合的测度大小，此时需要考虑集合$A_k$ 在单位区间上的重合程度，故我们假设整数$m<n$ ，定义序列

$S_{m,n}={\displaystyle \sum _{k=m}^n\lambda }\left(A_k\right),C_{m,n}={\displaystyle \sum _{m\le k,l\le n}\lambda }\left(A_k\cap A_l\right).$

也就是说，$C_{m,n}={\displaystyle \sum _{m\le k,l\le n}\lambda \left(A_k\cap A_l\right)}$ 表示集合$A_m$ 到$A_n$ 中任意两个集合的交集的Lebesgue测度之和，而$S_{m,n}={\displaystyle \sum _{k=m}^n\lambda \left(A_k\right)}$ 表示其对角线元素的Lebesgue测度之和，显然有$S_{m,n}\le C_{m,n}$ 。

为了得到集合$A_k$ 的上极限集合的勒贝格测度大小，我们可以类比文章[5]中的研究方法。对于$p\ge 1$ ，考虑集合${\Delta }_{m,n}\left(p\right)$ 和它的补集：

$\begin{array}{l}{\Delta }_{m,n}\left(p\right)=\left\{y:C_{m,n}\left(y\right)>p{\displaystyle \int C_{m,n}\left(y\right)\text{d}\mu \left(y\right)}\right\},\\ {\mathcal{C}}_{{\Delta }_{m,n}}\left(p\right)=\left\{y:C_{m,n}\left(y\right)\le p{\displaystyle \int C_{m,n}\left(y\right)\text{d}\mu \left(y\right)}\right\}.\end{array}$

显然有$\mu \left({\Delta }_{m,n}\left(p\right)\right)\le p^{-1}$ ，$\mu \left({\Delta }_{m,n}\left(p\right)\right)>1-p^{-1}$ 。固定$p>1$ ，取一个急剧增长的序列$n_j$ 使得$n_{j+1}/n_j\to \infty$ 成立，令$G\left(p\right)=\lim \sup {\mathcal{C}}_{{\Delta }_{n_j,n_{j+1}}}\left(p\right)$ ，则有$\mu \left(G\left(p\right)\right)>1-p^{-1}$ 成立。任取一个$y\in G\left(p\right)$ ，由上极限集合的定义可知有无穷多个j满足：

$C_{n_j,n_{j+1}}\left(y\right)\le p{\displaystyle \int C_{m,n}\left(y\right)\text{d}\mu }\left(y\right).$ (8)

对于这样的整数j，由Chung-Erdös不等式可以得出：

$\lambda \left({\displaystyle \underset{k=n_j}{\overset{n_{j+1}}{\cup }}{A}_k\left(y\right)}\right)\ge \frac{S_{n_j,n_{j+1}}^2}{C_{n_j,n_{j+1}}}\ge \frac{S_j^2}{p{C}_j}.$ (9)

其中，$S_j=S_{n_j,n_{j+1}}$ ，$C_j={\displaystyle \int C_{n_j,n_{j+1}}\left(y\right)\text{d}\mu \left(y\right)}$ 。且$S_j$ 和$C_j$ 满足：

$\{\begin{array}{l}{S}_j={\displaystyle \sum _{k=n_j}^{n_{j+1}}2k^{-\alpha }}\ge 2{\displaystyle {\int }_{n_j}^{n_{j+1}}{x}^{-\alpha }\text{d}x}={\frac{2}{1-\alpha }{x}^{1-\alpha }|}_{n_j}^{n_{j+1}}=\frac{2\left(n_{j+1}^{1-\alpha }-n_j^{1-\alpha }\right)}{1-\alpha },\\ C_j={\displaystyle \int \left(S_j+2{\displaystyle \sum _{l=n_j}^{n_{j+1}}{\displaystyle \sum _{k=n_j}^{l-1}\lambda \left(A_k\cap A_l\right)}}\right)\text{d}\mu \left(y\right).}\end{array}$ (10)

因此，以上我们得到了关于集合$A_k$ 的上极限集合的一个下界。当$k<l$ 时，由于当$\left(q_k-q_l\right)y\notin B\left(0,2k^{-\alpha }\right)$ 时，有$A_k\cap A_l=\varnothing$ ，当$\left(q_k-q_l\right)y\in B\left(0,2k^{-\alpha }\right)$ 时，有$A_k\cap A_l\subset A_l$ ，即$\lambda \left(A_k\cap A_L\right)\le 2l^{-\alpha }$ ，所以我们可以得到：

$\lambda \left(A_k\cap A_L\right)=2l^{-\alpha }{1}_{B\left(0,2k^{-\alpha }\right)}\left(\left(q_k-q_l\right)y\right),$

其中，$1_{B\left(0,2k^{-\alpha }\right)}\left(y\right)$ 表示球集$B\left(0,2k^{-\alpha }\right)$ 上的示性函数，其Fourier级数表示为：

$1_{B\left(0,2k^{-\alpha }\right)}\left(y\right)={\displaystyle \sum _{j\in \mathbb{Z}}{a}_j{\text{e}}^{i2\pi jy}}.$

同时，根据$\widehat{\mu }\left(\xi \right)={\displaystyle \int {\text{e}}^{2\pi ix\xi }\text{d}\mu \left(x\right)}$，以及$\left|\widehat{\mu }\left(\xi \right)\right|=O\left({\left(\log \left|\xi \right|\right)}^{-A}\right)$ ，假设$a_0=4k^{-\alpha }$ ，且当$j\ne 0$ 时，$\left|a_j\right|\le 1/\left|j\right|$ ，序列$q_k=3^k$ 。从而我们有以下不等式成立：

$\begin{array}{c}{\displaystyle \int \lambda \left(A_k\cap A_L\right)\text{d}\mu }\le 2l^{-\alpha }{\displaystyle \int 1_{B\left(0,2k^{-\alpha }\right)}\left(\left(q_k-q_l\right)y\right)\text{d}\mu }\\ =2l^{-\alpha }{\displaystyle \int {\displaystyle \sum _j{a}_j{\text{e}}^{i2\pi j\left(q_k-q_l\right)y}}\text{d}\mu }\\ =2l^{-\alpha }\left(a_0+{\displaystyle \sum _{j\ne 0}{a}_j\widehat{\mu }j\left(q_k-q_l\right)}\right)\\ \le 2l^{-\alpha }\left(4k^{-\alpha }+{\displaystyle \sum _{j\ne 0}{\left|j\right|}^{-1}\log {\left(j\left(q_k-q_l\right)\right)}^{-A}}\right)\\ \le c{l}^{-\alpha }\left(k^{-\alpha }+{\displaystyle \sum _{j\ne 0}\frac{1}{j{\left(\log j+\log 3^k+1/2\log 3^{l-k}\right)}^{-A}}}\right).\end{array}$(11)

其中，$c>0$ 是一个常数。由(10)以及(11)，对于$S_j$ 和$C_j$ 有：

$S_j={\displaystyle \sum _{k=n_j}^{n_{j+1}}2k^{-\alpha }}\ge 2{\displaystyle {\int }_{n_j}^{n_{j+1}}{x}^{-\alpha }\text{d}x}={\frac{2}{1-\alpha }{x}^{1-\alpha }|}_{n_j}^{n_{j+1}}=\frac{2\left(n_{j+1}^{1-\alpha }-n_j^{1-\alpha }\right)}{1-\alpha }.$ (12)

$\begin{array}{c}{C}_j\le S_j+2{\displaystyle \sum _{l=n_j+1}^{n_{j+1}}{\displaystyle \sum _{k=n_j}^{l-1}\lambda \left(A_k\cap A_L\right)}}\\ \le S_j+c{\displaystyle \sum _{l=n_j+1}^{n_{j+1}}{\displaystyle \sum _{k=n_j}^{l-1}\left(l^{-\alpha }\left(k^{-\alpha }+{\displaystyle \sum _{j\ne 0}\frac{1}{j{\left(\log j+\log 3^k+1/2\log 3^{l-k}\right)}^A}}\right)\right)}}\\ =S_j+c{\displaystyle \sum _{l=n_j+1}^{n_{j+1}}{\displaystyle \sum _{k=n_j}^{l-1}\left(l^{-\alpha }\left(k^{-\alpha }+{\displaystyle \sum _{j\ne 0}\frac{1}{j{\left(\log j+\frac{l+k}{2}\log 3\right)}^A}}\right)\right)}}\\ \le S_j+c{\displaystyle \sum _{l=n_j+1}^{n_{j+1}}{\displaystyle \sum _{k=n_j}^{l-1}{l}^{-\alpha }{k}^{-\alpha }}}+c{\displaystyle \sum _{j\ne 0}{j}^{-1}{\displaystyle \sum _{l=n_j+1}^{n_{j+1}}{l}^{-\alpha }{\displaystyle \sum _{k=n_j}^{l-1}\frac{1}{{\left(\log j+k\log 3\right)}^A}}}}\\ \le S_j+\frac{c}{{\left(1-\alpha \right)}^2}{\left(n_{j+1}+1\right)}^{2-2\alpha }+c{\displaystyle \sum _{j\ne 0}\frac{j^{-1}}{{\left(\log j\right)}^{A-1}}{\displaystyle \sum _{l=n_j+1}^{n_{j+1}}{l}^{-\alpha }}}\\ <{<}_j+\frac{c}{{\left(1-\alpha \right)}^2}{\left(n_{j+1}+1\right)}^{2-2\alpha }+\frac{c}{1-\alpha }{\left(n_{j+1}+1\right)}^{1-\alpha }.\end{array}$ (13)

最后，结合不等式(9)、(12)以及(13)的结果，所以，我们可以得到以下结论：

$\{\begin{array}{l}\underset{j\to \infty }{\lim }\frac{S_j^2}{C_j}=\frac{c}{1-\alpha }\\ \lambda \left({\displaystyle \underset{k=n_j}{\overset{n_{j+1}}{\cup }}{A}_k\left(y\right)}\right)\ge \frac{S_j^2}{p{C}_j}=\frac{c}{p\left(1-\alpha \right)}.\end{array}$ (14)

也就是说，对任意$y\in {\displaystyle \underset{p>1}{\cup }G\left(p\right)}$ 和$\mu \left({\displaystyle \underset{p>1}{\cup }G\left(p\right)}\right)=1$ ，我们有$\lambda \left(W_{y,\alpha }\right)>0$ 成立。

定理证毕。

3. 总结与展望

对于文章[5]中的定理1，文中提供了一个猜想，即定理1这个结论可以从正Fourier维数的测度推广至完整的测度上。此外，文中进一步考虑了一类特殊情况，即$\mu =\lambda$ 的情况，应用Fubini定理以及文章[8]中的一个引理，证明了在这种情况下，集合$W_{y,\alpha }$ 是满的Lebesgue测度。然而，这个方法并不能直接用于验证文章[5]中的这个猜想，这就是接下来关于给定序列的分布性质的研究难点之一。