基于熵权–云的数学建模竞赛创新人才评价体系研究

Research on Evaluation System of Innovative Talents in Mathematical Contest in Modeling Based on Entropy Weight and Cloud

摘要: 为正确评价数学建模竞赛对大学生创新能力的影响，构建了一种新的创新能力评价指标体系，包含5个一级指标和21个二级指标，在此基础上运用熵权法对指标进行客观赋权，结合云模型和模糊综合评价理论，提出了基于熵权–云的数学建模竞赛创新人才评价体系。以南京邮电大学数学建模竞赛情况为例，对同一批次未参与和参与数学建模竞赛并获得不同成绩的学生进行能力评价，结果表明：数学建模竞赛对于大学生的创新能力的提升有积极促进作用，同时获得奖项的学生尤其是获得国家级奖的大学生创新能力提高最为明显。

Abstract: In order to correctly evaluate the impact of mathematical contest in modeling on college students’ innovation ability, an evaluation index system of innovation ability is constructed, which includes 5 first-level indicators and 21 second-level indicators. On this basis, entropy weight method is used to objectively weight the indicators. Combining cloud model and fuzzy comprehensive evaluation theory, an evaluation system of innovative talents in mathematical contest in modeling based on entropy weight and cloud is proposed. Taking the mathematical contest in modeling of Nanjing University of Posts and Telecommunications as an example, the ability of the same batch of students who did not participate in the mathematical contest in modeling and obtained different results is evaluated. The results show that the mathematical contest in modeling has a positive effect on the improvement of college students’ innovation ability, and the students who won awards, especially those who won national awards, have the most obvious improvement in innovation ability.

1. 引言

数学建模竞赛是培养创新人才的有效方法之一，也是国家培养创新人才的重点。在参加竞赛期间，学生可以通过不断地尝试，将自身所学运用到实际问题当中，从而增加实践经验，并提高自身创新能力。据统计，2023年全国大学生数学建模竞赛本科组参赛454,158队，较去年增长了9.5%，参赛人数超过15万人。总体参赛队伍增长了9.8%，显示出大学生对于数学建模竞赛的重视程度。本文专注于研究数学建模竞赛对大学生创新能力的影响，旨在客观、科学地评估和分析学生参加数学建模竞赛后创新能力提升效果，为教育教学提供有益的参考和借鉴，全面推动创新人才培养[1]-[5]。

如今的数学建模培养研究，多注重创新人才体系与模式的构建，缺少正确衡量学生创新能力的评价体系的研究。但不可否认的是，以往学者提出的各种评价指标和方法[6]，为本文评级体系的构建提供了便利。例如，朱英[7]提出的大学生创新创业能力评价指标体系，为创新能力的评价框架提供了指导作用。其次，邓成超[8]的研究主要集中在大学生创新素质的量化评价上，他运用量化方法对学生的创新潜力、创新意识等进行了深入研究，提供了一种量化评价的思路。此外，曹颖颐[9]侧重于大学生创新能力指标体系[10] [11]的构建，从不同角度对大学生创新能力进行了系统性地分析和构建，提供了更多的思路和方法。

基于上述研究成果，本文通过研究创新人才培养，结合前人的研究成果，更为全面地总结了评价大学生创新能力所需的指标体系，并在此基础上，参考了文献[12] [13]相关研究，利用云模型[14]-[16]和模糊评价方法[17]-[19]，提出了基于云模型和熵权法的大学生创新能力评价体系，该体系兼顾了创新思维、创新实践以及创新精神等多个方面，具有很好的可操作性和指导意义。总的来说，本文对大学生创新能力的评价指标体系以及评价方法进行了深入探讨和构建，所建立的基于熵权–云的学生创新能力评价体系，可以更客观全面地展现大学生的创新能力水平，具备一定的创新性和实用性，可以为相关领域的研究提供一定的理论和实践指导。此外，本文还结合南京邮电大学的数学建模竞赛情况，用以证实本文所提出的创新人才评价体系的实际使用效果。最终所得到的不同分类下学生创新能力的评分，直观地展现了数学建模竞赛对学生创新能力的提升起到的积极促进作用。希望本文的研究成果能够为大学生创新能力的评价和培养提供一定的参考和借鉴。

2. 基于熵权–云模型的评价体系

2.1. 学生创新能力指标体系的构建

为全面评估学生创新能力，建立了如图1所示的创新能力指标体系，包含5个一级指标和21个二级指标。

Figure 1. Innovation capability index system

图1. 创新能力指标体系

2.2. 熵权法确认指标权重

本文采用熵权法[20] [21]确定各指标对应权重，对于n个待确定权重的评价指标，每个指标包含m个能力评估分数，根据熵概念，定义第j个评价指标的熵值为：

$h_j=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^m{f}_{ij}\ln f_{ij}}{\ln m}$ (1)

$f_{ij}=\frac{z_{ij}}{{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^m{z}_{ij}}$ (2)

其中$z_{ij}$ 表示第j个评价指标的第i个能力评估分数。

做如下变换以消除$z_{ij}=0$ 时出现错误的可能：

$f_{ij}=\frac{z_{ij}+0.01}{{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^m\left(z_{ij}+0.01\right)}$ (3)

第j个评价指标的差异系数可用熵值表示为：

$g_j=1-h_j$ (4)

结合差异系数计算最终所需熵权$w_j$ ：

$w_j=\frac{g_j}{{{\displaystyle \sum }}_{j=1}^n{g}_j}$ (5)

2.3. 确定各指标的正态云标准

构建评语集$C=\left\{C_1,C_2,\cdots ,C_p\right\}$ ，结合收集到的评价指标实际数据，确认评语集的谷值与峰值，并将其划分为p个子区间，用$\left[C_s^{\min },C_s^{\max }\right]$ 表示评语集的第$s\left(s=1,2,\cdots ,p\right)$ 个子区间，进而计算各子区间的云特征值$\left(E_x,E_n,H_e\right)$ ，其计算式分别为：

$E_x=\frac{C_s^{\max }+C_s^{\min }}{2}$ (6)

$E_n=\frac{C_s^{\max }-C_s^{\min }}{2.355}$ (7)

$H_e=k$ (8)

其中k为常数，需在试验中根据计算量级进行调整。

2.4. 云模型计算隶属度

对于$x\in U$ ，若满足$x\sim N\left(E_x,{E^{\prime }}^2{}_n\right),{E^{\prime }}^2{}_n\sim N\left(E_n,H_e^2\right)$ ，则x对C的相对隶属度表示为

$\mu =\exp \left[-{\left(x-E_x\right)}^2/2\left({E^{\prime }}_n^2\right)\right]$ (9)

对正向云发生器生成的u个云滴$\left(x_{jl},y_{jls}\right)\left(j=1,2,\cdots ,n;l=1,2,\cdots ,u;s=1,2,\cdots ,p\right)$ 的$y_{jls}$ 求平均值可得平均隶属度$y_{js}$ ，并通过下式转化为相对隶属度：

${y^{\prime }}_{js}=\frac{y_{js}}{{{\displaystyle \sum }}_{s=1}^p{y}_{js}}$ (10)

故可得所有二级指标p项评语所对应的相对隶属度，每项二级指标均有其对应的p项相对隶属度，将其按顺序排列为一行，作为其所对应的维度为$1\times p$ 的相对隶属度矩阵，进而得到各一级指标下，对应的二级指标相对隶属度总矩阵：

$r_j={y^{\prime }}_{js}$ (11)

其中$r_j$ 与${y^{\prime }}_{js}$ 均为$n\times p$ 维的矩阵，n表示各一级指标下二级指标的种类数，p表示评语集的分类个数。然后将$r_j$ 与其对应权重矩阵${\omega }_{\text{}j}$ 相乘，即可得一级指标评语集中，各评语所对应的相对隶属度：

${Y^{\prime }}_{js}={\omega }_j{r}_j$ (12)

其中${Y^{\prime }}_{js}$ 为$1\times p$ 维矩阵，${\omega }_{\text{}j}$ 为$1\times n$ 维的矩阵。最后将所得k项一级相对隶属度矩阵组成新的$k\times p$ 维一级指标相对隶属度总矩阵R，其中k表示一级指标种类数，并将R与其对应权重矩阵W相乘可得最终所需学生能力所对应的相对隶属度(W表示一级指标权重，为$1\times k$ 维矩阵)：

$R_0=WR$ (13)

2.5. 最终评价结果

为评语集C的每个等级赋予相应的分数，并建立相应的分数矩阵：

$Z=\left[z_1,z_2,\cdots ,z_p\right]$ (14)

将学生能力隶属度与分数相乘即为最终评价分数：

$AR=R_0{Z}^{\text{T}}$ (15)

3. 调查信息及内容

3.1. 调查背景及基本信息

为切实地观察大学生创新能力在参与数学建模竞赛后的变化，并验证本文建立评价体系的可行性，对南京邮电大学同一批参与数学建模竞赛的大学生的创新能力进行了调查。本次调查主要采取线上填写问卷的形式，调查对象包含南京邮电大学206位在校大学生，包括110名男生和96名女生，其中166名同学参与过数学建模竞赛，40名未参与过数学建模竞赛。

3.2. 调查内容

在问卷中，包括但不仅限于学生的年级、专业、性别、参与情况以及获奖情况等，而对于学生能力的评价，问卷结合本文所建立的评价指标体系进行问题的设计，并设立了五项评价等级(很差、一般、中等、良好、优秀)用于对学生能力的评价，同时在作后续数据处理时，按其优劣为其赋予1~5的评价分数，方便后续数据处理。

4. 问卷数据分析

4.1. 问卷数据检验

为检验数据的可靠性，并判断数据是否符合要求，首先进行了信度分析以观察数据的信度，然后进行了校度检验以判断数据是否适合进行差异分析。最后，在数据通过校度检验的基础上，对数据的各种组合状况进行了差异分析。

(1) 信度分析

运用Cronbach’s α系数法对问卷的信度进行分析(一般认为当Cronbach’s α系数在0.9以上时，该问卷信度甚佳)，本次数据检验中，问卷包含21个项，206个样本。经过计算，得到的Cronbach’s α系数值为0.927，表明该问卷的信度非常高。

(2) 校度检验

对问卷数据进行了KMO检验和Bartlett球形检验(一般来说，KMO值在0.9以上，Bartlett球形检验结果小于0.05时，表明检验效果很好)。本次KMO检验的结果为0.923，数据通过KMO检验，验证变量之间相关性强，样本充足，适合进行因子分析；Bartlett球形检验的结果显示显著性，P值为0.000^***，数据通过Bartlett检验，说明误差项的各球形单元间的相关性为0，即各单元之间相互独立，不存在任何自相关，数据误差项是独立同分布的，适合进行相关分析。

(3) 差异分析

在通过上述检验的基础上，结合所构建的评价指标体系对数据进行差异分析，结果如表1所示。为得到表1中Welch’s T (参与)检验的结果，将206名在校大学生的问卷调查数据按是否参加过数学建模竞赛分成两组(数据中每名学生对每个指标都有对应的评分)，并取两组学生各个指标评分的均值作为检验所需数据，进行Welch’s T检验。以创新精神品质为例，T检验结果为T = 2.292，P = 0.027^** (当P值小于0.05或T值绝对值大于2时，可以拒绝原假设，数据呈现显著性差异)，这意味着在创新精神品质方面，参加过数模竞赛和未参加过数模竞赛的学生在平均得分上存在显著差异。类似地，其它创新能力品质的T检验结果也都表现出显著的差异。总的来看，参加过数模竞赛的学生在创新能力品质上表现出明显的优势。同时，还可以看到，创新学习能力与创新思维能力的T值结果分别为3.839与4.036，相较于其余三项的T值结果显著性表现更强，说明参与数模竞赛对学生创新学习能力与创新思维能力的提升效果更显著。

采用独立样本T检验按学生性别对数据进行检验，结果如表1中Welch’s T检验(性别)所示。以创新精神品质为例，T检验结果为T = 0.01，P = 0.992，P值大于0.05，且T值绝对值小于2，这意味着在创新精神品质方面，男女学生的平均得分之间未达到显著水平，因此无法拒绝原假设，即男女学生在创新精神品质上的得分均值相等的假设。其它创新能力品质的T检验结果也都显示出类似结果，表明在这些能力品质上，男女之间并未表现出显著差异。

Table 1. Results of differential analysis

表1. 差异分析结果

	变量名	创新精神品质	创新知识基础能力	创新实践操作能力	创新学习能力	创新思维能力
T检验	参与	T = 2.292 P = 0.027^**	T = 2.646 P = 0.011^**	T = 2.575 P = 0.013^**	T = 3.839 P = 0.000^***	T = 4.036 P = 0.000^***
	性别	T = 0.01 P = 0.992	T = 1.081 P = 0.281	T = −0.013 P = 0.990	T = 0.441 P = 0.660	T = −0.71 P = 0.478
方差检验	获奖	F = 2.423 P = 0.080^*	F = 8.483 P = 0.000^***	F = 7.094 P = 0.000^***	F = 10.461 P = 0.000^***	F = 12.821 P = 0.000^***
	年级	F = 0.196 P = 0.899	F = 0.535 P = 0.660	F = 0.562 P = 0.641	F = 0.584 P = 0.627	F = 0.356 P = 0.785
	学科	F = 2.298 P = 0.083^*	F = 2.584 P = 0.058^*	F = 1.376 P = 0.255	F = 3.533 P = 0.018^**	F = 4.635 P = 0.005^***

采用同样的数据处理方式，表1中Welch’s方差检验(获奖)是以学生获奖级别为变量，采用单因素方差分析对数据进行检验。以创新知识基础能力为例，Welch’s方差检验结果为F = 8.483，P = 0.000^*** (F值绝对值大于2时，即呈显著性差异，且F值绝对值越大，差异性越强)，P值远小于0.05，意味着在创新知识基础能力方面，获得不同创新奖项的学生在平均得分上存在显著差异。其它创新能力品质的Welch’s方差检验结果也都显示出类似情况，所有能力品质的P值均远小于0.05，表明不同创新奖项获得情况对这些能力品质的影响都是显著的。此外，创新精神品质的F值结果为2.423，而其余四项创新能力F值结果均在7以上，说明参与者创新精神品质的提升程度并不会因为所获得的奖项而具有极大的差距。

如表1所示，Welch’s方差检验(年级)以学生年级为变量，采用单因素方差分析对数据进行检验。以创新精神品质为例，Welch’s方差检验结果为F = 0.196，P = 0.899，P值大于0.05，且F值值小于2，意味着在创新精神品质方面，不同年级学生的平均得分之间未达到显著水平，因此无法拒绝原假设，即不同年级学生在创新精神品质上的得分均值相等的假设。其它创新能力品质的Welch’s方差检验结果也都显示了类似的结果，表明在这些能力品质上，不同年级学生之间并未表现出显著差异。

如表1所示，Welch’s方差检验(学科)以学生学科为变量采用单因素方差分析对数据进行检验。以创新精神品质为例，Welch’s方差检验结果为F = 2.298，P = 0.083^*，P值略大于0.05，F值小于2或略高于2，意味着在创新精神品质方面，不同学科领域学生之间的平均得分存在一定趋势性差异。其它创新能力品质的Welch’s方差检验结果也都显示了类似的情况。其中，创新学习能力和创新思维能力的P值小于0.05，F值均大于3，表明不同学科领域学生在这两类能力品质上的得分均值存在显著差异。

综上所述，数学建模竞赛的确会对学生创新能力品质有所影响，且不同奖项的获得对于学生各项创新能力的提升水平存在差异。同时，学生的创新能力在性别、年级与学科的维度上并不存在明显差异，故在研究学生创新能力时可以减少不必要的分类。

4.2. 问卷数据分析

通过Excel，对大学生创新能力评价指标的不同评价等级进行赋值，分别赋予分值1、2、3、4和5，后采用熵权法对数据进行处理，即可确认各级指标所对应权重，其结果如表2所示(由于各一级指标所对应的二级指标数存在差异，故表中对应二级指标权重亦存在数目上的差异)。

Table 2. Indicator weights

表2. 指标权重

	一级指标权重	二级指标权重
创新思维能力	18.768	21.245	21.875	18.038	19.2	19.642
创新学习能力	20.878	16.061	18.323	17.064	15.956	17.338	15.257
创新实践操作能力	19.289	27.712	27.883	21.174	23.231
创新知识基础能力	21.726	30.378	36.452	33.17
创新精神品质	19.339	32.98	39.166	27.854

熵权的大小反应指标在综合评价中的影响程度，指标的离散程度越大，其熵权也就越大。结合表2中数据可知，各项指标对对其上一级指标的影响程度存在差异，学生的创新知识基础能力对学生创新能力的影响程度最大，其二级指标中，专业知识能力是对其影响程度最大的一项指标；其次是创新学习能力指标，其中反馈与修正能力相较于其他能力影响更为明显；最后是创新思维能力指标，其中批判思维能力相对其他能力的影响程度最低。

设立评语集C四个评语等级：及格、中等、良好与优秀，为各子区间确定合适的上下限，并赋予其相应的评语分数，最后结合公式(6)~(8)计算出各评价区间的云特征值。图2是以感知观察能力为例进行的数据处理演示。

如图2所示，评语集的选取与云特征值的计算是先通过寻找实际数据的谷值与峰值，组成合适的可以表达实际情况的数值区间，再将数值区间分为合适的四个小区间，即C = {及格，中等，良好，优秀}四个评语级所对应的区间。结合所得到的各评语集上下区间，使用公式(6)~(8)计算对应的云特征值Ex和En，其中He是根据Ex和En的量级所取得的合适数值。

然后，使用MATLAB软件，结合所得到的云特征值运行X条件的正向云发生器[22]，得到不同分类下各二级指标所对应的初始隶属度矩阵，再根据上文所构建的云模型计算隶属度模型，计算各分类的综合隶属度。其具体结果如表3所示。

表3展示了学生不同数模参与和获奖情况对应的创新能力各评语集的综合隶属度。隶属度表示实际评价分数落在该评语集的概率，越接近于1，实际评价分数落在该评语集的概率越高。例如，未参加数学建模竞赛学生的创新能力隶属于及格评语等级上的可能性为0.981649。就优秀等级的综合隶属度而言，参加数学建模竞赛并获得国家级奖项的学生的综合隶属度最高，未参加数学建模竞赛的学生的综合隶属度最低。

Figure 2. Selection of comment set and calculation of cloud eigenvalues

图2. 评语集的选取与云特征值的计算

Table 3. Comprehensive membership of each category

表3. 各分类的综合隶属度

分类	综合隶属度
	及格	中等	良好	优秀
未参加	0.981649	0.01787	1.75E−05	4.62E−04
参加	0.133447	0.73406	0.127154	5.34E−03
校级	0.113107	0.546473	0.228056	0.112362
省级	0.053655	0.276327	0.51286	0.157156
国家级	0.012541	0.039968	0.067975	0.879514
美赛奖	0.030956	0.304466	0.591859	0.072716

最后，结合评语集综合隶属度以及对应评级分数，可得到最终评价结果，如表4所示。

Table 4. Final evaluation results

表4. 最终评价结果

类别	未参加	参加	校级	省级	国家级	美赛奖
分数	65.19277	75.04366	78.39657	82.73501	93.14446	82.0632

结合表4数据可知，参赛获国家级奖 > 获省级奖 > 获得美赛奖 > 获校级奖 > 参赛学生的总体评价分数 > 未参赛学生的总体评价分数。从评价结果来看，参加过数学建模竞赛后，学生创新能力评价分数明显提高。同时获得奖项的学生尤其是获得国家级奖的大学生创新能力分数有明显提高，表明学生在数模竞赛期间，仍有长足的进步空间，在学生能够获得国家级奖项时，数模竞赛对学生创新能力的培养能够达到最优。因此，大学生的创新能力的确可以通过参与数学建模竞赛而获得提升，且学生的参与和获奖情况可以作为衡量学生创新能力培养的标杆。

5. 结论

为正确评价数学建模竞赛对大学生创新能力的影响，提出了基于熵权–云的数学建模竞赛创新人才评价体系，并以南京邮电大学数学建模竞赛情况为例，对学生能力进行评价。评价结果表明：学生创新能力无关性别与年级，但在不同学科之间，学生创新能力存在着部分差异，并且学生可以通过参与数学建模竞赛的方式提高自身创新能力。不同学科的学生，可能由于文理学科侧重不同、学科研究方向不同等多项因素，致使其创新能力在创新学习能力与创新思维能力两个方面存在较大差异，故在参与数学建模的过程中，应鼓励学生跨专业组队，加强学科交叉，取长补短，实现学生共同进步。学生创新能力在参与数学建模竞赛后得到了显著提升，尤其是参与获奖的学生，同时学生参与获奖的等级可以一定程度上反映学生现阶段创新能力的水平。学生在校期间，通过参与数学建模竞赛可很好地培养自身创新能力，并可通过参与获奖的情况反映当下自身创新能力水平。因此，对于学生而言，参与数学建模竞赛可以增长见识并培养创新能力。

基金项目

江苏省研究生教育教学改革项目(JGKT23_C019)；中国电子教育学会教育教学改革研究项目(DJY23007)；南京邮电大学研究生教育教学改革项目(JGKT23_XJ02)；南京邮电大学教学改革研究项目(JG00723JX22)。

NOTES

^*通讯作者。