强半-Gorenstein AC-投射模

Strongly Semi-Gorenstein AC-Projective Modules

摘要: 本文引入了强半-Gorenstein AC-投射模和R-模的强半-Gorenstein AC-投射维数，并且研究了它们的一些性质。

Abstract: The paper introduces strongly semi-Gorenstein AC-projective modules and the strongly semi-Gorenstein AC-projective dimensions of R-modules and investigates some properties of them.

1. 引言

Gorenstein同调代数起源于20世纪60年代，是由Auslander和Bridger等的相关研究成果发展而来的。为进一步研究有限生成模的性质，Auslander等[1]在双边诺特环上引入了G-维数的概念，这种维数是投射维数的细化。1995年，Enochs等[2]在任意结合环R上引入了Gorenstein投射模的概念，自此Gorenstein同调理论的研究引起了学者们的广泛关注。作为Gorenstein投射模的特殊情况，2009年，Ding等[3]引入了强Gorenstein-平坦模的概念。2010年，Gillespie在文献[4]中将强Gorenstein-平坦模和Gorenstein FP-内射模分别命名为Ding投射模和Ding内射模。为了研究一般环上的稳定模范畴，2014年，Bravo等[5]利用超有限表示模引入了level模，进而又利用level模引入了Gorenstein AC-投射模，并且讨论了Gorenstein AC-投射模的一些性质及其模型结构。二十世纪末，Enochs等在文献[6]中将Gorenstein投射(内射)模的概念推广到复形范畴。此后，越来越多的学者对Gorenstein投射(内射)复形的性质作了进一步的研究。

为了研究Gorenstein同调猜想(即所有的Gorenstein投射模都是Gorenstein平坦模)，Šaroch等在文献[7]中引入了投射余可解的Gorenstein平坦模(简称PGF-模)的概念。即称R-模M是PGF-模，如果存在投射R-模的正合序列$\cdots \to P_1\to P_0\to P_{-1}\to \cdots$ ，使得$M\cong Ker\left(P_0\to P_{-1}\right)$ ，且对任意内射右R-模I，$I{\otimes }_R$ -保持正合。Iacob则在文献[8]中进一步研究了PGF-模的性质。

2020年，Ringel等[9]引入了半-Gorenstein投射模的概念，即称有限生成R-模M是半-Gorenstein投射模，如果对任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,R\right)=0$ ，他们研究了半-Gorenstein投射模的性质，并且给出了Gorenstein投射模和半-Gorenstein投射模之间的关系。2021年，白等[10]在一般环上引入了强半-Gorenstein投射模的概念，即称R-模M是强半-Gorenstein投射模，如果对任意的$i\ge 1$ 及任意的投射R-模P，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,P\right)=0$ ，并且给出了投射余可解的Gorenstein平坦模与强半-Gorenstein投射模之间的关系。

受以上工作的启发，本文引入并研究了强半-Gorenstein AC-投射模和R-模的强半-Gorenstein AC-投射维数，并且研究了它们的一些性质。后续将在此基础上讨论强半-Gorenstein AC-投射模和Gorenstein同调模之间的关系，并且在特殊环上构造出一个完备并且遗传的余挠对，从而讨论其稳定性。本文所讨论的环均为有单位元的结合环，如果没有特别声明，模都表示左R-模，我们用$Prj$ 表示所有投射R-模构成的类，$\widetilde{Prj}$ 表示所有投射维数有限的R-模构成的类，$p{d}_R\left(M\right)$ 表示R-模M的投射维数，$Gp{d}_R\left(M\right)$ 表示R-模M的Gorenstein投射维数。

2. 预备知识

下面给出本文所需要的一些基本概念。

定义1.1 [5]称R-模M是超有限表示模，如果M具有有限生成投射模的投射分解。

定义1.2 [5]称R-模L是level模，如果对任意的超有限表示右R-模M，有${\text{Tor}}_1^R\left(M,L\right)=0$ 。

定义1.3 [11]设M是R-模。M的level维数定义为$\text{lev-}{\dim }_R\left(M\right)=\inf \{n\in \mathbb{Z}|$ 存在左R-模的正合列$0\to L_n\to L_{n-1}\to \cdots \to L_1\to L_0\to M\to 0$ ，其中$L_i\left(0\le i\le n\right)$ 是level左R-模$\}$ 。

我们用$\widetilde{ld}$ 表示所有level维数有限的R-模构成的类。

定义1.4 [12]设$X$ 是R-模类。称$X$ 是投射可解的，如果$X$ 包含投射R-模类，且对任意正合列$0\to X^{\prime }\to X\to X^{″}\to 0$ ，其中$X^{″}\in X$ ，都有$X^{\prime }\in X$ 当且仅当$X\in X$ 。

3. 强半-Gorenstein AC-投射模

在这一节中，我们引入并研究了强半-Gorenstein AC-投射模，并且讨论了强半-Gorenstein AC-投射模与投射维数有限的模之间的关系。

定义2.1 称R-模M是强半-Gorenstein AC-投射模，如果对任意的$i\ge 1$ 及任意的level左R-模L，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,L\right)=0$ 。

我们用$SS{G}_{AC}P$ 表示所有强半-Gorenstein AC-投射R-模构成的类。

注记2.2 强半-Gorenstein AC-投射模是强半-Gorenstein-投射模。

命题2.3 设R是任意环。则R-模M是强半-Gorenstein AC-投射模当且仅当对任意的level维数有限的R-模N及任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,N\right)=0$ 。

证明 “$\Rightarrow$ ”设$M\in SS{G}_{AC}P$ 。则对任意的level左R-模L及任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,L\right)=0$ ，任取$N\in \widetilde{ld}$ ，下证对任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,N\right)=0$ 。不妨设$\text{lev-}{\dim }_R\left(N\right)=n$ 。则存在正合序列$0\to L_n\to L_{n-1}\stackrel{f_{n-1}}{\to }\cdots \stackrel{f_1}{\to }{L}_0\stackrel{f_0}{\to }N\to 0$ ，其中每个$L_i$ 是level左R-模。设$K_i=\text{Ker}\left(f_{i-1}\right)$ 。由长正合列引理知，存在正合列${\text{Ext}}_R^i\left(M,L_0\right)\to {\text{Ext}}_R^i\left(M,N\right)\to {\text{Ext}}_R^{i+1}\left(M,K_1\right)\to {\text{Ext}}_R^{i+1}\left(M,L_0\right)$ 。因为$M\in SS{G}_{AC}P$ ，所以对任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,L_0\right)=0$ 。因此，${\text{Ext}}_R^i\left(M,N\right)\cong {\text{Ext}}_R^{i+1}\left(M,K_1\right)$ 。重复以上过程，对任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,N\right)\cong {\text{Ext}}_R^{i+n}\left(M,L_n\right)=0$ 。

“$\Leftarrow$ ”显然成立。

命题2.4 设R是任意环。则$SS{G}_{AC}P\cap \widetilde{Prj}=Prj$ 。

证明 “$\subseteq$ ”设$K\in SS{G}_{AC}P\cap \widetilde{Prj}$ 。则$K\in SS{G}_{AC}P$ 且$K\in \widetilde{Prj}$ 。下证$K\in Prj$ 。考虑正合列$0\to K^{\prime }\to P\to K\to 0$ ，其中$P\in Prj$ 。因为$K\in \widetilde{Prj}$ ，所以$K^{\prime }\in \widetilde{Prj}$ 。因此，$K^{\prime }\in \widetilde{ld}$ 。由命题2.3可知，${\text{Ext}}_R^1\left(K,K^{\prime }\right)=0$ 。则上述正合列可裂，即$P\cong K\oplus K^{\prime }$ 。又因为投射模关于直和项封闭，所以$K\in Prj$ 。

“$\supseteq$ ”显然成立。

命题2.5 设R是任意环。则$SS{G}_{AC}P$ 是投射可解的，并且强半-Gorenstein AC-投射模关于直和与直和项封闭。

证明 显然$Prj\subseteq SS{G}_{AC}P$ 。考虑R-模的正合列$0\to A\to B\to C\to 0$ ，其中$C\in SS{G}_{AC}P$ 。设$A\in SS{G}_{AC}P$ ，下证$B\in SS{G}_{AC}P$ 。对任意的level左R-模L，由长正合列引理知，存在正合列${\text{Ext}}_R^i\left(C,L\right)\to {\text{Ext}}_R^i\left(B,L\right)\to {\text{Ext}}_R^i\left(A,L\right)$ 。因为$C\in SS{G}_{AC}P$ ，$A\in SS{G}_{AC}P$ ，所以对任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(C,L\right)=0={\text{Ext}}_R^i\left(A,L\right)$ 。因此，对任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(B,L\right)=0$ ，故$B\in SS{G}_{AC}P$ 。设$B\in SS{G}_{AC}P$ ，下证$A\in SS{G}_{AC}P$ 。对任意的level左R-模L，由长正合列引理知，存在正合列${\text{Ext}}_R^i\left(B,L\right)\to {\text{Ext}}_R^i\left(A,L\right)\to {\text{Ext}}_R^{i+1}\left(C,L\right)$ 。又因为$C\in SS{G}_{AC}P$ ，$B\in SS{G}_{AC}P$ ，所以对任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^{i+1}\left(C,L\right)=0={\text{Ext}}_R^i\left(B,L\right)$ 。因此，对任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(A,L\right)=0$ ，故$A\in SS{G}_{AC}P$ 。因此，$SS{G}_{AC}P$ 是投射可解的。

设$\left\{M_i|i\in I\right\}$ 是一簇强半-Gorenstein AC-投射模。则对任意的level左R-模L及任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(\underset{i\in I}{\oplus }{M}_i,L\right)\cong \underset{i\in I}{\Pi }{\text{Ext}}_R^i\left(M_i,L\right)=0$ ，故$\underset{i\in I}{\oplus }{M}_i\in SS{G}_{AC}P$ ，即强半-Gorenstein AC-投射模关于直和封闭。而由文献[13]中的命题1.4可知，强半Gorenstein AC-投射模关于直和项封闭。

命题2.6 设$0\to G^{\prime }\to G\to M\to 0$ 是R-模的正合列，其中G和$G^{\prime }$ 是强半-Gorenstein AC-投射模。若对任意的level左R-模L，有${\text{Ext}}_R^1\left(M,L\right)=0$ ，则M是强半-Gorenstein AC-投射模。

证明 设L是任意的level左R-模。由长正合列引理知，存在正合列${\text{Ext}}_R^{i-1}\left(G^{\prime },L\right)\to {\text{Ext}}_R^i\left(M,L\right)$ $\to {\text{Ext}}_R^i\left(G,L\right)$ ，其中$i\ge 2$ 。因为$G^{\prime }\in SS{G}_{AC}P$ ，$G\in SS{G}_{AC}P$ ，所以对任意的$i\ge 2$ ，有${\text{Ext}}_R^{i-1}\left(G^{\prime },L\right)=$ $0={\text{Ext}}_R^i\left(G,L\right)$ 。因此，对任意的$i\ge 2$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,L\right)=0$ 。再由已知条件可知，对任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,L\right)=0$ 。故M是强半-Gorenstein AC-投射模。

引理2.7 设$0\to K_n\to G_{n-1}\stackrel{f_{n-1}}{\to }\cdots \stackrel{f_1}{\to }{G}_0\stackrel{f_0}{\to }M\to 0$ 是R-模的正合列，其中$G_i\left(0\le i\le n-1\right)$ 是强半-Gorenstein AC-投射模。则对任意的level维数有限的R-模L及任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(K_n,L\right)\cong {\text{Ext}}_R^{i+n}\left(M,L\right)$ 。

证明 由维数转移可得。

命题2.8 设$0\to K_n\to G_{n-1}\to \cdots \to G_0\to M\to 0$ 和$0\to {K^{\prime }}_n\to {G^{\prime }}_{n-1}\to \cdots \to {G^{\prime }}_0\to M\to 0$ 是R-模的正合列，其中每个$G_i$ 和${G^{\prime }}_i$ 是强半-Gorenstein AC-投射模。则$K_n$ 是强半-Gorenstein AC-投射模当且仅当${K^{\prime }}_n$ 是强半-Gorenstein AC-投射模。

证明 由引理2.7可知，对任意的Level维数有限的R-模L及任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(K_n,L\right)\cong {\text{Ext}}_R^{i+n}\left(M,L\right)$ 和${\text{Ext}}_R^i\left({K^{\prime }}_n,L\right)\cong {\text{Ext}}_R^{i+n}\left(M,L\right)$ 。因此，对任意的Level维数有限的R-模L及任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left({K^{\prime }}_n,L\right)\cong {\text{Ext}}_R^i\left(K_n,L\right)$ 。故由命题2.3可知，$K_n$ 是强半-Gorenstein AC-投射模当且仅当${K^{\prime }}_n$ 是强半-Gorenstein AC-投射模。

4. R-模的强半-Gorenstein AC-投射维数

在这一节中，我们引入并研究了R-模的强半-Gorenstein AC-投射维数。

定义3.1 设M是R-模。M的强半-Gorenstein AC-投射维数定义为：

$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)=\sup \{i\ge 0|$ 存在level维数有限的R-模L，使得${\text{Ext}}_R^i\left(M,L\right)\ne 0\}$ 。

显然，$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)=0$ 当且仅当M是强半-Gorenstein AC-投射模。

命题3.2 设$0\to K\to G\to M\to 0$ 是R-模的正合列，其中G是强半-Gorenstein AC-投射模。若M是强半-Gorenstein AC-投射模，则K是强半-Gorenstein AC-投射模；否则$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(K\right)=SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)-1$ 。

证明 若$M\in SS{G}_{AC}P$ ，由命题2.5知$K\in SS{G}_{AC}P$ 。若$M\notin SS{G}_{AC}P$ ，则$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)>0$ 。当$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)=\infty$ 时，由引理2.7可知，结论成立。设$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)=n<\infty$ 。则存在level维数有限的R-模L，使得$\text{0}\ne {\text{Ext}}_R^n\left(M,L\right)\cong {\text{Ext}}_R^{n-1}\left(K,L\right)$ ，因此$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(K\right)\ge n-1$ 。若$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(K\right)>n-1$ ，则由引理2.7可知，$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)>n$ ，这与$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)=n$ 矛盾！故$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(K\right)=n-1=SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)-1$ 。

定理3.3 设M是R-模，$n\ge 0$ 是整数。则以下等价：

1) $SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\le n$ ；

2) 存在R-模的正合列$0\to G_n\to G_{n-1}\to \cdots \to G_0\to M\to 0$ ，其中每个$G_i$ 是强半-Gorenstein AC-投射模；

3) 对任意的$i>n$ 及任意的level维数有限的R-模L，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,L\right)=0$ ；

4) 对任意的$i>n$ 及任意的level左R-模Q，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,Q\right)=0$ ；

5) 对任意R-模的正合列$0\to K_n\to G_{n-1}\to \cdots \to G_0\to M\to 0$ ，其中每个$G_i$ 是强半-Gorenstein AC-投射模，有$K_n\in SS{G}_{AC}P$ 。

证明 3) $\Rightarrow$ 4)、5) $\Rightarrow$ 2)显然成立。

1) $\Rightarrow$ 2) 设$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\le n$ 。则对n进行数学归纳。当$n=0$ 时，$M\in SS{G}_{AC}P$ ，结论显然成立。设$n>0$ 时，结论对$n-1$ 成立。考虑R-模的正合列$0\to K\to G_0\to M\to 0$ ，其中$G_0\in SS{G}_{AC}P$ 。由命题3.2可知，$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(K\right)=SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)-1\le n-1$ 。再由归纳假设知，存在R-模的正合列$0\to G_n\to G_{n-1}\to \cdots \to G_1\to K\to 0$ ，其中每个$G_i\in SS{G}_{AC}P$ 。因此，存在R-模的正合列$0\to G_n\to G_{n-1}\to \cdots \to G_0\to M\to 0$ ，其中每个$G_i\in SS{G}_{AC}P$ 。

2) $\Rightarrow$ 3) 设$0\to G_n\to G_{n-1}\to \cdots \to G_0\to M\to 0$ 是R-模的正合列，其中$G_i\in SS{G}_{AC}P$ ($0\le i\le n$ )。由引理2.7可知，对任意的$i>n$ 及任意的level维数有限的R-模L，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,L\right)$ $\cong {\text{Ext}}_R^{i-n}\left(G_n,L\right)=0$ 。

4) $\Rightarrow$ 5) 考虑R-模的正合列$0\to K_n\to G_{n-1}\stackrel{f_{n-1}}{\to }\cdots \stackrel{f_1}{\to }{G}_0\stackrel{f_0}{\to }M\to 0$ ，其中每个$G_i\in SS{G}_{AC}P$ 。由引理2.7和条件4)可知，对任意level左R-模Q及任意的$i\ge 1$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(K_n,Q\right)\cong {\text{Ext}}_R^{i+n}\left(M,Q\right)\cong 0$ 。故$K_n\in SS{G}_{AC}P$ 。

2) $\Rightarrow$ 1) 设$0\to G_n\to G_{n-1}\to \cdots \stackrel{f_1}{\to }{G}_0\stackrel{f_0}{\to }M\to 0$ 是R-模的正合列，其中$G_i\in SS{G}_{AC}P$ ($0\le i\le n$ )。对n进行数学归纳。当$n=0$ 时，$M\in SS{G}_{AC}P$ ，结论显然成立。设$n>0$ 时，结论对$n-1$ 成立。令$K=\text{Ker}\left(f_0\right)$ ，则有R-模的正合列$0\to K\to G_0\to M\to 0$ 和$0\to G_n\to G_{n-1}\to \cdots \to G_1\to K\to 0$ ，由归纳假设得$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(K\right)\le n-1$ 。若$M\in SS{G}_{AC}P$ ，则结论显然成立。若$M\notin SS{G}_{AC}P$ ，则由命题3.2可知， $SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)=SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(K\right)+1\le n-1+1=n$ 。

命题3.4 设$\left\{M_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \right\}$ 是一簇R-模。则$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(\oplus M_{\lambda }\right)=\sup \left\{SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M_{\lambda }\right)|\lambda \in \Lambda \right\}$ 。

证明 “$\le$ ”设$\sup \left\{SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M_{\lambda }\right)|\lambda \in \Lambda \right\}=n<\infty$ 。则对任意的$\lambda \in \Lambda$ ，都有$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M_{\lambda }\right)\le n$ 。由定理3.3-2)可知，存在正合列$0\to G_{{\lambda }_n}\to \cdots \to G_{{\lambda }_0}\to M_{\lambda }\to 0$ ，其中$G_{{\lambda }_i}\in SS{G}_{AC}P$ ($0\le i\le n$ )，即存在正合列$0\to \oplus G_{{\lambda }_n}\to \cdots \to \oplus G_{{\lambda }_0}\to \oplus M_{\lambda }\to 0$ 。由命题2.5可知，$\oplus G_{{\lambda }_i}\in SS{G}_{AC}P$ ($0\le i\le n$ )。因此，由定理3.3-1)可知，$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(\oplus M_{\lambda }\right)\le n$ 。

“$\ge$ ”下证对任意的$\lambda \in \Lambda$ ，$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M_{\lambda }\right)\le SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(\oplus M_{\lambda }\right)$ 。设$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(\oplus M_{\lambda }\right)$ $=m<\infty$ 。则由定理3.3-3)可知，对任意的$i>m$ 及任意的level维数有限的R-模L，有$\Pi {\text{Ext}}_R^i\left(M_{\lambda },L\right)\cong {\text{Ext}}_R^i\left(\oplus M_{\lambda },L\right)=0$ ，因此${\text{Ext}}_R^i\left(M_{\lambda },L\right)=0$ 。故由定理3.3-1)可知，$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M_{\lambda }\right)\le m$ 。

命题3.5 设R是左诺特环，M是有限生成R-模，且$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\le m$ 。则M有长度为m的由有限生成强半-Gorenstein AC-投射模构成的强半-Gorenstein AC-投射分解。

证明 因为$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\le m$ ，所以由定理3.3-2)可知，存在R-模的正合列$0\to G_m\to G_{m-1}\to$ $\cdots \to G_0\to M\to 0$ ，其中$G_i\in SS{G}_{AC}P$ ($0\le i\le m$ )。因为R是左诺特环，所以M是有限表示的。因此，存在正合列$0\to K_1\to F_0\to M\to 0$ ，其中F₀是有限生成自由模，K₁是有限生成模。同理，对有限生成模K₁，存在正合列$0\to K_2\to F_1\to K_1\to 0$ ，其中F₁是有限生成自由模，K₂是有限生成模。按此方法进行下去，则有正合列$0\to K_m\to F_{m-1}\to \cdots \to F_1\to F_0\to M\to 0$ ，其中$F_i$ 是有限生成自由模($0\le i\le m-1$ )，$K_m$ 是有限生成模。因为有限生成自由模是投射模，投射模是强半Gorenstein AC-投射模，所以$F_i$ 是有限生成的强半-Gorenstein AC-投射模。由命题2.8可知，$K_m\in SS{G}_{AC}P$ ，因此$K_m$ 是有限生成的强半-Gorenstein AC-投射模。故M有长度为m的由有限生成强半-Gorenstein AC-投射模构成的强半-Gorenstein AC-投射分解。

命题3.6 设M是R-模。若$p{d}_R\left(M\right)<\infty$ ，则$Gp{d}_R\left(M\right)=p{d}_R\left(M\right)=SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)$ 。

证明 由文献[13]中的命题2.27可知，若$p{d}_R\left(M\right)<\infty$ ，则$Gp{d}_R\left(M\right)=p{d}_R\left(M\right)$ 。因此，只需证$p{d}_R\left(M\right)=SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)$ 。因为$Prj\subseteq SS{G}_{AC}P$ ，所以$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\le p{d}_R\left(M\right)$ 。设$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)=n<\infty$ 。取M的投射分解$\cdots \to P_n\to P_{n-1}\stackrel{f_{n-1}}{\to }{P}_{n-2}\to \cdots \to P_0\to M\to 0$ ，令$K=\text{Ker}\left(f_{n-1}\right)$ 。则有正合列$0\to K\to P_{n-1}\to \cdots \to P_0\to M\to 0$ 。因为$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)=n$ 且$Prj\subseteq SS{G}_{AC}P$ ，所以由定理3.3-5)可知，$K\in SS{G}_{AC}P$ 。又因为$p{d}_R\left(M\right)<\infty$ ，所以$p{d}_R\left(K\right)<\infty$ ，即$K\in \widetilde{Prj}$ 。因此，$K\in SS{G}_{AC}P\cap \widetilde{Prj}$ 。又由命题2.4可知，$K\in Prj$ 。因此，$p{d}_R\left(M\right)\le n$ 。故$p{d}_R\left(M\right)\le SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)$ 。

命题3.7 设R是环，$0\to M^{\prime }\to M\to M^{″}\to 0$ 是R-模的正合列，则以下成立：

1) 令$n\ge 0$ 且$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)\le n$ ，则$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\le n$ 当且仅当$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)\le n$ ，并且有不等式$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)\le \max \left\{SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right),SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)\right\}$ 和$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\le \max \left\{SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right),SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)\right\}$ 。

2) 当$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)>SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)$ 或$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)>SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)$ 时，则有$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)=SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)$ 。

3) $SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)\le \max \left\{SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right),SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\right\}+1$ 。

证明 1) 当$n=0$ 时，有$M^{″}\in SS{G}_{AC}P$ ，则由命题2.5知，M是强半-Gorenstein AC-投射模当且仅当$M^{\prime }$ 是强半-Gorenstein AC-投射模。当$n>0$ 时，考虑$M^{\prime }$ 和$M^{″}$ 的部分投射分解$0\to K^{\prime }\to {P^{\prime }}_{n-1}\stackrel{{f^{\prime }}_{n-1}}{\to }\cdots \stackrel{{f^{\prime }}_1}{\to }{P^{\prime }}_0\stackrel{{f^{\prime }}_0}{\to }{M}^{\prime }\to 0$ 和$0\to K^{″}\to {P^{″}}_{n-1}\stackrel{{f^{″}}_{n-1}}{\to }\cdots \stackrel{{f^{″}}_1}{\to }{P^{″}}_0\stackrel{{f^{″}}_0}{\to }{M}^{″}\to 0$ ，由马掌引理可得以下行列正合的交换图：

$\begin{array}{ccccccccc}& & 0^{}& & 0^{}& & 0^{}& & \\ & & {\downarrow }^{}{}^{}& & {\downarrow }^{}{}^{}& & {\downarrow }^{}{}^{}& & \\ 0& \to & {K^{\prime }}^{}& \to & K^{}& \to & K^{″}& \to & 0\\ & & {\downarrow }^{}{}^{}& & {\downarrow }^{}{}^{}& & {\downarrow }^{}{}^{}& & \\ 0& \to & {P^{\prime }}_{n-1}& \to & {P^{\prime }}_{n-1}\oplus {P^{″}}_{n-1}& \to & {P^{″}}_{n-1}& \to & 0\\ & & {\downarrow }^{{f^{\prime }}_{n-1}}& & {\downarrow }^{f_{n-1}}& & {\downarrow }^{{f^{″}}_{n-1}}& & \\ & & {⋮}^{}{{}^{}}^{}& & {⋮}^{{}^{}}{{}^{}}^{}& & {⋮}^{}{{}^{}}^{}& & \\ & & {\downarrow }^{{f^{\prime }}_1}{}^{}& & {\downarrow }^{f_1}& & {\downarrow }^{{f^{″}}_1}& & \\ 0& \to & {P^{\prime }}_0{{}^{}}^{}& \to & {P^{\prime }}_0\oplus {P^{″}}_0& \to & {P^{″}}_0& \to & 0\\ & & {\downarrow }^{{f^{\prime }}_0}{}^{}& & {\downarrow }^{f_0}& & {\downarrow }^{{f^{″}}_0}& & \\ 0& \to & {M^{\prime }}^{}& \to & M& \to & M^{″}& \to & 0\\ & & {\downarrow }^{}{}^{}& & {\downarrow }^{}& & {\downarrow }^{}{}^{}& & \\ & & 0^{}& & 0^{}& & 0^{}& & \end{array}$

其中，$K^{\prime }=\text{Ker}\left({f^{\prime }}_{n-1}\right)$ ，$K^{″}=\text{Ker}\left({f^{″}}_{n-1}\right)$ ，$K=\text{Ker}\left(f_{n-1}\right)$ 。因为$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)\le n$ ，所以由定理3.3-5)可知$K^{″}\in SS{G}_{AC}P$ 。则由命题2.5可知，$K\in SS{G}_{AC}P$ 当且仅当$K^{\prime }\in SS{G}_{AC}P$ 。故$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\le n$ 当且仅当$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)\le n$ 。

设$\max \left\{SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right),SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)\right\}=m<\infty$ 。则$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\le m$ ， $SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)\le m$ 。设L是level维数有限的R-模。由长正合列引理知，则存在正合列${\text{Ext}}_R^i\left(M,L\right)\to {\text{Ext}}_R^i\left(M^{\prime },L\right)\to {\text{Ext}}_R^{i+1}\left(M^{″},L\right)$ ，其中$i>m$ 。由定理3.3-3)可知，有${\text{Ext}}_R^i\left(M,L\right)=0={\text{Ext}}_R^{i+1}\left(M^{″},L\right)$ 。因此，对任意的$i>m$ ，有${\text{Ext}}_R^i\left(M^{\prime },L\right)=0$ 。故由定理3.3-1)可知，$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)\le m$ 。

同理可证$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\le \max \left\{SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right),SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)\right\}$ 。

2) 若$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)>SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)$ 。则由1)可知，$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\le SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)$ 。若$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)<SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)$ ，则$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)>\max \{SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right),$ $SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)\}$ ，这与1)中的事实相矛盾！故$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)=SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)$ 。

同理可证$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)>SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)$ 时，$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)=SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)$ 。

3) 设$\max \left\{SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right),SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\right\}=m<\infty$ 。则$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{\prime }\right)\le m$ ， $SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M\right)\le m$ 。设L是level维数有限的R-模。由长正合列引理知，存在正合列${\text{Ext}}_R^i\left(M^{\prime },L\right)\to {\text{Ext}}_R^{i+1}\left(M^{″},L\right)\to {\text{Ext}}_R^{i+1}\left(M,L\right)$ ，其中$i>m$ 。则由定理3.3-3)可知， ${\text{Ext}}_R^i\left(M^{″},L\right)=0={\text{Ext}}_R^{i+1}\left(M,L\right)$ ，因此对任意的$i>m$ ，有${\text{Ext}}_R^{i+1}\left(M^{″},L\right)=0$ 。故由定理3.3-1)可知$SS{G}_{AC}P-p{d}_R\left(M^{″}\right)\le m+1$ 。

4. 结论

本文主要引入了强半-Gorenstein AC-投射模和R-模的强半-Gorenstein AC-投射维数，并且研究了它们的性质以及讨论了强半-Gorenstein AC-投射模和投射维数有限的模之间的关系。后续将在本文性质的基础上，讨论强半-Gorenstein AC-投射模和Gorenstein同调模之间的关系，并且在特殊环上构造出一个完备且遗传的余挠对，从而讨论其稳定性。