由Sălăvgean-q微分算子定义的具有对称共轭点的单叶调和函数类

A Class of Univalent Harmonic Functions with Symmetric Conjugate Points Defined by the Sălăgean-q Differential Operator

摘要: 在单复变函数几何理论的研究中，构造函数类及研究它的几何性质是目前国内外重要的研究课题。本文首先定义了一个Sălăgean-q微分算子，利用该算子，我们构建了一类具有特殊性质的倒结构单叶调和函数，这类函数具有对称共轭点。我们进一步推导出了这类函数的系数条件，并得到了相应的Fekete-Szegö不等式，这一发现有效地拓展了现有的知识范畴。这一成果不仅丰富了单复变函数的理论内容，也为调和函数的研究提供了新的视角和方法。更重要的是，这一研究可能为未来在信号处理、图像处理等领域的实际应用提供新的数学模型和算法基础。

Abstract: In the study of the geometric theory of simple complex functions, constructing the function class and studying its geometric properties are important research topics at home and abroad. In this paper, a Sălăgean-q differential operator is first defined. Using the operator, we constructed a class of univalent harmonic functions with inverse structure and special properties. This class of function has symmetric conjugate points. We further derived the coefficient conditions for functions of the class and obtained the corresponding Fekete-Szegö inequality. This discovery effectively expands the existing knowledge scope. This achievement not only enriches the theoretical content of simple complex functions, but also provides a new perspective and method for the study of harmonic functions. More importantly, this research may provide a new mathematical model and algorithm basis for practical applications in signal processing, image processing and other fields in the future.

1. 引言

令$ℂ$ 代表复平面，即所有复数的集合。$\mathcal{A}$ 代表在单位圆盘$\mathbb{U}=\left\{z\in ℂ:\left|z\right|<1\right\}$ 内所有解析函数h的集合，函数h具有如下形式：

$h\left(z\right)=z+{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{a}_k}{z}^k,a_k\in \text{R}.$ (1)

简单来说，$\mathcal{A}$ 是由单位圆盘$\mathbb{U}$ 内解析的、具有特定实数系数级数形式的函数组成的集合。记为$\mathbb{U}$ 内解析且具有形式$p\left(z\right)=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{p}_k}{z}^k$ 的函数$p\left(z\right)$ 的全体，且$Rep\left(z\right)>0$ 。

设函数u和v在复平面上的单位圆盘$\mathbb{U}$ 内是解析的。如果存在一个Schwarz函数$\omega$ ，在区域$\mathbb{U}$ 内满足$\omega \left(0\right)=0$ 和$\left|\omega \left(z\right)\right|<1$ ，且使得$u\left(z\right)=v\left(\omega \left(z\right)\right)$ 成立，那么我们称函数u从属于函数v，并记作$u\prec v$ [1]。此外，如果函数v在区域$\mathbb{U}$ 内是单叶的(即在该区域内，函数v对每个点只取一个值，不会有两个不同的点映射到同一个值)，那么从属关系$u\prec v$ 等价于：

$u\left(0\right)=v\left(0\right)$ 和$u\left(\mathbb{U}\right)\subset v\left(\mathbb{U}\right)$ .

Ma和Minda在1994年借助从属关系的概念，分别定义了星象函数类${\mathcal{S}}^{*}\left(\varphi \right)$ 和凸象函数类$K\left(\varphi \right)$ [2]。具体来说，函数$h\left(z\right)$ 属于星象函数类${\mathcal{S}}^{*}\left(\varphi \right)$ ，必须满足条件：$\frac{z{h}^{\prime }\left(z\right)}{h\left(z\right)}$ 从属于$\varphi \left(z\right)$ 。同样地，若函数$h\left(z\right)$ 属于凸象函数类$K\left(\varphi \right)$ ，则需满足$1+\frac{z{h}^{″}\left(z\right)}{h^{\prime }\left(z\right)}$ 从属于$\varphi \left(z\right)$ 。在这些定义中，$h\in \mathcal{A}$ ，而$\varphi \left(z\right)$ 则属于正实部条件的解析函数类。简而言之，这两个函数类通过特定的从属关系来界定，这种关系反映了函数$h\left(z\right)$ 的图像特性(星形或凸形)与简单函数$\varphi \left(z\right)$ 之间的关系。

当选取特定的函数形式$\varphi \left(z\right)=\frac{1+Az}{1+Bz},-1\le B<A\le 1$ 时，原本定义的星象函数类${\mathcal{S}}^{*}\left(\varphi \right)$ 和凸象函数类$K\left(\varphi \right)$ 分别演变为Janowski星象函数类${\mathcal{S}}^{*}\left(A,B\right)$ 和Janowski凸象函数类$K\left(A,B\right)$ [3]。换句话说，Janowski星象和凸象函数类是Ma和Minda所定义函数类在$\varphi \left(z\right)$ 取特定形式时的特例。

特别地，在参数选择为$A=1,B=-1$ 的情况下，Janowski星象函数类${\mathcal{S}}^{*}\left(A,B\right)$ 和Janowski凸象函数类$K\left(A,B\right)$ 分别简化为复分析中广泛研究的经典星象函数类$S^{*}$ 和凸象函数类K。

在1959年，Sakaguchi [4]引入了关于对称点的星象函数类${\mathcal{S}}_s^{*}$ 。如果一个函数h属于${\mathcal{S}}_s^{*}$ ，那么它必须满足：

$Re\frac{z{h}^{\prime }\left(z\right)}{h\left(z\right)-h\left(-z\right)}>0,h\in \mathcal{A}$ ,

即其图像关于某点对称，并呈现出星形特性，这类函数在复分析和函数理论中有着重要的应用。

随后，在1987年，El-Ashwa和Thomas [5]进一步扩展了这一概念，他们引入了关于共轭点的星象函数类${\mathcal{S}}_c^{*}$ 和关于对称共轭点的星象函数类${\mathcal{S}}_{cs}^{*}$ ，分别定义如下：

$h\in {\mathcal{S}}_c^{*}\iff Re\frac{z{h}^{\prime }\left(z\right)}{h\left(z\right)+\overline{h}\left(\overline{z}\right)}>0$ 及$h\in {\mathcal{S}}_{sc}^{*}\iff Re\frac{z{h}^{\prime }\left(z\right)}{h\left(z\right)-\overline{h}\left(-\overline{z}\right)}>0$ .

如果函数$h\in \mathcal{A}$ 满足以下条件：

$Re\left(\frac{h\left(z\right)}{z{h}^{\prime }\left(z\right)}\right)>\alpha \left(0\le \alpha <1\right)$ ,

则称h属于$\alpha$ 阶倒星象函数类，用$h\in R{S}^{\ast }\left(\alpha \right)$ 表示。

与经典的$\alpha$ 阶星象函数类$S^{\ast }\left(\alpha \right)$ 相比，$\alpha$ 阶倒星象函数类将单位圆盘映射到一个圆盘内的星象区域，该区域的中心为$\left(\frac{1}{2\alpha },0\right)$ ，半径为$\frac{1}{2\alpha }$ [6]。特别是当$0<\alpha <\frac{1}{2}$ 时，圆盘较大。因此，对倒星象函数类的研究引起了大多数学者的研究兴趣[7]-[12]。

这些函数类的引入，不仅丰富了复分析中的函数理论，也为解决一些具有特定对称性和共轭性的数学问题提供了新的工具。通过这些定义，研究者们能够更精确地描述和分析具有特定几何特性的函数性质。

1909年，Jackson [13]定义了具有形式(1)的解析函数h的q-微分算子，如下[14]-[17]：

$D_{q}h\left(z\right)=\{\begin{array}{ll}\underset{q\to 1^{-}}{\text{lim}}\frac{h\left(z\right)-h\left(qz\right)}{\left(1-q\right)z}\hfill & q\ne 1,z\ne 0,\hfill \\ h^{\prime }\left(z\right),\hfill & q=1,z\ne 0,\hfill \end{array}$ (2)

其中，$0<q\le 1$ 及

$D_{q}h\left(z\right)=1+{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\left[k\right]}_q{a}_k}{z}^{k-1}$ (3)

且

${\left[k\right]}_q=\frac{1-q^k}{1-q}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _{\ell =1}^k{q}^{k-\ell }},\hfill & q\ne 1,\hfill \\ k,\hfill & q=1.\hfill \end{array}$ (4)

由(2)，得：

$\underset{z\to 0}{\text{lim}}{D}_{q}h\left(z\right)=1\text{, }\underset{q\to 1^{-}}{\text{lim}}{D}_{q}h\left(z\right)=h^{\prime }\left(z\right).$

对于$h\left(z\right)\in \mathcal{A}$ ，$0\le \lambda \le 1$ ，我们将引入一类Sălăgean-q微分算子$J_q^{\lambda ,n}$ ，定义如下：

$\begin{array}{l}{J}_q^{\lambda ,0}h\left(z\right)=h\left(z\right),\\ J_q^{\lambda ,1}h\left(z\right)=\lambda z{D}_{q}h\left(z\right)+\left(1-\lambda \right)z{h}^{\prime }\left(z\right),\\ J_q^{\lambda ,n}h\left(z\right)=J_q^{\lambda ,1}\left(J_q^{\lambda ,n-1}h\left(z\right)\right).\end{array}$

若$h\left(z\right)=z+{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{a}_k{z}^k}$ ，则$J_q^{\lambda ,n}h\left(z\right)=z+{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\left(\lambda {\left[k\right]}_q+\left(1-\lambda \right)k\right)}^n}{a}_k{z}^k$ 。

在1984年，Clunie和Sheil-Small [18]创新性地将解析函数的经典理论和方法应用于调和映射，这一举措激发了人们对该领域的浓厚兴趣，并催生了一系列显著的研究成果[19]。

定义$S_H$ 为在单位圆盘内，所有满足初始条件$f\left(0\right)=f_z\left(0\right)-1=0$ 的调和且单叶的函数集合。$S_H$ 集合中的每一个函数f均可表示为如下形式：

$f\left(z\right)=h\left(z\right)+\overline{g\left(z\right)}\left(z\in \mathbb{U}\right),$ (5)

其中，

$h\left(z\right)=z+{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{a}_k}{z}^k\text{,}g\left(z\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{b}_k}{z}^k,\left|b_1\right|=\alpha \in [0,1)$ (6)

在单位圆盘内解析。

函数$f=h+\overline{g}$ 在单位圆盘$\mathbb{U}$ 内局部单叶及保形当且仅当$\left|h^{\prime }\left(z\right)\right|>\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|\left(z\in \mathbb{U}\right)$ 。

本文将研究一类调和函数$f=h+\overline{g}$ 的Sălăgean-q微分算子$J_q^{\lambda ,n}$ ，如下：

$J_q^{\lambda ,n}f\left(z\right)=J_q^{\lambda ,n}h\left(z\right)+{\left(-1\right)}^n\overline{J_q^{\lambda ,n}g\left(z\right),}$

其中，$J_q^{\lambda ,n}h\left(z\right)=z+{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\left(\lambda {\left[k\right]}_q+\left(1-\lambda \right)k\right)}^n}{a}_k{z}^k$ ，$J_q^{\lambda ,n}g\left(z\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left(\lambda {\left[k\right]}_q+\left(1-\lambda \right)k\right)}^n}{b}_k{z}^k$ 。

结合之前的研究成果，我们与所在的复分析研究团队对关于对称共轭点的星象函数类进行了深入探讨[20] [21]。基于这些探讨与启发，我们现在引入一个新的单叶调和函数类的子类，具体定义如下：

定义1 设函数$f=h+\overline{g}\in S_H$ ，h和g具有(6)式形式，定义具有对称共轭点倒结构函数类$\mathscr{H}ℛ{\mathcal{Q}}_{sc}^{q,n}\left(\lambda ,\alpha ,A,B\right)$ ，如果其解析部分$h\in ℛ{\mathcal{Q}}_{sc}^{q,n}\left(\lambda ,A,B\right)$ ，即：

$\frac{J_q^{\lambda ,n}\left(h\left(z\right)-\overline{h}\left(-\overline{z}\right)\right)}{J_q^{\lambda ,n+1}\left(h\left(z\right)\right)}\prec \frac{1+Az}{1+Bz}\left(-1\le A<B\le 1\right)$. (7)

特别地，当$n=0,\lambda =0$ 时，$\mathscr{H}ℛ{\mathcal{Q}}_{sc}^{q,n}\left(\lambda ,\alpha ,A,B\right)=\mathscr{H}ℛ{\mathcal{Q}}_{sc}^{q,0}\left(0,\alpha ,A,B\right)$ 是关于对称共轭点的倒星象函数类；当$n=1,\lambda =0$ 时，$\mathscr{H}ℛ{\mathcal{Q}}_{sc}^{q,n}\left(\lambda ,\alpha ,A,B\right)=\mathscr{H}ℛ{\mathcal{Q}}_{sc}^{q,1}\left(0,\alpha ,A,B\right)$ 是关于对称共轭点的倒凸象函数类[22] [23]。

本文深入探讨了该函数类的系数条件以及Fekete-Szegö不等式，进一步扩展了文献[22]和[23]中的相关结论。为了支撑本文的研究发现，我们需要引用以下引理：

引理 1 [24]如果函数$\omega \left(z\right)=c_0+c_{1}z+\cdots +c_n{z}^n+\cdots$ 在$\mathbb{U}$ 内解析满足$\left|\omega \left(z\right)\right|\le 1$ ，则：

$\left|c_n\right|\le 1-{\left|c_0\right|}^2\left(n=1,2,\cdots \right).$ (8)

引理 2 [2] [25]令。对于任意复数v，有：

$\left|p_2-v{p}_1^2\right|\le 2\text{max}\left\{1,\left|2v-1\right|\right\}.$ (9)

2. 主要结果

首先，我们得到了本文中定义的函数类$ℛ{\mathcal{Q}}_{sc}^{q,n}\left(\lambda ,A,B\right)$ 的系数估计。

定理1 设$0\le \lambda \le 1,0<q<1,n\in {\mathbb{N}}_0$ ，且$-1\le A<B\le 1$ 。若函数$h\in ℛ{\mathcal{Q}}_{sc}^{q,n}\left(\lambda ,A,B\right)$ 且h具有(1)式形式，则有：

$\left|a_{2t}\right|\le \{\begin{array}{ll}\frac{A-B}{M_2^{n+1}},\hfill & t=1,\hfill \\ \frac{\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{t-1}}{M_{2t}^{n+1}}{\displaystyle \prod _{j=1}^{t-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)},\hfill & t>1,\hfill \end{array}$ (10)

及

$\left|a_{2t+1}\right|\le \{\begin{array}{ll}\frac{\left(A-B\right)\left(1+A-B\right)}{M_3^n\left(M_3-1\right)},\hfill & t=1,\hfill \\ \frac{\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^t}{M_{2t+1}^n\left(M_{2t+1}-1\right)}{\displaystyle \prod _{j=1}^{t-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}\hfill & t>1,\hfill \end{array}$ (11)

其中，

$M_k=\left(\lambda {\left[k\right]}_q+\left(1-\lambda \right)k\right).$ (12)

证明：首先，我们证明定理1的第一部分。令$h\left(z\right)=z+{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{a}_k}{z}^k\in ℛ{\mathcal{Q}}_{sc}^{q,n}\left(\lambda ,A,B\right)$ ，则存在正实部函数满足$\left|p_j\right|\le A-B$ ，使得：

$\frac{J_q^{\lambda ,n}\left(h\left(z\right)-\overline{h}\left(-\overline{z}\right)\right)}{2J_q^{\lambda ,n+1}h\left(z\right)}=p\left(z\right).$ (13)

通过比较等式(13)两边的系数，可以得出以下结论：

$\frac{1+{\left(-1\right)}^{k+1}}{2}{M}_k^n{a}_k=M_k^{n+1}{a}_k+p_1{M}_{k-1}^{n+1}{a}_{k-1}+p_2{M}_{k-2}^{n+1}{a}_{k-2}+p_{k-2}{M}_2^{n+1}{a}_2+p_{k-1}{M}_1^{n+1}{a}_1$ ,

其中，$M_k=\left(\lambda {\left[k\right]}_q+\left(1-\lambda \right)k\right),a_1=1,M_1=1,1\le M_k<k$ 。

若k为偶数，得到：

$M_k^{n+1}{a}_k=-\left(p_1{M}_{k-1}^{n+1}{a}_{k-1}+p_2{M}_{k-2}^{n+1}{a}_{k-2}+p_{k-2}{M}_2^{n+1}{a}_2+p_{k-1}{M}_1^{n+1}{a}_1\right)$ . (14)

若k为奇数，得到：

$\left(M_k^{n+1}-M_k^n\right)a_k=-\left(p_1{M}_{k-1}^{n+1}{a}_{k-1}+p_2{M}_{k-2}^{n+1}{a}_{k-2}+p_{k-2}{M}_2^{n+1}{a}_2+p_{k-1}{M}_1^{n+1}{a}_1\right)$ . (15)

若k为偶数，得到：

$M_k^{n+1}\left|a_k\right|\le \left(A-B\right)\left(M_{k-1}^{n+1}\left|a_{k-1}\right|+M_{k-2}^{n+1}\left|a_{k-2}\right|+\cdots +M_2^{n+1}\left|a_2\right|+M_1^{n+1}\right).$ (16)

若k为奇数，得到：

$M_k^{n+1}\left|a_k\right|\le \frac{M_k}{M_k-1}\left(A-B\right)\left(M_{k-1}^{n+1}\left|a_{k-1}\right|+M_{k-2}^{n+1}\left|a_{k-2}\right|+\cdots +M_2^{n+1}\left|a_2\right|+M_1^{n+1}\right).$ (17)

经过对(16)和(17)式进行比较及运算后，得到系数估计如下：

$M_{2t}^{n+1}\left|a_{2t}\right|\le \left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{t-1}{\displaystyle \prod _{j=1}^{t-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}\left(t>1\right)$ (18)

及

$M_{2t+1}^{n+1}\left|a_{2t+1}\right|\le \frac{M_{2t+1}}{M_{2t+1}-1}\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^t{\displaystyle \prod _{j=1}^{t-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}\left(t>1\right)$ (19)

下面用数学归纳法对(18)和(19)进行证明。

当$t=2$ 时，

$M_4^{n+1}\left|a_4\right|\le \left(A-B\right)\left(1+A-B\right)\left(1+\frac{M_3}{M_3-1}\left(A-B\right)\right)$ ,

$M_5^{n+1}\left|a_5\right|\le \frac{M_5}{M_5-1}\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^2\left(1+\frac{M_3}{M_3-1}\left(A-B\right)\right)$ ,

(18)式及(19)式成立。

假设当$t=N$ 时，(18)式及(19)式成立，即：

$M_{2N}^{n+1}\left|a_{2N}\right|\le \left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{N-1}{\displaystyle \prod _{j=1}^{N-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}$ (20)

及

$M_{2N+1}^{n+1}\left|a_{2N+1}\right|\le \frac{M_{2N+1}}{M_{2N+1}-1}\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^N{\displaystyle \prod _{j=1}^{N-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}.$ (21)

当$t=N+1$ 时，结合(16)、(17)、(20)及(21)式，有：

$M_{2N+2}^{n+1}\left|a_{2N+2}\right|\le \left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^N{\displaystyle \prod _{j=1}^N\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}$ (22)

及

$M_{2N+3}^{n+1}\left|a_{2N+3}\right|\le \frac{M_{2N+3}}{M_{2N+3}-1}\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{N+1}{\displaystyle \prod _{j=1}^N\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}.$ (23)

从而有(18)式及(19)式成立，即：

$\left|a_{2t}\right|\le \frac{\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{t-1}}{M_{2t}^{n+1}}{\displaystyle \prod _{j=1}^{t-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}\left(t>1\right)$

和

$\left|a_{2t+1}\right|\le \frac{\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^t}{M_{2t+1}^n\left(M_{2t+1}-1\right)}{\displaystyle \prod _{j=1}^{t-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}\left(t>1\right).$

于是，定理1得证。

定理2 设$0\le \lambda \le 1,0<q<1,n\in {\mathbb{N}}_0$ ，且$A=1,B=-1$ 。若函数$h\in ℛ{\mathcal{Q}}_{sc}^{q,n}\left(\lambda ,1,-1\right)$ 且h具有(1)式形式，对于任意复数$\mu$ ，则有：

$\left|a_3-\mu a_2^2\right|\le \frac{2}{M_3^n\left(M_3-1\right)}\text{max}\left\{1,\left|\frac{2\mu M_3^n\left(M_3-1\right)}{M_2^{2n+2}}+1\right|\right\},$

其中，$M_k$ 由(12)式给出。

特别地，若定理2中取$\lambda =0,n=0$ 或$\lambda =0,n=1$ ，则可以得到[22]中的结果。

证明：由定理1及引理2可得：

$\begin{array}{c}\left|a_3-\mu a_2^2\right|=\frac{1}{M_3^n\left(M_3-1\right)}\left|p_2-p_1^2-\frac{\mu M_3^n\left(M_3-1\right)}{M_2^{2n+2}}{p}_1^2\right|\\ \le \frac{2}{M_3^n\left(M_3-1\right)}\text{max}\left|1,\frac{2\mu M_3^n\left(M_3-1\right)}{M_2^{2n+2}}+1\right|.\end{array}$

从而定理2可证。

通过探究调和函数中解析部分和共轭解析部分的相互关系，我们推导出了调和函数类的系数估计，同时得出了Fekete-Szegö不等式。

定理3 设$0\le \lambda \le 1,0<q<1,n\in {\mathbb{N}}_0$ ，且$-1\le A<B\le 1$ 。若函数$f=h+\overline{g}\in \mathscr{H}ℛ{\mathcal{Q}}_{sc}^{q,n}\left(\lambda ,\alpha ,A,B\right)$ 且h和g具有(6)式形式，则有：

$\left|b_{2t}\right|\le \{\begin{array}{ll}\frac{1-{\alpha }^2}{2}+\frac{\left(A-B\right)}{M_2^{n+1}}\alpha ,\hfill & t=1,\hfill \\ \begin{array}{l}\frac{1-{\alpha }^2}{2t}\left\{1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{t-1}\left(\frac{2k}{M_{2k}^{n+1}}+\frac{\left(2k+1\right)\left(1+A-B\right)}{M_{2k+1}^n\left(M_{2k+1}-1\right)}\right)\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{k-1}{\displaystyle \prod _{j=1}^{k-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}}\right\}\\ +\alpha \frac{\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{t-1}}{M_{2t}^{n+1}}{\displaystyle \prod _{j=1}^{t-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)},\end{array}\hfill & t\ge 2,\hfill \end{array}$ (24)

及

$\left|b_{2t+1}\right|\le \{\begin{array}{ll}\frac{1-{\alpha }^2}{3}\left(1+\frac{2\left(A-B\right)}{M_2^{n+1}}\right)+\frac{\left(A-B\right)\left(1+A-B\right)\alpha }{M_3^n\left(M_3-1\right)},\hfill & t=1,\hfill \\ \begin{array}{l}\frac{1-{\alpha }^2}{2t+1}\{1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{t-1}\left(\frac{2k}{M_{2k}^{n+1}}+\frac{\left(2k+1\right)\left(1+A-B\right)}{M_{2k+1}^n\left(M_{2k+1}-1\right)}\right)\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{k-1}{\displaystyle \prod _{j=1}^{k-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}}\\ +\frac{2t\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{t-1}}{M_{2t}^{n+1}}{\displaystyle \prod _{j=1}^{t-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}\}\\ +\alpha \frac{\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^t}{M_{2t}^n\left(M_{2t+1}-1\right)}{\displaystyle \prod _{j=1}^{t-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)},\end{array}\hfill & t\ge 2,\hfill \end{array}$ (25)

其中，$M_k$ 由(12)式给出。

证明：依据调和函数中解析部分与共轭解析部分之间的关联，即$g^{\prime }=\omega h^{\prime }$ (其中h和g由公式(6)定义，且$\omega \left(z\right)=c_0+c_{1}z+c_2{z}^2+\cdots$ 是在单位圆盘内解析的函数)，我们可以推导出以下结论：

$2t{b}_{2t}={\displaystyle \sum _{p=1}^{2t}p}{a}_p{c}_{2t-p}\left(a_1=1,t\ge 1\right)$ (26)

及

$\left(2t+1\right)b_{2t+1}={\displaystyle \sum _{p=1}^{2t+1}p}{a}_p{c}_{2t+1-p}\left(a_1=1,t\ge 1\right).$ (27)

从而有：

$2t\left|b_{2t}\right|\le \left|c_{2t-1}\right|+2\left|a_2\right|\left|c_{2t-2}\right|+\cdots +\left(2t-1\right)\left|a_{2t-1}\right|\left|c_1\right|+2t\left|a_{2t}\right|\left|c_0\right|$ (28)

及

$\left(2t+1\right)\left|b_{2t+1}\right|\le \left|c_{2t}\right|+2\left|a_2\right|\left|c_{2t-1}\right|+\cdots +2t\left|a_{2t}\Vert c_1|+\left(2t+1\right)|a_{2t+1}\Vert c_0\right|.$ (29)

由于$g^{\prime }=\omega h^{\prime }$ ，可得$c_0=b_1$ 。根据引理1，有$\left|c_k\right|\le 1-{\alpha }^2,k=1,2,\cdots ,2t$ 。于是：

$\begin{array}{c}\left|b_{2t}\right|\le \{\begin{array}{ll}\frac{1-{\alpha }^2}{2}+\left|a_2\right|\alpha ,\hfill & t=1,\hfill \\ \frac{1-{\alpha }^2}{2t}\left(1+{\displaystyle \sum _{k=2}^{2t-1}k}\left|a_k\right|\right)+\alpha \left|a_{2t}\right|,\hfill & t\ge 2,\hfill \end{array}\\ \le \{\begin{array}{ll}\frac{1-{\alpha }^2}{2}+\frac{A-B}{M_2^{n+1}}\alpha ,\hfill & t=1,\hfill \\ \begin{array}{l}\frac{1-{\alpha }^2}{2t}\left\{1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{t-1}\left(\frac{2k}{M_{2k}^{n+1}}+\frac{\left(2k+1\right)\left(1+A-B\right)}{M_{2k+1}^n\left(M_{2k+1}-1\right)}\right)\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{k-1}{\displaystyle \prod _{j=1}^{k-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}}\right\}\\ +\alpha \frac{\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{t-1}}{M_{2t}^{n+1}}{\displaystyle \prod _{j=1}^{t-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)},\end{array}\hfill & t\ge 2,\hfill \end{array}\end{array}$

及

$\begin{array}{c}\left|b_{2t+1}\right|\le \{\begin{array}{ll}\frac{1-{\alpha }^2}{3}\left(1+2\left|a_2\right|\right)+\alpha \left|a_3\right|,\hfill & t=1,\hfill \\ \frac{1-{\alpha }^2}{2t+1}\left(1+{\displaystyle \sum _{k=2}^{2t}k}\left|a_k\right|\right)+\alpha \left|a_{2t+1}\right|,\hfill & t\ge 2,\hfill \end{array}\\ \le \{\begin{array}{ll}\frac{1-{\alpha }^2}{3}\left(1+\frac{2\left(A-B\right)}{M_2^{n+1}}\right)+\frac{\left(A-B\right)\left(1+A-B\right)\alpha }{M_3^n\left(M_3-1\right)},\hfill & t=1,\hfill \\ \begin{array}{l}\frac{1-{\alpha }^2}{2t+1}\{1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{t-1}\left(\frac{2k}{M_{2k}^{n+1}}+\frac{\left(2k+1\right)\left(1+A-B\right)}{M_{2k+1}^n\left(M_{2k+1}-1\right)}\right)\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{k-1}{\displaystyle \prod _{j=1}^{k-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}}\\ +\frac{2t\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^{t-1}}{M_{2t}^{n+1}}{\displaystyle \prod _{j=1}^{t-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)}\}\\ +\alpha \frac{\left(A-B\right){\left(1+A-B\right)}^t}{M_{2t+1}^n\left(M_{2t+1}-1\right)}{\displaystyle \prod _{j=1}^{t-1}\left(1+\frac{M_{2j+1}}{M_{2j+1}-1}\left(A-B\right)\right)},\end{array}\hfill & t\ge 2,\hfill \end{array}\end{array}$

从而定理3可证。

定理4 设$0\le \lambda \le 1,0<q<1,n\in {\mathbb{N}}_0$ ，且$A=1,B=-1$ 。若函数$f\in \mathscr{H}ℛ{\mathcal{Q}}_{sc}^{q,n}\left(\lambda ,\alpha ,1,-1\right)$ 且h与g具有(6)式形式，对于任意复数$\mu$ ，则有：

$\left|b_3-\mu b_2^2\right|\le \frac{1-{\alpha }^2}{3}\left\{1+\frac{3\left|\mu \right|\left(1-{\alpha }^2\right)}{4}+\frac{2\left|2-3\mu b_1\right|}{M_2^{n+1}}\right\}+\frac{2\alpha }{M_3^n\left(M_3-1\right)}\text{max}\left\{1,\left|\frac{2\mu b_1{M}_3^n\left(M_3-1\right)}{M_2^{2n+2}}+1\right|\right\},$ (30)

其中，$M_k$ 由(12)式给出。

证明：由定理3可得：

$\left|b_3-\mu b_2^2\right|\le \frac{1-{\alpha }^2}{3}\left\{1+\frac{3\left|\mu \right|\left(1-{\alpha }^2\right)}{4}+\left|a_2\right|\left|2-3\mu b_1\right|\right\}+\alpha \left|a_3-\mu b_1{a}_2^2\right|.$ (31)

再利用定理1和定理2，可得(31)式成立，从而定理4得证。

基金项目

内蒙古自然科学基金资助项目(2020MS01011, 2021MS01002, 2022MS01004, 2024MS01014)；赤峰学院重点实验室建设项目(CFXYZD202004)；赤峰学院科研创新团队——“复分析与非线性动力系统科研创新团队”(cfxykycxtd202005)。