坐标思维法在大学物理中的问题解决路径

Coordinate Thinking Method to Solve College Physics Problems

摘要: 在物理问题的研究中，经常会运用到很多的方法，坐标法是研究物体运动学常用的方法。熟练的掌握并使用坐标思维会使我们解决问题的效率大大提高，本论文从坐标法的发展出发，把各种坐标系的建立过程和公式推导过程表达清楚，把坐标系的全貌呈现出来。将坐标思维与大学物理的问题解决结合起来，联系实例，说明如何选择和运用坐标法，提供一个解决物理问题的方法，提高解决大学物理问题的能力。

Abstract: In the study of physical problems, many methods are often used, and the coordinate method is a commonly used method for studying the kinematics of objects. Skilled mastery and use of coordinate thinking will greatly improve our efficiency in solving problems, Starting from the development of the coordinate method, Clearly express the establishment process and formula derivation process of various coordinate systems, and present the whole picture of the coordinate system. This thesis combines coordinate thinking with the problem-solving of college physics, and shows how to choose and use the coordinate method, provide a method to solve physics problems, and improve the ability to solve college physics problem.

1. 引言

在宇宙中，一切的物质都处于不停歇的运动当中，大到天体，小到尘埃都在不停歇地运动，运动是物体的固有属性和存在方式。正因为如此，在研究物体的机械运动时，就必须根据运动的相对性，选择另一个物体或者几个相互静止的物体作为参考，被选中的某个物体或者几个相互静止的物体就叫参考系。但参考系的不同对问题研究的难易程度有很大的影响，具体表现为模型建构、计算上的冗简[1]。研究物体的运动就要把物体放在这个参考系里面进行，更进一步对物体在空间中的相对位置进行定量的分析，就需要在参考系上建立一个坐标系。坐标系属于几何学的分支解析几何，解析几何通过坐标系，来建立点与数之间的对应关系，以及曲线与方程之间的对应关系。

2. 坐标系发展的背景

在坐标几何建立之前，欧洲的数学家在代数上已经有所突破，包括运用各方程解析问题。随着文艺复兴和资本主义快速发展，对人们的思想活动和生产活动带来了巨大的影响，也随之带来了大量的新问题和对科学技术的新要求，如机械运动、天文、航海的研究等等，因此，物体的运动和变化成了研究的中心。同时，在人们的生产实践中，产生了大量的变量问题，这就要求把数和形结合起来。虽然代数的解析方法已经成熟了，但是已有的常量数学已经解决不了这些新的问题了，人们迫切的需要一种解决变量的问题的新的方法。

法国数学家韦达创造性的在代数中把数与字母结合起来，在计算中将未知数和已知数用字母表示出来，这样就可以用字母表示方程中的系数和常数。代数的符号化，使得坐标系的引进变得可能。17世纪中叶，法国数学家笛卡尔在平面中建立坐标系，他将方程中每一种结果用点的形式在坐标上表示出来，这些点就构成了一条曲线，那么方程和曲线就统一了起来。这样，就将几何问题转化为了代数问题，代数问题也有了对应的几何意义。

随着人们对坐标系的不断探索，其在物理中的运用也越来越广泛，无论简单或者复杂的定理定律，在引入坐标系之后计算量大大简化。发展到今天，坐标法已经成为一套完整的理论体系，在大学物理中广泛使用坐标法，不管是内容还是方法都已经发生了很大的变化，计算过程大大简化，在享受坐标思维给我们带来的方便的同时，不能忘记前人们为坐标法的发展付出的努力。本文中讲到的坐标思维也不过是其中极浅的部分罢了。

3. 常用坐标系

在大学物理中，为了讨论公式定理的普遍性，经常进行变量的研究。运动学中研究物体的机械运动，描述物体的运动运动状态使用位矢、速度和加速度，对它们进行矢量运算。前面说到研究此类变量问题就是将几何问题用代数方法解决，解决这类问题就是在选择的参考系上建立适当的坐标系，把这些矢量向坐标轴上进行投影，从而将这类问题转化为代数问题，这样就可以简化其过程。这种思维有利于解决大学物理问题，将一个抽象的问题转化为清晰的代数问题，对解题和研究规律有很大的帮助。在解决问题时经常能用到的就是五种坐标系，接下来就具体讲解如何选择坐标系并运用坐标思维法解决问题。

3.1. 直角坐标系的选择

在平面内画两条相互垂直的数轴，我们把水平方向的数轴称为横轴(x轴)，一般取正方向向右，把竖直方向上的数轴称为竖轴(y轴)，一般取正方向向上，两条数轴的交点称为原点(o点)，这样建立坐标系称为平面直角坐标系。实际上，物体直线运动在直角坐标系中的描述相比与其他坐标系更加简便。直线运动只涉及到两个甚至一个坐标轴上的计算，得到的解析式也很简单。

当物体做曲线运动的轨迹方程为一阶函数时，求它的速度和加速度只需要求一次导和二次导，这无疑比其他的计算简单得多，甚至只涉及到基础的数学运算。所以当物体的运动是直线运动或者运动轨迹为一阶函数时，可运用直角坐标系可以简化运算，就可以选择直角坐标系。[2]

3.2. 极坐标系的选择

在解决一般的力学问题中，虽然经常使用的是直角坐标系，但是在有的问题中为了方便计算也要使用其他坐标系，比如极坐标系。求解平面曲线运动问题时，用直角坐标系分析和计算显得复杂，而极坐标系的计算就简单得多，比如计算质点受到有心力作用的问题时，极坐标系计算就方便得多。

在有些问题中，没有明确的给出物体运动的轨迹方程，而使用直角坐标系一般都是在运动的轨迹方程基础上进行计算，在这种情况下不用直角坐标系，而是选择极坐标系，还有就是前面说到，当物体是因为受到有心力的作用而运动的问题也选择极坐标系，极坐标系在这些条件下往往更方便、适用。[2]

3.3. 自然坐标系的选择

在直角坐标系中，研究物体运动的加速度是对速度大小进行微分，再用单位矢量表示方向。然而，普通的课堂无法通过直角坐标系中的加速度公式，来区别加速度是因为速度大小的改变还是方向的改变产生的，这就需要引入自然坐标系。自然坐标系沿质点的运动轨迹建立，原点O为质点运动轨迹上任意一点，用质点到原点的轨迹长度表示它在任意时刻的位置。在自然坐标系中我们把运动分为切向和法向两个方向。已知速度在任意时刻都沿着切线方向，所以在自然坐标系中速度只有切向分量，没有法向分量，这样就很容易将速度大小的变化和速度方向的变化区分出来。用自然坐标系描述质点在空间中的运动只需要再引入一个法向单位矢量就可以了，这种分解的方法完全取决于物体运动轨迹本身的形状。

在物体运动做曲线运动的轨迹方程是二次函数的时候，使用直角坐标系的计算过程和得到的运动学方程就很繁杂，在这种复杂的情况下出现错误的概率也就越大，而自然坐标系在这种情况下的一系列计算和推导就简单得多，物理意义也很清晰。而在这种给出了确定的轨迹方程的情况下使用自然坐标系，尤其是给定物体的运动轨迹为圆锥曲线运动时，又会优于极坐标系。[3]

但是，运用自然坐标系有一个前提，那就是物体的运动轨迹必须是已知的。在不知道轨迹方程的情况下用自然坐标系会使过程变得复杂，甚至没有办法得到结果。

3.4. 柱面坐标系的选择

柱面坐标系可以看成平面极坐标系加上垂直于该平面的一条数轴构成。当平面极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，把极轴与x轴的正半轴重合，极轴和位矢组成的平面与xoy平面重合，再加上z轴就是柱面坐标系。前面已经将了其他三种坐标系在运动学中的应用，这三种坐标系在大学物理的运动学中应用尤为广泛，但是坐标系的运用不仅在我们的运动学中，在电磁学中也广泛的使用了坐标思维。在电磁学中，经常涉及到边界条件的处理，这类问题一般都会放在柱面坐标系和球坐标系中进行计算，接下来我们就用坐标系去解决电磁学中的问题。

柱面坐标系在运动学中并不是经常用的坐标系，在有边界条件且边界为柱面的问题时，柱面坐标系比较适用。在热力学以及电磁学中柱面坐标系比较常见，我们会经常用到它求解有边界条件的问题。

3.5. 球坐标系的选择

运动学在球坐标系中进行描述会变得复杂，但是在电磁学中运用球坐标系会使研究变得更加简单。球坐标系也可以看成是为了描述空间中某一点的位置而由极坐标系扩展而成，我们用球坐标(r, $\theta$ , $\phi$ )描述空间中点的位置，r为原点到点这条线段的长度，$\theta$ 为原点到点的这条线段在xoy的投影与x轴(极轴)的夹角(极角)，$\phi$ 为这条线段与z轴之间的夹角(方位角)。

当遇到给定了一个边界条件且为边界形状为球形或者圆锥形时，使用球坐标系会方便我们求解，比如电磁学中求解球壳上电荷电势的分布。

4. 坐标思维法在物理问题中的具体应用

在解决实际问题时，需要深刻把握坐标系的内涵，从具体问题出发，根据已知信息建立合适的坐标系。恰当的坐标系，会大大减少计算量，将分析过程和物理意义清晰的表达出来。接下来就解决坐标思维在物理问题当中的应用，下面通过例题的形式在问题中运用一种或者多种坐标系来求解，并进行分析比较。

4.1. 直角坐标系解决问题

对于一般的物体运动轨迹很简单问题，可以使用直角坐标系来解决，把物体运动的几何关系在直角坐标系中转化为代数关系，因为基本上都是简单的代数运算，只需要根据列出的解析式计算就可以。但是一定要理清思路，几何关系与代数关系必须一一对应，也不要遗漏沿坐标轴方向的物理量。

在大学物理运动学的研究中，经常涉及到求质点的运动轨迹，质点在空间中的运动是三维运动，需要三个独立的变量。而空间直角坐标系就是用三个坐标分别表示确定点的位置，我们就可以将质点的运动放在空间直角坐标系中，分为沿x轴、y轴、z轴三个方向的运动，将矢量运算转化为代数运算，求质点在每个方向的分运动来描述质点在空间上的运动。

Figure 1. Rectangular coordinate system

图1. 直角坐标系

质点的运动轨迹方程一般是关于时间t的函数，那么分运动也应该是关于时间的函数，则质点在直角坐标系中各个时刻的位置可以表示为x(t)、y(t)、z(t)，质点在空间中的位置，也可以直接用位置矢量$r$ 表示。再引入三个单位矢量$i$ 、$j$ 、$k$ 分别沿x轴、y轴、z轴的正方向(见图1)，那么质点的运动轨迹方程就可以表示为

$r=x\left(t\right)i+y\left(t\right)j+z\left(t\right)k$ (4.1.1)

根据质点的运动轨迹方程，我们就可以计算出在任意时刻质点在空间中的位置。将轨迹方程对时间求导就得到质点的速度

$r=x\left(t\right)i+y\left(t\right)j+z\left(t\right)k$ (4.1.2)

其中$v_x,v_y,v_z$ 表示速度在各个方向的速度大小

$v_x=\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$ , $v_y=\frac{\text{d}y}{\text{d}t}$ , $v_z=\frac{\text{d}z}{\text{d}t}$ ;(4.1.3)

在直角坐标系中，我们可以将速度的大小和方向分别表示

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ (4.1.4)

$\cos \alpha =\frac{v_x}{v}$ , $\cos \beta =\frac{v_y}{v}$ , $\cos \gamma =\frac{v_z}{v}$ ;(4.1.5)

其中$\alpha$ ，$\beta$ ，$\gamma$ ，表示速度矢量的方向角。

进一步对速度求导得到

$a=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=a_{x}i+a_{y}j+a_{z}k$ (3.1.6)

$a_x=\frac{\text{d}{v}_x}{\text{d}t}=\frac{{\text{d}}^{2}x}{\text{d}{t}^2}$ , $a_y=\frac{\text{d}{v}_y}{\text{d}t}=\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{t}^2}$ , $a_z=\frac{\text{d}{v}_z}{\text{d}t}=\frac{{\text{d}}^{2}z}{\text{d}{t}^2}$ ;(3.1.7)

加速度的大小和方向用代数表示为

$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ (3.1.8)

$\cos \alpha =\frac{a_x}{a}$ , $\cos \beta =\frac{a_y}{a}$ , $\cos \gamma =\frac{a_z}{a}$ ;(3.1.9)

这样我们在研究质点在空间上的运动时就可以根据建立的直角坐标系表示出质点的运动轨迹方程，并根据质点的运动轨迹方程计算出质点的速度和加速度。通过(3.1.3)及(3.1.7)两式可以看出，研究质点的运动时，轨迹方程、速度方程和加速度方程只要知道其中一个，就可以求出其余两个。

4.2. 极坐标系解决问题

用极坐标系解决质点受有心力作用而做的有心运动就方便的多。在直角坐标系中求解此类问题计算稍微复杂，在求导的过程中很容易出现错误，所得到的结果也较大。但是在极坐标系中得到的过程和结果就很简单，思路也比较清晰。

平面上任意一质点的位置我们都可以用极坐标表示为(r, θ)，r为极点到质点这条线段的长度称为极径，θ为线段与Ox之间的夹角称为极角。当我们取的极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，并单位取定相同的情况下，极坐标系与直角坐标系之间可以相互转换，转换公式

$x=r\cos \theta$ , $y=r\sin \theta$ , $r^2=x^2+y^2$ , $\tan \theta =\frac{y}{x}\left(x\ne 0\right)$ (4.2.1)

当质点沿曲线运动时，它的速度沿着轨道的切线。在直角坐标系中，我们把速度分解到x轴与y轴方向，在极坐标系中，我们把速度分解到沿位置矢量$r$ 的分量$v_r{e}_r$ ，及垂直位置矢量$r$ 的分量$v_{\theta }{e}_{\theta }$ (见图2，$e_r$ 和$e_{\theta }$ 分别为沿位矢$r$ 和垂直位矢$r$ 的单位矢量)。质点的运动方程在极坐标中就可以表示为

Figure 2. Polar coordinate system

图2. 极坐标系

$r=r{e}_r$ (4.2.2)

在极坐标系中，因为位矢$r$ 的方向在随时间变化，所以它是时间的函数，同样它的分量$e_r$ 和$e_{\theta }$ 也是时间的函数。那么在对时间求导时，我们就必须考虑到单位矢量$e_r$ 和$e_{\theta }$ ，

Figure 3. Vector transformation

图3. 矢量变换

见图3，$e_r$ ，${e^{\prime }}_r$ ，$\text{d}{e}_r$ 组成了一个等腰三角形。$\text{d}{e}_r$ 在大小上等于它的模$\left|\text{d}{e}_r\right|=1\times \text{d}\theta =\text{d}\theta$ ；在取极限的条件上，$\text{d}\theta$ 趋近于0，这样的话$\text{d}{e}_r$ 就与$e_{\theta }$ 的方向相同，所以可以得到$\text{d}{e}_r=\text{d}\theta e_{\theta }$ 。这样的话，单位矢量$e_r$ 对时间求导就得

$\frac{\text{d}{e}_r}{\text{d}t}=\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}{e}_{\theta }=\dot{\theta }{e}_{\theta }$(4.2.3)

同理可得

$\frac{\text{d}{e}_{\theta }}{\text{d}t}=-\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}{e}_r=-\dot{\theta }{e}_r$(4.2.4)

这样，我们就可以将轨迹方程进行求导，得到质点的速度随时间变化公式，我们把速度分解到沿位矢方向的径向速度$v_r{e}_r$ 和垂直位矢方向的横向速度$v_{\theta }{e}_{\theta }$ ，

$v=\frac{\text{d}r}{\text{d}t}{e}_r+r\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}{e}_{\theta }$ (4.2.5)

$v_r=v_r{e}_r=\frac{\text{d}r}{\text{d}t}{e}_r$ (4.2.6)

$v_{\theta }=v_{\theta }{e}_{\theta }=r\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}{e}_{\theta }$ (4.2.7)

进一步对时间求导就可以得到加速度的公式

$a_r=\left[\frac{{\text{d}}^{2}r}{\text{d}{t}^2}-r{\left(\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}\right)}^2\right]e_r$ (4.2.8)

$a_{\theta }=\left[r\frac{{\text{d}}^2\theta }{\text{d}{t}^2}+2\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}\right]e_{\theta }$ (4.2.9)

$a=\left[\frac{{\text{d}}^{2}r}{\text{d}{t}^2}-r{\left(\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}\right)}^2\right]e_r+\left[r\frac{{\text{d}}^2\theta }{\text{d}{t}^2}+2\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}\right]e_{\theta }$ (4.2.10)

这样我们就很好的用极坐标系将质点的曲线运动描述出来。

4.3. 直角坐标系和自然坐标系

使用自然坐标系的步骤和结果更加简单，如果轨迹方程再复杂一点，这种差距会更加明显。在这种已知质点曲线运动的轨迹方程时，有时候建立自然坐标系比直角坐标系简单，过程更加清楚，结果更加简单，呈现出来的效果比较好。

4.4. 极坐标系与自然坐标系

极坐标系和自然坐标系虽然都能够清楚将题解出来，但相比较起来，自然坐标系要稍微简单一点，因为自然坐标系少了对矢量的微分所以加速度直接用速度的代数式表示，而极坐标系多了一步将速度算出来再替换到方程中。所以在解一般的轨迹方程为二次函数的运动时，自然坐标系要稍好一点。特别是在处理一些平面问题时，使用极坐标系不但带来计算的简便，而且可以帮助学生更深刻地理解相关概念和规律，同时可以提高学生的思维能力。[4]

4.5. 柱面坐标解题

在解决边界问题为柱面的问题时，先采用柱面坐标系将需要求的物理量用已知量表示出来，再将代数式放到直角坐标系中计算求出结果。这种将两种坐标系综合应用起来会大大提高我们解题的效率。

在电磁学中，安培环路定理描述了在恒定磁场的闭合环路中的磁感应强度。安培环路定理把它总结为一个积分公式

${\displaystyle \underset{L}{\oint }B\cdot \text{d}l}=u_0{\displaystyle \sum _{\left(L_{内}\right)}I}$ (4.5.1)

我们用右手法则判断电流的方向。

Figure 4. Magnetic field distribution of infinite straight wire

图4. 无限长直导线磁场分布

见图4，在半径为R，电流为I的圆截面无限长载流直导线中，我们以轴线为中心O，半径为r作一个圆柱面，因为磁场的对称性，磁感应强度只与半径r有关，所以在圆柱面上的磁感应强度处处相等，这就构成了一个安培环路，感应强度方向就沿着这个圆柱面的切线方向，那么就有

${\displaystyle {\oint }_{L}B\cdot \text{d}l}={\displaystyle {\oint }_{L}B\left(\cos 0˚\right)\text{d}l}=B{\displaystyle {\oint }_L\text{d}l}=2\pi rB$ (4.5.2)

再根据安培环路定理，有

${\displaystyle {\oint }_{L^{\prime }}B\cdot \text{d}l}=2\pi rB=u_0{I}^{\prime }$ (4.5.3)

其中$I^{\prime }$ 是通过圆柱面的电流。

导线的电流密度

$j=\frac{I}{\pi R^2}$ (4.5.4)

当$r<R$ 时，通过圆柱面的电流

$I^{\prime }=j\pi r^2=\frac{I{r}^2}{R^2}$ (4.5.5)

代入式(3.4.3)得

$B=\frac{u_{0}rI}{2\pi R^2}$ (4.5.6)

当$r>R$ 时，$I^{\prime }=I$ ，所以

$B=\frac{u_{0}I}{2\pi r}$ (4.5.7)

4.6. 球坐标解题

球坐标系也可以看成是为了描述空间中某一点的位置而由极坐标系扩展而成，我们用球坐标(r, $\theta$ ,$\phi$ )描述空间中点的位置，r为原点到点这条线段的长度，$\theta$ 为原点到点的这条线段在xoy的投影与x轴(极轴)的夹角(极角)，$\phi$ 为这条线段与z轴之间的夹角(方位角)。球坐标系与直角坐标系之间的转换公式为

$x=r\sin \phi \cos \theta ,y=r\sin \phi \sin \theta ,z=r\cos \theta$ (4.6.1)

Figure 5. Spherical coordinate system

图5. 球坐标系

见图5，在球坐标系中我们引入单位矢量$e_r,e_{\theta },e_{\phi }$ 描述对应的参量r，$\theta$ ，$\phi$ ，$e_r$ 沿位矢方向，$e_r,e_{\theta },e_{\phi }$ 相互垂直，且$e_r\times e_{\phi }=e_{\theta }$ 。

在运用柱面坐标系和球坐标系时，由于解的大多数是有边界条件的问题，所以一定要弄清楚题目中给的边界条件，几个未知数一般就有几个边界条件。

5. 坐标思维解题方法

大学物理的坐标法经常涉及到矢量的引入、变换和计算，所以坐标系的理解对物理问题的研究显得格外重要。坐标系的建立是解决物理问题的关键环节，在经典力学的研究中，一般选用的都是直角坐标系，在其他的物理问题中，也可以根据需要选择其他的坐标系，如极坐标系、自然坐标系、球坐标系或柱坐标系，不同的坐标系有不同的适应范围，在具体的问题中，要灵活运用这些坐标系，选取合适的坐标系来简化物理问题的运算。所以在解决问题时，可以把解题大致分为如下步骤：①分析题目中能找到的的运动学方程或者边界条件，确定合适的坐标系。②建立坐标系，将质点的运动投影到坐标系上，用代数方程将题目中的已知条件在建立的坐标系中表达出来。③根据我们在坐标系中建立的方程(组)，求解出需要的物理量。

6. 小结

研究大学物理，避不开对矢量的计算，坐标系的出现恰好可以将几何问题转化成代数问题，所以对坐标系的研究和理解是非常有必要的。建立坐标系，可以使大量的矢量运算简化为代数运算，使变量的问题变得清晰可解，对大学物理的研究提供了方法。每种坐标系都有它使用的范围和方法，不同坐标系解决同一问题计算的过程和结果也不一样，选取恰当的坐标系可以简化问题，不合适的坐标系有时候反而会影响问题的解决。这就需要不断地积累经验和提高对坐标系的认识和理解，一般的和肤浅的认识，在掌握坐标思维的一般思路后，要充分理解在具体的物理情景中建立坐标系的物理意义，方能在问题中灵活的运用，顺利解决问题。