双面框架式板型声学超材料的低频隔声特性研究

Study on Low Frequency Sound Insulation Characteristics of Double-Sided Framed Plate Acoustic Metamaterials

摘要: 根据经典的质量定律，传统的轻量化结构在低频时通常无法提供良好的隔声性能。针对低频声波的控制，本文提出了一种具有双面框架的板型声学超材料。利用有限元方法计算了其声传输损失和色散关系，并结合振动模态详细分析了该超材料结构形成低频隔声的物理机理；研究了超材料结构的几何参数对其声传输损失的影响。结果表明：所设计的超材料结构能够实现低频宽带隔声效果，隔声峰频率主要受谐振器的固有频率的影响；隔声谷由谐振器和基体板的质量比决定。框架的对称分布，可以实现双峰耦合，拓宽隔声峰频带。本文提出的框架式板型声学超材料为低频宽带降噪领域的声学超材料结构的设计提供了一定的参考价值。

Abstract: According to the classical mass law, conventional lightweight structures usually do not provide good sound insulation at low frequencies. A plate-type acoustic metamaterial with double-sided frames was proposed for low-frequency sound wave control. The proposed metamaterial sound transmission loss and dispersion curve were calculated using the finite element method. The physical mechanism of sound insulation formation was analyzed using vibration modes. The influence of the geometrical parameters of the metamaterial structure on the sound insulation performance was explored. The results show that the designed metamaterial structure can achieve low-frequency broadband sound insulation. The sound insulation peak frequency is mainly affected by the natural frequency of the resonator mass, and the sound insulation dip is determined by the mass ratio of the resonator to the thin plate. The symmetric distribution of the frame can achieve double-peak coupling and broaden the acoustic insulation peaks. The framed plate acoustic metamaterial proposed in this paper provides some reference value for the design of acoustic metamaterial in the field of low-frequency broadband noise reduction.

1. 引言

低频噪声被认为是一种有害的环境污染形式，所以人们一直在寻求有效的降噪方法。传统的均质板在低频段的隔声性能受质量密度定律的限制，均质板的单位面积质量每增加一倍，相对应的隔声量仅增长约6 dB，所以轻质均质板在低频段的隔声性能普遍很差[1]。声学超材料作为一类具有亚波长结构的人工复合材料，可以表现出自然界材料所不具备的物理特性，在低频可以实现对声波或弹性波的调控，是一种解决低频噪声的潜在途径[2]-[4]。2000年，Liu等[5]设计了一种三维的局域共振型声子晶体，将涂有橡胶层的硬核周期性嵌入到基体中，其中硬核充当质量，橡胶层充当弹簧，在低频出现声子禁带，并且带隙频率对应的波长远大于声子晶体的单胞尺寸，为低频噪声的衰减提供了新的思路。此后，二维局域共振型声子晶体被广泛研究[6]。Zhou等[7]提出在基体中周期性嵌入多层橡胶和金属钨的圆柱体，可以在低频区域获得多条带隙。然而，为了实现较大的波衰减，沿周期方向的尺寸必须至少需要5个单胞结构，这将使得超材料结构变得庞大而笨重。研究人员发现，基于辐射相位相消机制的薄膜型声学超材料在低频具有较大的隔声量，声传输损耗与膜和质量块的属性有关[2] [8] [9]。薄膜型声学超材料虽然可以实现较大的声衰减，但是膜较柔软且承载能力较差，不利于实际工程应用[10]。

薄板在工程上得到了广泛的应用，研究表明，在薄板上周期性地附加局域谐振子可以获得低频带隙[11] [12]。例如：Oudich等[13]研究了带有圆柱状的局域谐振声学超材料板的带隙机制，指出其打开低频带隙的机理是基于板中兰姆波模态和谐振子局域模态之间的耦合。Hsu [14]研究了阶梯式谐振器的几何结构可以有效地改变带隙宽度和频率，单胞对称性和阵列结构也会影响色散关系。Assouar和Oudich [15]设计的双面柱状的声学超材料结构与单面柱状相比，其带隙宽度扩大了两倍，并在文中指出带隙扩大的原因是板波与兰姆波的相互作用。Assouar等[16]通过实验证明在薄铝板上周期性沉积复合圆柱状谐振子组成的板型声学超材料可以减少低频噪声的传播。Wang等[17]从理论上研究了波在双面圆柱状的声学超材料板中的传播特性，并分析了板两侧圆柱由对称分布到非对称分布过程中带隙的变化趋势。Li等[18]提出的复合板型声学超材料产生的局域共振带隙向低频偏移，并且相对于单面柱状的声学超材料结构，其相对带宽提高三倍。

以往的研究工作强调的是弹性波在板型声学超材料中的传播，此外，板型声学超材料针对低频声波的降噪也同样具有很大的发展潜力。Ang等[19] [20]提出了一种板型声学超材料，并表明除了共振性能外，其声学性能还可以通过孔口与两个空腔之间的耦合效应来补充。Zhou等[21]提出在板上附加多层橡胶柱和金属圆柱的板型声学超材料，经过计算超材料结构的声传输特性发现在低频范围内存在多条带隙，并且此超材料结构还可以在低频处产生多个隔声峰，但是产生的隔声峰是离散的，不利于对宽频噪声的隔离。此外，薄板型声学超材料一般是由薄板和周期性附加的质量块组成，这些谐振子通常是离散的分布在基体板上，如圆柱状[22]、梁状[23]和正方状[24]等，使加工制造过程变得繁琐，不利于大规模的应用。

针对以上问题，本文基于表面振动抑制机理设计了一种双面框架式板型声学超材料，可以在低频产生超越质量定律的隔声峰。研究了超材料结构的几何参数对其声传输损失的影响，框架对称分布能够获得连续的隔声峰，从而实现低频宽带的良好隔声效果。

2. 结构设计

本文所设计的双面框架式板型声学超材料如图1所示，其基体为薄铝板(黑色长方体)，具有圆形孔洞的正方形框架振子分布在基体板的两侧。基于成熟的层压和冲压技术[25]，超材料结构是便于制造加工的。如图1(a)所示，与板紧挨的框架材料是硅橡胶(黄色框架)，再靠外两侧分布的是钢材料(蓝色框架)的框架式谐振子。图1(b)为超材料结构的正视图，z轴垂直于基体板，且平行于圆柱轴。基体板的厚度为h_p = 1 mm；框架谐振子周期性地分布在间距为a = 20 mm的单胞中；圆形孔洞的直径为d_p = 17 mm；基体板上、下表面橡胶框架的厚度分别为h_f1和h_f3，基体板上、下表面钢框架的厚度分别为h_f2和h_f4，其中h_f1 = h_f2 = h_f3 = h_f4 =3 mm。所设计的超材料结构各部分具体的材料参数如表1所示。可以沿着图1(c)所示的不可约布里渊区来扫描波矢k，得到特征频率与相对应的特征值之间的关系。

Figure 1. The structure of double-sided framed plate-type acoustic metamaterials

图1. 双面框架式板型声学超材料结构

Table 1. Material parameters of double-sided framed plate-type acoustic metamaterial

表1. 双面框架式板型声学超材料的材料参数

材料	密度	杨氏模量	泊松比	损耗因子
铝	2700 kg/m^3	72×10^9 Pa	0.33	0.1
硅橡胶	1300 kg/m^3	1.37×10^5 Pa	0.46	/
钢	8960 kg/m^3	1.1×10^11 Pa	0.35	/

3. 有限元多物理场的模型建立

无限周期的框架式板型声学超材料的声传输损失可以使用基于有限元方法的工程软件COMSOL Multiphysics 5.6来计算¹。该超材料结构的仿真模型由两个空气域和一个单胞结构共同组成，如图2所示。在空气域的末端添加完美匹配层以防止声波的多次反射，并对单胞的横向表面和空气域的横向表面添加Floquet-Bloch周期性边界条件，进行无限周期的模拟。超材料结构网格划分为自由四面体网格，为确保模型的精确性，网格的最大尺寸不大于最高频率波长的1/6 (本文研究的最高频率为1000 Hz，因此网格尺寸应小于343 [m/s]/1000 [Hz]/6，即57.17 mm)。

Figure 2. Finite element method model for calculating the sound transmission loss of double-sided framed plate-type acoustic metamaterials

图2. 双面框架式板型声学超材料声传输损失的有限元模型

当入射幅值为1 Pa的平面声波P_i沿z轴方向垂直入射到声学超材料结构上时，声波和超材料结构的相互作用产生透射声压P_t和和反射声压P_r，同时存在出射声能W_out和入射声能W_in [26]:

$W_{in}={\displaystyle \int \frac{P_i}{2{\rho }_0{c}_0}\text{d}{S}_{in}}$ ,(1)

$W_{out}={\displaystyle \int \frac{P_t}{2{\rho }_0{c}_0}\text{d}{S}_{out}}$ ,(2)

式中，${\rho }_0$ 和$c_0$ 分别为空气的密度和声速，S_in和S_out分别表示声波入射端和出射端的横截面积。因此，超材料结构的隔声量可以表示为

$STL=10{\log }_{10}\left(W_{in}/W_{out}\right)$ .(3)

采取长波假设下的数值方法[27]对所设计的框架式板型声学超材料的等效质量面密度进行计算，进一步解释形成隔声的机理。探测所设计的超材料结构两侧的声压积分，以及板的加速度，从而得到有效质量密度[28]

$m_{eff}=\left({\overline{p}}_1-{\overline{p}}_2\right)/{\overline{a}}_z$ ,(4)

其中，${\overline{p}}_1$ 和${\overline{p}}_2$ 分别是超材料结构单胞两侧声压表面积分。${\overline{a}}_z$ 是薄板的法向加速度的体积积分。

4. 超材料结构的隔声特性分析

4.1. 隔声机理分析

首先使用多物理场中的声固耦合模块研究该超材料板结构的声学特性，沿z轴正方向垂直入射平面声波，其声传输损失和等效质量面密度曲线如图3所示。在280 Hz和342 Hz出现了两个声传输损失峰(A1、C1)，在310 Hz和784 Hz出现两个声传输损失谷(B1、D1)，其中A1、B1、C1、D1所对应的振动模态如图4所示。第一个隔声峰A1的隔声量超出质量定律较小，从图4(a)可以看出声波集中在基体板上表面的钢谐振子上，橡胶框架作为弹簧也存在振动，但是振动的幅值比较小，从而导致第一个隔声峰处的隔声量较小。在B1处，隔声量出现极大的突变，从图4(b)的模态图中发现声波局域在上、下表面的谐振子上，但是由于靠近板的上、下表面的橡胶框架比A1处的橡胶框架振动剧烈，从而带动薄板发生微小振动，所以在B1处隔声量出现突变进而生成一个声传输损失低谷。在314~471 Hz范围内，该声学超材料结构的隔声量高于相同面密度的单层均质板的隔声量，尤其在C1处其隔声量远远高于质量定律，其等效质量密度在此处发生突变，声波局域在振子上，实现良好的隔声效果。在图4(c)中，声波被局域在入射侧的谐振子上，且主要集中在下表面的钢框架上，基体板不进行振动，且基体板的另一侧的框架也不振动，所以声波不会发生透射。在D1出现一个隔声谷，从图4(d)可以发现，此时薄板发生剧烈的振动，声波通过板的振动辐射出去。总之，在隔声峰处，振动主要发生在谐振器上，声波与谐振器的固有频率一致。而在隔声谷处，声波随着基体板的振动辐射出去。这与声子晶体的局域共振机理相似，橡胶充当弹簧，钢作为谐振子，在隔声峰频率处，声波局域在钢框架上，属于隔声机理中的表面振动抑制机理[29]。

Figure 3. Sound transmission loss and equivalent surface mass density of metamaterial structures

图3. 超材料结构的声传输损失和等效质量面密度曲线

为了进一步揭示该超材料结构的隔声机理，可以把这里的共振结构等效成弹簧–质量系统，在计算谐振子的固有频率时，考虑弹簧质量也就是硅橡胶的质量。因此，固有频率可以写成[30]

$f_0=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k_1}{m_2+1/3m_1}}$ ,(5)

式中，k₁是橡胶的等效刚度，m₁和m₂分别是橡胶和钢谐振子的质量。

在图5中使用有限元仿真软件的固体力学模块计算了该超材料结构的色散曲线图。为了获得弯曲振动带隙和纵向振动带隙的起始频率f_s和截止频率f_c，必须分析其相对振动模态。在图5的能带图中标记

Figure 4. Vibration modes of the metamaterial structure at sound insulation peak and dip frequencies

图4. 超材料结构在隔声峰和隔声谷频率的振动模态图

Figure 5. Band gap diagram of metamaterial structure

图5. 超材料结构的能带图

的特征模态(A2~D2)的位移场如图6所示。对于A2和B2点的模态，沿z轴方向的主导振动与基体板的反对称兰姆波模态耦合。在A2频率处，基体板保持不动，振动能量主要集中在谐振器上，从而产生弯曲振动带隙；B2点是带隙的截止频率，基体板沿z轴的逆方向振动。因此，弯曲振动带隙的范围是292~741 Hz，与该超材料结构的声传输损失峰频率到谷值频率范围相对应。对于C2和D2点的模态，沿着xy平面上的主导振动与基体板的对称兰姆波模态耦合。在C2点振动能量主要集中在钢谐振子上，而基体板几乎保持不动，这表明纵向振动带隙的产生；在带隙的截止频率D2点处，通过基体板和谐振子在xy平面上的逆振动获得动力稳定性。因此，该超材料结构的纵向振动带隙的范围是266~341 Hz。从该超材料结构的能带的振动模态图可以发现，超材料结构横向振动产生的带隙的起始频率与声传输损失的隔声峰频率相对应，截止频率对应声传输损失的隔声谷频率。此外，由于带隙范围内存在一条通带，使得声传输损失B1处产生隔声低谷。

Figure 6. Vibration modes of marked points the dispersion curves of metamaterial structure

图6. 超材料结构色散曲线中标记点的特征模态

4.2. 几何参数对隔声特性的影响

为了优化并拓宽隔声峰频段，本小节对超材料的晶格常数、框架孔洞的直径、基体板的厚度、基体板两侧橡胶框架(或钢框架)的厚度对称和非对称分布，以及橡胶和钢的厚度占比对声传输损失曲线的影响进行相关研究。

晶格常数是影响声学超材料隔声特性的一个重要参数。通过固定其他几何参数，基体板厚度h_p = 1 mm，橡胶框架厚度h_f1 = h_f3= 3 mm，钢框架厚度h_f2 = h_f4= 3 mm，且保持框架与板的接触面积的占比不变，改变此超材料结构的单胞尺寸的大小，如图7所示，分析了晶格常数对超材料结构隔声特性的影响。结果显示，随着晶格常数的减小，声传输损失曲线的隔声峰和隔声谷频率向低频移动，且隔声量有显著的增加，可以实现更低频的隔声。随着晶格常数的减小，超材料结构的总重量也减小，满足结构轻质化的要求。

超材料结构的声传输损失随着框架孔洞直径d_p和基体板h_p厚度的影响分别如图8(a)和图8(b)所示。从图8(a)可知，随着框架孔洞直径的增加，声传输损失发生明显的变化，并且隔声峰和隔声谷频率都减小。这是由于随着框架孔洞直径的增加，橡胶和钢的质量都减小，橡胶的等效的刚度也减小，因此隔声峰频率减小；隔声谷频率与谐振器和基体板的质量的比值$\beta$ 成正比[29]，基体板的质量保持不变，隔声谷频率($f_1=f_0\sqrt{1+\beta }$ )随着隔声峰频率的减小而减小。在图8(b)中，板的厚度增加，不影响谐振器的固有频率，所以隔声峰频率保持不变，但是板的厚度可以使结构的隔声量大大提高。$\beta$ 随着板厚度的增加而

Figure 7. Effect of lattice constant on sound insulation performance of metamaterial structures

图7. 晶格常数对超材料结构隔声性能的影响

Figure 8. Evolution of sound transmission loss of the metamaterial structure with geometrical parameter d_p and h_p

图8. 超材料结构的声传输损失随几何参数d_p和h_p的变化图

减小，所以隔声谷频率减小。这样导致从隔声峰到隔声谷的频段变窄，导致带隙变窄，不能实现对隔声峰宽频段噪声的衰减。

Figure 9. Trend of sound transmission loss of metamaterial structure with frame symmetry distribution

图9. 超材料结构的声传输损失随着框架对称分布变化的趋势

基体板两侧橡胶框架和钢框架的高度可以是对称的，也可以是非对称的。在此研究了板两侧框架厚度由对称分布到非对称过程的隔声峰频率和隔声谷频率的变化情况。图9(a)和图9(b)分别显示了隔声峰频率和隔声谷频率随着板两侧橡胶框架厚度(h_f1 = h_f3)对称和钢框架厚度(h_f2 = h_f4)对称变化的趋势图。结果显示，基体板两侧谐振器的厚度对隔声峰和隔声谷频率有显著的影响。从式(5)也可以看出，当橡胶框架和钢框架的厚度增大时，隔声峰和隔声谷频率都向低频移动。在图9(a)中，当钢框架厚度固定时，随着橡胶框架厚度的增加，隔声谷频率降低的速率大于隔声峰频率降低的速率，使得带隙宽度减小。在图9(b)中，当橡胶框架厚度一定时，随着钢框架厚度的增加，隔声峰频率降低的速率大于隔声谷频率降低的速率，从而使得带隙增大。因此，对于谐振器厚度对称的双面框架式板型声学超材料结构，钢框架越厚且橡胶框架越薄的组合能获得更宽的带隙，而钢框架越薄且橡胶框架越厚的组合更能获得低频带隙。

在图10和图11中保持结构的总重量不变，使基体板两侧橡胶框架和钢框架呈非对称分布。当橡胶框架和钢框架从对称分布到不对称分布时，在1000 Hz范围内出现了两个峰值，且由两个连续的隔声峰变为离散的隔声峰；当薄板两侧的框架厚度越是接近，会在双峰前出现一个小的峰值，而框架厚度相差越大，出现的隔声峰值越靠近低频，就不会出现一个极低的隔声峰。为了分析两个隔声峰是由基体板上表面还是下表面谐振子的固有频率决定，选取图10(a)中h_f1 = 2 mm，h_f3 = 4 mm处的振动模态，如图10(b)所示，在269 Hz处，声波局域在基体板下侧的橡胶框架h_f3 = 4 mm上；在475 Hz处，声波局域在基体板上侧的橡胶框架h_f1 = 2 mm上；并且选取图11(a)中h_f2 = 1 mm，h_f4 = 5 mm处的振动模态，如图11(b)所示，在267 Hz处，声波局域在基体板下侧的钢框架h_f4 = 5 mm上；在546 Hz处，声波局域在基体板上侧的钢框架h_f2 = 1 mm上。因此，从声传输损失曲线随谐振子厚度非对称变化趋势与隔声峰处的振动模态图可以得出，第一个隔声峰的位置由基体板谐振子厚度大的那一侧的谐振子的固有频率决定，第二个隔声峰的位置由基体板谐振子厚度小的那一侧的谐振子的固有频率决定；随着基体板两侧的橡胶框架或钢框架的厚度由非对称到对称，隔声峰也由离散变为连续，最后形成一个隔声峰(橡胶框架和钢厚度均为3 mm)。

Figure 10. Trend of sound transmission loss of metamaterial structures with asymmetric distribution of rubberframes thicknesses, and vibration modes at the STL peak and dip frequencies

图10. 超材料结构的声传输损失随橡胶层非对称分布的变化，和声传输损失峰值和谷值处的振动模态图

Figure 11. Trend of sound transmission loss of metamaterial structures with asymmetric distribution of steelframes thicknesses, and vibration modes at the STL peak and dip frequencies

图11. 超材料结构的声传输损失随钢层非对称分布的变化，和声传输损失峰值和谷值处的振动模态图

保持该超材料结构总厚度不变，如图12所示，随着橡胶框架厚度逐渐增大，钢框架的厚度逐渐减小，该超材料结构的声传输损失向高频移动。这是由于当橡胶框架厚度增大时，等效弹簧的刚度增大，橡胶的质量也增大；钢框架厚度减小时，钢的质量减小；而且钢的密度比橡胶的密度要大的多，导致整体质量减小，根据式(5)将引起隔声峰频率增大，进而隔声谷频率也增大。所以钢框架越厚，隔声峰就越靠近低频；橡胶框架越厚，隔声峰频带越宽。

Figure 12. Trends of sound transmission loss of metamaterial structures with variation of rubber and steel thicknesses

图12. 超材料结构的声传输损失随橡胶和钢厚度变化的趋势图

5. 结论

本文设计了一种双面框架结构的板型声学超材料，通过有限元软件计算了其声传输损失，发现在314~471 Hz范围内的隔声量高于相同面质量的单层均质板的隔声量，实现了良好的隔声效果。进一步对带隙的研究，发现声波或弹性波被局域在谐振子上，并得出该超材料结构产生隔声特性是基于表面振动抑制机理。通过研究几何参数对隔声量的影响，发现隔声峰频率主要受谐振子的固有频率的影响，隔声谷频率由谐振器和基体板的质量比决定。在板两侧谐振器厚度对称分布的超材料结构，钢框架越厚且橡胶框架越薄的组合能获得更宽的带隙，而钢框架越薄且橡胶框架越厚的组合更能获得低频带隙。当板两侧橡胶柱或钢柱的厚度由对称分布到非对称分布时，可以出现两个隔声峰，厚度越接近，可以形成连续的隔声峰。因此，本文提出的双面板型超材料结构可为低频范围的降噪应用提供了一定的参考价值。

NOTES

¹Comsol Multiphysics® V. 5.6. Cn.Comsol.Com. Comsol Ab S, Sweden. Comsol Multiphysics.