特征函数$1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$的一类光滑近似函数

A Class of Smooth Approximations of c Haracteristic Function $1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$

摘要: 特征函数1(0,+∞)(z)在实际中有着广泛的应用，许多重要的实际问题，如概率约束优化问题等都可以转化为与特征函数相关联的问题。然而，特征函数是非连续非光滑的函数，这使得问题的研究较为困难。因此，在实际的研究过程中，寻找特征函数的光滑近似函数显得尤为重要。本文讨论了一类具有特殊性质的特征函数1(0,+∞)(z)的光滑近似函数φ(z,t)，构造了两个具体的光滑近似函数。基于所提出的该类光滑近似函数，给出了概率约束优化问题的等价近似问题。

Abstract: Characteristic function1(0,+∞)(z)has a wide range of applications in practice, and many important practical problems, such as probabilistic constraint optimization problems, can be transformed into problems associated with characteristic function. However, the characteristic function is a non-continuous and non-smooth function, which makes the study of the problem difficult. Therefore, in the actual research process, it is particularly important to find smooth approximations of characteristic function. In this paper, we discuss a class of smooth approximation functionsφ(z,t)with special properties, and construct two specific smooth approximation functions. Based on the proposed smooth approximation function, the equivalence approximation problem of probabilistic constrained optimization problem is given.

1. 引言

特征函数

$1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \left(0,+\infty \right),\\ 0,& x\notin \left(0,+\infty \right)\end{array}$

在实际中有着广泛的应用，一些重要的实际问题，如数字图像处理、计算机视觉和图像识别、信号处理、概率约束优化问题等都可以转化为与特征函数相关联的问题。然而，特征函数是非连续非光滑的函数，这使得问题的研究较为困难。因此，在实际的研究过程中，寻找特征函数的光滑近似函数显得尤为重要。特征函数$1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$ 是非连续非光滑函数，因而，寻求特征函数的光滑近似倍受关注[1]-[6]。

本文基于Sigmoid函数

$\psi \left(z,t\right)=\frac{1}{1+{\text{e}}^{-t^{-1}z}}\left(t>0\right),$

构造了一类与Sigmoid函数具有相似性质的光滑函数$\phi \left(z,t\right)$ ，其中$t>0$ ，并证明了参数$t$ 充分小时，该类函数是特征函数$1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$ 的光滑近似(见图1和图2)。

Figure 1. Image of the characteristic function $1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$

图1. 特征函数$1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$ 的图像

Figure 2. Image of Sigmoid function $\psi \left(z,t\right)$

图2. Sigmoid函数$\psi \left(z,t\right)$ 的图像

2. 基本内容

2.1. 光滑近似函数

定义1 [4]令$\phi :R^2\to R_{+}$ 是一个非负的实值函数，如果函数$\phi \left(z,t\right)$ 满足以下两个条件：

函数$\phi \left(z,t\right)$ 关于$z\in R$ 是连续可微的，其中$t>0$ 是一个参数；

$\underset{t\to 0}{\lim }\phi \left(z,t\right)=1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$ ，

则称函数$\phi \left(z,t\right)$ 是特征函数$1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$ 的一个光滑近似函数。

本文主要构建一类具有如下性质的特征函数$1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right),z\in R$ 的光滑近似函数。

性质1 当$t>0$ 时，假设函数$\phi \left(z,t\right)$ 满足以下性质：

1) 对任意$z\in \Re ,\phi \left(z,t\right)\in (0,1),且\phi \left(0,t\right)=\frac{1}{2}$ 。

2) $\underset{t\to 0}{\lim }\phi \left(z,t\right)=1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right),$ $z\in \Re \backslash \left\{0\right\}$ 。

3) $\phi \left(z,t\right)$ 关于$z$ 是不减的。

4) 当$z>0$ 时，$\phi \left(z,t\right)$ 关于$t$ 单调递减；当$z<0$ 时，$\phi \left(z,t\right)$ 关于$t$ 单调递增。

5) $\phi \left(z,t\right)$ 关于$z$ 是连续可微的。

下面讨论了满足性质1的两个近似函数$\phi \left(z,t\right)$ 的例子。

例1 考虑函数

${\phi }_1\left(z,t\right)=\frac{1}{1+{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}}(t>0)$ ，

由图3可以看出，当$t$ 充分小时，${\phi }_1\left(z,t\right)$ 是特征函数$1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$ 的一个光滑近似函数。

1) ${\phi }_1\left(0,t\right)=\frac{1}{2}$ ，

对于任意实数z，

$0<{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}<+\infty$ ，

Figure 3. Image of function${\phi }_1\left(z,t\right)$

图3. 函数${\phi }_1\left(z,t\right)$ 的图像

两边同时加1得到

$1<1+{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}<+\infty$ ，

则

$0<\frac{1}{1+{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}}<1$ .

因此，对任意$z\in \Re ,\phi \left(z,t\right)\in (0,1),且\phi \left(0,t\right)=\frac{1}{2}$ 。

2) 当$z>0$ ，

$\underset{t\to 0}{\lim }{\phi }_1\left(z,t\right)=1.$

当$z<0$ ，

$\underset{t\to 0}{\lim }{\phi }_1\left(z,t\right)=0.$

因此，

$\underset{t\to 0}{\lim }{\phi }_1\left(z,t\right)=1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right),z\in \Re \backslash \left\{0\right\}.$

3) 对${\phi }_1\left(z,t\right)$ 关于$z$ 求偏导，我们可以得到

$\frac{\partial }{\partial z}{\phi }_1\left(z,t\right)=-\frac{{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}\ln \left(\frac{t}{t+1}\right)}{{\left[1+{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}\right]}^2}$ ，

由于$\ln \left(\frac{t}{t+1}\right)<0$ ，${\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}>0$ 且${\left[1+{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}\right]}^2>0$ ，故$\frac{\partial }{\partial z}{\phi }_1\left(z,t\right)>0$ ，因此${\phi }_1\left(z,t\right)$ 关于$z$ 是不减的。

4) 对${\phi }_1\left(z,t\right)$ 关于$z$ 求偏导，我们可以得到

$\frac{\partial }{\partial z}{\phi }_1\left(z,t\right)=\frac{z{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z-1}\left(-\frac{1}{t^2}\right)}{{\left[1+{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}\right]}^2}$ ，

当$z>0$ 时，$\frac{\partial }{\partial z}{\phi }_1(z,t)<0$ ，${\phi }_1\left(z,t\right)$ 关于$t$ 单调递减；当$z<0$ 时，$\frac{\partial }{\partial z}{\phi }_1\left(z,t\right)>0$ ，${\phi }_1\left(z,t\right)$ 关于$t$ 单调递增。

5) 由于${\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}$ 是指数函数，为光滑函数，则$1+{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}$ 也是光滑函数且若$1+{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}$ 无零点，则其倒数亦为光滑函数.因此，我们只需考虑$1+{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}$ 是否有零点，显然，$1+{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}$ 恒大于0，因此，$1+{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}$ 无零点，则其倒数函数${\phi }_1\left(z,t\right)=\frac{1}{1+{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-z}}$ 为光滑函数。

例2 考虑函数

${\phi }_2\left(z,t\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{\pi }\left(\arctan \frac{z}{t}\right)\right),\left(t>0\right)$ ，

由图4可以看出，当$t$ 充分小时，${\phi }_2\left(z,t\right)$ 是特征函数$1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$ 的一个光滑近似函数。

Figure 4. Image of function${\phi }_2\left(z,t\right)$

图4. 函数${\phi }_2\left(z,t\right)$ 的图像

1) ${\phi }_2\left(0,t\right)=\frac{1}{2}$ ，

对于任意实数$z$ ，

$-\frac{\pi }{2}<\arctan z<\frac{\pi }{2}$

因为$\frac{z}{t}$ 与$z$ 有相同的符号，且$\frac{z}{t}$ 的绝对值不大于$z$ 得到：

$-\frac{\pi }{2}<\arctan \frac{z}{t}<\frac{\pi }{2}$

两边同时乘以$\frac{2}{\pi }$ 得到：

$-1<\frac{2}{\pi }\arctan \frac{z}{t}<1$

两边同时加1后，将整个表达式除以2得到：

$0<\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{\pi }\left(\arctan \frac{z}{t}\right)\right)<1$

因此，对任意$z\in \Re ,{\phi }_2\left(z,t\right)\in (0,1),且{\phi }_2\left(0,t\right)=\frac{1}{2}$ 。

2) 当$z>0$ ，

$\underset{t\to 0}{\lim }{\phi }_2\left(z,t\right)=1.$

当$z<0$ ，

$\underset{t\to 0}{\lim }{\phi }_2\left(z,t\right)=0.$

因此，

$\underset{t\to 0}{\lim }{\phi }_2\left(z,t\right)=1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right),z\in \Re \backslash \left\{0\right\}.$

3) 对${\phi }_2\left(z,t\right)$ 关于z求偏导，我们可以得到：

$\frac{\partial }{\partial x}{\phi }_2\left(z,t\right)=\frac{2}{\pi t\left(1+{\left(\frac{z}{t}\right)}^2\right)},$

由于$\pi t\left(1+{\left(\frac{z}{t}\right)}^2\right)>0$ ，故$\frac{\partial }{\partial x}{\phi }_2\left(z,t\right)>0$ ，因此${\phi }_2\left(z,t\right)$ 关于$z$ 是不减的。

4) 对${\phi }_2\left(z,t\right)$ 关于$t$ 求偏导，我们可以得到：

$\frac{\partial }{\partial t}{\phi }_2\left(z,t\right)=-\frac{2z}{\pi t^2\left(1+{\left(\frac{z}{t}\right)}^2\right)}.$

当$z>0$ 时，$\pi t^2\left(1+{\left(\frac{z}{t}\right)}^2\right)>0$ ，$\frac{\partial }{\partial z}{\phi }_1\left(z,t\right)<0$ ，${\phi }_2\left(z,t\right)$ 关于$t$ 单调递减；当$z<0$ 时，$\frac{\partial }{\partial z}{\phi }_2\left(z,t\right)>0$ ${\phi }_2\left(z,t\right)$ 关于$t$ 单调递增。

5) 由于$\arctan u,u=\frac{z}{t}$ 为光滑函数，且函数${\phi }_2\left(z,t\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{\pi }\left(\arctan \frac{z}{t}\right)\right),\left(t>0\right)$ 为光滑函数的线性组合，显然为光滑函数。

2.2. 应用

考虑如下概率约束优化问题(P)

$\begin{array}{l}\underset{x\in X}{\text{minimize}}f\left(x\right)\\ \text{subject to }\mathrm{Pr}\left\{c\left(x,\xi \right)\le 0\right\}\ge 1-\alpha \end{array}$ (P)

其中，$X$ 是${\Re }^d$ 的一个紧凸集，$\xi$ 的支撑集，记为$\Xi$ ，是${\Re }^k$ 的一个闭集，$f\left(x\right)$ 和$c\left(x,\xi \right)$ 关于$x$ 是连续可微的并且是凸的。

由于

$\text{1}-\mathrm{Pr}\left\{c\left(x,\xi \right)\le 0\right\}=\mathrm{Pr}\left\{c\left(x,\xi \right)>0\right\}=E\left[1_{(0,+\infty )}\left(c\left(x,\xi \right)\right)\right]$ ，

则问题(P)变形为

$\begin{array}{l}\underset{x\in X}{\text{minimize}}f\left(x\right)\\ \text{subject to }E\left[1_{(0,+\infty )}\left(c\left(x,\xi \right)\right)\right]\le \alpha \end{array}$

考虑问题

$\begin{array}{l}\underset{x\in X}{\text{minimize}}f\left(x\right)\\ \text{subject to }\widehat{p}\left(x\right)\le \alpha \end{array}$ $\text{(}\widehat{\text{P}})$

其中，$p\left(x,t\right)=E\left[\phi \left(c\left(x,\xi \right),t\right)\right],\widehat{p}\left(x\right)=\underset{t\to 0}{\lim }p\left(x,t\right).$

在一定的条件下，可以证明问题$\text{(}\widehat{\text{P}})$是问题(P)等价近似问题。

假设1 函数$c\left(x,\xi \right)$ 是Caratheodory函数，即对于任意$x\in {\Re }^d$ ，$c\left(x,\cdot \right)$ 是可测的；对于$\xi \in E$ ，$c\left(\cdot ,\xi \right)$ 几乎处处连续。

假设2 对于任意$\overline{x}\in X$ ，集合$\left\{\xi \in \Xi :c\left(\overline{x},\xi \right)=0\right\}$ 的测度为0，即$c\left(\overline{x},\xi \right)\ne 0$ 的概率为1。

下面的定理表明了问题$\text{(}\widehat{\text{P}})$和问题(P)的等价性。

定理1 若假设1-假设2成立，则问题$\text{(}\widehat{\text{P}})$和问题(P)等价。

证明 令$z=c\left(x,\xi \right)$ ，则有

$\begin{array}{l}\widehat{p}\left(x\right)=\underset{t\to 0}{\lim }p\left(x,t\right)=\underset{t\to 0}{\lim }E\left[\phi \left(c\left(x,\xi \right),t\right)\right]\\ =\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\phi \left(c\left(x,\xi \right),t\right)\text{d}p\left(\xi \right)}\\ ={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\underset{t\to 0}{\lim }\phi \left(c\left(x,\xi \right),t\right)\text{d}p\left(\xi \right)}\\ ={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{1}_{\left(0,+\infty \right)}\left(c\left(x,\xi \right)\right)\text{d}p\left(\xi \right)}\\ =E\left[1_{\left(0,+\infty \right)}\left(c\left(x,\xi \right)\right)\right].\end{array}$

因此，问题$\text{(}\widehat{\text{P}})$和问题(P)等价。

3. 结语

本文研究了一类与Sigmoid函数具有相似性质的特征函数$1_{\left(0,+\infty \right)}\left(z\right)$ 的光滑近似函数，证明了当参数$t$ 足够小的情况下，$\phi \left(z,t\right)$ 是特征函数的光滑近似，具有良好的特性，对处理概率约束优化问题等实际问题具有很大帮助。

基金项目

辽宁师范大学本科生科研训练项目(项目编号：CX202302014)。

NOTES

^*通讯作者。