对称群S₃和S₄的c-可补充子群

c-Supplemented Subgroups in the Symmetry Groups S₃ and S₄

摘要: 在有限群中，子群的c-可补充性质对刻画群结构有着重要影响。这些性质比较抽象，因此找一些具体的例子对于理解这些性质至关重要。基于c-可补充子群的概念，本文从具体的3次对称群和4次对称群出发，研究了其子群的c-可补充性质，并完全确定了其所有的c-可补充子群。所得到的结论对探讨c-可补充子群的抽象性质和理论课题起到积极的作用。

Abstract: In finite groups, the c-supplemented properties of subgroups have a significant impact on characterizing group structures. These properties are relatively abstract, so finding specific examples is crucial for understanding these properties. Based on the concept of c-supplemented subgroups, this paper studies the c-complementary properties of subgroups from the symmetry groups of specific degrees 3 and 4, and completely determines all their c-complementary subgroups. The conclusions obtained have a positive impact on exploring the abstract properties and theoretical research of c-supplemented subgroups.

1. 引言

本文中所有的群皆为有限群，相关术语和符号以文献[1]-[3]为标准。设H是群G的子群，称H在G中有补充，如果存在G的子群K使$G=HK$ ，这时K叫作H在G中的补充子群。特别地，当$H\cap K\le H_G$ 时，称H在G中是c-可补充的，K是H在G中的c-可补充子群。这里，H_G是H在G中的柱心，即包含在H中G的最大正规子群。

子群的c-可补充性质与群结构有着紧密的联系，国内外群论学者对相关课题进行了深入研究，并利用它考察了有限群的结构。例如，2000年，Wang [4]利用了子群的c-可补充的相关性质，得到了群G是可解的充要条件。2012年，Asaad [5]考察了c-可补充性质与Sylow子群之间的联系，发现了其对p-幂零群的影响。2021年，在群G为CN-群的条件下，Li等[6]等揭示了c-可补充性质对超可解群的影响。进一步的研究可参考文献[7]-[10]。为了加深对c-可补充性质这一抽象性质的理解，本文在一些具体的群中，即在3次对称群S₃和4次对称群S₄中，分析了其子群的c-可补充性质，并完全确定了它们的c-可补充子群。

2. 基本引理

定义1 [4]称子群H在G中是c-可补充的，如果存在G的子群K使得$G=HK$ ，$H\cap K\le H_G$ ，这里，H_G是H在G中的柱心，即包含在H中G的最大正规子群。

引理1 [1] (拉格朗日定理)设G是有限群，$H\le G$ ，则$\left|G\right|=\left|H\right|\left|G:H\right|$ 。其中，$\left|G:H\right|$ 表示有限群G的子群H在G中的指数。

引理2 [1]设G是有限群，H和K是G的有限子群，则$\left|HK\right|=\frac{\left|H\right|\left|K\right|}{\left|H\cap K\right|}$ 。

引理3 [11] 3次对称群S₃一共有6个子群，其中除去两个平凡子群外，有3个2阶子群和1个正规子群。具体如下：

1) 2个平凡子群：$\left\{\left(1\right)\right\}$ ；S₃。

2) 3个2阶子群：$H_3=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\right\}$ ；$H_4=\left\{\left(1\right),\left(13\right)\right\}$ ；$H_{\text{5}}=\left\{\left(1\right),\left(\text{2}3\right)\right\}$ 。

3) 1个3阶子群：$H_6=\left\{\left(1\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}$ ，且$H_6⊴S_3$ 。

引理4 [12] 4次对称群S₄一共有30个子群，其中除去两个平凡子群之外，有9个2阶循环子群、4个3阶循环子群、7个4阶子群、4个6阶子群、3个8阶子群以及1个12阶子群。具体如下：

1) 两个平凡子群：$\left\{\left(1\right)\right\}$ ；S₄。

2) 2阶子群：$H_3=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\right\}$ ；$H_4=\left\{\left(1\right),\left(13\right)\right\}$ ；$H_5=\left\{\left(1\right),\left(14\right)\right\}$ ；$H_6=\left\{\left(1\right),\left(23\right)\right\}$ ；$H_7=\left\{\left(1\right),\left(24\right)\right\}$ ；$H_8=\left\{\left(1\right),\left(34\right)\right\}$ ；$H_9=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\left(34\right)\right\}$ ；$H_{10}=\left\{\left(1\right),\left(13\right)\left(24\right)\right\}$ ；$H_{11}=\left\{\left(1\right),\left(14\right)\left(23\right)\right\}$ 。

3) 3阶子群：

$H_{12}=\left\{\left(1\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}$ ；$H_{13}=\left\{\left(1\right),\left(124\right),\left(142\right)\right\}$ ；

$H_{14}=\left\{\left(1\right),\left(134\right),\left(143\right)\right\}$ ；$H_{15}=\left\{\left(1\right),\left(234\right),\left(243\right)\right\}$ 。

4) 4阶子群：

$H_{16}=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(14\right)\left(23\right)\right\}$ ；$H_{17}=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(34\right),\left(12\right)\left(34\right)\right\}$ ； $H_{18}=\left\{\left(1\right),\left(13\right),\left(24\right),\left(13\right)\left(24\right)\right\}$ ；$H_{19}=\left\{\left(1\right),\left(14\right),\left(23\right),\left(14\right)\left(23\right)\right\}$ ；$H_{20}=\left\{\left(1\right),\left(1234\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(1432\right)\right\}$ ； $H_{21}=\left\{\left(1\right),\left(1243\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(1342\right)\right\}$ ；$H_{22}=\left\{\left(1\right),\left(1324\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(1423\right)\right\}$ 。

其中，H₁₆是克莱因4元群K₄。

5) 6阶子群：

$H_{23}=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(13\right),\left(23\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}$ ；

$H_{24}=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(14\right),\left(24\right),\left(124\right),\left(142\right)\right\}$ ；

$H_{25}=\left\{\left(1\right),\left(13\right),\left(14\right),\left(34\right),\left(134\right),\left(143\right)\right\}$ ；

$H_{26}=\left\{\left(1\right),\left(23\right),\left(24\right),\left(34\right),\left(234\right),\left(243\right)\right\}$ 。

6) 8阶子群：

$H_{27}=\left\{\left(1\right),\left(13\right),\left(24\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(1234\right),\left(1432\right)\right\}$ ；

$H_{28}=\left\{\left(1\right),\left(14\right),\left(23\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(1243\right),\left(1342\right)\right\}$ ；

$H_{29}=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(34\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(1423\right),\left(1324\right)\right\}$ 。

7) 12阶子群

$H_{30}=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(123\right),\left(124\right),\left(132\right),\left(134\right),\left(142\right),\left(143\right),\left(234\right),\left(243\right)\right\}$ ，其中$H_{30}=A_4$ 是4次交错群。

3. 主要结果

结论1 S₃的所有子群都是c-可补充的。

证明：设H是S₃的子群。根据定义1和引理3，我们进行以下讨论：

1) 对于两个平凡子群$\left\{\left(1\right)\right\}$ 和S₃：

当$H=\left\{\left(1\right)\right\}$ 时，显然在S₃中是c-可补充的；

当$H=S_3$ 时，取$K=\left\{\left(1\right)\right\}$ ，显然在S₃中也是c-可补充的。

2) 对于2阶子群$H_i\left(i=3,4,5\right)$ ：

当$H=H_i$ 时，其柱心$H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$ 。取$K=H_6$ ，$S_3=H_i{H}_6$ ，且$H_i\cap H_6=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$ ，故$H_i\left(i=3,4,5\right)$ 在S₃中是的c-可补充的。

3) 对于3阶子群H₆：

当$H=H_6$ 时，其柱心$H_G=H_6$ 。取$K=H_j\left(j=3,4,5\right)$ ，有$S_3=H_6{H}_j$ ，且$H_6\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$ ，故H₆在S₃中是的c-可补充的。

结论2 S₄的c-可补充子群：

1) 1阶子群$H=\left\{\left(1\right)\right\}$ 和24阶子群S₄在S₄中是c-可补充的，其c-可补充的子群分别为S₄和$\left\{\left(1\right)\right\}$ ；

2) 2阶子群$H_i\left(i=3,\cdots ,8\right)$ 在S₄中是c-可补充的，其c-可补充的子群是$A_4$ ；

3) 3阶子群$H_i\left(i=12,\cdots ,15\right)$ 在S₄中是c-可补充的，其c-可补充的子群是8阶子群$H_j\left(j=27,28,29\right)$ ；

4) 4阶子群H₁₆和$H_i\left(i=20,\cdots ,22\right)$ 在S₄中是c-可补充的，其c-可补充的子群是$H_j\left(j=23,\cdots ,26\right)$ ；

5) 6阶子群$H_i\left(i=23,\cdots ,26\right)$ 在S₄中是c-可补充的，其c-可补充的子群是4阶子群H₁₆和$H_j\left(j=20,21,22\right)$ ；

6) 8阶子群$H_i\left(i=27,28,29\right)$ 在S₄中是c-可补充的，其c-可补充子群是$H_i\left(i=12,\cdots ,15\right)$ ；

7) 12阶子群$H=A_4$ 在S₄中是c-可补充的，其c-可补充的子群是$H_j\left(j=3,\cdots ,8\right)$ 。

证明：设H是S₄的子群。根据定义1和引理4，我们进行以下分析：

1) 两个平凡子群$\left\{\left(1\right)\right\}$ 和S₄：

当$H=\left\{\left(1\right)\right\}$ 时，显然在S₄中是c-可补充的；

当$H=S_4$ 时，取$K=\left\{\left(1\right)\right\}$ ，其柱心$H_G=S_4$ ，有$S_4=HK$ ，$H\cap K=\left\{\left(1\right)\right\}\le S_4$ 。于是，H在S₄中是c-可补充的，故结论(1)成立。

2) 2阶子群$H_i\left(i=3,\cdots ,\text{11}\right)$ ：

① 当$H=H_i\left(i=3,\cdots ,8\right)$ 时，其柱心$H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$ ，由引理2，取$K=A_4$ ，有$S_4=H_i{A}_4$ ，$H_i\cap A_4=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$ ，故结论(2)成立；

② 当$H=H_i\left(i=9,10,11\right)$ 时，其柱心$H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$ 。因为$H_i\le A_4$ ，所以$S_4\ne H_i{A}_4$ ，4次对称群S₄不能分解成$H_i$ 与S₄的真子群的乘积。但若$K=S_4$ ，有$S_4=H_i{S}_4$ ，$H_i\cap S_4=H_i>H_G$ ，不满足定义，故$H_i\left(i=9,10,11\right)$ 在S₄中不是的c-可补充的。

3) 3阶子群$H_i\left(i=12,\cdots ,\text{15}\right)$ ：

当$H=H_i$ ，其柱心$H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$ 。因为$H_i\le A_4$ ，所以$S_4\ne H_i{A}_4$ ；由引理1可知，S₄可以分解成3阶子群和8阶子群$H_j\left(j=27,28,29\right)$ 的乘积，又因为$H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}$ ($i=12,\cdots ,15$ ；$j=27,28,29$ )，所以由引理2有，$S_4=H_i{H}_j$ ，$H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$ ，故$H_i$ 在S₄中是c-可补充的。

4) 4阶子群$H_i\left(i=16,\cdots ,\text{22}\right)$ ：

① 当$H=H_{16}$ 时，其柱心$H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$ ，取$K=H_j\left(j=23,\cdots ,26\right)$ ，有$S_4=H_{16}{H}_j$ ，$H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$ ，故H₁₆在S₄中是c-可补充的。

② 当$H=H_i\left(i=17,18,19\right)$ 时，其柱心$H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$ ，但$S_4\ne H_i{H}_j\left(i=17,18,19;j=23,\cdots ,26\right)$ ，故$H_i\left(i=17,18,19\right)$ 在S₄中不是c-可补充的。

③ 当$H=H_i\left(i=20,21,22\right)$ 时，其柱心$H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$ ，先考虑将S₄分解为4阶与6阶子群的乘积，由于$H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}$ ，其中$j=23,\cdots ,26$ ，由引理2，取$K=H_j\left(j=23,\cdots ,26\right)$ ，有$S_4=H_i{H}_j$ ，$H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$ ，故$H_i\left(i=20,21,22\right)$ 在S₄中是c-可补充的。

5) 6阶子群$H_i\left(i=23,\cdots ,26\right)$ ：

当$H=H_i$ ，其柱心$H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$ ，由4)中的分析，取$K=H_j\left(j=16,20,21,22\right)$ ，有$S_4=H_i{H}_j\left(i=23,\cdots ,26;j=16,20,21,22\right)$ ，$H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$ ，故$H_i\left(i=23,\cdots ,26\right)$ 在S₄中是c-可补充的。

6) 8阶子群$H_i\left(i=27,\cdots ,29\right)$ ：

当$H=H_i$ ，其柱心$H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$ ，取$K=H_j\left(j=12,\cdots ,15\right)$ ，$S_4=H_i{H}_j\left(i=27,28,29;j=12,\cdots ,15\right)$ ，$H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$ ，故$H_i\left(i=27,28,29\right)$ 在S₄中是c-可补充的。

7) 12阶子群A₄：

当$H=A_4$ ，其柱心$H_G=A_4$ ，取$K=H_j\left(j=3,\cdots ,8\right)$ ，有$S_4=A_4{H}_j$ ，$A_4\cap H_j\le H_G$ ，故A₄在S₄中是c-可补充的。

4. 总结

本文完全确定了三次对称群S₃和四次对称群S₄中的c-可补充的子群。这有助于加深理解c-可补充子群的定义和相关性质，也为后续研究其对有限群结构的影响提供了例子支撑。

基金项目

四川省自然科学基金项目(2022NSFSC1843)。