一类半线性脉冲发展方程$\left(\omega ,c\right)$-周期解的存在性

Existence of $\left(\omega ,c\right)$-Periodic Solutions for a Class of Semilinear Impulsive Evolution Equations

摘要: 文章用算子半群理论和Schauder不动点定理证明了Banach空间中一类半线性脉冲发展方程{x′(t)=Ax(t)+f(t,x(t)),t∈R+,t≠τi,i∈Ν:={1,2,⋯},Δx|t=τi=x(τi+)−x(τi−)=Bx(τi−)+ci,(ω,c)-周期mild解的存在性。其中，A是稠定闭线性算子，生成X中的C0半群T(t)(t≥0)，B是有界线性算子，f∈C(R+×X,X)，且f满足f(t+ω,cx)=cf(t,x)。x(τi−)和x(τi+)分别表示x(t)在t=τi处的左右极限。

Abstract: The existence of(ω,c)-periodic mild solutions for a class of semilinear impulsive evolution equations in Banach space is proved by operator semigroup theory and Schauder fixed point theorem in this paper.{x′(t)=Ax(t)+f(t,x(t)),t∈R+,t≠τi,i∈Ν:={1,2,⋯},Δx|t=τi=x(τi+)−x(τi−)=Bx(τi−)+ci,Where A is a coherently closed linear operator that generates aC0semigroupT(t)(t≥0)in X, B is the bounded operator,f∈C(R+×X,X), and f satisfiesf(t+ω,cx)=cf(t,x),x(τi−)andx(τi+)represent the left and right limits ofx(t)att=τi.

1. 引言

脉冲微分方程理论被广泛应用于种群动力学、生物系统、最优控制问题以及金融系统等领域。含有脉冲的发展方程具有的共同特征是，在发展过程的某些时刻都经历了状态的突然变化，因此具有更丰富的应用背景，事实上，脉冲与各种发展方程都密切相关。因此，要精确地描述和分析发展系统就很有必要考虑脉冲问题。周期运动是自然科学中常见且非常重要的现象。脉冲周期系统是研究周期演化过程中状态发生突变的动力学模型。在过去的几十年里，关于有限维和无穷维空间中脉冲周期系统解的存在性问题的研究得到了许多重要的结果[1]-[7]。

最近，Alvarez等[8]通过研究著名的Mathieu方程$x^{″}+ax=2q\cos \left(2t\right)x$ 的任意解$x\left(t\right)$ 的性质$x\left(\cdot +\omega \right)=cx(\cdot )$ 引入了$\left(\omega ,c\right)$ -周期函数的概念。显然，当$c=1$ 和$c=-1$ 时，$\left(\omega ,c\right)$ -周期函数分别为标准的$\omega$ 周期函数和$\omega$ -反周期函数。2018年，Li等[9]研究了脉冲方程$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=Ax+f\left(t,x\right),t\ne {\tau }_i,i\in {\rm N}:=\{1,2,\cdots \}\\ {\Delta x|}_{t={\tau }_i}=x\left({\tau }_i^{+}\right)-x\left({\tau }_i^{-}\right)=Bx\left({\tau }_i^{-}\right)+c_i\end{array}$ 的$\left(\omega ,c\right)$ -周期解，其中A、B是矩阵。2020年，Agaoglou等[10]利用$\left(\omega ,c\right)$ -周期函数的概念研究了复Banach空间中半线性发展方程$x^{\prime }=Ax+f\left(t,x\right)$ $\left(\omega ,c\right)$ -周期解的存在唯一性。接着，Liu等[11]研究了一类新的$\left(\omega ,c\right)$ -周期非瞬时脉冲微分方程，利用不动点定理证明了该类方程$\left(\omega ,c\right)$ -周期解的存在唯一性。2022年，Feckan等[12]研究了脉冲方程$\left(\omega ,T\right)$ -周期解的存在唯一性。受以上文献的启发，本文研究了如下脉冲微分方程的$\left(\omega ,c\right)$ -周期mild解。

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=Ax\left(t\right)+f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in R^{+},t\ne {\tau }_i,i\in {\rm N}:=\{1,2,\cdots \},\\ {\Delta x|}_{t={\tau }_i}=x\left({\tau }_i^{+}\right)-x\left({\tau }_i^{-}\right)=Bx\left({\tau }_i^{-}\right)+c_i,\end{array}$ (1.1)

其中，A是稠定闭线性算子，生成X中的C₀半群$T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ 。B是有界线性算子，$f\in C\left(R^{+}\times X,X\right)$ ，且f满足$f\left(t+\omega ,cx\right)=cf\left(t,x\right)$ 。$x\left({\tau }_i^{-}\right)$ 和$x\left({\tau }_i^{+}\right)$ 分别表示$x\left(t\right)$ 在$t={\tau }_i$ 处的左右极限。此外，假设$x\left({\tau }_i^{-}\right)=x\left({\tau }_i\right)$ ，为了方便讨论方程(1.1)，我们给出如下基本假设：

(H₁) A是稠定闭线性算子，生成X中的C₀半群$T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ ，B是有界线性算子，且满足$T\left(t\right)B=BT\left(t\right)$ ；

(H₂) $c_i,{\tau }_i>0$ ，满足$c_{i+m}=c_i$ ，${\tau }_{i+m}={\tau }_i+\omega$ ，$i\in {\rm N}$ ，其中$m\triangleq i\left(0,\omega \right)$ 代表区间$\left[0,\omega \right]$ 上脉冲点的个数；

(H₃) $c\notin \sigma \left(T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)$ ，即${\left(cE-\left(T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)\right)}^{-1}$ 存在，其中$\sigma (\cdot )$ 表示线性算子的谱，E是单位算子；

(H₄) 存在常数$\mu ,\nu \ge 0$ ，使得$\Vert f\left(t,x\right)\Vert \le \mu +\nu \Vert x\Vert$ ，$\forall t\in R^{+}$ ，$x\in X$ ；

(H₅) $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ 是紧半群。

2. 预备知识

设X是Banach空间，其范数为$\Vert \cdot \Vert$ 。再引进一个Banach空间$\left\{x:R^{+}\to X:x\in C\left(\left(t_i,t_{i+1}\right],X\right),x\left(t_i^{-}\right)=x\left(t_i\right),\forall i\in {\rm N},且x\left(t_i^{+}\right)存在\right\}$ ，其范数为${\Vert x\Vert }_{PC}=\underset{t\in R^{+}}{\sup }\Vert x\left(t\right)\Vert$ 。

定义2.1 [13]若X为Banach空间，$B\left(X\right)$ 表示X中线性有界算子全体构成的Banach空间。假设$T\left(t\right):\left[0,\infty \right]\to B\left(X\right)$ 满足：

1) $T\left(0\right)=I$ ；

2) 对$\forall t,s\ge 0$ ，$T\left(t+s\right)=T\left(t\right)T\left(s\right)$ 。

则称$T\left(t\right)t\ge 0$ 为X中的线性算子半群。

若1)和2)满足，且对$\forall x\in X$ ，有$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }T\left(h\right)x=x$ ，则称$T\left(t\right)t\ge 0$ 为X中的强连续半群，也称为C₀-半群。

若1)和2)满足，且有$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\Vert T\left(t\right)-I\Vert =0$ ，则称$T\left(t\right)t\ge 0$ 为X中的一致连续半群。

引理2.2 [13]设$T\left(t\right)t\ge 0$ 为X中的强连续半群，则存在常数$\omega \ge 0$ 和$M\ge 1$ ，使得：

$\Vert T\left(t\right)\Vert \le M{\text{e}}^{\omega t},\left(t\ge 0\right).$

定义2.3 [8]对所有的$t\in R^{+}$ ，如果$f\left(t+\omega \right)=cf\left(t\right)$ ，则称函数$f:R^{+}\to X$ 是$\left(\omega ,c\right)$ -周期的，其中$c\in R\backslash \left\{0\right\}$ ，$\omega >0$ 。

设${\Phi }_{\omega ,c}=\left\{x:x\in PC\left(R^{+},X\right),cx(\cdot )=x\left(\cdot +\omega \right)\right\}$ ，则${\Phi }_{\omega ,c}$ 表示所有分段连续的$\left(\omega ,c\right)$ -周期函数的集合。

引理2.4 [10] $x\in {\Phi }_{\omega ,c}$ 当且仅当：

$x\left(\omega \right)=cx\left(0\right).$ (2.1)

引理2.5 设(H₁)和(H₂)成立。齐次线性脉冲方程初值问题：

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }(t)=Ax,t\in R^{+},t\ne {\tau }_i,i\in {\rm N},\\ {\Delta x|}_{t={\tau }_i}=Bx,\\ x\left(0\right)=x_0\end{array}$ (2.2)

有一个解$x\in {\Phi }_{\omega ,c}$ 当且仅当：

$\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)x_0=0.$

证明 对任意的$t\in \left[0,\infty \right)\backslash \xi$ ，$\xi ={\left\{{\tau }_i\right\}}_{i\in N}$ ，方程(2.2)的解$x\in PC\left(R^{+},X\right)$ 为：

$x\left(t\right)=T\left(t\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t\right)}{x}_0,t\ge 0.$

对任意的$t\in \left[0,\infty \right)\backslash \xi$ ，

$\begin{array}{l}x\left(t+\omega \right)=cx\left(t\right)\iff T\left(t+\omega \right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t+\omega \right)}{x}_0=cT\left(t\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t\right)}{x}_0\\ \iff T\left(t\right)T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t\right)}{\left(E+B\right)}^{i\left(t,t+\omega \right)}{x}_0=cT\left(t\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t\right)}{x}_0\\ \iff T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^{i\left(t,t+\omega \right)}{x}_0=c{x}_0\\ \iff \left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)x_0=0\end{array}$

接下来，主要考虑非齐次线性脉冲发展方程：

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=Ax+g\left(t\right),t\in R^{+},t\ne {\tau }_i,i\in {\rm N},\\ {\Delta x|}_{t={\tau }_i}=Bx+c_i\end{array}$ (2.3)

$\left(\omega ,c\right)$ -周期mild解的存在性，其中$g\in C\left(R^{+},X\right)$ 是$\left(\omega ,c\right)$ -周期函数。

引理2.6 [12]设(H₁)~(H₃)成立。非齐次脉冲发展方程(2.3)$\left(\omega ,c\right)$ -周期mild解$x\in \Omega :=PC\left(\left[0,\omega \right],X\right)$ ，其表达式为：

$x\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\omega }G\left(t,\tau \right)g\left(\tau \right)\text{d}\tau }+{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}G\left(t,{\tau }_i\right)c_i},$ (2.4)

其中，$G\left(t,\tau \right)$ 是Green函数，其定义为：

$G\left(t,\tau \right)=\{\begin{array}{l}\left(T\left(t\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t\right)}{\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}T\left(\omega -t\right){\left(E+B\right)}^{i\left(t,\omega \right)}+E\right)T\left(t-\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,t\right)},0<\tau <t,\\ T\left(t\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t\right)}{\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}T\left(\omega -\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(t,\omega \right)},t\le \tau <\omega .\end{array}$ (2.5)

引理2.7 [12]设(H₁)~(H₃)成立。对任意的$t\in \left[0,\omega \right]$ ，有如下不等式成立：

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^m\Vert G\left(t,{\tau }_i\right)c_i\Vert }\\ \le M_{\eta }=\{\begin{array}{l}M\max \left\{\Vert {\left(E+B\right)}^{2m}\Vert ,1\right\}{\text{e}}^{\eta \omega }\left(\Vert {\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\Vert M+1\right){\displaystyle \sum _{1<i<m}{\text{e}}^{\eta \left(\omega -{\tau }_i\right)}}\Vert c_i\Vert ,\eta >0,\\ M\max \left\{\Vert {\left(E+B\right)}^{2m}\Vert ,1\right\}\left(\Vert {\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\Vert M+1\right){\displaystyle \sum _{1<i<m}\Vert c_i\Vert },\eta \le 0.\end{array}\end{array}$

引理2.8 [12]设(H₁)~(H₃)成立。对任意的$t\in \left[0,\omega \right]$ ，有如下不等式成立：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)\Vert \text{d}\tau }\\ \le N_{\eta }=\{\begin{array}{l}\left\{M\max \left\{\Vert {\left(E+B\right)}^{2m}\Vert ,1\right\}\Vert {\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\Vert {\text{e}}^{\eta \omega }+\max \left\{\Vert {\left(E+B\right)}^m\Vert ,1\right\}\right\}M\frac{{\text{e}}^{\eta \omega }-1}{\eta },\eta \ne 0,\\ \left\{M\max \left\{\Vert {\left(E+B\right)}^{2m}\Vert ,1\right\}\Vert {\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\Vert +\max \left\{\Vert {\left(E+B\right)}^m\Vert ,1\right\}\right\}M\omega ,\eta =0.\end{array}\end{array}$

引理2.9 [14] (Schauder不动点定理)设X为Banach空间，B为X中的有界凸比子集。若算子为$L:B\to B$ 为全连续算子，则算子L在X中至少存在一个不动点。

3. 主要定理

定理3.1 设(H₁)~(H₅)成立。如果$0<v{N}_{\eta }<1$ ，则半线性脉冲发展方程(1.1)有一个$\left(\omega ,c\right)$ -周期mild解$x\in {\Phi }_{\omega ,c}$ 。

证明 令$B_r=\left\{x\in \Omega |{\Vert x\Vert }_{PC}\le r\right\}$ ，$r=\frac{\mu N_{\eta }+M_{\eta }}{1-v{N}_{\eta }}$ 。在$B_r$ 上定义如下算子$\Lambda$ 如下：

$\left(\Lambda x\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\omega }G\left(t,\tau \right)f\left(\tau ,x\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }+{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}G\left(t,{\tau }_i\right)c_i},$ (3.1)

首先证明$\Lambda \left(B_r\right)\subset B_r$ 。对任意的$x\in B_r$ 和$t\in \left[0,\omega \right]$ ，由引理2.7和2.8，有：

$\begin{array}{c}\Vert \left(\Lambda x\right)\left(t\right)\Vert \le {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)f\left(\tau ,x\left(\tau \right)\right)\Vert \text{d}\tau }+{\displaystyle \sum _{i=1}^m\Vert G\left(t,{\tau }_i\right)c_i\Vert }\\ \le \mu {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)\Vert \text{d}\tau }+\nu {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)\Vert }\Vert x\left(\tau \right)\Vert \text{d}\tau +{\displaystyle \sum _{i=1}^m\Vert G\left(t,{\tau }_i\right)c_i\Vert }\\ \le \mu N_{\eta }+\nu N_{\eta }{\Vert x\Vert }_{PC}+M_{\eta }=r,\end{array}$

所以$\Lambda \left(B_r\right)\subset B_r$ 。

下证$\Lambda$ 是连续的。

设$x_n$ 是$B_r$ 中的柯西列，且$x_n\to x\left(n\to \infty \right)$ 。记$f_n=f\left(\cdot ,x_n(\cdot )\right)$ ，$f=f\left(\cdot ,x(\cdot )\right)$ 。

由f的连续性可得，$f_n\to f\left(n\to \infty \right)$ 。

由(3.1)式，有：

$\begin{array}{c}\Vert \left(\Lambda x_n\right)\left(t\right)-\left(\Lambda x\right)\left(t\right)\Vert \le {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)\Vert }\Vert f\left(\tau ,x_n\left(\tau \right)\right)-f\left(\tau ,x\left(\tau \right)\right)\Vert \text{d}\tau \\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)\Vert \text{d}\tau }\Vert f_n-f\Vert \le M_{\eta }\Vert f_n-f\Vert \\ \to 0.\end{array}$

因此，$\Lambda$ 是连续的。

最后证明$\Lambda \left(B_r\right)$ 是相对紧的。由$\Lambda \left(B_r\right)\subset B_r$ ，易见$\Lambda \left(B_r\right)$ 是一致有界的。下证$\Lambda$ 是等度连续算子。

对任意的$0<t_1<t_2\le \omega$ 和$x\in B_r$ ，有：

$\begin{array}{l}\Vert \left(\Lambda x\right)\left(t_2\right)-\left(\Lambda x\right)\left(t_1\right)\Vert \\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert }\Vert f\left(\tau ,x\left(\tau \right)\right)\Vert \text{d}\tau +{\displaystyle \sum _{i=1}^m\Vert G\left(t_2,{\tau }_i\right)-G\left(t_1,{\tau }_i\right)\Vert }\Vert c_i\Vert \\ \le \left(\mu +\nu {\Vert x\Vert }_{PC}\right){\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \text{d}\tau }+{\displaystyle \sum _{i=1}^m\Vert G\left(t_2,{\tau }_i\right)-G\left(t_1,{\tau }_i\right)\Vert }\Vert c_i\Vert .\end{array}$

由(2.5)式，

$\begin{array}{l}\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \\ =\{\begin{array}{l}\Vert T\left(t_2\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t_2\right)}{\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}T\left(\omega -\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,\omega \right)}\\ +T\left(t_2-\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,t_2\right)}-T\left(t_1\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t_1\right)}{\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\\ \times T\left(\omega -\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,\omega \right)}-T\left(t_1-\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,t_1\right)}\Vert ,0<\tau <t_1<t_2,\\ \Vert T\left(t_2\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t_2\right)}{\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}T\left(\omega -\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,\omega \right)}\\ -T\left(t_1\right){\left(E+B\right)}^{i\left(0,t_1\right)}{\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}T\left(\omega -\tau \right){\left(E+B\right)}^{i\left(\tau ,\omega \right)}\Vert ,t_1<t_2<\tau <\omega .\end{array}\end{array}$

如果$0<\tau <t_1<t_2$ ，有：

$\begin{array}{l}\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \\ \le \Vert T\left(t_2\right)-T\left(t_1\right)\Vert \Vert {\left(E+B\right)}^{2m}\Vert \Vert {\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\Vert M{\text{e}}^{\eta \left(\omega -\tau \right)}\\ +\Vert T\left(t_2-\tau \right)-T\left(t_1-\tau \right)\Vert \Vert {\left(E+B\right)}^m\Vert .\end{array}$

由半群$T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ 的紧性知，$\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \to 0\left(t_2-t_1\to 0\right)$ 。

如果$t_1<t_2<\tau <\omega$ ，则A：

$\begin{array}{l}\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \\ \le \Vert T\left(t_2\right)-T\left(t_1\right)\Vert \Vert {\left(E+B\right)}^{2m}\Vert \Vert {\left(cE-T\left(\omega \right){\left(E+B\right)}^m\right)}^{-1}\Vert M{\text{e}}^{\eta \left(\omega -\tau \right)}.\end{array}$

再由半群$T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ 的紧性可知，$\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \to 0\left(t_2-t_1\to 0\right)$ 。

所以，对任意的$0<t_1<t_2<\omega$ 都满足：

$\Vert G\left(t_2,\tau \right)-G\left(t_1,\tau \right)\Vert \to 0$ ，$t_2-t_1\to 0$ 。 (3.2)

这意味着当$t_2-t_1\to 0$ 时，$\Vert \left(\Lambda x\right)\left(t_2\right)-\left(\Lambda x\right)\left(t_1\right)\Vert \to 0$ 。因此，算子$\Lambda$ 是等度连续算子。

在$B_r$ 上作算子${\Lambda }_{\epsilon }$ 如下：

$\left({\Lambda }_{\epsilon }x\right)\left(t\right)=T\left(\epsilon \right)\left({\displaystyle {\int }_0^{\omega }G\left(t-\epsilon ,\tau \right)f\left(\tau ,x\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }+{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}G\left(t-\epsilon ,{\tau }_i\right)c_i}\right)$ , $t\in \left[0,\omega \right]$ .

令$K=\left\{\left(\Lambda x\right)\left(t\right):t\in \left[0,\omega \right]\right\}$ ，$K_{\epsilon }=\left\{\left({\Lambda }_{\epsilon }x\right)\left(t\right):t\in \left[0,\omega \right]\right\}$ ，$0<\epsilon <\omega$ ，由条件(H₅)，$K_{\epsilon }$ 是相对紧的。

所以，对任意的$x\in B_r$ 有：

$\begin{array}{l}\Vert \left(\Lambda x\right)\left(t\right)-\left({\Lambda }_{\epsilon }x\right)\left(t\right)\Vert \\ \le {\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)-G\left(t-\epsilon ,\tau \right)\Vert \Vert f\left(\tau ,x\left(\tau \right)\right)\Vert \text{d}\tau }+{\displaystyle \sum _{i=1}^m\Vert G\left(t,{\tau }_i\right)-G\left(t-\epsilon ,{\tau }_i\right)\Vert \Vert c_i\Vert }\\ \le \left(\mu +\nu r\right){\displaystyle {\int }_0^{\omega }\Vert G\left(t,\tau \right)-G\left(t-\epsilon ,\tau \right)\Vert \text{d}\tau }+{\displaystyle \sum _{i=1}^m\Vert G\left(t,{\tau }_i\right)-G\left(t-\epsilon ,{\tau }_i\right)\Vert \Vert c_i\Vert }\end{array}$

由(3.2)式，当$\epsilon \to 0$ 时，$\Vert \left(\Lambda x\right)\left(t\right)-\left({\Lambda }_{\epsilon }x\right)\left(t\right)\Vert \to 0$ ，所以K在X中相对紧。根据Arzela-Ascoli定理，K在$PC\left(\left[0,\omega \right],X\right)$ 上相对紧，所以$\Lambda$ 是全连续算子。由Schauder不动点定理半线性脉冲发展方程，(1.1)至少有一个$\left(\omega ,c\right)$ -周期mild解。

4. 结论

本文讨论了Banach空间中一类半线性脉冲发展方程$\left(\omega ,c\right)$ -周期解的存在性，首先给出了非齐次脉冲发展方程$\left(\omega ,c\right)$ -周期mild解的表达形式，其次在紧半群情形下利用Schauder不动点定理证明了系统(1.1)$\left(\omega ,c\right)$ -周期mild解的存在性。