1. 研究缘起
《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出“数的运算重点在于理解算理、掌握算法”[1]，要让学生经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法。感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力。也就是说，在培养学生的运算能力的教学中，要让学生在明白算理的前提下，同时也重视算法，让学生能够根据法则和运算律，正确地进行计算，以此增强学生的运算能力。作为与运算能力紧密不可分割的核心素养，数感也极大程度影响了学生的运算能力，只有帮助学生建立起数感，才能够提高学生的运算能力[2]。
“除数是两位数除法”的“试商调商”这部分内容着重解决除数是两位数除法的技能问题，通过翻阅国内各版教材，发现目前这部分内容具有丰富的试商方法。以人教版为例，在核心例题中强调了“四舍法”、“五入法”，但在后续的例题和习题中又呈现了“同头无除商8、9”、“凑五试商法”“除数折半商4、5”等试商策略[3]，这么多纷繁复杂的口诀使得学生的经验和方法是零散的、破碎的，不能达到从“栽活一棵树”到“育好一片林”的效果，若是混淆了其一口诀，学生计算准确度则大大降低。因此在学生理解算理的基础上，总结出一个统一而简洁的运算方法就非常有必要了。
学习路径是描述学生学习某一数学知识的思维活动过程和为达成相应的学习目标而设计的一系列有序的、符合学生认知规律的学习任务。学习路径不但可以把握学生在学习中是如何进步的，而且为教师设置合理的数学活动提供指导，有助于建立教与学的联系[4]。要引导学生总结除数是两位数除法的运算法则，就要设计一系列指向教学目标的学习任务。本文聚焦于除数是两位数的除法中的“试商调商”进行学习路径探索，采用实证研究法，主要回答以下问题：
1) 在一致性前提下，如何实现“试商和调商”的算法优化？
2) 优化后的“试商和调商”的算法是否具有迁移性，是否让学生感受到除数是两位数和三位数的除法的算法的一致性？
2. 研究设计
2.1. 研究对象
选取杭州市YH小学四年级的两个平行班(分别记为甲班和乙班)作为研究对象，共55人，按照本研究设计的学习路径进行学习。
在实验前，对甲、乙两班进行前测。统计得分，并进行单因素方差分析，结果表明，两个班关于除数是两位数的除法的预备知识不存在显著性差异(F = 0.242, P = 0.867)。
2.2. 研究流程
学习路径优化的具体流程如图1所示：
Figure 1. Research process
图1. 研究流程
2.3. 问卷及数据处理
授课后，对学生进行后测。后测问卷共5题，均用来考查学生是否掌握了“口诀试商，看余调商”的方法，并且是否能够迁移至被除数是四位数的除法中。例题如下：
① 342 ÷ 57 ② 411 ÷ 83 ③ 230 ÷ 14 ④ 114 ÷ 16 ⑤ 1364 ÷ 26
前四题为三位数除以两位数，用来检测学生是否掌握试商调商的方法，第五题为除数是两位数的除法，用来检测学生是否能将算法迁移至四位数除以两位数而正确运算，对其进行以下的赋分：通过估算，并用口诀试商，得1分；根据试商后的余数来进行调商，得1分。满分2分。
针对问卷的信度，采用Alpha信度系数法，得出后测问卷的Alpha系数为0.778，说明问卷的信度较好。
3. 研究结果与分析
3.1. 优化后的学习路径
优化后的学习路径如图2所示。
任务1：430 ÷ 61如何计算？如何找到商？
430 ÷ 61是上节课学生学习的重点，是“看除法想乘法，看乘法想口诀”的回顾复习，将本节课的算法与上节课相衔接，凸显除法算法的一致性。在复习完上节课的锦囊之后，学生发现“一次性试商得不到合适的商”的运算困难，这铺垫了“调商”的需求。
任务2：430 ÷ 62，430 ÷ 46如何计算？如何找到商？
任务2是本节课的核心任务。教师设置的这两道例题具有不同的出题意图，430 ÷ 62为“除数估小，商偏大，要调小一次”，430 ÷ 46为“除数估大，商偏小，要调大一次”，教师将基于本环节来攻破本节课的重难点。
Figure 2. Optimized learning paths
图2. 优化后的学习路径
同样的，作为核心环节的任务2也包含3个子任务：
任务2-1：算一算——在探究单上用竖式尝试，看能不能快速找到商。
教师给予学生自主尝试的时间，让学生用竖式记录下找商的过程。
任务2-2：说一说——说一说尝试找商的过程和想法。
教师要求学生在自主找商后与组员分享尝试找商的过程和想法。学生在处理430 ÷ 62时的方法都较为一致，在找商的过程讲述上也很清晰明了。以下是组员间说一说的教学实录。(S1、S2等是学生)
S1：你们是怎么找到商的呀？
S2：430 ÷ 62，把62估成60，六七四十二，所以7个60就是420，再用个位的2，二七十四，加上一共就是434，比被除数430大，所以要把商调小一点，用6去试一下，得到372，372 < 430，余数是58，这样就可以了(如图3)。
Figure 3. Worksheets of 430 ÷ 62
图3. 430 ÷ 62的学习单
但是在处理430 ÷ 46时，学生在找商方向上遇到困难。
类型1：调商方向不明确
S3：430 ÷ 46，把46估成50，五八四十，这时候余数比除数大(62 > 46)，先估小(估成7)发现更大了，估大(估成9)发现刚好(如图4)。
Figure 4. Quoting worksheets
图4. 调商学习单
类型2：调商方向明确
S4：我想补充一下，当余数比除数大的时候我就不会再估小了，我只会估大，因为我需要在余数中减去除数，而不是继续加上除数使它变大(如图5)。
Figure 5. Quoting worksheets
图5. 调商学习单
在商需要调大和调小的方向上，学生有着一定的调商直觉，也会有一些学生没有找到调商的关键，即余数的大小。在交流的过程中，“余数比除数大，需要将商调大”的直觉可以在学生之间共享，教师也及时跟进肯定正确的直觉表述，不断给学生强调试商的结果和调商的方向的情况，扫去一些繁杂的思路。
即使本节课重算法，教师依然在展示算法的同时也给予了算法之外的解释。当四舍和五入的两种方式造成了商偏大和偏小的两种情况时，教师进一步追问学生，“为什么(430 ÷ 62)商会偏大？为什么(430 ÷ 46)商会偏小？”学生在追问引发的思考下会加深对于“除数估大，商偏小，需要调大；除数估小，商偏大，需要调小”的印象和理解，为学生接下来面对大量需要对除数四舍和五入的除法运算的调商方向提供了思想上的准备，减少学生的试错，尽可能提高学生试商调商的正确率。
任务2-3：比一比——这组题试商和调商过程中，有哪些相同和不同？
教师带领学生继续寻找430 ÷ 62，430 ÷ 46找商的异同，在寻找的过程中提炼出最核心的算法，即相同点“口诀试商，看余调商”——第一步试商，把除数估成整十数，然后想乘法口诀；第二步调商，发现问题再调商，这里的问题指的是除数和余数的大小不符合学生已有的认知经验；并且发现其调商的不同点：调商要考虑调大还是调小。
任务3：判断下列式子哪些需要调商？你是如何快速判断的？
上述式子共分为五种类型(如图6)：
第一，没有余数，商需要调小，例如311 ÷ 54；第二，余数小于一倍的除数，不需要调商，例如275 ÷ 33，496 ÷ 78；第三，除数和余数一样大，商需要调大1，例如268 ÷ 67；第四，余数大于一倍的除数，小于两倍的除数，商需要调小1，例如258 ÷ 36；第五，余数大于两倍的除数，小于三倍的除数，商需要调小2，例如227 ÷ 52。
Figure 6. A worksheet to determine whether or not to transfer a quotient
图6. 判断是否调商的任务单
教师给予学生的是做了初步试商的竖式，减轻了学生在试商步骤上的计算，而把重心放在判断是否需要在此基础上调商和如何调商之上，即要求学生合理考量除数和余数的大小关系，并对商的大小做出合适的调整。例如311 ÷ 54，题给信息的试商得到6，然而54 × 6 = 324 > 311，学生要考虑在此情况下无法得到余数，即余数出现问题了，说明试商偏大，所以要进行商大调小的调商行为；如268 ÷ 67，当试商得到3时，剩下的余数67正好与除数67一样大，学生要考虑并对其处理，以保证余数始终要小于除数。
其中值得一提的是227 ÷ 25，是学生首次遇到需要调商两次的例题，不少同学存在着二次调商的行为，以下是教师询问的教学实录。
T：老师看到你这里有涂改行为，整个过程你是怎么思考的？为什么会出现调了之后还是错的，需要再调一次的情况呢？
S5：我发现余数52比25大，想着要把商调大，所以一开始调大了1，后来发现新的余数是27，还比25大，也就是还能调大1，所以最终得到了商9余2的结果。现在我发现，我只要一次性看52里有多少个25就可以一步到位得到正确的商了(如图7)。
Figure 7. 227 ÷ 25
图7. 227 ÷ 25
调商一步到位或者调商两次都是合理正确的调商过程，但调商一步到位的思考水平要更胜一筹，这说明学生对于数的运算的敏感性更强，学生的数感水平更高。在一次次的判断和调整中，学生能够不断熟悉“看余调商”的算法，不断将“看余调商”从一句口诀真正转化为可操作的技能。
任务4：735 ÷ 83 = 448 ÷ 89 = 131 ÷ 16 = 985 ÷ 43 =
在熟悉算法之后，教师再提供四道题对“口诀试商，看余调商”进行巩固，充分体验“四舍”和“五入”造成的商偏大和偏小的情况，熟练处理需要1~2次调商的算式。特别是131 ÷ 16 (如图8)，是学生初次完整经历存在二次调商现象的例题，大多数学生都是按照余数和除数的大小一步一步调商，一步到位的调商人数依然是少数。
Figure 8. 131 ÷ 16
图8. 131 ÷ 16
任务5：2100 ÷ 54 = 5269 ÷ 334 =
三位数除以两位数的算式是本节课的重点学习内容，但获得的“口诀试商，看余调商”的方法能迁移至四位数除以两位数。教师设置2100 ÷ 54 = 5269 ÷ 334 = 为检测学生是否掌握了算法的核心程序。
例如学生在解决2100 ÷ 54时，经历如下的思考过程(如图9)：首先把除数54估成50，根据210和50想到了“四五二十”的口诀，即在十位上商4，由于54 × 4 = 216 > 210，则需要调商，将十位上的商调小为3，此时的余数为40，紧接着继续试个位上的商，根据400和50想到了“五八四十”的口诀，即在个位上商8，由于54 × 8 = 440 > 400，则还需要调商，将个位上的商调小为7，此时余数为22，22 < 54，即余数小于除数，至此，试商调商完成。
Figure 9. 2100 ÷ 54
图9. 2100 ÷ 54
3.2. 学习路径教学效果
如前文所述，本研究首先在甲班开展了初构的学习路径A1的教学，结合专家建议与甲班后测情况后，继而在乙班开展了优化的学习路径A2的教学。
1) 后测得分情况
以下将通过对甲、乙班的后测进行定量分析，验证学习路径得到了改进。甲、乙班得分情况见表1。
Table 1. The score rate of the post-test of class A and class B
表1. 甲、乙班后测得分率
|
342 ÷ 57 |
411 ÷ 83 |
230 ÷ 14 |
114 ÷ 16 |
1364 ÷ 26 |
总得分率 |
甲班 |
80.43% |
80.43% |
65.22% |
91.30% |
63.04% |
76.09% |
乙班 |
96.67% |
98.33% |
93.33% |
96.67% |
75.00% |
92.00% |
对甲、乙班学生的后测各题得分进行独立样本t检验，结果表明：第1题得分(t = −2.135, P = 0.038)、第2题得分(t = −2.854, P = 0.006)、第3题得分(t = −3.213, P = 0.002)、总得分(t = −2.837, P = 0.008)存在显著性差异，第4题得分(t = −0.878, P = 0.385)、第5题得分(t = −1.000, P = 0.322)不存在显著性差异。
2) 算法一致性掌握情况
为了了解甲、乙两班对算法一致性的掌握情况，排除不同的题目对其产生的影响，因此选择了学习单中共有的131 ÷ 16、985 ÷ 43，后测中共有的342 ÷ 57，411 ÷ 83，230 ÷ 14，114 ÷ 16，1364 ÷ 26，通过关注其竖式所体现出来的算法过程，以验证乙班是否更好掌握了算法的一致性。
Table 2. The usage rate of algorithm consistency in class A and class B
表2. 甲、乙班算法一致性的使用率
|
131 ÷ 16 |
985 ÷ 43 |
342 ÷ 57 |
411 ÷ 83 |
230 ÷ 14 |
114 ÷ 16 |
1364 ÷ 26 |
总得分率 |
甲班 |
65.22% |
86.96% |
73.91% |
60.87% |
69.57% |
65.22% |
52.17% |
67.70% |
乙班 |
85.71% |
92.86% |
82.14% |
89.29% |
85.71% |
82.14% |
71.43% |
84.18% |
结果表明(如表2)，在具有特殊性的除数是两位数的除法中(131 ÷ 16、411 ÷ 83、114 ÷ 16)，乙班的学生以一致性的算法来进行计算的使用率更高；在处理“1364 ÷ 26”时，乙班的学生更善于迁移运用算法的一致性来解决问题；在其他一般性的题中，学生的算法一致性的使用率也有小幅度的增加。
3) 迁移效果情况
由于学生在处理四位数除以两位数时出现了正确率小幅度下滑的现象，因此教师仅选择了几位正确处理四位数除以两位数的同学，对其展开了四位数除以三位数的个别访谈，其访谈实录如下。
T：在解决5269 ÷ 334时，你是怎么想的呀？
S6：首先把除数334估成300 (如图10)，根据526和300想到了“一三得三”的口诀，即在十位上商1，百位上的余数为192，紧接着根据1929和300想到了“三六十八”的口诀，即在个位上商6，由于334 × 6 = 2004 > 1670，则需要调商，将个位上的商调小为5时，获得的余数为259，259 < 334，即余数小于除数，这样我就试商调商好了。
综上，乙班学生更好掌握了试商调商的算法，优化的学习路径得到了改进。
Figure 10. 5269 ÷ 3334
图10. 5269 ÷ 3334
3.3. 反思
学习路径着重解决了“怎样调商”的问题，将其算法总结为“看余调商”，在强调算法的教学中忽视了对某些算理的进一步解释，即有关于调商的必要性尚未解决。因此，在学习路径的熟悉算法环节还可以增加以下部分。
当学生在面对类似于余数偏大两倍及以上(图11)的情况的时候，可以感受调商的必要性。若学生意识到商要调大，通常会给出如图12“把商调大1”的调商结果，教师可以对此进行及时的引导，肯定学生的做法，即将商调大1是正确的步骤，此时获得的新的余数依然大于除数，教师需要再次对学生发出疑问“此时还需要调商吗？有没有必要再调商？”这时候学生会发现当余数大于除数时是可以继续往下除的，即27(一) ÷ 25 = 1(一) ∙∙∙ 2(一)。当学生进行上述操作时，需要反复提醒学生注意商的位置，即此时可以将除数运算的算理重新应用一遍，再次强调二次调商时细分的计数单位是什么，是否与一次调商的计数单位相同；除此之外，教师需要将图7的调商效率与图12的调商效率进行比较，突出人类追求运算极致的简洁。
Figure 11. 227 ÷ 25
图11. 227 ÷ 25
Figure 12. 227 ÷ 25
图12. 227 ÷ 25
4. 结论与建议
4.1. 结论
1) 在一致性前提下，本文通过教学实验探寻得到了“口诀试商，看余调商”的优化算法。具体而言，即将除数估成整十数，想该数的乘法口诀来试商，随后根据试商得到的余数来对商进行调整，避免了多种算法口诀带来的干扰，学生能深刻体会到除数是两位数的除法运算算法的一致性和通用性。
2) 研究表明，“口诀试商，看余调商”的优化算法具有较好的迁移效果，学生意识到算法的普遍性，在独立进行除法运算时合理利用“口诀试商，看余调商”，就能以从一而终的方法解决四位数除以两位数的试商、调商问题，且具有较高的计算正确率，在处理四位数除以三位数时，学生仍需加以训练。
4.2. 建议
教材在编写时，可以参考研究得到的优化的学习路径A2：以“口诀试商，看余调商”的统一算法贯穿除数是非整十数的除法运算，以“判断是否需要调商”的半成品作为检验学生掌握“调商”技能的表现性评价任务，以凸显调商。
教师在教学时，要精心设计活动任务，为学生设置具有一般性、不适用技巧的试商例题，不同除数和余数关系的调商例题，重视引导学生经历试商、调商的过程，尤其是要重视建立起学生对于余数和除数关系的敏锐性，教师需层层递进、一步步引导学生明确调商的方向处理和次数处理。
基金项目
浙江省哲学社会科学规划课题“基于认知发展模型的义务教育教科书编写质量提升研究(编号：23NDJC265YB)”、浙江省高校重大人文社科攻关计划项目“建设高质量教育体系背景下义务教育教科书编写质量提升路径研究(编号：2023GH005)”。