关于von Neumann代数上的几种算子拓扑的研究

A Study of Several Operator Topologies on von Neumann Algebras

摘要: 设A是作用于Hilbert空间ℋ上的C∗-代数，B(K)是作用于Hilbert空间ℋ上的von Neumann代数。本文讨论了C∗-代数A到von Neumann代数B(K)的线性映射在σ-强算子拓扑和σ-弱算子拓扑下的连续性。

Abstract: LetAbe theC∗-algebra acting on the Hilbert spaceℋ, andB(K)be the von Neumann algebra acting on the Hilbert spaceℋ. In this paper, we discuss the continuity of linear maps fromC∗-algebraAto von Neumann algebraB(K)inσ-strong operator topology andσ-weak operator topology.

1. 引言

从$C^{\ast }$ -代数$\mathfrak{A}$ 到$\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$ 的$\ast$ 同态$\phi$ ，称为$C^{\ast }$ -代数$\mathfrak{A}$ 的表示。${\left(\mathfrak{A}\right)}_r$ 是以$\mathfrak{A}$ 中0为中心，半径为r的球；${\left(\mathfrak{A}\right)}_r^{+}$ 为${\left(\mathfrak{A}\right)}_r$ 中正算子的集合。线性映射在同一代数上的算子拓扑的连续性，已有很好的研究。例如2004年严单贵提出的$\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$ 上的几种拓扑[1]；2008年余保民，薛社教提出的关于Hilbert空间的算子空间中的几种拓扑的注记[2]；线性映射在不同代数上的强算子拓扑和弱算子拓扑的连续性也有部分理论。例如KADISON，R. V.和RINGROSE，J. R.在Fundamentals of the Theory of Operator Algebras中讨论了$C^{\ast }$ -代数$\mathfrak{A}$ 到von Neumann代数$\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$ 的线性映射在强算子拓扑和弱算子拓扑下的连续性([3]和[4])。本文受到以上文献的启发，证明了$C^{\ast }$ -代数$\mathfrak{A}$ 到von Neumann代数$\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$ 的线性映射在$\sigma$ -强算子拓扑和$\sigma$ -弱算子拓扑下的连续性。

2. 正文

2.1. 预备知识

定义1 [5]：设$\mathscr{H}$ 是Hilbert空间，对于$\forall \left\{x_n\right\}\subseteq \mathscr{H}$ ，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert x_n\Vert }^2<\infty }$ ，等式$p_{\left\{x_n\right\}}\left(T\right)={\left({\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert T{x}_n\Vert }^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$ 定义了$\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$ 上的半范数$p_{\left\{x_n\right\}}\left(T\right)$ ，由半范数族$\left\{p_{\left\{x_n\right\}}:\left\{x_n\right\}\subseteq \mathscr{H},{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert x_n\Vert }^2<\infty }\right\}$ 生成的$\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$ 上的局部凸拓扑称为$\sigma$ -强算子拓扑，记为$\sigma$ -SOT。

引理1 [5]：对于$\forall \left\{T_{\lambda }\right\}\subseteq B\left(\mathscr{H}\right)$ ，$T\in B\left(\mathscr{H}\right)$ ，$T_{\lambda }\stackrel{\sigma \text{-SOT}}{\to }T$$\iff$ $\forall \left\{x_n\right\}\subseteq \mathscr{H}$ ，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert x_n\Vert }^2<\infty }$ ，有${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \left(T_{\lambda }-T\right)x_n\Vert }^2\to 0}$ 。

定义2 [5]：设$\mathscr{H}$ 是Hilbert空间，对于$\forall \left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}\subseteq \mathscr{H}$ ，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\Vert x_n\Vert }^2+{\Vert y_n\Vert }^2\right)<\infty }$ ，等式$p_{\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}}\left(T\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle T{x}_n,y_n\rangle \right|}$ 定义了$\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$ 上的半范数$p_{\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}}\left(T\right)$ ，由半范数族$\left\{p_{\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}}:\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}\subseteq \mathscr{H},{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\Vert x_n\Vert }^2+{\Vert y_n\Vert }^2\right)<\infty }\right\}$ 生成的$\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$ 上的局部凸拓扑称为$\sigma$ -弱算子拓扑，记为$\sigma$ -WOT。

引理2 [5]：对于$\forall \left\{T_{\lambda }\right\}\subseteq B\left(\mathscr{H}\right)$ ，$T\in B\left(\mathscr{H}\right)$ ，$T_{\lambda }\stackrel{\sigma \text{-WOT}}{\to }T$$\iff$ $\forall \left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}\subseteq \mathscr{H}$ ， ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\Vert x_n\Vert }^2+{\Vert y_n\Vert }^2\right)<\infty }$ ，有${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(T_{\lambda }-T\right)x_n,y_n\rangle \right|\to 0}$ 。

引理3 [6]：设$\mathfrak{B}{\left(\mathscr{H}\right)}_1=\left\{x\in \mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right):\Vert x\Vert \le 1\right\}$ 是$\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$ 的闭单位球，则在$\mathfrak{B}{\left(\mathscr{H}\right)}_1$ 上。

1) WOT拓扑 = $\sigma$ -WOT拓扑；

2) SOT拓扑 = $\sigma$ -SOT拓扑。

引理4 [4]：$\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$ 的凸子集$\mathcal{K}$ 的弱算子闭包和强算子闭包重合。

符号表示：映射$\phi \left(A\right)=tA$ ，为了方便表示，本文直接记为$A\to tA$ ，其余映射同理。

2.2. 主要定理

定理1：如果$\mathfrak{A}$ 是作用于Hilbert空间$\mathscr{H}$ 上的$C^{\ast }$ -代数，$\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$ 是作用于Hilbert空间$\mathscr{H}$ 上的von Neumann代数，且$\eta$ 是$\mathfrak{A}$ 到$\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$ 的线性映射，在${\left(\mathfrak{A}\right)}_r^{+}$ 中的0处$\sigma$ -强算子拓扑连续到$\sigma$ -弱算子拓扑，那么$\eta$ 在${\left(\mathfrak{A}\right)}_s$ 上是$\sigma$ -弱算子拓扑连续的。

证明：因为${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \left(tA-t{A}_0\right)x_n\Vert }^2}\le {\Vert t\Vert }^2{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Vert \left(A-A_0\right)x_n\Vert }\to 0$ 和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(tA-t{A}_0\right)x_n,y_n\rangle \right|}=\left|t\right|{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(A-A_0\right)x_n,y_n\rangle \right|}\to 0$ ，其中$\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}\in \mathscr{H}$ ，$A,A_0\in \mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$ ，t为标量，所以映射$A\to tA$ 在$\mathfrak{B}\left(\mathscr{H}\right)$ 上是$\sigma$ -强算子拓扑和$\sigma$ -弱算子拓扑连续的。

同理映射$B\to tB$ 在$\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$ 上$\sigma$ -强算子拓扑和$\sigma$ -弱算子拓扑连续的。若$\Vert tA\Vert <r$ ，则$\Vert A\Vert <t^{-1}r$ ，所以映射$tA\to \eta \left(tA\right)=t\eta \left(A\right)$ 在${\left(\mathfrak{A}\right)}_{t^{-1}r}$ 上具有与$\eta$ 在${\left(\mathfrak{A}\right)}_r$ 上相同的连续性。

因此我们对${\left(\mathfrak{A}\right)}_1$ 和${\left(\mathfrak{A}\right)}_r$ 有相同的假设，如果我们对单个${\left(\mathfrak{A}\right)}_s$ 建立题目所述的连续性，就可以得出对于所有${\left(\mathfrak{A}\right)}_s$ 有题目所述连续性。

映射$A\to A^{+}$ 和$A\to A^{-}$ 将$\mathfrak{A}$ 的单位球中自伴算子的集合${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$ 映到${\left(\mathfrak{A}\right)}_1^{+}$ ，

由${\Vert A{x}_n\Vert }^2={\Vert A^{+}{x}_n\Vert }^2+{\Vert A^{-}{x}_n\Vert }^2$ 得：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \left(A^{+}-0\right)x_n\Vert }^2}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert A^{+}{x}_n\Vert }^2}\le {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert A^{+}{x}_n\Vert }^2}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert A^{-}{x}_n\Vert }^2}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \left(A-0\right)x_n\Vert }^2}\to 0$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \left(A^{-}-0\right)x_n\Vert }^2={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert A^{-}{x}_n\Vert }^2\le {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert A^{+}{x}_n\Vert }^2+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert A^{-}{x}_n\Vert }^2={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \left(A-0\right)x_n\Vert }^2}}}}}\to 0$ ，

所以映射$A\to A^{+}$ 和$A\to A^{-}$ 在${\mathfrak{A}}_h$ 中的0处是$\sigma$ -强算子拓扑连续的。

由第一段假设可得，当

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \left(A-0\right)x_n\Vert }^2}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert A{x}_n\Vert }^2}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert A^{+}{x}_n\Vert }^2}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert A^{-}{x}_n\Vert }^2}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \left(A^{+}-0\right)x_n\Vert }^2}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \left(A^{-}-0\right)x_n\Vert }^2}\to 0$ 时，有

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(\eta \left(A\right)-0\right)x_n,y_n\rangle \right|}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(\eta \left(A^{+}\right)-\eta \left(A^{-}\right)\right)x_n,y_n\rangle \right|}\\ ={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \eta \left(A^{+}\right)x_n,y_n\rangle -\langle \eta \left(A^{-}\right)x_n,y_n\rangle \right|}\\ \le {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \eta \left(A^{+}\right)x_n,y_n\rangle \right|+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \eta \left(A^{-}\right)x_n,y_n\rangle \right|}}\\ ={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(\eta \left(A^{+}\right)-0\right)x_n,y_n\rangle \right|+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(\eta \left(A^{-}\right)-0\right)x_n,y_n\rangle \right|}}\to 0\end{array}$

所以映射$A=A^{+}-A^{-}\to \eta \left(A^{+}\right)-\eta \left(A^{-}\right)=\eta \left(A\right)$ 在${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$ 中的0处是$\sigma$ -强算子拓连续到$\sigma$ -弱算子拓扑。因此$\eta$ 在${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_2$ 上的0处有相同的连续性；又由

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \left(\left(A-A_0\right)-\left(B-A_0\right)\right)x_n\Vert }^2={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \left(A-B\right)x_n\Vert }^2\to 0}}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(\eta \left(A\right)-\eta \left(B\right)\right)x_n,y_n\rangle \right|}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left[\left(\eta \left(A\right)-\eta \left(A_0\right)\right)-\left(\eta \left(B\right)-\eta \left(A_0\right)\right)\right]x_n,y_n\rangle \right|}\\ ={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(\eta \left(A-A_0\right)-\eta \left(B-A_0\right)\right)x_n,y_n\rangle \right|}\to 0\end{array}$

所以映射$A\to A-A_0\to \eta \left(A-A_0\right)=\eta \left(A\right)-\eta \left(A_0\right)\to \eta \left(A\right)$ 在${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$ 中的$A_0$ 处是$\sigma$ -强算子拓扑连续到$\sigma$ -弱算子拓扑。

我们描述了$B\left(\mathcal{K}\right)$ 中弱算子开集族的一个子基，使得每个子基都有一个凸补集。

(对于$B\left(\mathcal{K}\right)$ 上的弱算子开集族$\left\{B:\mathrm{Re}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\langle \left(B-B_0\right)x_n,y_n\rangle <a}\right\}$ ，其中a为实数，$x_n,y_n\in \mathcal{K}$ )。这样一

个补在$\eta$ 下的逆象与${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$ 在一个强算子闭凸集相交。由引理3和引理4可知，这个逆象是弱算子闭的，也是$\sigma$ -弱算子闭的，这个逆像的补集，即子基集的逆象，在${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$ 中是$\sigma$ -弱算子开的。由此可以看出，$\eta$ 从${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$ 到$\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$ 是$\sigma$ -弱算子拓扑连续的。因为

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(\frac{A+A^{\ast }}{2}-\frac{B+B^{\ast }}{2}\right)x_n,y_n\rangle \right|}=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(A-B\right)x_n,y_n\rangle +\langle \left(A\ast -B^{\ast }\right)x_n,y_n\rangle \right|}\\ \le \frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(A-B\right)x_n,y_n\rangle \right|+\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle y_n,\left(A-B\right)x_n\rangle \right|}}\to 0\end{array}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(\frac{A+A^{\ast }}{2i}-\frac{B-B^{\ast }}{2i}\right)x_n,y_n\rangle \right|}=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(A-B\right)x_n,y_n\rangle -\langle \left(A\ast -B^{\ast }\right)x_n,y_n\rangle \right|}\\ \le \frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(A-B\right)x_n,y_n\rangle \right|+\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(A-B\right)y_n,x_n\rangle \right|}}\to 0\end{array}$

所以映射$A\to \frac{A+A^{\ast }}{2}$ 和$A\to \frac{A-A^{\ast }}{2i}$ 从${\left(\mathfrak{A}\right)}_1$ 到${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$ 是$\sigma$ -弱算子连续的，

因此映射$A=\frac{A+A^{\ast }}{2}+i\frac{A-A^{\ast }}{2i}\to \eta \left(\frac{A+A^{\ast }}{2}\right)+\eta \left(i\frac{A-A^{\ast }}{2i}\right)=\eta \left(A\right)$ 从${\left({\mathfrak{A}}_h\right)}_1$ 到$B\left(\mathcal{K}\right)$ 是$\sigma$ -弱算子拓扑连续的。由此题目得证。

定理2：如果$\phi$ 是作用在Hilbert空间$\mathscr{H}$ 上的$C^{\ast }$ -代数$\mathfrak{A}$ 到von Neumann代数$B\left(\mathcal{K}\right)$ 的表示，并且$\phi$ 在0处从${\left(\mathfrak{A}\right)}_1^{+}$ 到$B\left(\mathcal{K}\right)$ 是$\sigma$ -弱算子拓扑连续的，则$\phi$ 从${\left(\mathfrak{A}\right)}_1$ 到$B\left(\mathcal{K}\right)$ 是$\sigma$ -强算子拓扑连续的。

证明：由于${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\langle \left(A^{\ast }A-0\right)x_n,y_n\rangle }\le {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Vert A{x}_n\Vert }\Vert A{y}_n\Vert ={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Vert \left(A-0\right)x_n\Vert }\Vert \left(A-0\right)y_n\Vert \to 0$ ，

所以映射$A\to A^{\ast }A$ 在0处从$\mathfrak{A}$ (因此，也从${\left(\mathfrak{A}\right)}_2$ )的$\sigma$ -强算子拓扑中连续到$\mathfrak{A}$ 的$\sigma$ -弱算子拓扑中。同时因为${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \left(B-0\right)x_n\Vert }^2}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle B{x}_n,B{x}_n\rangle \right|}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(B^{\ast }B-0\right)x_n,x_n\rangle \right|}\to 0$ ，使得如果$B^{\ast }B$ 在$\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$ 的$\sigma$ -弱算子拓扑中趋于0，则B在$\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$ 的$\sigma$ -强算子拓扑中趋于0。由于

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \left(\phi \left(A^{\ast }A\right)-0\right)x_n,x_n\rangle \right|}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|\langle \phi \left(A\right)x_n,\phi \left(A\right)x_n\rangle \right|}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\Vert \phi \left(A\right)x_n\Vert }^2}\le {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Vert \phi \Vert }{\Vert \left(A-0\right)x_n\Vert }^2\to 0$

因此，$A\to A^{\ast }A\to \phi \left(A^{\ast }A\right)=\phi {\left(A\right)}^{\ast }\phi \left(A\right)$ 在0处从${\left(\mathfrak{A}\right)}_2$ 的$\sigma$ -强算子拓扑中连续到$\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$ 的$\sigma$ -弱算子拓扑中；且$A\to \phi \left(A\right)$ 从${\left(\mathfrak{A}\right)}_2$ 到$\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$ 在0处是$\sigma$ -强算子拓扑连续的。因此，$A\to \phi \left(A\right)$ 从${\left(\mathfrak{A}\right)}_1$ 到$\mathfrak{B}\left(\mathcal{K}\right)$ 是$\sigma$ -强算子拓扑连续的。