摘要: 针对数学课堂教学中存在的语言表达不清晰、组织混乱或无序的问题，探讨了数学教学中实现有效的语言结构和组织的价值和方法。首先，概述了数学课堂教学有效语言结构的特征，包括精确性、逻辑性和启发性，并分析了这些特征对学生提高学习效率、培养数学思维等的影响。其次，以微积分教学为例，详细探讨了导入、讲解、提问和反馈四个方面的有效语言组织策略。导入策略通过设置开放性问题、探究性活动和数学史等方法激发学生的学习兴趣；讲解策略强调课堂教学的清晰性和逻辑性，帮助学生理解概念；提问策略注重启发式、层次性和互动性，引导学生主动思考；反馈策略则强调及时性、具体性和鼓励性，以提升学生的学习效果。
Abstract:
In response to the problems of unclear language expression, disorganization, or disorder in mathematics classroom teaching, this paper explores the value and methods of implementing effective language structure and organization in mathematics teaching. Firstly, the characteristics of effective language structure in mathematics classroom teaching were summarized, including precision, logic, and inspiration, and the impact of these characteristics on improving learning efficiency and cultivating mathematical thinking in students was analyzed. Secondly, taking calculus teaching as an example, effective language organization strategies for introduction, explanation, questioning, and feedback were discussed in detail. The introduction strategy stimulates students' interest in learning by setting open-ended questions, exploratory activities, and mathematical history; the explanation strategy emphasizes the clarity and logic of classroom teaching, helping students understand concepts; questioning strategies focus on heuristic, hierarchical, and interactive approaches, guiding students to think actively; feedback strategies emphasize timeliness, specificity, and encouragement to enhance student learning outcomes.
1. 引言
数学作为一门抽象的学科，具有独特的语言体系和逻辑结构。数学语言是一种由数学符号，数学术语和经过改造的自然语言组成的科学语言[1]，其结构化，内隐化，传递化的文本语言重新解读了客观知识与主观知识在概念对象指向，数据范围约束，要素实体等方面的内在契合关系[2]。数学语言是表达数学思想的专门语言[3]。因此数学语言是进行数学思维交流、传播数学思想方法的载体，学生数学思维的质化，即数学语言的情境转译[4]。文献[5]论述了数学交流式推理对新时代型人才培养核心素养的重要性，交流推理对数学语言的要求是简洁、有条理、有根据、准确。数学教学语言是在严密的数学语言的基础上形成的，文献[6]从抽象性、准确性、简约性和形式化的特点入手阐述了数学语言的内涵，并指出了数学教学语言必须符合数学学科的特点，它需要准确避免使用模糊不清的语言，要简洁明了，要具有一定的严谨性和逻辑性。著名教育家夸美纽斯也在其《大教学论》中说：“教师的嘴，就是一个源泉，从那里可以流出知识的溪流。[7]”从中可看出，数学教师的教学语言尤为重要。文献[8]从数学语言的三种类型和功能入手，分析了不同的数学语言形式应该采取的不同教学策略。文献[9]从学生、教师、教材三个方面分析了目前微积分课程数学语言教学存在的问题，并介绍了加强微积分课程数学语言教学的一些实践做法。通过量化分析教学技能大赛视频，文献[10]采用序列数据挖掘和序列频繁模式挖掘的方法，对专家教师和新手教师课堂对话中高阶思维活动特征进行对比分析，文献[11]得出了在教学各环节中不同的语言类型对课堂教学效果起着关键作用。由此可见，数学教学语言的结构和组织对教学质效的影响。
然而，在现实的数学教学中，存在着一些教师和学生都可能遇到的常见问题和挑战，其中许多问题与语言结构和组织有关。主要表现为如下三种常见情形：一是教师可能使用复杂的句子结构和专业术语，使学生难以理解并跟上教学进度；二是教师可能没有明确界定学习目标和核心概念，导致学生的学习焦点分散或混乱；三是一种常见的情况是信息过载，即教师提供了大量无组织的信息，学生难以将其整合并应用于实际问题中。这些问题都可能影响学生的学习效果和对数学的理解。因此，教师如何有效地组织和表达数学知识就成为了我们必须关注的焦点。如何实现有效的语言结构和组织在数学教学中具有重要的理论意义和实践价值。
2. 数学课堂教学有效语言结构的特征及影响分析
数学教学中的语言结构是实现有效教学的关键要素。语言在数学教学中不仅仅是一种传递知识的工具，更是学习和理解数学概念的重要途径。一个良好的语言结构可以极大地促进学生的数学学习和思维发展。
有效语言结构在数学课堂教学中主要具有以下3个特征：清晰性、逻辑性与启发性。
2.1. 清晰性
清晰性在教学语言中表现为用词精确、语法规范、表达流畅。下面的对比例子，可见教学语言清晰对教学信息传递的影响。比如，教师在解释导数概念时说：“导数描述了函数在某一点的变化率，即函数值随自变量变化的快慢。”与“导数就是那个……呃，表示变化的东西，就是那个……速率吧。”相比，前者明确地指出了导数的本质——变化率，并解释了这种变化率是如何与函数值随自变量的变化相关联的。这种表述方式不仅定义了导数，还揭示了它的实际意义和应用背景，有助于学生形成深刻且全面的理解。而后者传递的信息相对模糊和不确定。教师使用了“那个……呃”等词语，显示出自己对概念的不完全掌握或不确定如何表达，这会降低学生的信心并可能导致误解。虽然这句话提到了“变化”和“速率”，但没有明确指出它们是如何与导数联系起来的，也没有解释为什么导数重要或如何应用它。
2.2. 逻辑性
逻辑性在教学语言中体现为条理分明、推理严密、结构完整。下面的对比例子，可见教学语言逻辑对思维训练的影响。比如教师在推导定积分性质时说：“首先，我们根据定积分的定义将区间[a, b]划分为n个小区间。然后，在每个小区间上应用积分的可加性。最后，通过取极限的过程得到定积分的结果。”与教师在推导过程中跳跃步骤：“然后这个就变成了那个，再然后就是那个结果了。”相比，前者的表述为学生提供了一个清晰且连贯的思维框架。学生不仅能够理解每一步的推理依据，还能把握整个推导过程的结构和逻辑。这种有条理的讲解方式有助于学生形成系统性的知识结构和良好的思维习惯。而后者的表述缺乏具体的解释和推理依据，会使学生感到困惑和不解。学生无法从教师的讲解中获取足够的信息来理解每一步是如何推导出来的，以及这些步骤之间是如何相互关联的。这种跳跃式的讲解方式不仅会影响学生对定积分性质的理解，还可能导致他们在以后的学习中遇到类似问题时无法独立解决。
2.3. 启发性
启发性在教学语言中表现为激发学生的好奇心、引导学生自主思考和解决问题。下面的对比例子，可见教学语言启发对课堂教学互动和学生思维的影响。比如教师在引入微分概念时提问：“如果我们想知道一个复杂形状物体在极短时间内的速度变化，应该怎么做呢？”引导学生思考微分的实际应用。与同样的内容，教师可能直接陈述：“微分就是用来计算速度变化的。”相比，前者的表述方式具有很强的启发性。它不仅提出了一个具体问题，激发了学生的好奇心，还引导学生主动思考微分的实际应用。学生需要通过自己的思考来寻找答案，这个过程有助于他们更深刻地理解微分概念及其在实际问题中的应用。相反，后者的表述方式传递的信息相对直接和简单。它直接给出了微分的用途，但没有引导学生进行深入思考或探究。学生可能会记住这个陈述，但对于微分概念的理解可能仍然停留在表面层次。
3. 数学课堂教学有效语言的组织策略——以微积分教学为例
数学课堂教学是一门艺术，而有效语言的组织则是这门艺术的核心。为了实现有效语言结构在数学课堂中的应用，教师需要掌握一系列语言组织策略。下面将详细论述导入策略、讲解策略、提问策略和反馈策略，并通过具体实例加以说明。
3.1. 导入策略
导入是数学课堂教学的起始环节，其目的在于吸引学生的注意力，激发他们的学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。有效的导入策略应当具备趣味性、相关性和启发性。教师可以：
提出开放性问题：在微积分教学中，可以提出一些没有唯一答案的开放性问题，如“这个函数图像的变化趋势是怎样的？”、“这个定理在实际中有哪些应用？”等，鼓励学生自由发表见解。
设计探究性活动：让学生通过小组合作、实验操作等方式来探究问题。例如，可以让学生通过测量不同形状物体的面积和体积来探究定积分的几何意义。
分享相关数学史：介绍微积分的发展历史和著名数学家的故事，激发学生的学习兴趣和探究欲望。例如，可以讲述牛顿和莱布尼茨如何独立发展出微积分的故事，引导学生思考微积分对现代科学和技术的影响。
3.2. 讲解策略
讲解是数学课堂教学的核心环节，其目的在于向学生传授数学知识、技能和思想方法。有效的讲解策略应当具备清晰性、逻辑性和条理性。
3.2.1. 增强清晰性
为了增强清晰性，教师可以使用专业术语并解释：在微积分中，如使用“极限”、“导数”、“积分”等专业术语时，要确保学生理解这些术语的含义。例如，在介绍导数时，可以清晰地解释它表示函数在某一点的变化率。
提供实例和比喻：用具体的例子或比喻来解释抽象概念。比如，可以将导数比作物体的速度，帮助学生直观理解导数的实际意义。
避免冗余和模糊：保持语言简洁明了，避免使用冗长的句子或模糊的表达。例如，在解释极限的求解方法时，应直接给出步骤和关键点，而不是绕弯子。
3.2.2. 增强逻辑性
为了增强逻辑性，教师可以使用逻辑连词：如“首先”、“其次”、“再次”、“最后”等，来组织教学内容。在微积分证明题中，这些连词可以帮助学生跟随教师的思路，理解证明的各个步骤。
构建知识框架：在开始新的章节或主题时，提供一个概述或思维导图，帮助学生了解即将学习的内容在整个课程体系中的位置和作用。
展示推理过程：在解题或证明时，完整地展示推理过程，包括已知条件、中间步骤和最终结论。例如，在求解定积分时，教师应清晰地展示从被积函数到原函数再到积分结果的完整推理过程。
3.3. 提问策略
提问是数学课堂教学中师生互动的重要手段，其目的在于激发学生的学习兴趣、启发他们的思维和培养他们的表达能力。有效的提问策略应当具备层次性、启发性和针对性。
以下是一个关于微积分中导数概念的提问策略示例：
首先，教师可以提问学生关于函数和极限的基础知识，以复习旧知、为新课做铺垫。例如：“请回忆一下什么是函数？极限的基本概念是什么？”通过这样的问题，教师可以确保学生对基础概念的掌握。
接着，教师可以通过一系列层次性的问题，逐步引导学生探究导数的概念。例如：“当我们讨论一个函数在某一点的变化率时，我们实际上是在寻找什么？”“变化率与极限之间有什么联系？”“如何用数学语言来精确描述这种变化率？”这些问题逐步深入，既符合学生的认知水平，又能激发他们的思维活动。
然后，教师可以提出更具启发性的问题，引导学生进一步理解导数的几何意义和实际应用。例如：“导数在几何上表示什么？它与函数的图像有什么关系？”“请举一个实际生活中需要用到导数来解决问题的例子。”这样的问题能够鼓励学生将理论知识与实际应用相结合，培养他们的综合思维能力。
最后，针对学生的回答，教师应给予及时的互动和评价。例如：“你提到了一个很好的应用场景，能否进一步说明导数在这个场景中的具体作用？”这样的反馈能够引导学生进一步完善自己的思路和表达，提高他们的自信心和学习动力。
通过这样的提问策略，教师可以有效地引导学生探究微积分中导数的概念，培养他们的思维能力和表达能力，同时也能够增强师生互动，提高课堂教学效果。
3.4. 反馈策略
反馈是数学课堂教学中教师对学生学习情况的回应和指导，其目的在于帮助学生纠正错误、提高学习效果和增强学习信心。有效的反馈策略应当具备及时性、准确性和鼓励性。
作业批改与详细批注，做到及时性反馈：教师在批改学生作业时，不仅要判断对错，更要给出详细的批注。对于正确的部分，可以简单地给予肯定；对于错误的部分，则需要明确指出错误所在，并给出正确的解题思路和步骤。同时，教师还可以根据学生的作业情况，写下针对性的评语，对学生的学习态度、方法和效果进行评价，提出建设性的意见和建议。
面对面辅导与纠正，做到具体性反馈：针对学生在作业中暴露出的问题，教师可以安排面对面的辅导时间，与学生进行深入的交流和讨论。在这个过程中，教师要耐心倾听学生的想法和困惑，引导他们发现自己的错误并找出原因。然后，教师可以给出正确的解题方法和思路，帮助学生纠正错误、解决问题。这种面对面的辅导方式能够让学生感受到教师的关心和重视，从而更加积极地投入到学习中去。
鼓励与支持，做到鼓励性反馈：在学习过程中，学生难免会遇到各种困难和挫折。这时，教师的鼓励和支持就显得尤为重要。教师要时刻关注学生的学习动态和心理状态，及时给予他们必要的鼓励和支持。当学生取得进步时，教师要及时给予肯定和表扬，让他们感受到成功的喜悦；当学生遇到困难时，教师要耐心给予指导和帮助，让他们感受到温暖的力量。这种鼓励和支持能够激发学生的学习动力和信心，帮助他们更好地应对学习中的挑战。
综上所述，数学课堂教学有效语言的组织策略包括导入策略、讲解策略、提问策略和反馈策略。这些策略相互关联、相互促进，共同构成了有效数学课堂教学的基石。在实际教学中，教师应根据学生的实际情况和教学内容的特点灵活运用这些策略，以激发学生的学习兴趣、提高他们的学习效果和培养他们的数学素养。同时，教师还应不断反思和总结自己的教学实践经验，不断改进和完善自己的教学策略和方法，以适应新时代数学教育的发展要求。
4. 结语
有效的语言结构和组织对于数学教学具有重要的意义。数学教师在数学教学中扮演着重要的角色。他们需要具备优秀的语言表达能力和教学技巧，以促进学生的学习效果和数学思维的发展。教师通过不断的专业发展和角色培养是提高语言表达能力的重要途径之一。此外，如果教学双方不在一个话语体系中交流，不仅课堂教学效果可想而知，而且作为数学素养内容之一的数学语言表达能力也难以培养。因此，教师应该关注学生在数学语言方面的发展，并提供相应的支持和指导，以满足学生后续课程乃至终身发展的需要。
致 谢
作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见。
基金项目
学院课题项目(QY2022)；山东省本科高校教学改革研究项目(M2022079)。
NOTES
*通讯作者。