超表面对垂直入射s、p偏振的操控

Metasurface Manipulation of Vertical Incidence s and p Polarization

摘要: 相比于超材料，二维结构的超表面不仅是体积的压缩，更多的是操控电磁波的相位、振幅和偏振等波前信息。尤其是相位梯度超表面(Gradient Metasurface, GMS)的出现使得超表面对电磁波的操控达到了一个新的高度。本文基于金属级联单元和广义Snell定律，设计出三种#字形金属结构单元。在CST仿真中，中心频率为10 GHz，使用Frequency domain模式进行仿真，边界条件采用的是unit cell边界条件。本文用三种方式实现了当电磁波垂直入射到超表面上时，达到s、p偏振分离的效果：(1) 在s、p偏振保持高透射的情况下，根据s、p偏振的透射相位设计了四分之一波片和二分之一波片，进行参数扫描，在满足对p偏振的相位全覆盖的同时不影响s偏振，实现了p偏振的波束偏转；(2) p偏振反射、s偏振透射：(3) p偏振透射、s偏振反射。

Abstract: Compared with metamaterials, the two-dimensional structure of the metasurface not only compresses the volume, but also controls the phase, amplitude and polarization of the wave front information of the electromagnetic wave. Especially, the appearance of phase gradient metasurface (Gradient Metasurface, GMS) has led to a new trend in the manipulation of electromagnetic waves by metasurface. In CST simulation, the center Frequency is 10 GHz, the Frequency domain mode is used for simulation, and the boundary condition is unit cell boundary condition. In this paper, three ways are used to achieve the effect of polarization separation of s and p when the electromagnetic wave is vertically incident on the metasurface: (1) Under the condition that s and p polarization maintain high transmission, a quarter wave plate and a half wave plate are designed according to the transmission phase of s and p polarization, and the parameter scanning is carried out to meet the full phase coverage of p polarization without affecting s polarization, and the beam deflection of p polarization is realized; (2) p polarization reflection, s polarization transmission; (3) p polarization transmission, s polarization reflection.

1. 引言

电磁波传输在通信、雷达方面应用前景广泛。传统光学仪器存在空间占比大，应用范围窄，质量大，不便于高度集成的问题。而我们日常使用的手机、电脑都是靠雷达、无线连接实现电磁波的传输。要操控电磁波，尤其是微波段、可见光和太赫兹波段的电磁波，这就十分需要超表面出手来操控电磁波的相位[1] [2]、振幅[3] [4]和偏振[5] [6]。本文研究的是s、p偏振，微波段下的两个相互垂直的线偏振[7] [8]。

我们要操控s、p偏振，就需要理解什么是s、p偏振。从Brewster效应入手，当自然光以${\theta }_i={\theta }_B$ 入射到两介质交界处，反射光为偏振垂直于入射面的线偏振，透射光为s偏振和p偏振混合的部分偏振光。所以s、p偏振的区别就是偏振与入射面的垂直或平行的线偏振，具体如图1和图2所示。其中，黑点表示偏振方向与入射面垂直。

Figure 1. The incident wave, reflected wave and transmitted wave of s polarization

图1. 当s偏振以${\theta }_i$ 入射时，对应的入射波、反射波和透射波

Figure 2. The incident wave, reflected wave and transmitted wave of s polarization

图2. 当s偏振以${\theta }_i$ 入射时，对应的入射波、反射波和透射波

根据s偏振的入射电磁波，表达式如下：

$\begin{array}{l}{E}^i\left(y\right)=\widehat{y}{\text{e}}^{-j{k}_a\left(x\sin {\theta }_i+z\cos {\theta }_i\right)}\\ H^i\left(x,z\right)=\left(-\widehat{x}\cos {\theta }_i+\widehat{z}\sin {\theta }_i\right)\frac{1}{{\eta }_a}{\text{e}}^{-j{k}_a\left(x\sin {\theta }_i+z\cos {\theta }_i\right)}\end{array}$ (1)

它的反射电磁波，表达式如下：

$\begin{array}{l}{E}^r\left(y\right)=\widehat{y}{R}_s{e}^{-j{k}_a\left(x\sin {\theta }_r+z\cos {\theta }_r\right)}\\ H^r\left(x,z\right)=\left(\widehat{x}\cos {\theta }_r+\widehat{z}\sin {\theta }_r\right)\frac{R_s}{{\eta }_a}{e}^{-j{k}_a\left(x\sin {\theta }_r+z\cos {\theta }_r\right)}\end{array}$ (2)

它的透射电磁波，表达式如下：

$\begin{array}{l}{E}^t\left(y\right)=\widehat{y}{T}_s{\text{e}}^{-j{k}_b\left(x\sin {\theta }_t+z\cos {\theta }_t\right)}\\ H^t\left(x,z\right)=\left(-\widehat{x}\cos {\theta }_t+\widehat{z}\sin {\theta }_t\right)\frac{T_s}{{\eta }_b}{\text{e}}^{-j{k}_b\left(x\sin {\theta }_t+z\cos {\theta }_t\right)}\end{array}$ (3)

同理，p偏振的入射电磁波为：

$\begin{array}{l}{E}^i\left(x,z\right)=\left(-\widehat{x}\cos {\theta }_i+\widehat{z}\sin {\theta }_i\right){\text{e}}^{-j{k}_a\left(x\sin {\theta }_i+z\cos {\theta }_i\right)}\\ H^i\left(y\right)=-\widehat{y}\frac{1}{{\eta }_a}{\text{e}}^{-j{k}_a\left(x\sin {\theta }_i+z\cos {\theta }_i\right)}\end{array}$ (4)

p偏振在x-z平面发生反射，反射电场和磁场分别表示为：

$\begin{array}{l}{E}^r\left(x,z\right)=-\left(\widehat{x}{R}_p\cos {\theta }_r+\widehat{z}{R}_p\sin {\theta }_r\right){\text{e}}^{-j{k}_a\left(x\sin \theta r+z\cos {\theta }_r\right)}\\ H^r\left(y\right)=\widehat{y}\frac{R_p}{{\eta }_a}{\text{e}}^{-j{k}_a\left(x\sin \theta r+z\cos {\theta }_r\right)}\end{array}$ (5)

p偏振的透射电场和磁场分别表示为：

$\begin{array}{l}{E}^t\left(x,z\right)=\left(-\widehat{x}T\cos {\theta }_t+\widehat{z}T\sin {\theta }_t\right){\text{e}}^{-j{k}_a\left(x\sin {\theta }_t+z\cos {\theta }_t\right)}\\ H^t\left(y\right)=-\widehat{y}\frac{T}{{\eta }_b}{\text{e}}^{-j{k}_b\left(x\sin {\theta }_t+z\cos {\theta }_t\right)}\end{array}$ (6)

根据Holloway提出的广义薄层跃迁条件[9] [10]：

$\begin{array}{l}{\chi }_{ee}^{xx}=\frac{-\Delta H_y}{j\omega {\epsilon }_0{E}_{x,av}},{\chi }_{mm}^{yy}=\frac{-\Delta E_x}{j\omega {\mu }_0{H}_{y,av}}\\ {\chi }_{ee}^{yy}=\frac{\Delta H_x}{j\omega {\epsilon }_0{E}_{y,av}},{\chi }_{mm}^{xx}=\frac{\Delta E_y}{j\omega {\mu }_0{H}_{x,av}}\end{array}$ (7)

其中，$\Delta H=H_t-\left(H_i+H_r\right)$ ，$E_{av}=\left(E_i+E_r+E_t\right)/2$ ，$\Delta H$ 和$\Delta E$ 分别表示的是超表面两侧磁场和电场的差值。$E_{av}$ 和$H_{av}$ 分别表示的是超表面两侧电场和磁场的平均值，下标i，r，t分别表示的是入射、反射和透射场。

本文讨论的是超表面上下两侧介质相同，均为空气($n_i=1$ )时，s、p偏振的透射情况，所以公式中${\eta }_a={\eta }_b$ ，${\theta }_i={\theta }_t$ ，将转换后的透射电场、磁场得到：

$\begin{array}{l}{\chi }_{ee}^{xx}=0,{\chi }_{mm}^{yy}=0\\ {\chi }_{ee}^{yy}=0,{\chi }_{mm}^{xx}=0\end{array}$ (8)

根据所得极化磁化系数，由于不存在梯度相位，所以广义薄层跃迁条件不适合解决我们提出的问题。引入广义Snell定律(Generalized Snell’s law)。将s、p极化的电磁波设置不同的相位变化，从而将入射波按照极化方式的不同发生不同方向的反射或者折射，达到波束分离的效果。

2. 仿真

广义Snell定律

传统光学器件是靠传播路径积累相位差，需要涉及特殊光路使得电磁波产生所需的相位差，往往需要很大的体积，由于传播路径的原因，也会造成很大的能量损耗。而广义Snell定律则是靠添加单元的梯度相位来实现波束的偏转[11]-[13]，图像如图3所示。

Figure 3. Propagation path of electromagnetic wave in metasurface with phase gradient: (a) Reflection; (b) Refraction

图3. 电磁波在具有相位梯度的超表面中的传播路径：(a) 反射路径；(b) 折射路径

根据广义Snell透射定律：

$n_t\sin {\theta }_t-n_i\sin {\theta }_i=\frac{\lambda }{2\pi }\frac{\text{d}\phi }{\text{d}x}$ (9)

其中，$\text{d}\phi /\text{d}x$ 就是我们所说的相位梯度。

它将普通的折射定律和反射定律进一步推广，不仅适用于微波、红外波段，还有更广阔的可见光和太赫兹波段。

当电磁波的传播方向垂直于等相位面，将透射相位由360˚到0递减，且透射相位为360˚的单元透射波在传播了一个完整的波长的位置处，恰好与透射相位0处的波处在同一相位面上，以此判断实现了波束偏转。

基于广义Snell定律，我们设计了一个在10 GHz频率处，s、p偏振平面波全透射，并且垂直入射的p偏振发生偏振的超表面，其中s偏振的相位基本不发生改变。

超表面由三层金属与两层介质相互嵌套组成，最外层金属结构相同，整体呈现出“三明治”的上下对称结构。考虑到在9~11 GHz波段处，之前大家做了很多的仿真结构，比如工字形结构、田字形、十字架结构，在本文中，我们设计的金属图案是#字形，是基于工字形[13] [14]和双工字型[15]-[17]的变形。运用的仿真软件是CST。仿真条件设置如下：使用Frequencydomain模式进行仿真，边界条件采用的是unitcell边界条件，超表面上下空气层厚度均为三个工作波长(10 GHz下，电磁波波长$\lambda$ 为3 cm)，激励端口采用的是Floquet下的Z_min。

在得到合适仿真结果前，我们设计了#形结构如图4所示，又做了很多的参数扫描，为了在保持高透射的情况下，还能得到全相位的覆盖，进行大量的仿真测试。

Figure 4. # Type metallic structure

图4. #型金属结构

其中，金属选取的是铜，单层金属厚度为0.035 mm，它的电导率为5.96 × 10⁷ S/m。介质层选取的是polyimide，电导率为0.0027 S/m，正切损耗$\tan \delta$ 为0.0025，介质层的厚度为1.5 mm，根据三明治结构，超表面总厚度为3 mm左右(工作波长的十分之一)，超表面的整体单元边长为6 mm (工作波长的五分之一)，符合超表面亚波长的结构。

在进行仿真时，根据全透射的特点，我们发现根据s、p偏振的透射相位可以进行偏振转换，设计了了四分之一波片[18]-[20]和二分之一波片[20]-[22]。

首先，四分之一波片指的是控制材料和厚度使电磁波经过波片后，两个不同偏振方向的光产生1/4波长(Δφ = ±90˚)的相位差，在该相位差下合成的光为圆偏振光，通常，我们通常使用四分之一波片来隔绝反射光的影响。

当超表面为四分之一波片时，对应的超表面内外层结构参数如下表1，超表面结构如图5所示。仿真结果如图6所示。

Table 1. Structural parameters of quarter wave plate

表1. 四分之一波片的结构参数(单位：mm)

参数	Dy	Ey	Hy	Ex	Hx
外层	0.25	0.75	3.25	3.25	0.75
内层	0.25	0.75	2	3	0.5

Figure 5. Metasurface structure of the quarter-wave plate. (a) Inner layer; (b) Outer layer

图5. 四分之一波片的超表面单元结构。(a) 内层；(b) 外层

Figure 6. Transmission amplitude and phase of a quarter-wave plate

图6. 四分之一波片的透射振幅和相位

从上图可以看出，Tss相位为−88˚，Tpp相位为179˚，相位差Δφ = 267˚，接近于−90˚，并且从透射系数的幅度看出，Tss和Tpp在9~10.5 GHz一直保持在−2~0 dB之内，可以说是s、p偏振都达到了全透射，所以实现了s、p偏振转换为圆偏振的效果。

其次，半波片，又被称为二分之一波片，它指的是控制材料和厚度使电磁波经过波片后，两个不同偏振方向的光产生1/2波长(Δφ = ±180˚)的相位差，线偏振光经过λ/2波片后还是线偏振光。

当超表面为二分之一波片时，对应的超表面内外层结构如下图7所示，此时超表面的结构参数如下表2所示。仿真条件与四分之一波片相同所得的s、p偏振的透射幅度和相位结果如图8所示。

从下图可以看出，Tss相位为−80˚，Tpp相位为110˚，相位差\mathrm{\Delta\varphi} = 190˚，接近于180˚，并且从透射系数的幅度看出，Tss和Tpp在10 GHz附近较窄的区域一直保持在−3 dB之内，在这范围内s、p偏振都达到了高透射，超表面可以作为半波片。

最后，要使得透射波发生偏转，透射系数的幅度基本保持相同且高透射的情况，并且单元之间存在固定的相位差。设计六个超单元单独对s极化具有特定的透射梯度相位，使超表面在周期内实现360°的相位全覆盖。

Table 2. Parameters of the half-wave plate

表2. 半波片的结构参数

参数/mm	Dy	Ey	Hy	Ex	Hx
外层	0.5	1	3.5	2.5	0.75
内层	0.25	0.75	3.25	3.25	0.5

Figure 7. Metasurface structure of half wave plate

图7. 半波片结构

Figure 8. Transmission amplitude and phase of half wave plate

图8. 半波片的透射幅度和相位

根据公式(9)，我们将超表面的上下介质均为空气($n_i=n_t=1$ )公式代入公式(9)得到：当入射角为0˚，电磁波垂直入射，上式可以简化为：

${\theta }_t=\arcsin \left(\frac{{\lambda }_0}{2\pi }\frac{\text{d}\phi }{\text{d}x}\right)$ (10)

根据超表面周期为6 mm，dx = 5 mm，波长为3 cm，根据参数扫描，发现可以覆盖p偏振的$2\pi$ 相位，选择了六个单元，即每个单元相位差为$\pi /3$ ，所以折射角${\theta }_t={50}^{°}$ 左右。

在仿真中，需要进行参数扫描，使得电磁波照射到超表面上各单元时，能保持高透射的同时，还能超表面在一个周期内实现$2\pi$ 相位全覆盖。各个单元的s、p偏振的透射相位如表3所示。实际的相位与理论的相位比较如图9所示。这六个单元的内外层结构如图10和图11所示，内外层对应的结构如表4和表5所示。各晶胞对应的s、p偏振透射幅度如图12所示。

在仿真时，将6个单元按照相位变化排列成一行，由于算力，不能对超表面进行较大的扩充，选取其中第一行和第一列进行仿真，得到s、p偏振的透射结果如图13所示。

Table 3. Phase difference of s polarization of each cell of the unit (˚)

表3. 组成超单元各晶胞的s、p偏振的相位(单位：˚)

偏振相位\数量	1	2	3	4	5	6
s	−89	−89	−89	−89	−89	−89
p	0	56	117	180	230	300

Figure 9. Phase of simulation and theory

图9. 理论与仿真相位

Figure 10. The inner structure of the meta surface

图10. 超单元的内层设计

Figure 11. The outer structure of the unit

图11. 超单元的外层设计

Table 4. The inner metal structure of the meat surface

表4. 超单元的内层金属结构

数量	Dy	Ey	Hy	Ex	Hx
0	0.5	1.25	3.8	2.5	0.8
1	1	1.5	3	4.2	0.8
2	1	1.5	3	3.5	1
3	0.25	0.75	3	3	0.5
4	0.25	0.75	3.5	3	0.5
5	1	2	2.5	4.6	0.5

Table 5. The outer metal structure of the meat surface

表5. 超单元的外层金属结构

数量	Dy	Ey	Hy	Ex	Hx
0	1.25	0.75	4.45	4.5	0.25
1	0.95	1.45	4.5	4	0.25
2	0.95	1.45	4.5	4	0.25
3	2	2.5	4	4.25	0.8
4	1.25	1.75	4	3.75	1
5	1.25	1.75	4.45	4.5	0.25

Figure 12. The transmission amplitude of each unit for s and p polarization

图12. 各单元的s、p偏振透射幅度

Figure 13. Simulation results of beam deflection

图13. 波束偏折的仿真结果

从上图可以看出，由于相位梯度的关系，10 GHz时，p偏振的透射幅度降到−12 dB，p偏振的全透射的频率发生了偏移，到了9.9 GHz。为了更加清楚地看到s偏振保持不变，p偏振发生偏折的结果，偏移后的电场结果如图14所示，其中电磁波垂直向上传播，很明显s偏振没有发生偏折，p偏振出现弯曲。

同样在进行参数扫描发现，在某些情况下，s偏振与p偏振的透射不同步，出现了s偏振保持全透射，p偏振保持全反射的情况。条件设置与之前相同。

Figure 14. The electric field of (a) s and (b) p polarization

图14. 漂移后，s、p偏振的电场图

当s偏振全反射，p偏振全透射时，超表面结构如图15所示，结构参数如表6所示。

Figure 15. Metasurface structure of s polarization transmission and p polarization reflection

图15. 当s偏振反射，p偏振透射时的超表面结构

Table 6. Metasurface structure of polarization separation

表6. 偏振分离时超表面单元结构参数

参数\mm	Dy	Ey	Hy	Ex	Hx
外层	0.25	0.5	3	2	0.5
内层	0.5	1.25	3.75	3.75	0.5

s偏振的透射振幅和p偏振的反射振幅如图16所示。

从下图可以看出，10 GHz时，p偏振的反射达到了全反射，s偏振也在10 GHz处达到了0.8左右，随频率增大而升高，可以认为全透射，总体来看达到了偏振分离的效果。

同样地，为了想要达到另一种偏振分离，即s偏振透射，p偏振反射的情况，对超表面结构做了重新的安排，将原来的#型结构旋转90˚，得到了新的超表面结构。并且将超表面的周期由6 mm改为7.5 mm，变为波长的四分之一。仿真条件与前文相同，在新的超表面结构中，同样在参数扫描中，也发现s偏振的反射幅度和相位基本保持不变，高反射的强度达到了可以视为全反射的结果，p偏振相位变化不多，并且呈现出高透射的结果，所以此时的偏振分离的原因是因为s反射，p透射。

Figure 16. Transmission amplitude of s polarization and reflection amplitude of p polarization

图16. s偏振的透射振幅和p偏振的反射振幅

在此情况下，超表面的结构如图17所示，结构参数如表7所示。s偏振的反射振幅和p偏振的透射振幅如图18所示。

Figure 17. Metasurface structure of s polarization reflection and p polarization transmission

图17. s偏振反射、p偏振的超表面

Table 7. Metasurface structure of s polarization reflection and p polarization transmission

表7. s偏振反射、p偏振的超表面

参数\mm	Dy	Ey	Hy	Ex	Hx
外层	1	1.5	3.75	3.5	0.25
内层	1	1.4	3.5	4	0.25

Figure 18. Reflection amplitude of s polarization and transmission amplitude of p polarization

图18. s偏振的反射振幅和p偏振的透射振幅

从下图可以看出，10 GHz时，p偏振的反射高达0.85，为全透射，s偏振也达到了0.9左右，可以认为全反射，总体来看达到了s、p偏振分离的效果。

3. 结论

本文利用CST仿真软件进行迭代计算，设计了三种超表面，在上下两侧介质相同的情况下，实现对s、p偏振的操控，达到s、p偏振分离的效果。

仿真条件是在CST的Frequencydomain模式条件下进行，周期边界条件是unit cell，激励源为Floquet模式下的Z_min端口，其中电磁波以垂直方式穿过超表面，在仿真过程中主要关注的s、p偏振的反射、透射这些参数。

在s、p偏振的透射型超表面中，进行了两个偏振转换的应用，包含四分之一波片和二分之一波片。接着利用广义Snell定理，继续参数扫描，设计了6个相位梯度单元包含p偏振的2π相位的覆盖，在s偏振透射不变的情况下，实现了p偏振的波束偏转，从而达到了对s、p偏振的分离。

最后，在观察s、p偏振的透射和反射振幅时，发现在垂直入射的情况下，不需要进行相位梯度就可以实现s、p偏振分离的情况，对此进行多次参数扫描，成功设计出可以对s偏振透射、p偏振反射和s偏振反射、p偏振透射的超表面，达到对s、p偏振的分离。

致 谢

想说终于到这一步了，真的感觉快要撑不住了，行文至此，所有过往终结，化为句号。希望余生皆是快意与自由。