1. 引言
2022义务教育新版课标新增了抽象能力核心素养[1]，2022版中对于方程板块特别强调了根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。强调生活经验的同时，也意味着更加重视数学抽象素养的培养。在技能要求上摒弃了此前只要求根据等量关系列方程，更重视从现实情境中抽象出关系来列方程，可以发现改变了原先注重抽象结果，转而更加注重抽象过程。可以说新课标愈发重视初中学生抽象能力的培养。
在数学学科领域，数学抽象是数学的本质特征，也是理性思维的基础，它渗透在整个数学学习过程中[2]。培养学生的数学抽象能力，有利于学生更好地理解数学知识的层次结构，抓住数学的本质和核心，提高理性思维水平[3]。
目前已有的初中抽象能力的相关研究，可分为三类，一类是策略方法的研究，一类是对抽象能力和其他变量间的关系研究，即研究抽象能力培养过程中的影响因素。一类是相关教学案例和设计的研究。
其中第三类研究最少，且已有的也大多是案例分析，对于其明确的教学设计更是少有。总体来看，目前已有的研究，理论研究相对更多，对于实践层面的教学设计研究很缺乏。因而本文针对促进初中生数学抽象能力进行教学设计，
那么这种数学抽象能力怎么促进呢？数学抽象本质上是由具体到一般的认识过程，由下位概念到上位概念的上升过程，这个过程如何过渡，是解决如何培养抽象能力的关键，“问题”就在这一上升过程中起到了阶梯桥梁的过渡作用。哈尔莫斯说，问题是数学的心脏，问题同样有助于培养抽象能力素养。
一节数学课堂需要由许多个问题组成，想通过问题来促进抽象能力的发展，那么这些问题也就需要有一定的规律，问题和问题之间也需要一定的关系，问题链的教学正好满足这样一个要求。因而本文选取问题链来进行教学设计，所谓“问题链”，是教师为了实现一定的教学目标，根据学生的已有知识或经验，针对学生学习过程中将要产生或可能产生的困惑，将教材知识转换成为层次鲜明、具有系统性的一连串的教学问题，是一组有中心、有序列、相对独立而又相互关联的问题[4]。
2. 数学抽象能力的分析
2022新课标新增了抽象能力为初中阶段的核心素养，一方面，是小学阶段数感、量感与符号意识的进一步发展；另一方面，为高中阶段更为严谨、形式化的数学抽象打下基础。
2022课标对抽象能力的定义：能够从实际情境或跨学科的问题中抽象出核心变量、变量的规律及变量之间的关系，并能够用数学符号予以表达；能够从具体的问题解决中概括出一般结论，形成数学的方法与策略。感悟数学抽象对于数学产生与发展的作用，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣。
从定义中不难发现，针对数学抽象的教学，课标第一强调了情境以及兴趣，兴趣很大程度上需靠情境来引领，因而将情境作为一个探究点。课标定义第二要求学生能概括一般结论并形成数学方法和策略，这样一个过程进行与学生的思维是共始终的，因此思维可以作为一个探究点。最后课标强调了感悟数学抽象对于数学产生与发展的作用，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，感悟数学抽象的作用和意义，就一定要在完全经历数学抽象心理学过程的基础上进行反思，因而反思可以作为第三个探究点。此外，唐恒钧也提出问题链教学的三大关键点：逻辑起点、基本依据和功能定位。其中逻辑起点和基本依据与三大探究点不谋而合，对该三点进行探究就更显得尤为必要。以下将从数学抽象能力的内涵和数学抽象心理过程的角度，再对这三点进行深入分析。
2.1. 数学抽象能力
抽象这个词源自拉丁文ab-trahere，原意为“从……拖拽”的意思[5]，既有过程也有结果的意义，在数学教育中大多采用其过程意义，因而本文即课标中抽象指的从具体情境或概念中提取升华为一般形式的过程。
数学抽象，即是对数学领域中知识和技能的抽象，最早数学抽象的提出，被赋予了等级化和去情境化的特征，其中去情境化强调对抽象的、脱离情境的概念的教学，当时学者普遍认为直接没有情境教授的抽象化知识更容易被应用。而后20世纪80年代情境认知运动兴起，开始反对去情境化，该运动认为“脱离情境获得的抽象知识在实践中基本上是无用的”[6]，可以说从某种程度上重新发现了情境的价值。情境的缺失必然导致学生学习兴趣、积极性的缺失，也就必然导致情感层面上对学习的抵制，再加上学习过程的完整性被破坏，数学抽象过程的完成就更无从谈起。近年来诸多研究也强调了情境在教学中的重要性和价值，比如近年较热门的深度学习，郭元祥认为深度学习需要学习者沉浸于学习情境和知识指向的事物的环境，这里的沉浸性学习是一种“U型学习”，对于学习者而言，需要经历一个对知识的还原下沉、经验与探索的U型的过程，其中第一步就是要还原下沉，下沉入具体事实和生活经验中，即要去从情境中理解知识的背景和现象[7]。此外，具有我国本土特色的情境教学理论也是十分提倡情境的呈现和使用。
可见要想让学生经历良好的数学抽象过程，情境是十分重要的，其与学生的学习心向和情感息息相关。因而在指向抽象能力的教学设计中要更注重情境的选择和使用。
史宁中认为，数学抽象的过程是不能独立于人的思维而存在[8]，思维和抽象能力的发展是并存的，可以说思维是抽象能力发展的引线。因此在培养数学抽象能力的过程中，思维也是有必要关注的一点。那么如何在培养抽象能力的课程教学中利用好思维这一引线呢？唐恒钧在其基于深度理解的问题链教学中提出了学科核心思维的概念，他认为学科核心思维是指某个学科特有的或多个学科共有的，具有方法论意义的思维方式与方法[9]，例如数学学科的逻辑性思维和反思性思维，其通过学科核心思维作为问题链的脉络进行教学进而促进学生的深度理解。而在本文指向抽象能力的问题链教学中，也可借鉴采用数学学科核心思维作为问题链教学设计的脉络框架，符合学生思维更易理解和接受，以达到促进学生抽象能力发展的目的。
2.2. 数学抽象的心理过程
自新课标颁布之后，如何培养数学抽象一直是较为热门的话题，其中数学抽象心理过程始终是个绕不开的点。诸多专家、学者和一线老师进行了积极的探索，站在数学学科的高度看数学抽象的过程和阶段，提出诸多不同看法。徐利治认为，数学研究中的抽象思维过程基本上经历4个阶段：第一阶段主要研究数学现象问题；第二阶段主要是对各种具体数学属性进行分析，逐步去掉非本质属性；第三阶段，对于已经了解其结构的数学事实，确定其本质属性或特征；第四阶段，对基本上被研究的数学概念进行不断纯化。史宁中把抽象的深度分为三个基本阶段：简约阶段、符号阶段、普适阶段。往后的诸多学者在其基础上提出了数学抽象教学。吴增生提出数学抽象的基本操作步骤是：分离属性与建构模型–概括与普适化–定义与符号化–系统化。
上述对数学抽象过程的认识还未从心理学角度入手。为更准确地落实促进数学抽象的目的，而后康文彦在前者基础上，针对理论抽象，将学生数学抽象的心理学过程分成了三个阶段，分别是认识、内化和应用。认识阶段主要是指将抽象的知识具体化，使学生易于接受的过程。内化阶段是将学生认知结构中已有的相关知识进行具体化，与外部知识进行联结的过程。应用过程则是利用新生成的认知结构进行解决问题的过程。首先要将应用的具体情境抽象化，然后根据自己的认知判断，将自己已经内化的内容进行筛选、调取并与之相关情境进行适配。在此过程中，要将抽象的内容具体化，并用于解决问题，问题解决完毕，再将实际问题进行抽象[10]。
显然，应用阶段只是涉及应用新知识来解决问题，而对于所学新知识能用来干什么，为什么要学，以及能解决哪一类的问题等，没有一个具体的反思和归纳，也就难以形成学习的有效反馈，导致对相关新知识的知识结构建构的并不牢固且不完善。因此在康文彦理论的基础上，笔者再加第四个阶段：反思阶段。反思阶段是将建构的新知识结构进行梳理，检查其完备性，明确其用处和所能解决的问题类型，体会其作用和意义，进一步促进抽象的深化和内化。
通过以上两角度对三个探究点的分析，可以发现情境、思维和反思三点对于促进学生数学抽象能力的培养是十分重要的，本研究将以这三点为抓手进行研究。
3. 问题链教学何以促进抽象能力发展
3.1. 情境中孕育起点问题
起点问题采用动画情境中引出问题，激发学生学习兴趣，并且复习先前知识已有经验，巩固知识结构，同时由该问题引发认知冲突，为新内容做铺垫打好基础。
进行数学抽象的过程，无论是经验抽象，还是理论抽象，第一步都是要认识，认识阶段中，经验抽象需要将具体事物或者事实性知识与脑子已有经验(即知识结构)进行联系，理论抽象则需要将新的概念先进行具体化以后，再与自己的认知建立联系。无论如何第一步都是需要认识。又由于认识这一步需要引发学生已有经验和学生的积极认识的心向，于是可以由问题引入。一方面通过情境问题复习先前已有经验，巩固知识结构，一方面，由学生感兴趣的情境问题激发学生的积极性，再由该问题的结果引发认知冲突，为后面数学抽象的开始做好情感上的铺垫。
3.2. 学科核心思维为脉络框架构
数学学科核心思维包括很多种，其中较为典型的是逻辑性思维和反思性思维两种。
首先何为逻辑思维，逻辑思维的本质是遵循逻辑规律的思维，它的基本特征是抽象性[11]。可见抽象能力和逻辑思维之间是有一定关联的，某种程度上，逻辑思维的发展促进着抽象能力的发展。逻辑性思维可以作为问题链教学中前后问题间衔接的依据，例如在思考一个问题时，需要先明确其是什么，再去思考其为什么怎么样，依据这样的逻辑，可以衔接起问题链。其次反思性思维，反思性思维作为完成一定任务后对整体进行反馈的一种思维习惯，其有利于在上一个问题解决的基础上孕育出新的问题，因而也就有助于衔接起问题链。以下将举出相应应用的例子。
在合并同类项一课时的教学设计中，由熊大熊二买文具的情境，算得的不同结果引发了起点问题：为什么会有不同答案？接着依据学生的逻辑思维，想知道为什么，必然要先知道是什么，知道了是什么为什么以后，则必然需要知道怎么做或者有什么用。因此，可以引出起点问题后的两大核心问题，即教学重难点：1) 什么是同类项？2) 如何合并同类项？
是什么–为什么–怎么做，这样一个逻辑思维脉络，与抽象能力发展心理过程三阶段也是一脉相承的。先要认识，要知道探究对象是什么，接着去构建，也就是知道该对象和已有经验内部的联系和区别，最后去应用，就是知道有什么用，能将其用起来。通过这样逻辑思维来思考问题，潜移默化中促进学生抽象能力的发展。
在学习完如何合并同类项这一知识点以后，按照抽象能力心理学发展的四阶段，应该在最后一阶段进行反思，我们学这样一个知识点到底有什么用，为什么要学习合并同类项呢？它的作用和意义在哪？因而就可以顺利孕育出下一个变式练习，从中学习体会这个问题的答案。
3.3. 以数学抽象心理学过程四阶段为依据
在认识阶段。需要先将抽象的概念具体化，例如，在教授同类项的概念之前，提出问题：我们知道万事万物都有类别的区分，动物属于一类，植物属于一类，小猫属于一类，小狗属于一类。那么数学里面单项式有没有同类呢？
在内化阶段，则需要将学生知识结构中的相关已有经验展开具体化，在自主探索下与新知识进行联结。例如同类项教学中，教师需要引导学生自主去探究同类项的特征，可以提出问题：桌上有一些乱掉的单项式卡片，同学们能不能帮我把他们归归类？这里即指引学生将知识结构中归类相关的知识与这里单项式同类项的新知识进行尝试联结。
在应用阶段，学生在已经对新知识内化后，需要利用新生成的认知结构进行练习或解决问题，以便于巩固所学知识。同样以合并同类项为例，此阶段，教师可以提出问题：我们刚刚学习了同类项的概念，知道了什么是同类项，能不能帮忙分辨一下题目中这些单项式是不是同类项，并说说原因。
最后是反思阶段，在学习了新知识后需要引导学生将建构的新知识结构进行梳理，检查其完备性，明确其用处和所能解决的问题类型，进一步促进抽象的深化和内化。例如同类项的概念学完以后，请学生来总结同类项的概念特征，然后思考学这样一个的概念用处是什么？
再例如，学习完合并同类项的知识后，同样需要引导学生在总结了所学知识基础上反思：为什么要学习合并同类项，学习这些有什么用？
以数学抽象心理学过程四个阶段为依据来设计两大核心知识点的问题链教学，使用一个个层层深入的问题促进深度思考，促进学生抽象能力发展。
3.4. 回到情境，形成闭环
进行所有的知识点学习以后，再回到起点问题，最终的效果应该能利用本节课学习的新知识来回答起点问题，以此形成问题链闭环，达成从问题中来到问题中去。
完整的问题链教学模式结构图(见下图1)：
Figure 1. Question chain structure diagram
图1. 问题链结构图
4. 合并同类项问题链教学设计
4.1. 情境孕育起点问题
教师活动：回顾前两节课代数式知识，ppt展示情境(见图2)
学生活动：阅读情境，思考并写出答案
学生活动：写出三种答案：5a + 3b + 3a + 2b、5a + 3a + 3b + 2b、(5 + 3)a + (3 + 2)b
教师活动：进行质疑，抛出起点问题：为什么同样一个问题，大家有三种不同代数式呢？
学生活动：独立思考
教师活动：在起点问题的基础上，利用逻辑性思维为脉络引导学生思考方向，分为两个核心问题：1) 什么是同类项？2) 如何合并同类项？
从而引入新课。
设计意图：以买文具的情境孕育出起点问题进行导入，首先从认知角度，该情境的问题是一道代数式有关的题目，可以有效复习巩固本节课所需要的前提知识。再从情感角度，以动漫人物进行情境创设，更能吸引学生兴趣，同时通过情境中孕育出的新问题：答案为什么不一样？这一新问题，来引发学生认知冲突，引发其主动求知的心向，激发学习积极性。
Figure 2. Situational introduction
图2. 情境导入
4.2. 核心问题一：什么是同类项？
对于核心问题一的探索进行四个心理学阶段
1) 认识阶段
教师活动：先将抽象的概念具体化，提出问题：我们知道万事万物都有类别的区分，小兔子属于一类，小马属于一类，小猫属于一类，小狗属于一类。那么数学里面单项式有没有同类呢？(见图3)
学生活动：进行思考
设计意图：先将抽象的概念具体化，使学生易于接受。类别是个抽象的概念，直接呈现同类项的概念，对学生而言跨度太大难以接受。通过一些具体的例子让学生感受万事万物都有类，从而更容易接受单项式同类，即同类项的概念。
Figure 3. Question 1 understanding stage
图3. 问题一认识阶段
2) 内化阶段
教师活动：通过给单项式分类的探索活动，引导学生对于同类项定义的把握理解(见图4)。
学生活动：小组交流，学生代表上黑板演示。
教师活动：对学生的分类情况进行概括并引导学生发现分类过程中的两大同类项特征。最后给出同类项概念。
学生活动：完成对同类项概念知识的内化，将该知识点融入认知结构中。
设计意图：对学生归类情况进行评价反馈，引导学生对同类项进行概念定义。完成知识的内化阶段。
Figure 4. Question 1 internalization stage
图4. 问题一内化阶段
3) 应用阶段
教师活动：通过例题来巩固学生新知识结构(见图5)。
学生活动：自主完成，个别同学板演。
设计意图：对新知识内化后，需要利用新生成的认知结构进行练习或解决问题，以便于巩固新的知识结构。
Figure 5. Question 1 application stage
图5. 问题一应用阶段
4) 反思阶段
教师活动：引导学生思考为什么学习同类项概念？(见图6)
学生活动：独自思考
设计意图：通过心理学过程第四阶段反思阶段，反思同类项概念的作用，巩固刚刚形成新知识结构的同时，以反思性思维和逻辑性思维为脉络引入下一个核心问题：如何合并同类项？
Figure 6. Question 1 reflection stage
图6. 问题一反思阶段
4.3. 核心问题二：如何合并同类项？
1) 认识阶段
教师活动：给学生展示几个简单小问题，2只公鸡加上3只一共多少只？7个苹果减去一个还剩多少个？(见图7)
学生活动：自主思考作答
设计意图：先将抽象的概念具体化，同类项之间的加减抽象程度相对较高，因此在此前先给学生一些更为具体的例子，几只公鸡的和，苹果的差，让学生更容易接受，为内化阶段做好准备。
Figure 7. Question 2 understanding stage
图7. 问题二认识阶段
2) 内化阶段
教师活动：在进行了同类事物加减的例子基础上，引导学生对同类项进行加减，并探究其中依据和具体步骤。
学生活动：独自思考，并举手作答。
设计意图：将学生知识结构中的相关已有经验展开具体化，在自主探索下与新知识进行联结。学生类比公鸡、苹果的加减，尝试对同类项进行加减，感受合并同类项的原理和完整过程。完成合并同类项的内化过程，促进新知识结构的建构生成。
3) 应用阶段
教师活动：通过具体的题目对学生进行合并同类项的练习(见图8)。
设计意图：利用新生成的认知结构进行解决问题。让学生在解决问题和练习的过程中逐步巩固新的认知结构，更好实现数学抽象能力培养。
4) 反思阶段
教师活动：再次提出反思性问题：为什么要合并同类项？(见图9)
学生活动：独立思考
设计意图：通过心理学过程第四阶段反思阶段，反思合并同类项的作用，巩固刚刚形成新知识结构的同时，以反思性思维和逻辑性思维为脉络引入下一个任务变式练习：利用合并同类项来化简求值。
Figure 8. Question 2 application stage
图8. 问题二应用阶段
Figure 9. Question 2 reflection stage
图9. 问题二反思阶段
4.4. 变式
教师活动：呈现变式练习，给学生相应时间完成(见图10)。
学生活动：自主完成练习，个别同学黑板演示。
设计意图：以一道变式练习升华本节课的知识点，打通本节课问题链的全环节。提升学生对于知识点的理解深度，既要知道是什么、为什么，还要知道怎么样，有什么用。不仅巩固学生知识结构的生成，也有助于促进学生抽象能力的深度发展。
4.5. 小结并回顾起点问题
教师活动：请同学小结谈谈收获，并进行概括总结，最终回到起点问题进行解惑(见图11)。
学生活动：举手作答
设计意图：对本节课内容进行总结，同时回顾起点问题，实现从问题中来到问题中去，使得整节课的问题链完美闭环。
Figure 10. Variant training
图10. 变式
Figure 11. Summary
图11. 小结
5. 小结
本文首先进行了抽象能力和数学抽象心理学过程四阶段的分析论述，总结出在情境、学科核心思维和反思等这几点对于培养初中生数学抽象能力的重要性和价值。再系统论述了利用问题链教学以该三点为抓手来促进初中生抽象能力的发展的必要性和可行性，并提出相应的步骤和模式。最后以初一上学期3.4合并同类项一课时为例进行教学设计。本文利用了问题链来促进抽象能力培养要素的达成，不仅在理论层面提出了方案和分析可行性，也在实践层面予以教学设计。不足之处在于，由于笔者还未正式参与一线教学工作，没有足够长的教学时间进行教育实验，因而无法检验本研究所提出的教学设计的有效性。此外，本研究的提出仅针对于初中生的数学抽象能力，对其余学段学生的抽象能力具有一定局限性。未来的方向：1) 进行教育实验，检验该理论及设计的有效性和可行性。2) 针对促进高中生数学抽象素养的进行问题链教学设计，初中生数学抽象与高中生存在些许差异，对于该理论用以提升高中生数学抽象素养还需进一步探讨与分析，这也是未来一个研究方向。