纽结多项式与整系数多项式的性质

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纽结多项式与整系数多项式的性质
Properties of Knot Jones Polynomials and Integral Coefficient Polynomials

DOI: 10.12677/aam.2024.137293, PDF, HTML, XML, 下载: 8 浏览: 14 国家自然科学基金支持
作者: 谭雅文, 李欣璐, 韩友发^*：辽宁师范大学数学学院，辽宁大连
关键词: 纽结多项式；宽度；整系数多项式；Arf不变量；Jones Polynomial of Knot； Width； Polynomial with Integral Coefficient； Arf Invariant

摘要: 文章主要研究纽结琼斯多项式与整系数多项式之间的关系。主要研究某些次数不同、宽度不同的整系数多项式与Jones多项式的关系。研究侧重点是在何种条件下，一定宽度的九次、十三次次整系数多项式是某纽结琼斯多项式，给出了满足条件的例子，再令某些系数为特殊值，给出次数相同宽度不同的多项式是某纽结琼斯多项式的判别方法。进而给出了某些纽结的Arf不变量。

Abstract: This paper mainly studies the relationship between the knot Jones polynomial and the integral coefficient polynomial. We mainly study the relationship between some integer coefficients polynomials with different degrees and widths and Jones polynomials. The research focuses on the following conditions: Under which conditions, the ninth-degree, thirteenth-degree, integral coefficient polynomial of a certain width is the Jones polynomial of a knot. The examples satisfying the conditions are given, and then some coefficients are set as special values, and it is deduced that polynomials with the same degree and different widths are the discriminant methods for certain knotJones polynomials, and their coefficients satisfy specific quantitative laws, and then give Arf invariants of some knots.

文章引用：谭雅文, 李欣璐, 韩友发. 纽结多项式与整系数多项式的性质[J]. 应用数学进展, 2024, 13(7): 3078-3085. https://doi.org/10.12677/aam.2024.137293

1. 引言

纽结理论创立于20世纪，纽结理论的核心问题之一就是纽结的分类。从早期的Aexander [1]多项式到后来的琼斯多项式[2]在纽结的分类中发挥了重要作用。特别是在1984年，新西兰数学家V。F。R Jones在对算子代数的研究中一个新的不变量被发现，后来这个不变量被定义为Jones多项式，根据算子代数的定理，琼斯给出纽结的一个多项式不变量，它是一个同痕不变量，具有拆接关系式，因此计算也十分方便，然而令人意想不到的是，它能区分左、右手三叶结，所以我们可以根据琼斯多项式来研究纽结和链环的手征性。这使得纽结理论成为拓扑届乃至数学界注意的焦点之一，从而越来越多的专家学者投入到了琼斯多项式的研究中来。由于琼斯多项式是较有力的同痕不变量，因而许多学者进行了这方面的研究[3] [4]。然而，因为纽结多项式与整系数多项式有着非常紧密的关系，从而纽结多项式与整系数多项式之间的关系逐渐被越来越多的人研究。通过前人的工作，整系数多项式 $Δ (t)$ 是某纽结Alexander多项式的充要条件是 $Δ (1) = 1$ 且 $Δ (t) = Δ (t^{- 1})$ 。那么，如何判断一个整系数多项式是否是一个纽结的Jones多项式呢? 很多学者进行了这方面的研究，研究了纽结的Jones多项式和整系数多项式的关系。得到了纽结理论研究的新方法。这些都为本论文的研究提供了很多帮助。随着对这些性质的深入研究，可以研究纽结多项式的零点和纽结的Arf不变量[5] [6]。

本文包含两部分。第一部分给出了预备知识，介绍纽结的基本性质和本文需要的引理；第二部分给出了宽度为九的十一次整系数多项式和十三次整系数多项式它是某个纽结琼斯多项式的判别方法。

2。预备知识

定义2.1 纽结是 $S^{1}$ 到三维球面 $S^{3}$ 或欧氏空间 $R^{3}$ 的一个嵌入 $K : S^{1} \to S^{3}$ (或 $R^{3}$ )。链环是有限多个互不相交的圆周 $S^{1}$ 并到 $S^{3}$ 的一个光滑嵌入 $L : \underset{n}{\cup} S^{1} \to S^{3}$ 。

定义2.2 设L₁，L₂是 $E^{3}$ 中的两个链环。如果存在映射 $H : E^{3} \times I \to E^{3}$ 是连续的，且存在 $E^{3}$ 上的自同胚 $H_{t}$ ， $t \in I$ ，使得 $H_{0} = i d$ ， $H_{1} (L_{1}) = L_{2}$ ，则称L₁与L₂同痕或等价。

引理2.1 [5]有向投影图L，它的Jones多项式记为 $V (L)$ ，并满足：

(1) $V (L)$ 是同痕不变量；

(2) $t^{- 1} V (L_{+}; t) - t V (L_{-}; t) = (t^{\frac{1}{2}} - t^{- \frac{1}{2}}) V (L_{0}; t)$ 。

其中 $L_{+}, L_{-}, L_{0}$ 代表三个几乎完全一样的有向投影图，只在某一个交叉点附近有画出的不同形状。

(3) 假若O是平凡的，则有 $V (O; t) = 1$ 。

引理2.2 [5]设 $V_{K} (t)$ 为纽结K的琼斯多项式，则有：

(1) $V_{K} (1) = 1$ ；

(2) ${V^{'}}_{K} (1) = 0$ ；

(3) $V_{K} (e^{\frac{2 π i}{3}}) = 1$ ；

(4) $V_{K} (i) = \pm 1$ ；

(5) $V_{K} (e^{\frac{π i}{3}}) = \pm {(i \sqrt{3})}^{D i m H_{1} (D_{L}, Z_{3})}$ 是 $\pm {(\sqrt{3})}^{D i m H_{1} (D_{L}, Z_{3})}$ 或是 $\pm {(\sqrt{3})}^{D i m H_{1} (D_{L}, Z_{3})} i$ ；

(6) $V_{K}^{(n)} (1) \in 6 n Z (n \geq 3)$ 。

3. 整系数多项式和琼斯多项式的关系

本章节主要研究某些次数不同、宽度不同的整系数多项式与Jones多项式的关系。研究侧重点为：在某种条件下，一定宽度的九次、十三次整系数多项式是某纽结的琼斯多项式，给出了满足条件的例子，再令某些系数为特殊值，推论出次数相同宽度不同的多项式是某纽结琼斯多项式的判别方法，它们的系数满足特定的数量规律。

定理3.1 若 $f (t) = a_{9} t^{9} + a_{8} t^{8} + a_{7} t^{7} + a_{6} t^{6} + a_{5} t^{5} + a_{4} t^{4} + a_{3} t^{3} + a_{2} t^{2}$

$(a_{9} \neq 0, a_{i} \in Z, i = 2, 3, \dots, 9)$ 是某纽结的Jones多项式，则有以下几种情况：

(1) $a_{9} = - \frac{1}{2} a_{2} - 1, a_{8} = \frac{3}{2} a_{2} + 1, a_{7} = - \frac{3}{2} a_{2} - 2, a_{6} = 2 a_{2} + 2, a_{5} = - \frac{5}{2} a_{2} - 1, a_{4} = \frac{3}{2} a_{2} + 2$

(2) $a_{9} = a_{3}, a_{8} = - a_{3} + 1, a_{7} = a_{3} - 2, a_{6} = - 2 a_{3} + 1, a_{5} = a_{3} - 2, a_{4} = - a_{3} + 2$

(3) $a_{9} = - \frac{1}{2} a_{2}, a_{8} = \frac{3}{2} a_{2} - 1, a_{7} = - \frac{3}{2} a_{2}, a_{6} = 2 a_{2}, a_{5} = - \frac{5}{2} a_{2} + 1, a_{4} = \frac{3}{2} a_{2}$

(4) $a_{9} = a_{3}, a_{8} = - a_{3}, a_{7} = a_{3} - 1, a_{6} = - 2 a_{3} + 1, a_{5} = a_{3} - 1, a_{4} = - a_{3} + 1$

证明：由引理2.2知，若 $f (t) = a_{9} t^{9} + a_{8} t^{8} + a_{7} t^{7} + a_{6} t^{6} + a_{5} t^{5} + a_{4} t^{4} + a_{3} t^{3} + a_{2} t^{2}$

$(a_{9} \neq 0, a_{i} \in Z, i = 2, 3, \dots, 9)$ 是某纽结的Jones多项式，则：

$f (1) = a_{9} + a_{8} + a_{7} + a_{6} + a_{5} + a_{4} + a_{3} + a_{2} = 1$ ，

$f^{'} (1) = 9 a_{9} + 8 a_{8} + 7 a_{7} + 6 a_{6} + 5 a_{5} + 4 a_{4} + 3 a_{3} + 2 a_{2} = 0$ ，

$f (e^{\frac{2 π i}{3}}) = (a_{9} - \frac{1}{2} a_{8} - \frac{1}{2} a_{7} + a_{6} - \frac{1}{2} a_{5} - \frac{1}{2} a_{4} + a_{3} - \frac{1}{2} a_{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} i (- a_{8} + a_{7} - a_{5} + a_{4} - a_{2}) = 1$ ， $f (i) = (a_{8} - a_{6} + a_{4} - a_{2}) + i (a_{9} - a_{7} + a_{5} - a_{3}) = \pm 1$ 。

(i) 下面考虑 $f (i) = 1$ 的情形：

可得到方程组为：

${\begin{array}{l} a_{9} + a_{8} + a_{7} + a_{6} + a_{5} + a_{4} + a_{3} + a_{2} = 1 \\ 9 a_{9} + 8 a_{8} + 7 a_{7} + 6 a_{6} + 5 a_{5} + 4 a_{4} + 3 a_{3} + 2 a_{2} = 0 \\ 2 a_{9} - a_{8} - a_{7} + 2 a_{6} - a_{5} - a_{4} + 2 a_{3} - a_{2} = 2 \\ - a_{8} + a_{7} - a_{5} + a_{4} - a_{2} = 0 \\ a_{8} - a_{6} + a_{4} - a_{2} = 1 \\ a_{9} - a_{7} + a_{5} - a_{3} = 0 \end{array}$

方程组解为：

$\begin{array}{l} a_{9} = a_{3} + a_{2} - 1, a_{8} = - a_{3} + 1, a_{7} = a_{3} - 2 \\ a_{6} = - 2 a_{3} - a_{2} + 2, a_{5} = a_{3} - a_{2} - 1, a_{4} = - a_{3} + 2 \end{array}$

再由引理2.2知：

$\begin{matrix} f (e^{\frac{π i}{3}}) = a_{9} {(e^{\frac{π i}{3}})}^{9} + a_{8} {(e^{\frac{π i}{3}})}^{8} + \dots + a_{2} {(e^{\frac{π i}{3}})}^{2} \\ = (- a_{9} - \frac{1}{2} a_{8} + \frac{1}{2} a_{7} + a_{6} + \frac{1}{2} a_{5} - \frac{1}{2} a_{4} - a_{3} - \frac{1}{2} a_{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} i (a_{8} + a_{7} - a_{5} - a_{4} + a_{2}) \\ = (- 2 a_{3} - 3 a_{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} i (2 a_{2} - 2) \end{matrix}$

则 $- 2 a_{3} - 3 a_{2} = 0$ 或 $2 a_{2} - 2 = 0$ 。

(1) 当 $- 2 a_{3} - 3 a_{2} = 0$ 时，有 $a_{3} = - \frac{3}{2} a_{2}$ ，即：

$\begin{array}{l} a_{9} = - \frac{1}{2} a_{2} - 1, a_{8} = \frac{3}{2} a_{2} + 1, a_{7} = - \frac{3}{2} a_{2} - 2, \\ a_{6} = 2 a_{2} + 2, a_{5} = - \frac{5}{2} a_{2} - 1, a_{4} = \frac{3}{2} a_{2} + 2 \end{array}$

(2) 当 $2 a_{2} - 2 = 0$ 时，有 $a_{2} = 1$ ，即：

$\begin{array}{l} a_{9} = a_{3}, a_{8} = - a_{3} + 1, a_{7} = a_{3} - 2, a_{6} = - 2 a_{3} + 1 \\ a_{5} = a_{3} - 2, a_{4} = - a_{3} + 2, a_{2} = 1 \end{array}$

(ii) 下面考虑 $f (i) = - 1$ 的情形：

可得方程组为：

${\begin{array}{l} a_{9} + a_{8} + a_{7} + a_{6} + a_{5} + a_{4} + a_{3} + a_{2} = 1 \\ 9 a_{9} + 8 a_{8} + 7 a_{7} + 6 a_{6} + 5 a_{5} + 4 a_{4} + 3 a_{3} + 2 a_{2} = 0 \\ 2 a_{9} - a_{8} - a_{7} + 2 a_{6} - a_{5} - a_{4} + 2 a_{3} - a_{2} = 2 \\ - a_{8} + a_{7} - a_{5} + a_{4} - a_{2} = 0 \\ a_{8} - a_{6} + a_{4} - a_{2} = - 1 \\ a_{9} - a_{7} + a_{5} - a_{3} = 0 \end{array}$

方程组解为：

$\begin{array}{l} a_{9} = a_{3} + a_{2} - 1, a_{8} = - a_{3}, a_{7} = a_{3} - 1 \\ a_{6} = - 2 a_{3} - a_{2} + 2, a_{5} = a_{3} - a_{2}, a_{4} = - a_{3} + 1 \end{array}$

再由引理2.2知：

$\begin{matrix} f (e^{\frac{π i}{3}}) = a_{9} {(e^{\frac{π i}{3}})}^{9} + a_{8} {(e^{\frac{π i}{3}})}^{8} + \dots + a_{2} {(e^{\frac{π i}{3}})}^{2} \\ = (- a_{9} - \frac{1}{2} a_{8} + \frac{1}{2} a_{7} + a_{6} + \frac{1}{2} a_{5} - \frac{1}{2} a_{4} - a_{3} - \frac{1}{2} a_{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} i (a_{8} + a_{7} - a_{5} - a_{4} + a_{2}) \\ = (- 2 a_{3} - 3 a_{2} + 2) + \frac{\sqrt{3}}{2} i (2 a_{2} - 2) \end{matrix}$

则 $- 2 a_{3} - 3 a_{2} + 2 = 0$ 或 $2 a_{2} - 2 = 0$ 。

(3) 当 $- 2 a_{3} - 3 a_{2} + 2 = 0$ 时，有 $a_{3} = - \frac{3}{2} a_{2} + 1$ ，即：

$\begin{array}{l} a_{9} = - \frac{1}{2} a_{2}, a_{8} = \frac{3}{2} a_{2} - 1, a_{7} = - \frac{3}{2} a_{2} \\ a_{6} = 2 a_{2}, a_{5} = - \frac{5}{2} a_{2} + 1, a_{4} = \frac{3}{2} a_{2} \end{array}$

(4) 当 $2 a_{2} - 2 = 0$ 时，有 $a_{2} = 1$ ，即；

$\begin{array}{l} a_{9} = a_{3}, a_{8} = - a_{3}, a_{7} = a_{3} - 1 \\ a_{6} = - 2 a_{3} + 1, a_{5} = a_{3} - 1, a_{4} = - a_{3} + 1 \end{array}$

综上，(1)(2)(3)(4)为某纽结Jones多项式的判别方法，证毕。

例3.1 宽度为7的例子(图1)

Figure 1. $K_{9_{49}}$

图1. $K_{9_{49}}$

此纽结的琼斯多项式为

$f (t) = - 2 t^{9} + 3 t^{8} - 4 t^{7} + 5 t^{6} - 4 t^{5} + 4 t^{4} - 2 t^{3} + t^{2}$ 。

经验证，满足上述结论(2)。

推论3.1 $A r f (9_{49}) = 0$ 。

定理3.2 若 $f (t) = a_{13} t^{13} + a_{12} t^{12} + a_{11} t^{11} + a_{10} t^{10} + a_{9} t^{9} + a_{8} t^{8} + a_{7} t^{7} + a_{6} t^{6} + a_{5} t^{5} + a_{4} t^{4} + a_{3} t^{3} + a_{2} t^{2}$

$(a_{13} \neq 0, a_{i} \in Z, i = 2, 3, \dots, 13)$ 是某纽结的Jones多项式，则有以下几种情况：

(1) $\begin{array}{l} a_{13} = - 2 a {}_{6}- 3 a_{5} + a_{3} - 2 a_{2} + 1 \\ a_{12} = 3 a_{6} + 4 a_{5} + 4 a_{2} - 2 \\ a_{11} = - 3 a_{6} - 3 a_{5} + a_{4} - 3 a_{2} + 1 \\ a_{10} = 5 a_{6} + 6 a_{5} + 5 a_{2} - 4 \\ a_{9} = - 4 a_{6} - 4 a_{5} - a_{3} - 4 a_{2} + 3 \\ a_{8} = 3 a_{6} + 2 a_{5} - a_{4} + 2 a_{2} - 1 \end{array}$ (2) $\begin{array}{l} a_{13} = a_{5} + 2 a_{4} + a_{3} - 2 \\ a_{12} = a_{6} - 2 a_{4} + 2 a_{2} + 1 \\ a_{11} = - a_{6} + a_{5} + 3 a_{4} - a_{2} - 2 \\ a_{10} = a_{6} - 2 a_{5} - 4 a_{4} + a_{2} + 2 \\ a_{9} = - 2 a_{6} + 2 a_{4} - a_{3} - 2 a_{2} \\ a_{8} = a_{6} - 2 a_{5} - 3 a_{4} - 2 a_{1} + 1 \end{array}$

(3) $\begin{array}{l} a_{13} = - 2 a_{6} - 3 a_{5} + a_{3} - 2 a_{2} + 2 \\ a_{12} = 3 a_{6} + 4 a_{5} + 4 a_{2} - 4 \\ a_{11} = - 3 a_{6} - 3 a_{5} + a_{4} - 3 a_{2} + 3 \\ a_{10} = 5 a_{6} + 6 a_{5} + 5 a_{2} - 6 \\ a_{9 `} = - 4 a_{6} - 4 a_{5} - a_{3} - 4 a_{2} + 5 \\ a_{8} = 3 a_{6} + 2 a_{5} - a_{4} + 2 a_{2} - 3 \end{array}$ (4) $\begin{array}{l} a_{13} = a_{5} + 2 a_{4} + a_{3} - 1 \\ a_{12} = a_{6} - 2 a_{4} + 2 a_{2} - 1 \\ a_{11} = - a_{6} + a_{5} + 3 a_{4} - a_{2} \\ a_{10} = a_{6} - 2 a_{5} - 4 a_{4} + a_{2} \\ a_{9} = - 2 a_{6} + 2 a_{4} - a_{3} - 2 a_{2} + 2 \\ a_{8} = a_{6} - 2 a_{5} - 3 a_{4} - 2 a_{1} \end{array}$

证明：由引理2.2知，若 $f (t) = a_{13} t^{13} + a_{12} t^{12} + a_{11} t^{11} + a_{10} t^{10} + a_{9} t^{9} + a_{8} t^{8} + a_{7} t^{7} + a_{6} t^{6} + a_{5} t^{5} + a_{4} t^{4} + a_{3} t^{3} + a_{2} t^{2}$

$(a_{13} \neq 0, a_{i} \in Z, i = 2, 3, \dots, 13)$ 是某纽结的Jones多项式，则：

$f (1) = a_{13} + a_{12} + a_{11} + a_{10} + a_{9} + a_{8} + a_{7} + a_{6} + a_{5} + a_{4} + a_{3} + a_{2} = 1$ ，

$f^{'} (1) = 13 a_{13} + 12 a_{12} + 11 a_{11} + 10 a_{10} + 9 a_{9} + 8 a_{8} + 7 a_{7} + 6 a_{6} + 5 a_{5} + 4 a_{4} + 3 a_{3} + 2 a_{2} = 0$ ，

$\begin{array}{l} f (e^{\frac{2 π i}{3}}) = (- \frac{1}{2} a_{13} + a_{12} - \frac{1}{2} a_{11} - \frac{1}{2} a_{10} + a_{9} - \frac{1}{2} a_{8} - \frac{1}{2} a_{7} + a_{6} - \frac{1}{2} a_{5} - \frac{1}{2} a_{4} + a_{3} - \frac{1}{2} a_{2}) \\ + \frac{\sqrt{3}}{2} i (a_{13} - a_{11} + a_{10} - a_{8} + a_{7} - a_{5} + a_{4} - a_{2}) = 1 \end{array}$ ，

$f (i) = (a_{12} - a_{10} + a_{8} - a_{6} + a_{4} - a_{2}) + i (a_{13} - a_{11} + a_{9} - a_{7} + a_{5} - a_{3}) = \pm 1$ 。

(i) 下面考虑 $f (i) = 1$ 的情形：

可得方程组为：

${\begin{array}{l} a_{13} + a_{12} + a_{11} + a_{10} + a_{9} + a_{8} + a_{7} + a_{6} + a_{5} + a_{4} + a_{3} + a_{2} = 1 \\ 13 a_{13} + 12 a_{12} + 11 a_{11} + 10 a_{10} + 9 a_{9} + 8 a_{8} + 7 a_{7} + 6 a_{6} + 5 a_{5} + 4 a_{4} + 3 a_{3} + 2 a_{2} = 0 \\ - a_{13} + 2 a_{12} - a_{11} - a_{10} + 2 a_{9} - a_{8} - a_{7} + 2 a_{6} - a_{5} - a_{4} + 2 a_{3} - a_{2} = 2 \\ a_{13} - a_{11} + a_{10} - a_{8} + a_{7} - a_{5} + a_{4} - a_{2} = 0 \\ a_{12} - a_{10} + a_{8} - a_{6} + a_{4} - a_{2} = 1 \\ a_{13} - a_{11} + a_{9} - a_{7} + a_{5} - a_{3} = 0 \end{array}$

方程组解为：

$\begin{array}{l} a_{13} = a_{7} + a_{6} + a_{4} + 2 a_{3} + a_{2} - 2, a_{12} = - a_{7} + a_{5} - a_{4} - a_{3} + a_{2} + 1 \\ a_{11} = a_{7} + 2 a_{4} + a_{3} - 2, a_{10} = - 2 a_{7} - a_{6} - 2 a_{4} - 2 a_{3} - a_{2} + 2 \\ a_{9} = a_{7} - a_{6} - a_{5} + a_{4} - a_{2}, a_{8} = - a_{7} - a_{5} - 2 a_{4} - a_{3} - a_{2} + 2 \end{array}$

再由引理2.2知：

$\begin{matrix} f (e^{\frac{π i}{3}}) = a_{13} {(e^{\frac{π i}{3}})}^{13} + a_{12} {(e^{\frac{π i}{3}})}^{12} + \dots + a_{2} {(e^{\frac{π i}{3}})}^{2} \\ = (\frac{1}{2} a_{13} + a_{12} + \frac{1}{2} a_{11} - \frac{1}{2} a_{10} - a_{9} - \frac{1}{2} a_{8} + \frac{1}{2} a_{7} + a_{6} + \frac{1}{2} a_{5} - \frac{1}{2} a_{4} - a_{3} - \frac{1}{2} a_{2}) \\ + \frac{\sqrt{3}}{2} i (a_{13} - a_{11} - a_{10} + a_{8} + a_{7} - a_{5} - a_{4} + a_{2}) \\ = (a_{7} + 3 a_{6} + 3 a_{5} + a_{4} + a_{3} + 3 a_{2} - 3) + \frac{\sqrt{3}}{2} i (2 a_{7} + 2 a_{6} - 2 a_{5} - 2 a_{4} + 2 a_{3} + 2 a_{2}) \end{matrix}$

则 $a_{7} + 3 a_{6} + 3 a_{5} + a_{4} + a_{3} + 3 a_{2} - 3 = 0$ 或 $2 a_{7} + 2 a_{6} - 2 a_{5} - 2 a_{4} + 2 a_{3} + 2 a_{2} = 0$ 。

(1) 当 $a_{7} + 3 a_{6} + 3 a_{5} + a_{4} + a_{3} + 3 a_{2} - 3 = 0$ 时，有 $a_{7} = - 3 a_{6} - 3 a_{5} - a_{4} - a_{3} - 3 a_{2} + 3$ ，即：

$\begin{array}{l} a_{13} = - 2 a_{6} - 3 a_{5} + a_{3} - 2 a_{2} + 1, a_{12} = 3 a_{6} + 4 a_{5} + 4 a_{2} - 2 \\ a_{11} = - 3 a_{6} - 3 a_{5} + a_{4} - 3 a_{2} + 1, a_{10} = 5 a_{6} + 6 a_{5} + 5 a_{2} - 4 \\ a_{9} = - 4 a_{6} - 4 a_{5} - a_{3} - 4 a_{2} + 3, a_{8} = 3 a_{6} + 2 a_{5} - a_{4} + 2 a_{2} - 1 \end{array}$

(2) 当 $2 a_{7} + 2 a_{6} - 2 a_{5} - 2 a_{4} + 2 a_{3} + 2 a_{2} = 0$ 时，有 $a_{7} = - a_{6} + a_{5} + a_{4} - a_{3} - a_{2}$ ，即：

$\begin{array}{l} a_{13} = a_{5} + 2 a_{4} + a_{3} - 2, a_{12} = a_{6} - 2 a_{4} + 2 a_{2} + 1 \\ a_{11} = - a_{6} + a_{5} + 3 a_{4} - a_{2} - 2, a_{10} = a_{6} - 2 a_{5} - 4 a_{4} + a_{2} + 2 \\ a_{9} = - 2 a_{6} + 2 a_{4} - a_{3} - 2 a_{2}, a_{8} = a_{6} - 2 a_{5} - 3 a_{4} - 2 a_{1} + 1 \end{array}$

对于 $f (i) = - 1$ 的情形可得(3)和(4)。证毕。

应用相同方法可以证明下列结果：

定理3.3 若 $f (t) = a_{13} t^{13} + a_{12} t^{12} + a_{11} t^{11} + a_{10} t^{10} + a_{9} t^{9} + a_{8} t^{8} + a_{7} t^{7} + a_{6} t^{6} + a_{5} t^{5} + a_{4} t^{4}$

$(a_{13} \neq 0, a_{i} \in Z, i = 4, 5, \dots, 13)$ 是某纽结的Jones多项式，则有以下几种情况：

(1) $\begin{array}{l} a_{13} = - 2 a {}_{6}- 3 a_{5} + 1 \\ a_{12} = 3 a_{6} + 4 a_{5} - 2 \\ a_{11} = - 3 a_{6} - 3 a_{5} + a_{4} + 1 \\ a_{10} = 5 a_{6} + 6 a_{5} - 4 \\ a_{9} = - 4 a_{6} - 4 a_{5} + 3 \\ a_{8} = 3 a_{6} + 2 a_{5} - a_{4} - 1 \end{array}$ (2) $\begin{array}{l} a_{13} = a_{5} + 2 a_{4} - 2 \\ a_{12} = a_{6} - 2 a_{4} + 1 \\ a_{11} = - a_{6} + a_{5} + 3 a_{4} - 2 \\ a_{10} = a_{6} - 2 a_{5} - 4 a_{4} + 2 \\ a_{9} = - 2 a_{6} + 2 a_{4} \\ a_{8} = a_{6} - 2 a_{5} - 3 a_{4} + 1 \end{array}$

(3) $\begin{array}{l} a_{13} = - 2 a_{6} - 3 a_{5} + 2 \\ a_{12} = 3 a_{6} + 4 a_{5} - 4 \\ a_{11} = - 3 a_{6} - 3 a_{5} + a_{4} + 3 \\ a_{10} = 5 a_{6} + 6 a_{5} - 6 \\ a_{9 `} = - 4 a_{6} - 4 a_{5} + 5 \\ a_{8} = 3 a_{6} + 2 a_{5} - a_{4} - 3 \end{array}$ (4) $\begin{array}{l} a_{13} = a_{5} + 2 a_{4} - 1 \\ a_{12} = a_{6} - 2 a_{4} - 1 \\ a_{11} = - a_{6} + a_{5} + 3 a_{4} \\ a_{10} = a_{6} - 2 a_{5} - 4 a_{4} \\ a_{9} = - 2 a_{6} + 2 a_{4} + 2 \\ a_{8} = a_{6} - 2 a_{5} - 3 a_{4} \end{array}$

例3.2 宽度为九的例子(图2)

Figure 2. $K_{9_{1}}$

图2. $K_{9_{1}}$

此纽结的琼斯多项式为

$f (t) = - t^{13} + t^{12} - t^{11} + t^{10} - t^{9} + t^{8} - t^{7} + t^{6} + t^{4}$ 。

经验证，满足上述结论(1)。

推论4.2 $A r f (9_{1}) = 0$ 。

4. 结束语

由于纽结多项式与整系数有着密切的关系，所以一直是非常热点的研究问题。专家学者已经给出整系数多项式是纽结的Alexander多项式的充分必要条件，但是对于Jone多项式这方面知道的还比较少，随着对这些问题的研究会得到一些拓扑意义。本文对一些具体的整系数多项式是纽结多项式的必要性进行了研究，为今后的讨论提供了一些方法。

基金项目

国家自然科学基金(No. 12026411)。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献

[1]	Alexander, J.W. (1928) Topological Invariants of Knots and Links. Transactions of the American Mathematical Society, 30, 275-306. https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1928-1501429-1
[2]	Jones, V.F.R. (1985) A Polynomial Invariant for Knots via Von Neumann Algebras. Bulletin of the American Mathematical Society, 12, 103-111. https://doi.org/10.1090/s0273-0979-1985-15304-2
[3]	Jones, V.F.R. (1987) Hecke Algebra Representations of Braid Groups and Link Polynomials. The Annals of Mathematics, 126, Article 335. https://doi.org/10.2307/1971403
[4]	Colin, C. A. (1994) The Knot Book. WH Freeman and Company, 280-290.
[5]	陶志雄. Jones多项式的零点[J]. 数学年刊, 2011, 32A(1): 63-70.
[6]	韩友发, 孙德芝, 孙盛, 阎舒. 纽结的Arf不变量[J]. 数学物理学报, 2013(3): 466-474.

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