立足概念教学，培养数学思维

Based on Concept Teaching, Cultivate Mathematical Thinking

摘要: 课程标准是教材编写、教学以及考试命题的重要依据。《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确提出初中阶段侧重于概念学习，对于数学概念的考察，近年中考试题中以概念直接应用、概念关联教材以及概念创新三种类型呈现。本文从上述三种类型着手进行分析，探索教学方法，可以从单元教学，建构知识框架，加工教材，发展高阶思维；深度学习，理解概念本质进行概念课教学。

Abstract: Curriculum standard is an important basis for the compilation of textbooks, teaching and examination propositions. “Compulsory Education Mathematics Curriculum Standards (2022 Edition)” clearly puts emphasis on concept learning in junior high school. In recent years, the examination questions of mathematical concepts are presented in three types: direct application of concepts, concept related textbooks, and concept innovation. This paper starts with the analysis of the above three types and explores the teaching methods, which can be from the unit teaching, the construction of knowledge framework, the processing of teaching materials, and the development of higher-order thinking; deep learning and understanding the essence of concept teaching.

1. 引言

课程目标的确定，立足学生核心素养的发展，在《义务教育数学课程标准(2022年版)》中关于核心素养内涵的论述，即在不同阶段具有不用表现，在小学阶段侧重于对经验的感悟，初中阶段则侧重于对概念的理解[1]。其次关于学业水平考试的介绍，其命题原则着重提出要适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例，减少死记硬背和机械刷题的现象，培养学生的高阶思维能力[1]。近年来中考数学命题逐渐灵活，偏开放且综合性。自2019年《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》，取消中考初中学业水平考试大纲，严格根据义务教育课程标准命题[2]。注重考查学生在对概念理解的基础上，培养学生运算、推理、解决实际问题等能力。本文结合近年中考试题从三种类型着手分析中考数学概念命题。

2. 概念直接应用型

教材上所呈现的数学概念，简单明了的出现在试题或者多个概念跨单元进行综合应用考察，即学生一眼便可定位出对应知识点以及解题思路。其考察学生对书本上知识的掌握程度，解题过程即是对概念的再现，主要反映在选择、填空题上。依据数学概念特征，从判定特征、性质特征、过程性特征、形态特征[3]等方面进行命题。

例1 (2021年上海第2题)下列单项式中，$a^2{b}^3$ 的同类项是( )

A. $a^3{b}^2$ B. $3a^2{b}^3$ C. $a^{2}b$ D. $a{b}^3$

例2 (2021年北京第14题)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在上BC，AD上，AF = EC。只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是______________(写出一个即可)。

Figure 1. Example 2: Drawing

图1. 例2题图

评注：例1照搬书本上给出的合并同类项概念，由概念直接可直接选出正确答案；例2以开放性的命题方式对四边形单元知识点进行的综合考察，考生需明确知晓各个特殊四边形的判定方法以及两两之间的联系。从题目出发，抓住两道题各自的题眼，“同类项”“矩形”“菱形”这样字眼的出现，在理解概念的基础上直接依据书本上的陈述，问题便可迎刃而解。该类试题在整张试卷中的占比最大，是学生必拿分的题，也是适应生活及进一步学习的基础知识。

3. 概念关联教材型

数学教材承载的是无数代人无数次编改所凝结而成的文化底蕴，其中的概念、例题、课外拓展甚至是图片无一不是编写者们精挑细选的。没有考纲的前提下，教材内容便是最好的考纲，也是最好的命题依据。如今，从过去借用教材改编例题成新题过渡到改编概念生成新概念，也真正做到了命题源于教材，又高于教材。《义务教育数学课程标准(2022年版)》中明确指出加强学段衔接，要了解高中阶段学生特点和学科特点，为学生进一步学习做好准备。那么对于高中内容也需要具备一定的了解性，而最好的了解方式便是教材。因此，除了初中教材之外，高中教材也是命题选材之一。

3.1. 关联初中教材

例3 (2019长沙第24题)根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形。相似四边形对应边的比叫做相似比。

(1) 某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)。

① 四条边成比例的两个凸四边形相似；(　 　命题)

② 三个角分别相等的两个凸四边形相似；(　 　命题)

③ 两个大小不同的正方形相似；(　 命题)

(2) 如图2，在四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁中，$\angle ABC=\angle A_1{B}_1{C}_1$ ，$\angle BCD=\angle B_1{C}_1{D}_1$ ，$\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{BC}{B_1{C}_1}=\frac{CD}{C_1{D}_1}$ 。求证：四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁相似。

(3) 如图3，四边形ABCD中，$AB\parallel CD$ ，AC与BD相交于点O，过点O作$EF\parallel AB$ 分别交AD，BC于点E，F。记四边形ABFE的面积为S₁，四边形EFCD的面积为S₂，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求$\frac{S_2}{S_1}$ 的值。

Figure 2. Example 3 Project (2)

图2. 例3题图(2)

Figure 3. Example 3 Project (3)

图3. 例3题图(3)

评注：本例衍生于相似多边形的概念，初中阶段仅对多边形中的三角形展开了学习，而此题却考查相似四边形，看似从未接触但好像又有所了解。对于解该类题，可采取转化、类比方法，既然相近于教材，便可与其建立联系，用已学知识或方法解未学内容。例如，多边形内角和的推导过程中，则是利用多边形分解出多个三角形，同理，相似四边形也可转化为相似三角形的方法进行解答。

3.2. 关联高中教材

例4 (2021长沙第24题)我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”。根据该约定，完成下列各题。

(1) 若点$A\left(1,r\right)$ 与点$B\left(s,4\right)$ 是关于x的“T函数”$y=\{\begin{array}{l}-\frac{4}{x}\left(x<0\right)\\ t{x}^2\left(x\ge 0,t\ne 0,t是常数\right)\end{array}$ 的图象上的一对“T点”，则r = 　　，s = 　　，t = 　　 (将正确答案填在相应的横线上)；

(2) 关于x的函数$y=kx+p$ (k，p是常数)是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由。

(3) 若关于x的“T函数”$y=a{x}^{\text{2}}+bx+c$ ($a>0$ ，且a，b，c是常数)经过坐标原点O，且与直线l：$y=mx+n$ ($m\ne 0$ ，$n>0$ ，且m，n是常数)交于$M\left(x_1,y_1\right)$ ，$N\left(x_2,y_2\right)$ 两点，当x₁，x₂满足${\left(1-x_1\right)}^{-1}+x_2=1$ 时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由。

评注：本题将高一数学函数内容初中化，用初中数学知识进行包装，使得分段函数与偶函数的相关内容嵌入题中。虽看似含有高中数学知识，但牢记画图像解函数题的关键要素，即数形结合思想，此题便可迎刃而解。往往此类题型将高中数学的重要核心概念作为试题背景材料呈现，对学生的自主学习探究以及思维能力都有较高要求。既体现了试题的选拔性功能，又注重了初、高中知识的衔接，有效检验了学生是否具备进入高中学习的潜力。

4. 概念创新型

所谓概念创新又为“新定义题”，是数学课本上不曾出现的，是题海中或许无法遇见的。可以理解为在一个新的背景之下，界定一个新的概念，继而，对此新概念进行认知、探究、延展及应用。此类题一直是学生们的短板，中考出现频率又极高，如北京、宁波、长沙等地区近十年必有一道概念创新题型作为压轴题。

例5 (2022北京第28题)在平面直角坐标系xOy中，已知点$M\left(a,b\right)$ ，N。对于点P给出如下定义：将点P向右$\left(a\ge 0\right)$ 或向左$\left(a<0\right)$ 平移$\left|a\right|$ 个单位长度，再向上$\left(b\ge 0\right)$ 或向下$\left(b<0\right)$ 平移$\left|b\right|$ 个单位长度，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”。

(1) 如图4，点$M\left(1,1\right)$ ，点N在线段OM的延长线上，若点$P\left(-2,0\right)$ ，点Q为点P的“对应点”。

Figure 4. Example 5: Drawing

图4. 例5题图

① 在图中画出点Q；

② 连接PQ，交线段ON于点T。求证：$NT=\frac{1}{2}OM$ 。

(2) ⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且$ON=t\left(\frac{1}{2}<t<1\right)$ ，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ。当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)。

评注：例5题干对点P进行定义，通过平移变化以及点的对称得出P的“对应点”，凸显过程性概念。理解点的变化过程，即理解该新概念，在理解的前提下进行解题。试题中出现的新概念里包含着旧概念，例如点的平移以及点与点的对称，只有对旧概念有了理解，才能吃透新概念。

5. 教学思考

5.1. 单元教学，建构知识框架

单元课时教学的新授课中注重课前已学知识的温故，借助类比思维学新知，同时，在学习的过程寻找新旧知识之间的共同特征，将新知概念进行内化，同旧知识一起建构知识框架。特别在复习课时，进行专题教学，为了让知识框架看得见，课后给学生布置绘制思维导图的实践作业。

5.2. 加工教材，发展高阶思维

教师在教学过程中，要做到高于教材，对教材进行深加工。做到高于教材包括两方面：一是，对初中教材上的知识进行拓展提升，例如，相似图形的概念衍生，教材只专注于相似三角形，教师可以引导学生思考四边形、五边形等相似多边形又该如何证明，先根据概念然后进行猜想最后一起论证；二是，衔接高中教材，对部分高一的知识可以浅显的渗透进课堂，例如函数性质及图像的研究，在学二次函数与一次函数时有所延伸。

5.3. 深度学习，理解概念本质

教师在教学中体现概念形成、概念同化、概念获得以及概念迁移过程，杜绝概念课采用“灌溉式”教授给学生。学生获得概念之后，教师随机抽取学生，让学生通过自我的理解，用自己的话再次陈述概念。以达到即便试题千变万化，仍可抽离出题中所考概念，深度理解概念本质，以达到举一反三。例如，一元一次方程概念理解清楚，学生可以依次类推二元一次方程组、三元一次方程组甚至是一元二次方程的概念及解法；而多元一次方程的解法其本质与大学矩阵初等行变化相通，且教材上所提及的高斯消元法同样如此。

6. 小结

本文从概念直接应用、概念关联教材以及概念创新型入手，针对性地提出教学方法。尤其对一线教师而言存在一定的教学参考价值，由中考试题凸显日常教学的侧重点，体现出数学的学习重在理解，重在学生思维的培养。