一类具有无症状感染的随机SEIR传染病模型的平稳分布

The Stationary Distribution of a Stochastic SEIR Infectious Disease Model with Asymptomatic Infections

摘要: 2019年底爆发的新冠疫情截止2023年3月7日，全球累计感染约7.5亿人，累计死亡约686万人，这说明了具有无症状感染的传染病是人类生存与发展的重大威胁之一。因此，本文基于新冠肺炎的传播特点，研究了一类具有无症状感染的随机SEIR传染病模型的平稳分布。首先，通过构建合适的V函数证明了模型正解的存在唯一性。然后，利用Lyapunov方法建立了参数ℜ0s，并且证明了当ℜ0s>1时，模型的解在ℝ+4上存在唯一一个的平稳分布。最后，对本文主要研究内容进行了总结，发现ℜ0s受到白噪声的影响，并且ℜ0s小于等于确定型SEIR模型的基本再生数ℜ0。

Abstract: The COVID-19 broke out at the end of 2019. By March 7, 2023, about 750 million people had been infected and approximately 6.86 million people died in the world. This demonstrates that infectious diseases with asymptomatic infections remain a significant threat to human survival and development. Therefore, based on the transmission characteristics of COVID-19, this paper studies the stationary distribution of the stochastic SEIR infectious diseases model with asymptomatic infection. Firstly, we prove the existence and uniqueness of the positive solution of the model by constructing an appropriate function V. Then, by using the Lyapunov method, we establish the parameterℜ0sand prove that whenℜ0s>1, the solution of the model has a unique stationary distribution inℝ+4. Finally, we summarize the main results of this article and find thatℜ0sis affected by white noise. Furthermore,ℜ0sis less than or equal to the basic reproduction numberℜ0of the deterministic SEIR model.

1. 引言

自2019年12月初在中国武汉出现首例新冠病例以来，新冠肺炎疫情一直影响着我们的工作和生活。由于新冠肺炎具有无症状传播的特点，所以新冠肺炎疫情十分严重。截止2023年3月7日，全球累计感染约7.5亿人，累计死亡约686万人。因此，研究和控制COVID-19的传播显得尤为迫切。另一方面，传染病动力学模型是研究疾病传播规律的重要工具之一，能够定量描述传染病的传播规律，预测其发展趋势。为了更好地了解COVID-19的传播情况，制定有效的控制策略，学者们建立了大量的数学模型。例如，Song等人[1]提出了一类具有标准发生率的SEIS传染病模型并确定了模型的基本再生数。Huo等人[2]提出了一类受媒体传播影响的SEIS模型并证明了模型的平稳分布。Xu [3]提出了一类具有时滞的SEIS传染病模型，Fan等人[4]等人提出了一类具有常出生率的SEIS传染病模型。Kamrujjaman等人[5]提出了如下具有无症状感染的SEIR传染病模型：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}S\left(t\right)}{\text{d}t}=\Lambda -\left(\mu +\alpha \right)S-\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)S,\\ \frac{\text{d}E\left(t\right)}{\text{d}t}=\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)S-\left(m+\mu +\gamma \right)E,\\ \frac{\text{d}I\left(t\right)}{\text{d}t}=mE-\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)I,\\ \frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}=\delta I-\mu R,\end{array}$ (1.1)

其中$S\left(t\right)$ 表示易感者，表示$E\left(t\right)$ 无症状感染者，表示$I\left(t\right)$ 感染者，$R\left(t\right)$ 表示恢复者，$\Lambda$ 表示出生率，${\beta }_1$ 表示易感者与无症状感染者的感染率，${\beta }_2$ 表示易感者与感染者之间疾病的传播率，$\mu$ 表示自然死亡率，${\mu }_1$ 表示感染者的因病死亡率，$\frac{1}{k}$ 表示无症状感染者出现症状的平均时间，$\delta$ 表示感染者的恢复率率，$\alpha ,\text{}\gamma ,\eta$ 分别易感者，无症状感染者和感染者患有恐慌性焦虑症的速率。

对于模型系统(1.1)，Kamrujjaman等人[5]确定了模型的无病平衡$x_0=\left(S_0,0,0,0\right)=\left(\frac{\Lambda }{\mu +\alpha },0,0,0\right)$ 和地方病平衡点$x_1=\left(S_1,E_1,I_1,R_1\right)$ ，其中$S_1=\frac{\lambda \left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)}{m{\beta }_2{E}_1+\left(\mu +\alpha +{\beta }_1+E_1\right)\left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)}$ ，$E_1=\frac{\left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)\left(\mu +\alpha \right)\left({\Re }_0-1\right)}{m{\beta }_2+{\beta }_1\left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)}$ ，$I_1=\frac{m{E}_1}{\mu +\delta +{\mu }_1+\eta }$ ，$R_1=\frac{\delta m{E}_1}{\mu \left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)}$ 并且Kamrujjaman等人利用下一代矩阵方法[6]，通过${\Re }_0=\rho \left(F{V}^{-1}\right)$ 得到了模型的基本再生数

${\Re }_0=S_0\frac{{\beta }_1\left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)+{\beta }_{2}m}{\left(m+\mu +\gamma \right)\left(\mu +\delta +{\mu }_1+\eta \right)}$ .

在文献[5]中，Kamrujjaman等人证明了当${\Re }_0<1$ 时，系统(1.1)的无病平衡点是全局渐进稳定的；当${\Re }_0>1$ 时，模型(1.1)的地方病平衡点是全局渐进稳定的。

由于环境和人类行为的随机性，传染病的传播也必然具有一定的随机性。随之而来的问题是，这些随机性是否影响传染病的传播？为了回答这一问题，许多学者利用随机微分方程建立了大量的随机传染病模型并发现了环境的随机性对传染病模型动力学行为存在影响。例如：Yang等人[7]提出了一类随机SEIR传染病模型。Zhu等人[8]提出了一类具有标准发生率的随机SEI模型。Zhang等人[9]提出了一类总人口规模变化的随机SIQS传染病模型。Shi等人[10]提出了一类多斑块的随机SEIRS模型。此外，还有许多学者也研究了受到环境噪声影响的传染病模型[11]-[15]。

在模型(1.1)的基础上，假设随机扰动为白噪声类型且与变量$S,E,I,R$ 成正比。因此对应于模型(1.1)的随机模型的形式如下：

$\{\begin{array}{l}\text{d}S\left(t\right)=\left[\Lambda -\left(\mu +\alpha \right)S-\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)S\right]\text{d}t+{\sigma }_{1}S\text{d}{B}_1\left(t\right),\\ \text{d}E\left(t\right)=\left[\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)S-\left(m+\mu +\gamma \right)E\right]\text{d}t+{\sigma }_{2}E\text{d}{B}_2\left(t\right),\\ \text{d}I\left(t\right)=\left[mE-\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)I\right]\text{d}t+{\sigma }_{3}I\text{d}{B}_3\left(t\right),\\ \text{d}R\left(t\right)=\left[\delta I-\mu R\right]\text{d}t+{\sigma }_{4}R\text{d}{B}_4\left(t\right),\end{array}$ (1.2)

其中$B_i\left(t\right)\left(i=1,2,3,4\right)$ 表示相互独立的标准布朗运动，${\sigma }_i^2\left(t\right)\left(i=1,2,3,4\right)$ 表示随机扰动强度。

文章剩余内容如下。第二部分，给出本文用到的基本定义和公式。第三部分，证明模型(1.2)在空间${ℝ}_{+}^4$ 上全局正解的存在唯一性。第四部分，首先构造了决定疾病持久的参数${\Re }_0^s$ ，然后通过构造合适的V函数来证明当${\Re }_0^s>1$ 时，模型(1.2)在空间${ℝ}_{+}^4$ 上存在唯一一个的平稳分布$\pi (\cdot )$ 。第五部分，对本文主要结论进行了总结并对将来的研究进行了展望。

2. 预备知识

在本文中，除非另有说明，否则设$\left(\Omega ,ℱ,{\left\{{ℱ}_t\right\}}_{t\ge 0},\mathbb{P}\right)$ 是一个完全概率空间，其中${\left\{{ℱ}_t\right\}}_{t\ge 0}$ 满足通常条件，即它是右连续的，且${ℱ}_0$ 包含所有$\mathbb{P}$ -null集。记$a\wedge b=\min \left\{a,b\right\}$ 和$a\vee b=\max \left\{a,b\right\}$ 。

定义1 [16]

设$x\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ 是Itô过程，并且满足下面的随机微分

$\text{d}x\left(t\right)=f\left(t\right)\text{d}t+g\left(t\right)\text{d}B\left(t\right)$

其中$f\in L^1\left({ℝ}_{+};{ℝ}^n\right)$ ，$g\in L^2\left({ℝ}_{+};{ℝ}^{n\times m}\right)$ 。令$V\left(x,t\right)\in C^{2,1}\left({ℝ}^n\times {ℝ}_{+};ℝ\right)$ ，则$V\left(x,t\right)$ 仍是Itô过程，其随机微分具有如下形式

$\text{d}V\left(x\left(t\right),t\right)=ℒV\left(x,t\right)\text{d}t+V_x\left(x,t\right)g\left(t\right)\text{d}B\left(t\right)\text{a}\text{.s}.$

其中

$ℒV\left(x,t\right)=V_t\left(x,t\right)+V_x\left(x,t\right)f\left(t\right)+\frac{1}{2}trace\left[g^{\text{T}}\left(x,t\right)V_{xx}g\left(x,t\right)\right]$

称上式为Itô公式。

3. 全局正解的存在唯一性

这一节，通过构造合适的函数V来分析模型(1.2)正解的存在唯一性。首先，定义空间

${ℝ}_{+}^4=\left\{x=\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\in {ℝ}^4:x_i>0,i=1,2,3,4\right\}$ 。下面证明模型(1.2)的解在${ℝ}_{+}^4$ 中的概率为1。

定理3.1.

对任意给定的初始值$\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^4$ ，系统(1.2)在$t\ge 0$ 上存在唯一的解$\left(S\left(t\right),E\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)$ ，且解$\left(S\left(t\right),E\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)\in {ℝ}_{+}^4$ 中的概率为1，即对任意的$t\ge 0$ ，有$\left(S\left(t\right),E\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)\in {ℝ}_{+}^4$ a.s.。

证明 由于模型(1.2)的系数是局部Lipschitz连续的，则对任意的初值$\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^4$ 和$t\in \left[0,{\tau }_e\right)$ ，模型(1.2)存在唯一的局部解，其中${\tau }_e$ 表示爆破时间。要证解是全局的，只需证明${\tau }_e=\infty$ a.s。令$k_0>1$ ，使得$\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)$ 在区间$\left[\frac{1}{k_0},k_0\right]$ 。对于任意的整数$k>k_0$ ，定义停时：

${\tau }_k=\inf \left\{t\in \left[0,{\tau }_e\right):S\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)或E\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)或I\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)或R\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)\right\}$ ,

本文中，令$\inf \varnothing =\infty$ 。显然，当$k\to \infty$ 时，${\tau }_e$ 是单增的。记${\tau }_{\infty }=\underset{k\to \infty }{\lim }{\tau }_k$ ，则${\tau }_{\infty }<{\tau }_e$ a.s.。如果${\tau }_{\infty }=\infty$ a.s.，那么${\tau }_e=\infty$ a.s.。下面运用反证法证明${\tau }_{\infty }=\infty$ 。设${\tau }_{\infty }\ne \infty$ ，则存在$T>0$ 和任意的$\epsilon \in \left(0,1\right)$ 使得

$\mathbb{P}\left\{{\tau }_{\infty }\le T\right\}>\epsilon$ .

因此存在整数$k_1>k_0$ 使得

$\mathbb{P}\left\{{\Omega }_k\right\}\ge \epsilon ,\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}k>k_1$ ,

其中${\Omega }_k=\left\{{\tau }_k\le T\right\}$ 。

考虑${ℂ}^2$ -函数$V:{ℝ}_{+}^4\to ℝ$

$V\left(S,E,I,R\right)=S-a-a\ln \frac{S}{a}+E-1-\ln E+I-1-\ln I+R-1-\ln R$ ,

其中a是待定常数。令$k\ge k_0$ 和T是任意的。使用Itô公式，得到

$\begin{array}{l}\text{d}V\left(S,E,I,R\right)=ℒV\left(S,E,I,R\right)\text{d}t+{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)+{\sigma }_2\left(E-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)\\ +{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)+{\sigma }_4\left(R-1\right)\text{d}{B}_4\left(t\right)\end{array}$

其中

$\begin{array}{c}ℒV\left(S,E,I,R\right)=\Lambda -\left(\mu +\alpha \right)S-\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)S-\frac{a\Lambda }{S}+a\left(\mu +\alpha \right)+a\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)+\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2\\ +\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)S-\left(k+\mu +\gamma \right)E-\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)\frac{S}{E}+\left(k+\mu +\gamma \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\\ +kE-\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)I-k\frac{E}{I}+\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\\ +\delta I-\mu R-\frac{I}{R}+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_4^2\\ \le \Lambda +a\left(\mu +\alpha \right)+\left(a{\beta }_1-\mu -\gamma \right)E+\left(a{\beta }_2-\mu -{\mu }_1-\eta \right)I+\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2\\ +\left(k+\mu +\gamma \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_4^2\end{array}$

令$a=\min \left\{\frac{\mu +\gamma }{{\beta }_1},\frac{\mu +{\mu }_1+\eta }{{\beta }_2}\right\}>0$ ，故$a{\beta }_1-\mu -\gamma \le 0$ ，$a{\beta }_2-\mu -{\mu }_1-\eta \le 0$ 。因此

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le \Lambda +a\left(\mu +\alpha \right)+\left(k+\mu +\gamma \right)+\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)\\ +\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_4^2\end{array}$

且

$\begin{array}{c}\text{d}V\left(S,E,I,R\right)\le \Lambda +a\left(\mu +\alpha \right)+\left(k+\mu +\gamma \right)+\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\mu +\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\\ +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2+\frac{1}{2}{\sigma }_4^2+{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)+{\sigma }_2\left(E-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)\\ +{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)+{\sigma }_4\left(R-1\right)\text{d}{B}_4\left(t\right)\\ =C+{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)+{\sigma }_2\left(E-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)+{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)+{\sigma }_4\left(R-1\right)\text{d}{B}_4\left(t\right)\end{array}$

其中$C=\Lambda +a\left(\mu +\alpha \right)+\left(k+\mu +\gamma \right)+\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}a{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+\frac{1}{2}{\sigma }_3^2+\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_4^2$ 。因此

对于任意的$k\ge k_1$ ，得到

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}\text{d}V}={\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}ℒV}\left(S,E,I,R\right)\text{d}t+{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)}+{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_2\left(E-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)}+{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_4\left(R-1\right)\text{d}{B}_4\left(t\right)}\\ \le C{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_1\left(S-a\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)}+{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_2\left(E-1\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_3\left(I-1\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)}+{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}{\sigma }_4\left(R-1\right)\text{d}{B}_4}\left(t\right).\end{array}$

则

$\begin{array}{c}E\left(T\wedge {\tau }_k\right),I\left(T\wedge {\tau }_k\right),R\left(T\wedge {\tau }_k\right)\le V\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+\mathbb{E}C{\displaystyle {\int }_0^{T\wedge {\tau }_k}\text{d}t}\\ \le V\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+CT.\end{array}$

令${\Omega }_k=\left\{{\tau }_k\le T\right\}$ ，显然有$\mathbb{P}\left\{{\Omega }_k\right\}\ge \epsilon$ ，则$\forall \omega \in {\Omega }_k$ 可知$S\left({\tau }_k,\omega \right),E\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right),R\left({\tau }_k,\omega \right)$ 至少有一个等于k或$\frac{1}{k}$ 。则

$\begin{array}{l}V\left(S\left({\tau }_k,\omega \right),E\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right),R\left({\tau }_k,\omega \right)\right)\\ \ge \min \left\{k-1-a\ln \frac{k}{a},\frac{1}{k}-a+\ln ak,k-1-\ln k,\frac{1}{k}1-\ln \frac{1}{a}\right\}\\ :=f\left(k\right).\end{array}$

所以

$\begin{array}{c}V\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+CT\ge \mathbb{E}V\left(S\left({\tau }_k,\omega \right),E\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right),R\left({\tau }_k,\omega \right)\right)\\ \ge \mathbb{E}\left[1_{{\tau }_k}\left(\delta \right)V\left(S\left({\tau }_k,\omega \right),E\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right),R\left({\tau }_k,\omega \right)\right)\right]\\ \ge \epsilon f\left(k\right).\end{array}$

令$k\to \infty$ ，可知$\infty >V\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+CT=\infty$ ，显然矛盾。因此${\tau }_{\infty }=\infty$ 。

4. 平稳分布的存在性

这一部分，首先确定了参数${\Re }_0^s$ ，然后根据文献[17]中的引理证明了当参数${\Re }_0^s>1$ 时，模型(1.2)在空间${ℝ}_{+}^4$ 中存在唯一一个平稳分布$\pi (\cdot )$ 。引理内容如下。

引理4.1. [17]

如果存在一个具有正则边界的有界开域$U\in {ℝ}^l$ ，使得以下条件成立：

(i) 在定义域U及其邻域内，扩散矩阵$A\left(x\right)$ 的最小特征值非零。

(ii) 对任意的$x\in {ℝ}^l\backslash U$ 从x出发到达U的平均时间$\tau$ 是有限的，且对每个紧子集$K\subset {ℝ}^l$ 满足${\sup }_{x\in K}{E}^x\tau <\infty$ 。

那么马尔科夫过程$X\left(t\right)$ 有唯一的平稳分布$\pi (\cdot )$ 。

定理4.1.

假设

${\Re }_0^s:=\frac{\Lambda }{\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_2\alpha }{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \frac{1}{2}{\sigma }_3^2}\right)>1$

那么对任意的初值$\left(S\left(0\right),E\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^4$ ，系统(1.2)在${ℝ}_{+}^4$ 上存在一个唯一的平稳分布$\pi (\cdot )$ 。

证明 为了证明定理4.1，仅需要证明引理4.1的条件(i)和(ii)均成立即可。首先证明条件(i)。由模型(1.2)可知其扩散矩阵为

$M=\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2{S}^2& 0& 0& 0\\ 0& {\sigma }_2^2{E}^2& 0& 0\\ 0& 0& {\sigma }_3^2{I}^2& 0\\ 0& 0& 0& {\sigma }_4^2{R}^2\end{array}\right]$ .

显然，矩阵M对于${ℝ}_{+}^4$ 的任意紧子集都是正定的，因此引理4.1的条件(i)成立。

下面，将证明引理4.1的条件(ii)。定义

$V_1\left(S,E,I\right)=-\ln E\left(t\right)-c_1\ln I\left(t\right)-c_2\ln I\left(t\right)-c_3\ln I\left(t\right)$

其中$c_1,c_2,c_3$ 为待定正常数。使用Itô公式，得到

$\begin{array}{c}ℒV_1\left(S,E,I\right)=-{\beta }_{1}S-{\beta }_2\frac{SI}{E}-c_{1}k\frac{E}{I}+\left(k+\mu +\gamma \right)+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2+c_1\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+c_1\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\\ -\left(c_2+c_3\right)\left[\frac{\Lambda }{S}-\left(\mu +\alpha +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)\right]+\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)\\ \le -\sqrt{2c_2\Lambda {\beta }_1}-3\sqrt[3]{c_1{c}_3{\beta }_{2}k\Lambda }+\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)+c_1\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\right)\\ +\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)+\left(c_2+c_3\right)\left(\mu +\alpha +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)\end{array}$ (4.1)

令

$\begin{array}{l}{c}_1=\frac{{\beta }_2\alpha \Lambda }{{\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\right)}^2\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)},\\ c_2=\frac{{\beta }_1\Lambda }{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2},c_3=\frac{{\beta }_2\alpha \Lambda }{\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\right){\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}^2},\end{array}$

然后，将$c_1,c_2,c_3$ 代入到(4.1)，进一步得到

$\begin{array}{l}ℒV_1\left(S,E,I\right)\le \left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)-\frac{{\beta }_1\Lambda }{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2}-\frac{{\beta }_2\alpha \Lambda }{\left(\mu +{\mu }_1+\delta +\eta +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2\right)\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}\\ +\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)\\ =-\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\right)\end{array}$ (4.2)

其中

${\Re }_0^s=\frac{\Lambda }{\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left(\mu +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)}\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_2\alpha }{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta +\frac{1}{2}{\sigma }_3^2}\right)$ .

接下来，定义$V_2\left(S,E,I\right)=V_1\left(S,E,I\right)+\frac{{\beta }_1\left(c_2+c_3\right)I}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }$ ，根据(4.2)式，得到

$ℒV_2\left(S,E,I\right)\le -\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E$ (4.3)

定义$V_3\left(S,I,R\right)=-\ln S-\ln I-\ln R$ ,$V_4\left(S,E,I,R\right)=\frac{1}{\theta +1}{\left(S+E+I+R\right)}^{\theta +1}$ 其中$\theta$ 充分小且$0<\theta <\frac{2\mu }{{\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2}$ 。根据Itô公式，得到

$ℒV_3\left(S,I,R\right)=-\frac{\Lambda }{S}+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I-k\frac{E}{I}-\delta \frac{I}{R}+\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)$ (4.4)

且

$\begin{array}{l}ℒV_4\left(S,E,I,R\right)={\left(S+E+I+R\right)}^{\theta }\left[\Lambda -\mu S-\alpha S-\mu E-\gamma E-\mu I-{\mu }_{1}I-\eta R-\mu R\right]\\ +\frac{\theta }{2}{\left(S+E+I+R\right)}^{\theta -1}\left[{\sigma }_1^2{S}^2+{\sigma }_2^2{E}^2+{\sigma }_3^2{I}^2+{\sigma }_4^2{R}^2\right]\\ \le {\left(S+E+I+R\right)}^{\theta }\Lambda -\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]{\left(S+E+I+R\right)}^{\theta +1}\\ \le M-\frac{1}{2}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]{\left(S+E+I+R\right)}^{\theta +1}\\ \le M-\frac{1}{2}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\end{array}$ (4.5)

其中$M={\sup }_{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4}\left\{{\left(S+E+I+R\right)}^{\theta }\Lambda -\frac{1}{2}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]{\left(S+E+I+R\right)}^{\theta +1}\right\}<\infty$ 。

考虑${ℂ}^2$ -函数$\tilde{V}:{ℝ}_{+}^4\to ℝ$ ，$\tilde{V}\left(S,E,I,R\right)=K{V}_2\left(S,E,I\right)+V_3\left(S,I,R\right)+V_4\left(S,E,I,R\right)$ ，其中K是充分大的一个正常数且满足

$-K\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+C\le -2$ (4.6)

其中

$\begin{array}{l}C=\underset{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4}{\sup }\{-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I+M\\ +\left[3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta +\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\right]\}.\end{array}$ (4.7)

此外，由于$\tilde{V}\left(S,E,I,R\right)$ 在${ℝ}_{+}^4$ 上是连续的，并且当$\left(S,E,I,R\right)$ 趋向于0或$+\infty$ 时，均可得

$\tilde{V}\left(S,E,I,R\right)=+\infty .$

因此$\tilde{V}\left(S,E,I,R\right)$ 在${ℝ}_{+}^4$ 内部可以取到最小值，设最小值点为$\left(S^{\ast },E^{\ast },I^{\ast },R^{\ast }\right)$ 。

定义${ℂ}^2$ -函数$V:{ℝ}_{+}^4\to {ℝ}^{+}$ ，$V\left(S,E,I,R\right)=\tilde{V}\left(S,E,I,R\right)-\tilde{V}\left(S^{\ast },E^{\ast },I^{\ast },R^{\ast }\right)$ 。根据(4.3)，(4.4)和(4.5)，可以得到

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -K\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E\\ -\frac{\Lambda }{S}+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I-k\frac{E}{I}-\delta \frac{I}{R}+\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\\ +M-\frac{1}{2}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ \le -K\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E\\ -\frac{\Lambda }{S}-k\frac{E}{I}-\delta \frac{I}{R}-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ +{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I+M+\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\end{array}$ (4.8)

下面，证明引理4.1中的条件(2)成立，首先定义一个有界开域

$U_{\epsilon }=\left\{\epsilon <S<\frac{1}{\epsilon },\epsilon <E<\frac{1}{\epsilon },{\epsilon }^2<I<\frac{1}{{\epsilon }^2},{\epsilon }^2<R<\frac{1}{{\epsilon }^2}\right\}$ ,

其中$0<\epsilon <1$ 且充分小。在集合${ℝ}_{+}^4\backslash U_{\epsilon }$ 中，为了证明引理4.1中的条件(ii)成立，因此选择充分小的$\epsilon$ 使

得下式成立

$-\frac{\Lambda }{\epsilon }+D\le -1$ , (4.9)

$K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)\epsilon \le -1$ , (4.10)

$-\frac{k}{\epsilon }+D\le -1$ , (4.11)

$-\frac{\delta }{\epsilon }+D\le -1$ , (4.12)

$-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{\theta +1}}+D\le -1$ , (4.13)

$-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{2\theta +2}}+D\le -1$ , (4.14)

其中

$\begin{array}{l}D=\underset{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4}{\sup }\{-\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ +K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I+M\\ +\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\}.\end{array}$

将${ℝ}_{+}^4\backslash U_{\epsilon }\text{}$ 划分成8个区域，

$\begin{array}{l}{U}_1=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:S\le \epsilon \right\},\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}{U}_2=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:E\le \epsilon \right\},\\ U_3=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:E>\epsilon ,I\le {\epsilon }^2\right\},\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}{U}_4=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:E>\epsilon ,R\le {\epsilon }^2\right\},\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\\ U_5=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:S\ge \frac{1}{\epsilon }\right\},\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}{U}_6=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:E\ge \frac{1}{\epsilon }\right\},\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\\ U_7=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:S\ge \frac{1}{{\epsilon }^2}\right\},U_8=\left\{\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4:R\ge \frac{1}{{\epsilon }^2}\right\},\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\end{array}$

则${ℝ}_{+}^4\backslash U_{\epsilon }=U_1\cup U_2\cup U_3\cup U_4\cup U_5\cup U_6\cup U_7\cup U_8$ .下面证明对任意$\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4\backslash U_{\epsilon }$ 有$ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -1$ 成立，即证明在上述8个区域中，均有$ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -1$ 成立。

(1) 对任意的$\left(S,E,I,R\right)\in U_1$ ，根据(4.8)和(4.9)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -\frac{\Lambda }{S}-K\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\\ +M+\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\\ \le -\frac{\Lambda }{\epsilon }+D\\ \le -1.\end{array}$ (4.15)

(2) 对任意的$\left(S,E,I,R\right)\in U_2$ ，根据(4.6)，(4,7)，(4.8)和(4.10)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -K\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\\ +M+\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\\ \le -K\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E+C\\ \le -1.\end{array}$ (4.16)

(3) 对任意的$\left(S,E,I,R\right)\in U_3$ ，根据(4.8)和(4.11)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -k\frac{E}{I}-K\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\\ +M+\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\\ \le -\frac{k}{\epsilon }+D\\ \le -1.\end{array}$ (4.17)

(4) 对任意的$\left(S,E,I,R\right)\in U_4$ ，根据(4.8)和(4.12)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -\delta \frac{I}{R}-K\left(k+\mu +\gamma +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\right)\left({\Re }_0^s-1\right)+K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I\\ +M+\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\\ \le -\frac{\delta }{\epsilon }+D\\ \le -1.\end{array}$ (4.18)

(5) 对任意的$\left(S,E,I,R\right)\in U_5$ ，根据(4.8)和(4.13)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)+{\beta }_{1}E\\ +{\beta }_{2}I+M+\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)\\ +K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\\ \le -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{\theta +1}}+D\\ \le -1.\end{array}$ (4.19)

(6) 对任意的$\left(S,E,I,R\right)\in U_6$ ，根据(4.8)和(4.13)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(S^{\theta +1}+E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)+{\beta }_{1}E\\ +{\beta }_{2}I+M+\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)\\ +K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\\ \le -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{\theta +1}}+D\\ \le -1.\end{array}$ (4.20)

(7) 对任意的$\left(S,E,I,R\right)\in U_7$ ，根据(4.8)和(4.14)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -\frac{1}{4}\left[\left(\mu \wedge \eta \right)-\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\frac{1}{I^{\theta +1}}\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ +K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I+M\\ +\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\\ \le -\frac{1}{4}\left[\left(\mu \wedge \eta \right)-\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{2\theta +2}}+D\\ \le -1.\end{array}$ (4.21)

(8) 对任意的$\left(S,E,I,R\right)\in U_8$ ，根据(4.8)和(4.14)，有

$\begin{array}{l}ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -\frac{1}{4}\left[\left(\mu \wedge \eta \right)-\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\frac{1}{R^{\theta +1}}\\ -\frac{1}{4}\left[\mu -\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\left(E^{\theta +1}+I^{\theta +1}+R^{\theta +1}\right)\\ +K\left(c_2+c_3\right)\left({\beta }_1+\frac{{\beta }_{2}k}{\mu +{\mu }_1+\delta +\eta }\right)E+{\beta }_{1}E+{\beta }_{2}I+M\\ +\left(3\mu +\alpha +{\mu }_1+\delta +\eta \right)+\frac{1}{2}\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_3^2+{\sigma }_4^2\right)\\ \le -\frac{1}{4}\left[\left(\mu \wedge \eta \right)-\frac{\theta }{2}\left({\sigma }_1^2\vee {\sigma }_2^2\vee {\sigma }_3^2\vee {\sigma }_4^2\right)\right]\frac{1}{{\epsilon }^{2\theta +2}}+D\\ \le -1.\end{array}$ (4.22)

因此，根据(4.15)~(4.22)，对充分小的$\epsilon$ 使得当$\left(S,E,I,R\right)\in {ℝ}_{+}^4\backslash U_{\epsilon }$ 时，均有

$ℒV\left(S,E,I,R\right)\le -1.$

所以引理4.1的条件(ii)成立。根据引理4.1，系统(1.2)在${ℝ}_{+}^4$ 上存在唯一的平稳分布$\pi (\cdot )$ 。定理4.1证明完成。

5. 结论与展望

本文研究了一类具有无症状感染的随机SEIR传染病模型的平稳分布并通过构建合适的V函数证明了模型正解的存在唯一性。然后，利用Lyapunov方法建立了参数${\Re }_0^s$ ，并且证明了当${\Re }_0^s>1$ 时，模型的解在${ℝ}_{+}^4$ 上存在唯一一个的平稳分布。此外，通过确定性模型的基本再生数${\Re }_0$ 和随机性模型的${\Re }_0^s$ 之间的对比，可以发现${\sigma }_i\to 0\left(i=1,2,3,4\right)$ ，进一步，当${\sigma }_i\to 0\left(i=1,2,3,4\right)$ 时，${\Re }_0^s\to {\Re }_0$ ，这表明了当白噪声的随机扰动较小时，随机模型在${ℝ}_{+}^4$ 上存在唯一一个平稳分布，这一结果也是对Kamrujjaman等人[5]提出的确定型SEIR模型研究结论的一个扩展。最后，本文所研究的内容并不完整，有许多问题仍值得进一步讨论。例如，疾病灭绝的充分条件以及当用电报噪声或Levy噪声来模拟非连续性随机扰动时，随机性对疾病传播的影响。