导曲线分担超平面的正规定则

A Criterion of Normality That the Derived Curve Shares the Hyperplane

摘要: 本文利用正规族理论等相关知识，研究了导曲线分担处于一般位置的超平面的正规定则，得到了如下结果：设ℱ是一族从区域D⊂ℂ到ℙN(ℂ)的全纯曲线，Hl={x∈PN(C):〈x,αl〉=0}≠H0是ℙN(ℂ)中处于一般位置的超平面，其中αl=(αl0,αl1,⋯,αlN)T，l=1,2,⋯,2N+1，H0={x0=0}。如果对任意的f∈ℱ，满足：若∇f(z)∈Hl，则f(z)∈Hl；若f(z)∈∪l=12N+1Hl，那么|f(z),H0|||f(z)|⋅|H0||≥δ；若f(z)∈∪l=12N+1Hl，则|〈∇f(z),Hl〉||f0(z)|2≤1δ，其中0<δ<1是一个常数，则ℱ在D上正规。

Abstract: In this paper, using the normal family theory and other relevant knowledge, we study a criterion of normality that the derived curve shares the hyperplane in the general position, and get the following result: letℱbe a family of holomorphic maps of a domainD⊂ℂtoℙN(ℂ). LetHl={x∈PN(C):〈x,αl〉=0}≠H0be hyperplanes inℙN(ℂ)located in general position, whereαl=(αl0,αl1,⋯,αlN)T,l=1,2,⋯,2N+1,H0={x0=0}. Assume the following conditions holdfor everyf∈ℱ: if∇f(z)∈Hl, thenf(z)∈Hl; iff(z)∈∪l=12N+1Hl, then|〈f(z),H0〉|||f(z)|⋅|H0||≥δ; iff(z)∈∪l=12N+1Hlthen|〈∇f(z),Hl〉||f0(z)|2≤1δ, where0<δ<1is a constant. Thenℱis normal on D.

1. 问题的提出

Bloch原理是复分析中一个非常重要的发现，它揭示了正规族理论和值分布理论之间的深刻联系。这一原理由Andrey Bloch [1]提出，Bloch原理表明，如果一个亚纯函数具有某个性质P，使得它在整个复平面上是常数，那么在任何区域D上具有性质P的亚纯函数族都是正规的。这个原理的重要性在于，它提供了一种判断亚纯函数族正规性的方法。通过分析函数的性质，而不仅仅是函数族的结构，研究者可以更深入地了解函数族的正规性。

正规定则的研究是正规族理论的核心。在1975年，Zalcman [2]发现了亚纯函数族不正规的充分必要条件，这个发现为Bloch原理成立的性质提供了一个刻画，被称为Zalcman引理。Zalcman引理的提出是正规族理论发展史上的一个重要里程碑，它不仅为判断亚纯函数族的正规性提供了新的工具，而且为后续的研究指明了方向。

对于全纯曲线族的正规定则研究，杨刘、方彩云和庞学诚[3]做出了重要贡献。他们考虑了全纯曲线族与超平面之间的关系，并提出了如下定理来描述这种关系。

定理1 设$ℱ\subset \mathscr{H}\left(D;{\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)\right)$ 是从区域$D\subset ℂ$ 到${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线族，$H_1,H_2,\cdots ,H_p$ 是${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 上p个处于一般位置的超平面$\left(p\ge 2N+1\right)$ 。如果对于任意的$f,g\in ℱ$ ,有f与g在D上分担$H_j$ ，其中$j=1,2,\cdots ,p$ ，则有$ℱ$ 在D上正规。

2015年，叶亚盛、庞学诚和杨刘[4]引入导曲线$\nabla f$ ，考虑全纯曲线f与其导曲线$\nabla f$ “强分担”超平面的情形，证明了下面定理。

定理2 设$ℱ\subset \mathscr{H}\left(D;{\mathbb{P}}^N(ℂ)\right)$ 是一族从区域$D\subset ℂ$ 到${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线，$H_1,H_2,\cdots ,H_{2N+1}$ 是${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中的$2N+1$ 个处于一般位置的超平面，$\delta$ 是一个实数，$0<\delta <1$ 。若对于任意的$f\in ℱ$ ，满足下列条件：

(1) $f\left(z\right)$ 与$\nabla f\left(z\right)$ 在D上“强分担”$H_j$ ，其中$j=1,\cdots ,2N+1$ ；

(2) 若$f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{j=1}^{2N+1}{H}_j}$ ，那么$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\left|\left|f\left(z\right)\right|\cdot \left|H_0\right|\right|}\ge \delta$ ，其中$H_0=\left\{x_0=0\right\}$ 是一个坐标超平面。

则$ℱ$ 在D上正规。

这里的“强分担”意味着$f^{-1}\left(H\right)=\nabla f^{-1}\left(H\right)$ ，且满足$f^{-1}\left(H\right)=\nabla f^{-1}\left(H\right)$ 的点上有$f\left(z\right)=\nabla f\left(z\right)$ 。

刘晓俊、庞学诚和杨锦华[5]对于首项系数非零的超平面，将定理1中的“强分担”减弱为“分担”，得到了下面定理。

定理3 设$ℱ$ 是一族从区域$D\subset ℂ$ 到${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线，$H_j=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_j\rangle =0\right\}$ 是${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中处于一般位置的超平面，这里${\alpha }_j={\left(a_{j0},\cdots ,a_{jN}\right)}^{\text{T}}$ 且$a_{j0}\ne 0$ ，$j=1,\cdots ,2N+1$ 。若对于任意的$f\in ℱ$ ，满足下列两个条件：

(1) 若$f\left(z\right)\in H_j$ ，则$\nabla f\left(z\right)\in H_j$ ，其中$j=1,\cdots ,2N+1$ ；

(2) 若$f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{j=1}^{2N+1}{H}_j}$ ，那么$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\left|\left|f\left(z\right)\right|\cdot \left|H_0\right|\right|}\ge \delta$ ，其中$H_0=\left\{x_0=0\right\}$ ，$0<\delta <1$ 是一个常数。

则$ℱ$ 在D上正规。

去掉了超平面首项系数非零的限制，在$N=2$ 的情况下，刘晓俊与庞学诚[6]得到下面的定理。

定理4 设$ℱ$ 是一族从区域$D\subset ℂ$ 到${\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线，令$H_0=\left\{x_0=0\right\}$ ，$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0$ 是${\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right)$ 中处于一般位置的超平面，其中${\alpha }_l={\left(a_{l0},a_{l1},a_{l2}\right)}^{\text{T}}$ ，$l=1,\cdots ,5$ 。假设对任意的$f\in ℱ$ ，满足下列两个条件：

(1) $f\left(z\right)\in H_l$ 当且仅当$\nabla f\left(z\right)\in H_l$ ，其中$l=1,\cdots ,5$ ；

(2) 若$f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^5{H}_l}$ ，那么$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\left(z\right)\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$ ，其中$0<\delta <1$ 是一个常数。

则$ℱ$ 在D上正规。

随后，郑晓杰和刘晓俊[7]考虑了$N=3$ 的情形，在额外增加一个超平面的情况下，证明了如下定理：

定理5 设$ℱ$ 是一族从区域$D\subset ℂ$ 到${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线，令$H_0=\left\{x_0=0\right\}$ ，$H_l=\left\{x\in P^3\left(C\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0$ 是${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 中处于一般位置的超平面，其中${\alpha }_l={\left({\alpha }_{l0},{\alpha }_{l1},{\alpha }_{l2},{\alpha }_{l3}\right)}^{\text{T}}$ ，$l=1,2,\cdots ,8$ ，假设对任意的$f\in ℱ$ ，满足下列两个条件：

(1) $f\left(z\right)\in H_l$ 当且仅当$\nabla f\left(z\right)\in H_l$ ，其中$l=1,2,\cdots ,8$ ；

(2) 若$f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^8{H}_l}$ ，则$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\left(z\right)\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$ ，其中$0<\delta <1$ 是一个常数。

则$ℱ$ 在D上正规。

范楚君和刘晓俊[8]又考虑了当$N=3$ 时，分担处于t次一般位置的超平面的正规定则，对于$t=3,4,5$ 的情形，得到了如下定理。

定理6 设$ℱ$ 是一族从区域$D\subset ℂ$ 到${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线，令$H_0=\left\{x_0=0\right\}$ ，$H_l=\left\{x\in P^3\left(C\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0$ 是${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$ 中处于t次一般位置的超平面，其中${\alpha }_l={\left({\alpha }_{l0},{\alpha }_{l1},{\alpha }_{l2},{\alpha }_{l3}\right)}^{\text{T}}$ ，$l=1,2,\cdots ,2t+3$ ，如果对任意的$f\in ℱ$ ，满足下列两个条件：

(1) $f\left(z\right)\in H_l$ 当且仅当$\nabla f\left(z\right)\in H_l$ ，其中$l=1,2,\cdots ,2t+3$ ；

(2) 若$f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^{2t+3}{H}_l}$ ，则$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\left(z\right)\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$ ，其中$0<\delta <1$ 是一个常数。

则当$t=3,4,5$ 时，$ℱ$ 在D上正规。

本文继续研究上述相关问题，通过增加条件若$f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^{2N+1}{H}_l}$ ，则$\frac{\left|\langle \nabla f\left(z\right),H_l\rangle \right|}{{\left|f_0\left(z\right)\right|}^2}\le \frac{1}{\delta }$ ，降低了对面的

数量的需求，得到如下定理。

定理7 设$ℱ$ 是一族从区域$D\subset ℂ$ 到${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线，$H_l=\left\{x\in P^N\left(\text{C}\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0$ 是${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中处于一般位置的超平面，其中${\alpha }_l={\left({\alpha }_{l0},{\alpha }_{l1},\cdots ,{\alpha }_{lN}\right)}^{\text{T}}$ ，$l=1,2,\cdots ,2N+1$ ，$H_0=\left\{x_0=0\right\}$ 。如果对任意的$f\in ℱ$ ，满足：

(1) 若$\nabla f\left(z\right)\in H_l$ ，则$f\left(z\right)\in H_l$ ；

(2) 若$f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^{2N+1}{H}_l}$ ，那么$\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\left|\left|f\left(z\right)\right|\cdot \left|H_0\right|\right|}\ge \delta$ ；

(3) 若$f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^{2N+1}{H}_l}$ ，则$\frac{\left|\langle \nabla f\left(z\right),H_l\rangle \right|}{{\left|f_0\left(z\right)\right|}^2}\le \frac{1}{\delta }$ 。

其中$0<\delta <1$ 是一个常数。

则$ℱ$ 在D上正规。

2. 符号与定义

首先介绍N维复射影空间的相关概念，也就是复空间${ℂ}^N$ 的紧化。

在集合${ℂ}^{N+1}\backslash \left\{0\right\}$ 中引入关系~，对于其中任意两个元素$x=\left(x_0,x_1,\cdots ,x_N\right)$ ，$y=\left(y_0,y_1,\cdots ,y_N\right)$ ，规定$x~y$ 当且仅当存在$\lambda \in ℂ$ ，使得

$\left(x_0,x_1,\cdots ,x_N\right)=\lambda \left(y_0,y_1,\cdots ,y_N\right),$

记$\left(x_0,x_1,\cdots ,x_N\right)$ 的等价定义为$\left[x_0:x_1:\cdots :x_N\right]$ ，则有

$\left[x_0:x_1:\cdots :x_N\right]=\left[y_0,y_1,\cdots ,y_N\right],$

当且仅当存在$\lambda \in ℂ\backslash \left\{0\right\}$ ，使得$x_i=\lambda y_i\left(0\le i\le N\right)$ 。

记所有等价类的集合为${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ ，即

${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)=\left\{x=\left[x_0:x_1:\cdots :x_N\right]:x=\left(x_0,x_1,\cdots ,x_N\right)\in {ℂ}^{N+1}\backslash \left\{0\right\}\right\},$

如此便在${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 上定义了一个复结构，则${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 为N维复流形，称为N维复射影空间，我们仍把它记为${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 。

根据全纯映射的定义有：

命题1 设D为${ℂ}^m$ 中的一个区域，映射$f=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right):D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ ，如果此映射的任意分量$f_i,0\le i\le N$ 在D内全纯，则f全纯。

定义1 设$U\subset D$ 为开集，若满足

(1) $f_0,f_1,\cdots ,f_N$ 均为U上的全纯函数；

(2) 在U上有映射

$\Pi \left(\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right)-\left\{0\right\}\right)=\left[f_0,f_1,\cdots ,f_N\right];$

那么可以把映射$\tilde{f}=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right):U\to {ℂ}^{N+1}$ 称为f在U上的表示。

如果还满足

(3) $f_0,f_1,\cdots ,f_N$ 在U上无公共零点。

则把$\tilde{f}=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right)$ 称为f在U上的既约表示。

注1 既约表示并不唯一，且满足如下关系

设$\tilde{f}=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right)$ 为f在U上的既约表示；

(1) 对于U中任意不取0的全纯函数h，$h\tilde{f}=\left(h{f}_0,h{f}_1,\cdots ,h{f}_N\right)$ 也是f在U上的既约表示；

(2) 反之，如果$\tilde{g}=\left(g_0,g_1,\cdots ,g_N\right)$ 为f在U上的既约表示，那么U中一定存在一个不取0的全纯函数h，使得$g_i=h{f}_i,0\le i\le N$ 。

对于$\forall a\in D$ ，由f全纯可知，存在a的一个邻域U，满足$f\left(U\right)$ 含于${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的开子集$U_k$ 中，则f在U上有既约表示

$\tilde{f}=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{k-1},1,f_{k+1},\cdots ,f_N\right),$

也就是说f在D上每个点附近都有既约表示，相应的，我们有命题2。

命题2 每个全纯映射$f:D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 都有整体既约表示。如此，后边可以直接设$f=\left[f_0,f_1,\cdots ,f_N\right]:D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 是全纯映射。

对全纯曲线f的每个既约表示$\tilde{f}$ ，定义全纯函数

$\langle f\left(z\right),H\rangle =\langle \tilde{f},\alpha \rangle ={\displaystyle \sum _{i=0}^N{a}_i{f}_i}\left(z\right),$

再取

$\Vert \tilde{f}\left(z\right)\Vert ={\left\{{\displaystyle \sum }_{i=1}^N{\left|f_i\left(z\right)\right|}^2\right\}}^{1/2}.$

定义2 设$f=\left[f_0:f_1:\cdots :f_N\right]:D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 是一条全纯曲线，$z\in D$ ，$\tilde{f}$ 是f在z处的任意一个即约表示，记

$f^{\#}=\frac{\left|f\wedge f^{\prime }\right|}{{\Vert f\Vert }^2}=\frac{\sqrt{{{\displaystyle \sum }}_{0\le i\le j\le N}{\left|f_i{f^{\prime }}_j-f_j{f^{\prime }}_i\right|}^2}}{{{\displaystyle \sum }}_{i=0}^N{\left|f_i\right|}^2}$

为f在z处的Fubini-Study导数，简记为F-S导数，其中${\tilde{f}}^{\prime }=\left({{\tilde{f}}^{\prime }}_0,{{\tilde{f}}^{\prime }}_1,\cdots ,{{\tilde{f}}^{\prime }}_N\right).$

注2特别的，当$N=1$ 时，$f=f_1/f_0=\left[f_0:f_1\right]:D\to {\mathbb{P}}^1\left(ℂ\right)$ 为亚纯函数，则有

$f^{\text{\#}}=\frac{\left|{f^{\prime }}_1{f}_0-{f^{\prime }}_0{f}_1\right|}{{\left|f_0\right|}^2+{\left|f_1\right|}^2}=\frac{\left|f^{\prime }\right|}{1+{\left|f\right|}^2},$

也就是球面导数。

设$H=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,\alpha \rangle =0\right\}$ 为一个超平面，记$\Vert H\Vert =\Vert \alpha \Vert ={\max }_{0\le i\le N}\left|a_i\right|$ 。在本文中，我们只考虑$\Vert H\Vert =1$ 的标准化超平面。

定义3：设$f=\left[f_0:f_1:\cdots :f_N\right]:D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 是一条全纯曲线，$\tilde{f}$ 是f在z处的任意一个即约表示，若

${\rho }_f=\underset{r\to +\infty }{\lim }\frac{\log T_f\left(r\right)}{\log r}<+\infty$

其中，$T_f\left(r\right)={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\log \Vert \tilde{f}\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\Vert \frac{\text{d}\theta }{2\pi }}-\log \Vert \tilde{f}\left(0\right)\Vert$为f的特征函数，则称f为有穷级的。

设$H_1,H_2,\cdots ,H_q$ 为${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中的超平面，则：

$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =a_{l0}{x}_0+a_{l1}{x}_1+\cdots +a_{lN}{x}_N=0\right\}$ ，其中${\alpha }_l={\left(a_{l0},a_{l1},\cdots ,a_{lN}\right)}^{\text{T}}$ 是模为1的法向量，$l=1,2,\cdots ,q$ 。

根据文献[9]有下面关于次一般位置的定义。

定义4 设$N,t,q$ 均为正整数，且有$t\ge N$ ，$q\ge 2t-N+1$ ，若对任意集合$P\subseteq \left\{1,2,3,\cdots ,q\right\}$ ，$\text{\#}P=t+1$ ，存在单射$\mu :\left\{1,2,3,\cdots ,N\right\}\to P$ ，使得$H_{\mu \left(0\right)},H_{\mu \left(1\right)},\cdots ,H_{\mu \left(N\right)}$ 处于一般位置，则称$H_1,H_2,\cdots ,H_q\subseteq {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 处于

t次一般位置。

根据文献[10]对于超曲面的次一般位置，有下面定义：

定义5 设$M\subseteq {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 是一个非空闭子集，t为正整数，$Q_1,Q_2,\cdots ,Q_q$ 是${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中q个超平面，$q\ge t+1$ ，如果对任意的$\left\{i_0,i_1,\cdots ,i_t\right\}\subseteq \left\{1,2,3,\cdots ,q\right\}$ ，有

$M\cap \left({\displaystyle {\cap }_{j=i_0}^{i_t}{Q}_j}\right)=\varnothing$

则称他们关于M处于t次一般位置，当$M={\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ ，即超曲面关于${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 处于t次一般位置。

特别地，当$t=N$ 时，称为处于一般位置。

下面我们回顾Wronskian行列式的相关概念。

定义6 设$f_1,f_2,\cdots ,f_k$ 是区域D上一组亚纯函数，定义它们的Wronskian行列式如下

$\left|\begin{array}{cccc}{f}_1& f_2& \cdots & f_k\\ {f^{\prime }}_1& {f^{\prime }}_2& \cdots & {f^{\prime }}_k\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_1^{\left(k-1\right)}& f_2^{\left(k-1\right)}& \cdots & f_k^{\left(k-1\right)}\end{array}\right|,$

记作$W\left(f_1,f_2,\cdots ,f_k\right)$ , 不引起误会时，记为W。

显然$W=W\left(f_1,f_2,\cdots ,f_k\right)$ 是D上的亚纯函数。

最后，根据文献[4]中导曲线的定义，有如下定义：

定义7 设f是从区域D到${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的全纯曲线，$\tilde{f}=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right)$ 是f在D上满足$f_{\mu }\left(z\right)\cancel{\equiv }0$ 的即约表示，$\mu =1,2,3,\cdots ,N$ ，则称

${\nabla }_{\mu }f\left(z\right)=\left[\frac{W\left(f_{\mu },f_0\right)}{d}:\cdots :\frac{W\left(f_{\mu },f_{\mu -1}\right)}{d}:\frac{f_{\mu }^2}{d}:\frac{W\left(f_{\mu },f_{\mu +1}\right)}{d}:\cdots :\frac{W\left(f_{\mu },f_N\right)}{d}\right]$

为f关于第$\mu$ 个分量的全纯导曲线，其中$d\left(z\right)$ 为全纯函数，使得$\frac{f_{\mu }^2}{d}$ 与$\frac{W\left(f_{\mu },f_i\right)}{d}$ 没有公共零点，$i=1,2,3,\cdots ,\mu -1,\mu +1,\cdots ,N$ 。

简单起见，将${\nabla }_{0}f$ 记为$\nabla f$ ，显然有${\nabla }_{\mu }f$ 的定义与f的既约表示的选取无关。

3. 主要引理及其证明

从比较直观的角度讲，函数族的不正规，其实就是在局部较小的定义区域上，族中函数的象的变化幅度过大。因此，可以设法把它的定义区域“摊平”，使它的象的变化幅度一致的较小，这就是Zalcman借助Marty定则证明函数族不正规的方法，即Zalcman引理。Zalcman引理在正规族理论中有举足轻重的地位，也在本文正规性的证明中起着核心作用。

首先，我们给出从区域${ℂ}^m$ 到${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 上的全纯映射族的Zalcman引理的推广，此引理也是我们证明的核心。

引理1 [11]设$ℱ$ 是一族从双曲区域$\Omega \subseteq {ℂ}^m$ 映到${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的全纯映射。若$ℱ$ 在Ω上不正规，则存在子列$\left\{f_n\right\}\subset ℱ$ ，点列$\left\{z_n\right\}\subset \Omega$ 满足$z_n\to z_0\in \Omega$ ，正数列$\left\{{\rho }_n\right\}$ 满足${\rho }_n\to 0^{+}$ ，使得

$g_n\left(\xi \right):=f_n\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)$

在${ℂ}^m$ 上内闭一致收敛于从${ℂ}^m$ 映到${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的非常值全纯映射$g\left(\xi \right)$ 。

在主要定理的证明过程中，还需要如下形式的Hurwitz引理。

引理2 (Hurwitz 引理) [5]设$\left\{f_n\left(z\right)\right\}$ 是定义在区域$D\subseteq ℂ$ 内的一列全纯函数，$a\in ℂ$ 是任意一个复数，且设$\left\{f_n\left(z\right)\right\}$ 在D的任意一个紧子集上一致收敛于非常值的全纯函数$f\left(z\right)$ 。若存在点$z_0\in D$ ，使得$f\left(z_0\right)=a$ ，则对于每一个充分大的n，方程$f_n\left(z\right)=a$ 在D内有根。此外，存在$z_0$ 的某邻域U，使得$f\left(z\right)-a$ 在U内根的总数与在$f_n\left(z\right)-a$ 内根的总数相同(计重数)。

证明 由于$f\left(z\right)$ 非常值且$f\left(z_0\right)=a$ ，根据零点孤立性，存在${\delta }_0>0$ ，使得对任意$\delta$ ，$0<\delta <{\delta }_0$ ，以及任意z，有$0<\left|z-z_0\right|\le \delta$ ，$f\left(z\right)-a\ne 0$ 。

再令$m={\min }_{\left|z-z_0\right|=\delta }\left|f\left(z\right)-a\right|>0$ ，显然$f_n\left(z\right)$ 在$\left\{z:\left|z-z_0\right|=\delta \right\}$ 上一致收敛到$f\left(z\right)$ 。则存在整数$N>0$ ，使得对于任意$n>N$ ，$z\in \left\{z:\left|z-z_0\right|=\delta \right\}$

$\left|f_n\left(z\right)-f\left(z\right)\right|<m\text{.}$

则对上述，

$\left|f_n\left(z\right)-f\left(z\right)\right|<\left|f\left(z\right)-a\right|,$

则$f\left(z\right)-a$ 在$U=\left\{z:\left|z-z_0\right|<\delta \right\}$ 内的零点数与

$f_n\left(z\right)-f\left(z\right)+f\left(z\right)-a=f_n\left(z\right)-a,$

在U内零点数相同，证毕。

引理3 (Picard 型定理) [12]设$f:ℂ\to X$ 是一条全纯曲线，其中X是${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中的一个闭子集。再设$Q_1,Q_2,\cdots ,Q_{2t+1}$ 是${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中的超曲面，关于X处于t次一般位置。若f不取$Q_i$ ，即$\langle f,Q_i\rangle \ne 0$ ，$i=1,2,\cdots ,2t+1$ ，则f必为常值曲线。

为了方便利用上述引理辅助证明，得到了如下推论。

引理4 [10]设$f:ℂ\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 是一条全纯曲线，$H_1,H_2,\cdots ,H_q$ 均是${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中处于t次一般位置的超平面，其中$q\ge 2t+1$ ，$t\ge N$ ，若对每个$i=1,2,3,\cdots ,q$ ，f不取$H_i$ ，或者$f\left(ℂ\right)\subseteq H_i$ ，则f必为常值曲线。

引理5 [6]设$g=\left[g_0,g_1,\cdots ,g_N\right]:ℂ\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 是有穷级的全纯曲线，$g_0\left(\zeta \right)\cancel{\equiv }0$ ，$N\ge 2$ 为整数。$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}$ 是${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 中处于一般位置的超平面，且其第一系数$a_{l_0}$ 均不为零，$l=0,1,\cdots ,N+1$ 。$\tilde{g}=\left(g_0,g_1,\cdots ,g_N\right)\left(\zeta \right)$ 是g的任意即约表示，令

$G_l\left(\zeta \right)=a_{l_0}+{\displaystyle \sum _{i=1}^N{a}_{l_i}}\frac{g_i\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)},l=0,1,\cdots ,N+1$

若$G_l\left(\zeta \right)\ne 0$ ，且${G^{\prime }}_l\left(\zeta \right)\ne 0$ ，$\zeta \in ℂ$ 则g是线性退化的。

4. 定理的证明

首先假设$ℱ$ 在D上不正规，则由引理1可得，存在点列$\left\{z_n\right\}\subset D$ 满足$z_n\to z_0\in D$ ，全纯曲线列$\left\{f_n\right\}\subset ℱ$ ，正数列$\left\{{\rho }_n\right\}$ 满足${\rho }_n\to 0^{+}$ ，使得

$g_n\left(\zeta \right):=f_n\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right)\Rightarrow g\left(\zeta \right)$

其中，g是从$ℂ$ 到${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ 的有穷级的非常值全纯曲线。

由引理4及g非常值知，存在某个$i\in \left\{1,2,3\cdots ,2N+1\right\}$ ，不失一般性，假定$i=1$ ，以及某个${\zeta }_0\in ℂ$ ，$\langle g,H_1\rangle \left({\zeta }_0\right)=0$ ，但$\langle g,H_1\rangle \left(\zeta \right)\cancel{\equiv }0$ 。

由命题知，存在${\zeta }_0$ 的邻域$U_0$ ，及$g_n$ 在此邻域上的一个即约表示

$\begin{array}{c}{g}_n\left(\zeta \right)=\left(g_{n0},g_{n1},\cdots ,g_{nN}\right)\left(\zeta \right)\\ =\left(f_{n0}\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right),\cdots ,f_{nN}\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right)\right)\end{array}$

g在$ℂ$ 上的某个既约表示

$g\left(\zeta \right)=\left(g_0,g_1,\cdots ,g_N\right)\left(\zeta \right)$

使得${\left\{g_{ni}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 在$U_0$ 上一致收敛到$g_i\left(1\le i\le N\right)$ 。则有${\displaystyle {\sum }_{i=0}^N{a}_i^1{g}_{n_i}\left(\zeta \right)}$ 在$U_0$ 上一致收敛到${\displaystyle {\sum }_{i=0}^N{a}_i^1{g}_i\left(\zeta \right)}$ 。由Hurwitz定理，存在${\left\{{\zeta }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\subset U_0$ ，使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\zeta }_n={\zeta }_0$

且当n充分大时有，

${\displaystyle {\sum }_{i=0}^N{a}_i^1{g}_{n_i}\left({\zeta }_n\right)}=0$

即

${\displaystyle {\sum }_{i=0}^N{a}_i^1{f}_{ni}\left(z_n+{\rho }_n{\zeta }_n\right)}=0$

由上式以及定理条件(2)有，

$\left|g_{n0}\left({\zeta }_n\right)\right|\ge \delta \Vert g_n\left({\zeta }_n\right)\Vert$

令$n\to \infty$ ，有

$\left|g_0\left({\zeta }_0\right)\right|\ge \delta \Vert g\left({\zeta }_0\right)\Vert >0$

因此$g_0\left({\zeta }_0\right)\ne 0$ 。

适当缩小$U_0$ ，当n充分大时有$g_{n0}\left(\zeta \right)\ne 0$ ，故

$\left(g_{n0}^2\left(\zeta \right),W\left(g_{n0},g_{n1}\right)\left(\zeta \right),\cdots ,W\left(g_{n0},g_{nN}\right)\left(\zeta \right)\right)$

为$\nabla g_n\left(\zeta \right)$ 在$U_0$ 上的一个即约表示，注意到对$i=0,1,2,\cdots ,N$

${g^{\prime }}_{ni}\left(\zeta \right):={\rho }_n{f^{\prime }}_{ni}\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right)$

由上式以及定理条件(3)有如下不等式，

$\left|a_0^k+{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\frac{W\left(g_{n0},g_{ni}\right)\left({\zeta }_n\right)}{{\rho }_n{g}_{n0}^2\left({\zeta }_n\right)}}\right|\le \frac{1}{\delta }$

从而对$k=2,3,\cdots ,2N+1$ 有

$\left|{\rho }_n{a}_0^k+{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\frac{W\left(g_{n0},g_{ni}\right)\left({\zeta }_n\right)}{g_{n0}^2\left({\zeta }_n\right)}}\right|\le \frac{{\rho }_n}{\delta }$

令

${\phi }_k\left(\zeta \right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{a}_i^k}\frac{W\left(g_0,g_i\right)\left(\zeta \right)}{g_0^2\left({\zeta }_n\right)},\zeta \in U_0$

令$n\to \infty$ ，有

${\phi }_k\left({\zeta }_0\right)=0,k=2,3,\cdots ,2N+1$

断言：在$U_0$ 上的全纯函数${\phi }_2,{\phi }_3,\cdots ,{\phi }_{2N+1}$ 中，至多存在N个恒为0，

否则，不失一般性，我们设

${\phi }_2\left(\zeta \right)\equiv {\phi }_3\left(\zeta \right)\equiv \cdots \equiv {\phi }_{N+2}\left(\zeta \right)\equiv 0$

由于

${\phi }_j\left(\zeta \right)={\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i^j}\frac{g_i}{g_0}\right)}^{\prime }\equiv 0$

存在常数$c_j\left(j=2,3,\cdots ,N+2\right)$ 有

${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i^j\frac{g_i}{g_0}}\equiv c_j$

由超平面处于一般位置知，线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_1^2{x}_1+a_2^2{x}_2+\cdots +a_N^2{x}_N=c_2\\ a_1^3{x}_1+a_2^3{x}_2+\cdots +a_N^3{x}_N=c_3\\ ⋮\\ a_1^{N+2}{x}_1+a_2^{N+2}{x}_2+\cdots +a_N^{N+2}{x}_N=c_{N+2}\end{array}$

要么无解，要么有唯一解。因此由线性方程组，g为常映射，矛盾，故断言得证。

由断言，我们有

${\phi }_k\left(\zeta \right)\cancel{\equiv }0,k=2,3,\cdots ,N+1$

因为对每个k都有

${\rho }_n{a}_0^k+{\rho }_n{\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i^k}\frac{W\left(f_{n0},f_{ni}\right)}{f_{n0}^2}\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right)$

在$U_0$ 上一致收敛于${\phi }_k\left(\zeta \right)$ 。

然后根据Hurwitz定理，存在${\zeta }_n^{*}\to {\zeta }_0$ ，使得

$\langle f_n\left(z_n+{\rho }_n{\zeta }_n^{*}\right),H_k\rangle =0$

令$n\to \infty$ ，有

$\langle g\left({\zeta }_0\right),H_k\rangle =0$

这与超平面处于一般位置矛盾。因此$ℱ$ 在D上正规，证毕。

5. 小结

本文深入探讨了分担超平面的全纯曲线族的正规定则问题，通过结合值分布理论和正规族理论，取得了一定的研究成果，本文从前人的证明中得到灵感，通过增加一个条件，进一步限制了全纯曲线族，得到了一个一般性结论，对所有${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$ ，均只需$2N+1$ 个超平面，即可得到$ℱ$ 在D上正规。

尽管本文在全纯曲线族的正规性研究方面取得了一定的进展，但仍存在一些值得进一步探讨的问题和可能的研究方向。下面是文梳理的比较有价值的正规性课题。

众所周知，超平面就是一种特殊的子流形，可以很自然地想到，如果把超平面换成更一般的除子的话，相应的正规性问题会是怎样的。通过对比可以发现，二者有很多相似之处，从基本概念、分担条件到对于映射的要求等等。实际上，分担超平面的课题和分担一般除子的课题确实有很多相似之处。在学习和研究分担一般除子的正规性问题时，这种相似性允许我们把超平面的定理当作一种特殊情况，这或许对未来的研究有帮助。

正规族理论还有很多推广与深化的空间，本文的研究成果可以推广到移动超平面上，这个问题和分担超平面的正规定则有很多相通的地方，在这方面也已经有了一些研究，但是那些研究多集中在${\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right)$ 上，亦或是对超平面的要求过高，例如要求强分担等等。

另外本文结论是否可以推广到亚纯映射族上，也是值得进一步研究的问题。关于这方面的结论也有一些经典结果，但是大都限制过多，在减弱限制条件，同时增加超平面个数的情况下，应该会有更多的结果。

总的来说，更一般的正规定则依然有广阔的研究空间，有很多不同方向的有价值的课题，依然值得我们去深入探讨。并且已经有很多学者将经典的值分布理论同相关学科知识结合起来，并取得了丰硕的成果，这激励着我们对于正规性理论及相关交叉方向的进一步研究。通过对上述问题的深入研究，不仅可以推动复分析领域的发展，也可能为相关数学分支和实际应用领域带来新的启示和进步。