基于余能原理基面力元法的轻骨料混凝土骨料均匀性分析

Analysis of Aggregate Uniformity of Lightweight Aggregate Concrete Based on the Complementary Energy Principle and Base Force Element Method

摘要: 本文提出一种轻骨料混凝土骨料均匀度评价方法及相应的评价指标，并运用余能原理基面力元法建立轻骨料混凝土模型并进行细观损伤分析，同时探究轻骨料混凝土中骨料分散均匀性对轻骨料混凝土性能的影响。得到的结论为：基于余能原理基面力元法的轻骨料混凝土模型能够很好的进行轻骨料混凝土试件静态单轴受压以及受拉的模拟计算，同时清晰的展现了轻骨料混凝土试件加载后的损伤破坏过程。轻骨料混凝土试件轴心受压承载力受轻骨料分布均匀性影响较为明显，且均匀性指标值在1.6左右时，试件力学性能较好，当均匀性指标低于1.4时，轻骨料混凝土试件由于强度较弱的轻骨料相分散性较好试件整体的力学性能较差，而当大于1.6时随着数值增大试件中出现较多骨料聚集存在较多薄弱区域，试件的整体性能也在降低，同时轻骨料混凝土试件受压承载性能会随水灰比的增高明显降低。

Abstract: In this paper, an evaluation method of aggregate uniformity of lightweight aggregate concrete soil and corresponding evaluation indexes are proposed, and a model of lightweight aggregate concrete is established by using the residual energy principle based surface force element method to conduct mesoscopic damage analysis, and the influence of aggregate dispersion uniformity on the performance of lightweight aggregate concrete is explored. The conclusion is that the light aggregate concrete model based on the fundamental surface force element method of the complementary energy principle can well simulate the static uniaxial compression and tension of light aggregate concrete specimens, and clearly show the damage and failure process of light aggregate concrete specimens after loading. The axial compression capacity of light aggregate concrete specimens is significantly affected by the uniformity of distribution of light aggregate, and when the uniformity index value is about 1.6, the mechanical properties of the specimens are better; when the uniformity index is lower than 1.4, the mechanical properties of the specimens as a whole are worse because the light aggregate with weak strength has better phase dispersion. When the value is greater than 1.6, there are more weak areas of aggregate aggregation in the specimen, and the overall performance of the specimen is also decreased with the increase of the value. Meanwhile, the compression bearing performance of the light aggregate concrete specimen decreases significantly with the increase of the water-cement ratio.

1. 引言

轻骨料混凝土工程建筑领域一种常用的绿色节能建筑材料，轻骨料混凝土均有轻质、高强、保温和耐火性能优异等诸多优点其在工程领域的发展和应用也一直备受关注。轻骨料混凝土的力学性能和破坏机理问题是工程界关心的热点课题，其细观结构与宏观力学性能的关系问题，也是学术界的前沿研究课题。

2. 余能原理基面力单元法

2.1. 研究现状

根据能量原理，有限元方法可以分为基于势能原理的有限元方法及基于余能原理的有限元方法，分别对应于结构力学的位移法及力法。在余能有限元方法中，构造满足单元内及单元边界上的应力插值函数比较困难，且根据柔度矩阵计算单元节点位移时难度较大。因此，上述数值模拟工作，基本采用通用有限元软件建立混凝土细观数值模型，通过势能常规有限元方法研究相关因素对混凝土力学性能的影响规律。

2003年，高玉臣院士[1]提出了描述一点应力状态的新概念“基面力”，建立了应力平衡元及位移协调元两种本构关系。无论是小变形问题还是大变形问题，在余能原理的基面力理论中其泛函数的形式的一致的。根据极分解定理，位移对随体坐标的导数可以由基面力位移表示，即，基于基面力的余能原理是一个纯余能原理。2006年，基于该概念，彭一江教授[2]提出了一种新型的有限元方法——“基面力元法”，并给出基于势能原理的单元刚度矩阵表达式[3]及余能原理的单元柔度矩阵表达式[4]。本文采用基于余能原理的基面力单元法来对轻骨料混凝土进行静态单轴压缩以及拉伸加载模拟，并探究轻骨料混凝土试件的损伤破坏规律以及中骨料分布均匀性对轻骨料混凝土试件力学性能的影响。

2.2. 单元柔度矩阵

余能原理基面力单元法的关键在于其单元柔度矩阵的表达[5]，以平面四节点单元为例，其单元柔度矩阵推导如下(图1)。

Figure 1. Planar four-node element

图1. 平面四节点单元

平面四节点单元如图1，平面单元的余能[6]为

$W_C^e=\frac{1+\upsilon }{2EA}\left[\overline{\sigma }:\overline{\sigma }-\frac{\upsilon }{1+\upsilon }{\left(\sigma :U\right)}^2\right]$ (1)

式中，E为弹性模量；υ为泊松比；U为单位张量；A为单元面积。

由$U=R_I\otimes R^I$ ，得到单元余能表达式为

$W_C^e=\frac{1+\upsilon }{2EA}\left[\left(T^I\cdot T^J\right)r_{IJ}-\frac{\upsilon }{1+\upsilon }{\left(T^I\cdot R_I\right)}^2\right]\left(I,J=1,2,3,4\right)$ (2)

式中，I、J分别表示单元的第I边与第J边；r_IJ表示R_I和R_J的点积。

$T^J$ 相应的广义位移为

${\delta }_I=\frac{\partial W_C^e}{\partial T^I}=C_{IJ}\cdot T^J$ (3)

式中，C_IJ为单元柔度矩阵的显式表达式，即

$C_{IJ}=\frac{1+\upsilon }{EA}\left[r_{IJ}U-\frac{\upsilon }{1+\upsilon }\left(R_I\otimes R_J\right)\right]\left(I,J=1,2,3,4\right)$ (4)

式中，U为单位张量，对于直角坐标系，表达式为

$U=e_1\otimes e_1+e_2\otimes e_2$ (5)

则得到单元柔度矩阵C_IJ的展开式为

$\begin{array}{c}{C}_{IJ}=\frac{1+\upsilon }{EA}[\left(\frac{1}{1+\upsilon }{R}_{I1}{R}_{J1}+R_{I2}{R}_{J2}\right)e_1\otimes e_1-\frac{\upsilon }{1+\upsilon }{R}_{I1}{R}_{J2}{e}_1\otimes e_2\\ -\frac{\upsilon }{1+\upsilon }{R}_{I2}{R}_{J1}{e}_2\otimes e_1+\left(R_{I1}{R}_{J1}+\frac{1}{1+\upsilon }{R}_{I2}{R}_{J2}\right)e_2\otimes e_2]\end{array}$ (6)

简化表达为

$C_{IJ}=C_{I1J1}{e}_1\otimes e_1+C_{I1J2}{e}_1\otimes e_2+C_{I2J1}{e}_2\otimes e_1+C_{I2J2}{e}_2\otimes e_2$ (7)

单元柔度矩阵的矩阵形式为

$C_{IJ}=\frac{1}{EA}\left[\begin{array}{cc}{R}_{I1}{R}_{J1}+\left(1+\upsilon \right)R_{I2}{R}_{J2}& -\upsilon R_{I1}{R}_{J2}\\ -\upsilon R_{I2}{R}_{J1}& \left(1+\upsilon \right)R_{I1}{R}_{J1}+R_{I2}{R}_{J2}\end{array}\right]\left(I,J=1,2,3,4\right)$ (8)

式(8)为平面应力问题的表达式，对于平面应变问题，用$\frac{E}{1-{\upsilon }^2}$ 代替E，$\frac{\upsilon }{1-\upsilon }$ 代替即可。

3. 轻骨料混凝土模型

采用蒙特卡罗法，运用Fortran编制的随机自动投放骨料程序，将骨料随机投放在数值试件模型的不同位置，建立随机分布的轻骨料混凝土的骨料模型。采用四边形均匀网格对轻骨料混凝土进行剖分，然后将有限元网格投影到已生成的随机骨料分布模型上有限元网格投影后，通过判断单元结点的相对位置来确定其单元类型。

3.1. 骨料投放及网格剖分

本研究采用了蒙特卡罗法进行轻骨料的投放并对已投放骨料是否发生碰撞进行判别，当发生骨料碰撞后则重新对该骨料进行投放直至所有轻骨料完成投放得到二维的轻骨料混凝土试件。细观模型中主要分为三个部分，砂浆、骨料以及两者之间的粘结界面。轻骨料混凝土的网格模型如图2。完成骨料投放后，对试件进行均匀的四边形网格剖分，通过输入分割步长值，结合试件尺寸形成分布均匀的结点，连结各个结点形成均匀四边形网格再将网格投影到轻骨料混凝土模型中，对各个单元属性进行判断。当单元的所有节点均落在轻骨料区域时，此单元为轻骨料单位；当所有节点均落在砂浆区域时，此单元为砂浆单元；当有部分结点在骨料区，而其余点落于砂浆区时，则该单元称为粘结带单元。并按照不同的单位形式，分别对不同单位赋予了弹性模量、泊松比和抗拉强度等单元属性。

Figure 2. Quadrilateral mesh model of LWAC

图2. 轻骨料混凝土四边形均匀网格模型

3.2. 加载模型

本次数值模拟采用的试件为100 mm × 100 mm × 100 mm的立方体试件，计算时简化为二维试件，截面尺寸为100 mm × 100 mm，网格采用四边形均匀网格，边长为1 mm，加载时对底部边缘节点全部中心结点进行水平及竖向两个方向的位移约束，沿竖直方向进行逐级静态位移加载，轴向压缩加载时，每一个加载步的位移值Δu = 0.01 mm，加载模型如图3。轴向拉伸加载时对底部边缘节点全部中心结点进行水平及竖向两个方向的位移约束，沿竖直方向进行逐级静态位移加载，每一个加载步的位移值Δu = 0.005 mm，加载模型如图4。

Figure 3. Loading model of uniaxial compression

图3. 单轴压缩加载模型

Figure 4. Loading model of uniaxial tensile

图4. 单轴拉伸加载模型

4. 骨料均匀性

建立轻骨料混凝土骨料分布均匀性的评价指标，定量化描述轻骨料混凝土中骨料分布情况，并为之后探究骨料分布均匀性对轻骨料混凝土宏观力学性能及破坏机理提供理论基础。由于轻骨料混凝土中骨料相较于砂浆更轻在混凝土初凝至终凝的过程中易发生分层离析现象[7]，建立轻骨料混凝土骨料均匀性评价标准有助于对轻骨料混凝土最终的凝固情况做指标性的把控以及对控制轻骨料混凝土骨料分布均匀方法的探究开展。本文参考文献[8]建立骨料分布均匀性指标并利用MATLAB编写的评价指标计算程序计算出模拟投放试件的骨料分布情况。对于轻骨料混凝土，从细观尺度来看由砂浆、轻骨料以及两者之间的界面单元构成，且在此之中轻骨料部分为较为薄弱部分，且现有分析很少有针对轻骨料混凝土中骨料分布均匀性进行深入研究，轻骨料混凝土的分层离析问题也很少有定量性探究其对轻骨料混凝土试件力学性能的具体影响。已有的混凝土骨料分布均匀性方法存在过程繁琐、随机性大、缺乏明确指标等问题，且基于试验分析、数字图像处理，超声波检测等方法间接获取样本较大程度依赖设备精度而采用数值模拟以随机投放生成试件的方法可以模拟骨料分布的特征，直接获得不同粒径轻骨料的分布，同时该方法具有较高的可拓展性，便于对之后骨料姿态等不同因素进行深入研究。

4.1. 骨料分布均匀性评价指标

本节基于黄杰宁[9]实验参数，通过随机骨料模型投放了6个同样的粗骨料体积率但分布情况不同的试件。对这些试件分别进行静态单轴压缩模拟和静态单轴拉伸模拟并对结果进行分析。计算各试件骨料分布均匀性指标K以及团结度指标S，探究试件峰值应力以及损伤过程与骨料分布均匀性之间的关系。

采用蒙特卡洛法进行模拟投放得出的骨料相关信息如表1。

Table 1. Number of aggregate particles

表1. 骨料颗粒数

骨料粒径范围	骨料的个数
15 mm~20 mm	2
10 mm~15 mm	9
5 mm~10 mm	39

当轻骨料质量混凝土上的骨材颗粒位置绝对一致时，亦即在轻骨料混凝土的任一断面上，其位置分别关于散射截面中心的对称。也就是说，当轻骨料混凝土的骨材在断面中散布十分均匀后，则它的合成动量中心位置必须与断面中心位置吻合，不然将与断面几何重心形成高度误差。如：

$x_i=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{n=1}^{N_i}{S}_{in}{x}_{in}}{{{\displaystyle \sum }}_{n=1}^{N_i}{S}_{in}}$ (9)

$y_i=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{n=1}^{Ni}{S}_{in}{y}_{in}}{{{\displaystyle \sum }}_{n=1}^{Ni}{S}_{in}}$ (10)

$d_i=\sqrt{{\left(x_i-x_0\right)}^2+{\left(y_i-y_0\right)}^2}$ (11)

式中：x、y为轻骨料中第i档粒径范围骨料的合成质心坐标；S_m为截面上轻骨料混凝土中第粒径范围骨料中第n骨料的面积；x_in、y_in分别为截面上中第i档集料中第n颗粒到X轴和Y轴的距离；为其合成质心与该截面中心的距离。并将结果转化为无量纲形式，便于表征和计算，即：

${d^{\prime }}_i=d_i/r$ (12)

$K_j={{\displaystyle \sum }}^{\text{}}{\beta }_i{d^{\prime }}_i$ (13)

$K=\frac{1}{m}{\displaystyle \sum }_{i=1}^m{K}_j$ (14)

当轻骨料混凝土中骨料之间距离较近时视做骨料发生结团现象。定义轻骨料混凝土试件骨料团结度为发生结团的骨料面积比上总体的骨料截面面积。

本文骨料团结度判定方法，将骨料质心坐标参数视作点云数组，对每个骨料进行遍历式的邻域搜索，采用固定距离搜索时，以骨料自身半径r的γ倍骨料自身直径的距离为固定值邻域进行范围搜索，同时需满足搜索到的骨料与骨料自身间的最小间距小于特定值d，满足此条件的骨料算作结团骨料。

骨料团结度表示公式为：

$S=\frac{S_{结团}}{S_{骨料}}$ (16)

4.2. 数值模拟及损伤分析

4.2.1. 材料参数取值

材料参数的取值见表2。轻骨料混凝土三相介质的力学性能参数通过黄杰宁[9]实验数据及相关参考文献[10] [11]得到。

Table 2. Material parameters [8]

表2. 材料参数取值[8]

参数	抗压强度/MPa	抗拉强度/MPa	弹性模量/MPa	泊松比
圆形轻骨料	14.89	3.4	32,462	0.22
砂浆	62.38	6.238	24,545	0.2
界面	35.0	3.5	17,181	0.2

4.2.2. 数值模拟结果

由根据4.1原理编写的骨料分布均匀性指标K与团结度指标S的MATLAB计算程序对模拟投放的6个轻骨料混凝土试件进行运算的到结果如表3，对试件进行单轴压缩加载数值模拟得到的峰值应力如表3。

Table 3. Numerical simulation results

表3. 数值模拟结果

试件编号	均匀性指标K	团结度指标S	轴心受压峰值应力/MPa	轴心受拉峰值应力/MPa
试件1	1.3393	0.0994	44.8382	3.6690
试件2	0.5159	0.2255	44.8666	3.6743
试件3	1.6332	0.2255	45.0612	3.6774
试件4	1.8806	0.2493	44.9396	3.6751
试件5	2.0711	0.2122	44.8181	3.6691
试件6	1.4693	0.1988	45.1787	3.6802

4.2.3. 损伤分析

圆骨料试件静态单轴压缩的数值模拟损伤破坏过程如图5所示。随着位移的不断加载，试件局部的单元开始损伤破坏，随后损伤部分不断扩展直至整个试件发生破坏。在受拉加载过程中圆骨料试件在骨料内部先出现了破坏，裂缝逐渐延伸并贯穿整个圆骨料，且裂缝主要集中出现在试件的上下两端和中部的轻骨料中。当距离较近的轻骨料都出现裂缝时，裂缝会相互贯通最终形成一条主裂缝。

通过加载过程中裂缝的扩展可以看出，轻骨料的破坏在三相介质中最为严重，进而使得轻骨料周边区域的局部力学性能发生弱化，使得该区域内的水泥砂浆更容易发生损伤，少量粘结界面也发生了损伤破坏，但裂缝并未沿着粘结界面层扩展，而是穿过轻骨料颗粒形成了一条主裂缝，由此可知，粘结界面的存在对轻骨料混凝土试件的裂缝扩展形态影响不大，这与普通骨料混凝土试件中存在较大差别。

Figure 5. Axial compression failure process diagram of LWAC

图5. 轻骨料混凝土轴向压缩破坏过程图

Figure 6. Axial tensile failure process diagram of LWAC

图6. 轻骨料混凝土轴向拉伸破坏过程图

Figure 7. Uniformity index and peak stress of specimen

图7. 均匀性指标与试件峰值应力

如图6所示为试件在静态单轴拉伸模拟下的破坏过程图，试件初始裂缝一般产生在试件靠近左右两侧边缘的轻骨料中，且两侧损伤骨料在试件中有较明显的高度差异，呈现一定的斜线分布规律，后裂缝由多个损伤的骨料破坏连结，大体上沿初始损伤骨料所连接的斜线上分布，形成试件的主要损伤裂缝。当试件中粒径较小的轻骨料分布较为接近时，试件裂缝易沿较小粒径骨料损伤发展，形成裂缝。

在6个试件基础之上进一步对数值模拟试件样本进行扩充，发现轴心受拉的峰值应力变化受骨料分布均匀性影响较受压峰值应力小，因此主要讨论轴心受压承载的情况，结果如图7所示。当均匀性指标K小于1.4时试件的峰值应力较低，轻骨料混凝土中，骨料相较砂浆相以及界面单元相脆弱强度较低，因此在K值较小骨料在砂浆中的分布整体较为均匀时，有概率出现且含有较少结团而试件的整体强度较低的情况。而当K值大于1.6时则有明显的试件峰值应力大致有随骨料分布均匀性降低的趋势，轻质骨料分布的均匀性较差过多的集中在某处造成了试件出现薄弱区造成试件整体峰值应力的下降。

5. 水灰比对轻骨料混凝土性能影响

基于梁川东实验及其采用的材料参数[12]，为避免骨料分布差异的影响，本次实验取同一骨料投放结果模型。试件所采用的骨料体积率为47.83%。轻骨料混凝土的水灰比参数变化对其砂浆强度有着明显直观的影响。试件水灰比分别为0.25、0.3、0.35、0.4时数值模拟计算参数分别如表4。

Table 4. Material parameters

表4. 材料参数

试件编号	参数	抗压强度/MPa	抗拉强度/MPa	弹性模量/MPa	泊松比
C-0.25	轻骨料	6.89	3.2	17,803	0.22
	砂浆	58.48	5.848	25,876	0.2
	界面	35.0	3.5	18,113	0.2
C-0.3	轻骨料	6.89	3.2	17,803	0.22
	砂浆	56.66	5.666	25,585	0.2
	界面	33.357	3.16	17,909	0.2
C-0.35	轻骨料	6.89	3.2	17,803	0.22
	砂浆	42.29	4.229	23,333	0.2
	界面	30.79	2.82	16,333	0.2
C-0.4	轻骨料	6.89	3.2	17,803	0.22
	砂浆	40.22	4.022	22,946	0.2
	界面	31.60	2.48	16,062	0.2

水灰比分别为0.25、0.3、0.35、0.4的四个试件数值模拟计算结果如表5，试件应力–应变曲线如图8，水灰比与试件峰值应力关系如图9。

Table 5. Numerical simulation results

表5. 数值模拟计算结果

试件编号	抗压强度/MPa	试验结果[8]/MPa
C-0.25	44.30	44.76
C-0.3	41.70	40.44
C-0.35	37.74	36.47
C-0.4	34.06	31.9

陶粒轻骨料混凝土的力学性能与砂浆基体的力学性能和陶粒轻骨料的含量均有关系。陶粒轻骨料混凝土的抗压强度很大程度上受砂浆基体抗压强度的影响，与砂浆抗压强度呈现正相关。当者水灰比过低，陶粒轻骨料混凝土的抗压性能会受陶粒和砂浆的协同作用影响。

Figure 8. Relation between water cement ratio and compressive strength of LWAC

图8. 水灰比与轻骨料混凝土抗压强度关系图

Figure 9. Water cement ratio and peak stress line graph of specimens

图9. 水灰比与试件峰值应力折线图

6. 结论

(1) 基于余能原理基面力元法的轻骨料混凝土模型能够很好的进行轻骨料混凝土试件静态单轴受压以及受拉的模拟计算，同时清晰的展现了轻骨料混凝土试件加载后的损伤破坏过程。

(2) 轻骨料混凝土试件受压承载力受轻骨料分布均匀性影响较为明显，且均匀性指标值在1.6左右时，试件力学性能较好，当均匀性指标K小于1.4时试件的峰值应力较低。而当K值大于1.6时则有明显的试件峰值应力大致有随骨料分布均匀性降低的趋势，轻质骨料过多的集中在某处造成了试件出现薄弱区造成试件整体峰值应力的下降。

(3) 轻骨料混凝土试件受压承载性能会随水灰比的增高明显降低。