一类拟线性浅水波方程的局部适定性

Local Well-Posedness of a Class of Quasilinear Shallow Water Wave Equations

摘要: 本文研究一类新的拟线性浅水波方程，该方程是在描述不可压缩旋转二维浅水的底层剪切流效应的模型时被正式推导出来的。在本文中，我们主要研究该方程在Besov空间{Bp,rs(Rn)|s∈R,1≤p,r≤+∞}中的局部适定性。

Abstract: In this paper, we study a new class of quasilinear shallow water wave equations, which is formally derived in describing the bottom shear flow effect of incompressible rotating two-dimensional shallow water. In this paper, we obtain the local well-posedness of the equation in Besov space{Bp,rs(Rn)|s∈R,1≤p,r≤+∞}.

1. 引言

本文主要研究以下方程：

$\begin{array}{l}{u}_t+c{u}_x-\mu {\delta }^2{u}_{txx}-{\mu }_0{\delta }^2{u}_{xxx}+3\alpha \epsilon u{u}_x+{\Lambda }_1{\epsilon }^2{u}^2{u}_x+{\Lambda }_2{\epsilon }^3{u}^3{u}_x\\ =\theta \mu \alpha \epsilon {\delta }^2\left(2u_x{u}_{xx}+u{u}_{xxx}\right),t>0,x\in R,\end{array}$ (1.1)

其中$u\left(t,x\right)$ 表示的是在特定深度$z_0$ 处的水平速度场。方程经过伸缩变换以后要求$0\le z_0\le 1$ ，$\theta \ne 3$ ，且

$z_0^2=\frac{3c^8+21c^6+36c^4+9c^2-\left(c^8+7c^6+13c^4+9c^2+3\right)\theta }{3\left(3-\theta \right)\left(c^2+c+1\right)\left(c^2-c+1\right){\left(c^2+1\right)}^2},$

其中$\theta$ 是平衡流体对流中由于拉伸导致的非线性陡化和放大的参数，$c=\frac{1}{2}\left(\sqrt{A^2+4}+A\right)$ ，参数A表示的是线性剪切流，参数c和A满足$c=\frac{1}{2}\left(\sqrt{A^2+4}+A\right)$ ，此外

${\Lambda }_1=\frac{c^5\left(c^2-1\right)\left(c^2+2\right)}{2{\left(c^2+1\right)}^3},{\Lambda }_2=\frac{c^6{\left(c-1\right)}^2{\left(c+1\right)}^2\left(c^4+4c^2+6\right)}{6{\left(c^2+1\right)}^5},\alpha =\frac{c^4+c^2+1}{3\left(c^2+1\right)},$

$\mu =\{\begin{array}{l}\frac{c^4+6c^2+3}{\left(3-\theta \right)\left(c^2-c+1\right)\left(c^2+c+1\right){\left(c^2+1\right)}^2},\theta \ne 3,\\ 0,\theta =3,\end{array}$

${\mu }_0=\{\begin{array}{l}\frac{12c^4+3c^2-3+\left(c^6+2c^4+2c^2+1\right)\theta }{3c\left(3-\theta \right)\left(c^3+c+1\right)\left(c^2-c+1\right){\left(c^2+1\right)}^2},\theta \ne 3,\\ -\frac{1}{3c\left(c^2+1\right)},\theta =3.\end{array}$

该方程是描述了一个具有中等非线性状态下来自不可压缩旋转二维浅水的底层剪切流影响的模型方程，在文献[1]通过使用双渐进展开的方法提出来的。方程(1.1)中的高阶非线性项$u^2{u}_x$ 和$u^3{u}_x$ 在推断底层剪切流的存在是不可忽视的。

在最近几年，一些拟线性浅水波方程已经被广泛研究。例如，Johnson在文献[2]建立了在浅水上方水波运动的Camassa-Holm方程。Quirchmayr在文献[3]使用缩放$\mu \ll 1$ ，$\epsilon =O\left(\sqrt[4]{\mu }\right)$ 得到了一个高阶非线性水波方程。Li和Liu在文献[4]通过使用双渐进展开的方法推导出一个高阶非线性浅水模型。

事实上，在$A\to 0$ ，$\theta \ne 3$ 时，有$c\to 1$ ，$\alpha \to \frac{1}{2}$ ，$\mu \to \frac{5}{6\left(3-\theta \right)}$ ，${\mu }_0\to \frac{\theta +2}{6\left(3-\theta \right)}$ ，${\Lambda }_1\to 0$ ，${\Lambda }_2\to 0$ 和$z_0^2\to \frac{23-11\theta }{12\left(3-\theta \right)}$ 。方程(1.1)通过使用伸缩变换$u\left(t,x\right)\to \alpha \epsilon u\left(\sqrt{\mu {\delta }^2}t,\sqrt{\mu {\delta }^2}x\right)$ 和伽利略变换公式$u\left(t,x\right)\to u\left(t,x-\frac{3}{4}t\right)+\frac{3}{4}$ 可以简化为以下方程[5] [6]

$u_t-u_{txx}+3u{u}_x=\theta \left(2u_x{u}_{xx}+u{u}_{xxx}\right),t>0,x\in R,$ (1.2)

其中$u\left(t,x\right)$ 描述了相对于预应力状态的径向拉伸，这个方程是在可压缩超弹性棒的背景下正式推导出来的。当$\theta =1$ 时，方程(1.2)简化为经典的浅水波Camassa-Holm方程

$u_t-u_{txx}+3u{u}_x=2u_x{u}_{xx}+u{u}_{xxx},t>0,x\in R,$ (1.3)

其中$u\left(t,x\right)$ 表示在深度$z_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ，x方向上的水平速度场。该方程是描述浅水波单向传播的一个重要数学

模型。Camassa-Holm方程最初是由Fuchssteiner和Fokas在没有物理动机的形式下推导出来的，然而从物理学的角度来看，这个模型是Camassa和Holm在1993年从物理方面推导出来的[7]，该模型是用于描述浅水波在平底上方自由表面高度的单向传播模型。众所周知，Camassa-Holm方程具有双哈密顿结构[8]，也是完全可积的[7] [9]，它的孤波是尖的[7] [9]-[12]，它们在轨道上是稳定的并像孤子一样相互作用[13] [14]。其次，Camassa-Holm方程也具有多峰解[7] [15]和波的破裂线性的存在[16] [17] (即解$u\left(t,x\right)$ 保持有界，而它的斜率变的无界)。最后，Camassa-Holm方程具有无穷的守恒量并可以通过相应的逆散射变换来求解[18]。

与此同时，在过去几十年里，方程(1.3)的柯西问题已经被广泛研究并且也得到了它的许多重要性质。例如，一些学者在文献[17] [19]-[24]得到了Camassa-Holm方程的局部适定性。文献[19] [23]学者们研究了Camassa-Holm方程强解的存在性。也有一些学者在文献[17] [19] [21] [24]-[29]得到了它的爆破现象。Linares和Pone在文献[30]研究了在周期和非周期条件下Camassa-Holm方程的刘维尔型性质。在文献[17] [24]，学者们证明了对于初始数据$u_0\in H^s$ ，$s>\frac{3}{2}$ 的局部适定性，在文献[26] [28] [29]学者们通过建立

Riccati型微分不等式研究了方程(1.3)的爆破准则，由于Camassa-Holm方程的特殊结构，在文献[25]，Brandolese研究了Camassa-Holm方程局部空间的爆破准则。

在文献[31]中，使用Kato原理[32]获得了关于问题(1.1)在Sobolev空间的局部适定性，并且研究了该问题波的破裂现象。然而，关于问题(1.1)在Besov空间的局部适定性还未被研究。在本文中，我们主要研究问题(1.1)在Besov空间$\left\{B_{p,r}^s\left(R^n\right)|s\in R,1\le p,r\le +\infty \right\}$ 中的局部适定性。

本篇论文的结构如下，在第二部分，给出证明主要定理所需要的一些预备知识。在第三部分给出具体的局部适定性的证明。

2. 预备知识

在这一部分，给出证明局部适定性需要的一些预备知识。为了计算的方便，将方程(1.1)经过伸缩变换$u\left(t,x\right)\to \alpha \epsilon u\left(\sqrt{\mu {\delta }^2}t,\sqrt{\mu {\delta }^2}x\right)$ 简化为以下非局部形式

$\{\begin{array}{l}{u}_t+\left(\frac{{\mu }_0}{\mu }+\theta u\right)u_x=P\left(D\right)\left(\left(c-\frac{{\mu }_0}{\mu }\right)u+\frac{3-\theta }{2}{u}^2+\frac{\theta }{2}{u}_x^2+\frac{{\Lambda }_1}{3{\alpha }^2}{u}^3+\frac{{\Lambda }_2}{4{\alpha }^3}{u}^4\right),t>0,x\in R,\\ u\left(0,x\right)=u_0\left(x\right),x\in R.\end{array}$ (2.1)

其中$P\left(D\right)=-\partial x{\left(1-{\partial }^{2}x\right)}^{-1}$ ，$G\left(x\right)=\frac{1}{2}{\text{e}}^{-\left|x\right|}$ 和$G\left(x\right)\ast f={\left(1-{\partial }^{2}x\right)}^{-1}f$ 对所有的$f\in L^2\left(R\right)$ 。为了介绍主要的结果，定义

$E_{p,r}^s\left(T\right)=C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^s\right)\cap C^1\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right),r<\infty$ ，

$E_{p,\infty }^s\left(T\right)=L^{\infty }\left(0,T;B_{p,\infty }^s\right)\cap Lip\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right)$ 。

在文献[22] [33]-[36]给出Littlewood-paley分解的性质，非齐次Besov空间和传输方程理论的一些结论。

引理2.1 (Littlewood-paley分解) [37]在[0, 1]上存在一对光滑径向函数$\left(\chi ,\varphi \right)$ ，使得$\chi$ 在球

$B=\left\{\xi \in R^n,\left|\xi \right|\le \frac{4}{3}\right\}$ 上是支撑的和$\varphi$ 在环$C=\left\{ \xi \in R^n,\frac{3}{4}\le \left|\xi \right|\le \frac{8}{3}\right\}$ 上是支撑的。此外

$\forall \xi \in R^n$ ，$\chi \left(\xi \right)+{\displaystyle \sum }_{q\in N}\varphi \left(2^{-q}\xi \right)=1$

和

如果$\left|q-q^{\prime }\right|\ge 2$ ，$Supp\varphi \left(2^{-q}.\right)\cap Supp\varphi \left(2^{-q^{\prime }}.\right)=\varnothing$ 。

如果$\left|q\right|\ge 1$ ，$Supp\chi (.)\cap Supp\varphi \left(2^{-q}.\right)=\varnothing$ 。

则对于$u\in {\phi }^{\prime }\left(R\right)$ 非齐次二元区块定义如下：

如果$q\le -2$ ，${\Delta }_{q}u=0$ ，

${\Delta }_{-1}u=\chi \left(D\right)u={ℱ}_x^{-1}\chi {ℱ}_{x}u$ ，

如果$q\ge 0$ ，${\Delta }_{q}u=\varphi \left(2^{-q}D\right)={ℱ}_x^{-1}\varphi \left(2^{-q}\xi \right){ℱ}_{x}u$ 。

因此

在${\phi }^{\prime }\left(R\right)$ ，$u={\displaystyle \sum }_{q\in Z}{\Delta }_{q}u$ 。

低频截断函数$S_q$ 定义为：

$S_{q}u={\displaystyle \sum }_{p=-1}^{q-1}{\Delta }_{p}u=\chi \left(2^{-q}D\right)u={ℱ}_x^{-1}\chi \left(2^{-q}\xi \right){ℱ}_{x}u$ ，$\forall q\in N$ 。

容易得到

如果$\left|p-q\right|\ge 2$ ，${\Delta }_p{\Delta }_{q}u\equiv 0$ ，

如果$\left|p-q\right|\ge 5$ ，${\Delta }_q\left(S_{p-1}u{\Delta }_{p}v\right)\equiv 0$ ，$\forall u,v\in {\phi }^{\prime }\left(R\right)$

和

${\Vert {\Delta }_{q}u\Vert }_{L^p}\le {\Vert u\Vert }_{L^p}$ ，${\Vert S_{q}u\Vert }_{L^p}\le C{\Vert u\Vert }_{L^p}$ ，$\forall 1\le p\le +\infty$ 。

运用Young不等式，可以知道这里C是独立于q的一个正常数。

定义2.1 (Besov空间) [37]让$s\in R$ ，$1\le p\le +\infty$ 。非齐次Besov空间$B_{p,r}^s\left(R^n\right)$ 定义为

$B_{p,r}^s\left(R^n\right)=\left\{f\in {\phi }^{\prime }\left(R^n\right):{\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^s}={\Vert 2^{qs}{\Delta }_{q}f\Vert }_{l^r\left(L{}^p\right)}={\Vert {\left(2^{qs}{\Vert {\Delta }_{q}f\Vert }_{L^p}\right)}_{q\ge -1}\Vert }_{l^r}<\infty \right\}$ 。

如果$s=\infty$ ，$B_{p,r}^{\infty }={\cap }_{s\in R}{B}_{p,r}^s$ 。

定义2.2 [37]让$T>0$ ，$s\in R$ 和$1\le p\le \infty$ 。定义

$E_{p,r}^s={\cap }_{T>0}{E}_{p,r}^s\left(T\right)$ 。

引理2.2 [37]让$s\in R$ ，$1\le p,r,p_j,r_j\le \infty$ ，$j=1,2$ ，则

1) 拓扑性质：$B_{p,r}^s$ 是Banach空间其连续嵌入到${\phi }^{\prime }\left(R^n\right)$ 。

2) 稠密性：$C_c^{\infty }$ 在$B_{p,r}^s$ 上是稠密的$\iff$ $1\le p,r<\infty$ 。

3) 嵌入：如果$p_1\le p_2$ 和$r_1\le r_2$ ，$B_{p_1,r_1}^s\subset B_{p_2,r_2}^{s-n\left(\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}\right)}$ 。如果$s_1<s_2$ ，$B_{p,r_2}^{s_2}\subset B_{p,r_1}^{s_1}$ 局部紧的。

4) 代数性质：$\forall s>0$ ，$B_{p,r}^s\cap L^{\infty }$ 是一个代数。$B_{p,r}^s$ 是一个代数$\iff B_{p,r}^s\subset L^{\infty }\iff s>\frac{n}{p}$ 或($s\ge \frac{n}{p}$ 和$r=1$ )。

5) 一维Moser型估计

(i) 当$s>0$ ，

${\Vert fg\Vert }_{B_{p,r}^s}\le C\left({\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^s}{\Vert g\Vert }_{L^{\infty }}+{\Vert f\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert g\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)$ 。

(ii) $\forall s_1\le \frac{1}{p}<s_2$ (如果$r=1$ ，$s_2\ge \frac{1}{p}$ )和$s_1+s_2>0$ ，有

${\Vert fg\Vert }_{B_{p,r}^{s_1}}\le C{\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^{s_1}}{\Vert g\Vert }_{B_{p,r}^{s_2}}$ 。

6) 复杂插值：${\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^{\theta s_1+\left(1-\theta \right)s_2}}\le {\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^{s_1}}^{\theta }{\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^{s_2}}^{1-\theta }$ ，$\forall f\in B_{p,r}^{s_1}\cap B_{p,r}^{s_2}$ ，$\forall \theta \in \left[0,1\right]$ 。

7) Fatou引理：如果${\left(u_n\right)}_{n\in N}$ 在$B_{p,r}^s$ 是有界的，在${\phi }^{\prime }\left(R^n\right)$ ，$u_n\to u$ 则

$u\in B_{p,r}^s$ 和${\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}\le \underset{n\to \infty }{\lim }\inf {\Vert u_n\Vert }_{B_{p,r}^s}$ 。

8) 让$m\in R$ 和f是一个$S^m$ 的乘法器(即$f:R^n\to R$ 是光滑的并且满足$\forall \alpha \in N^n$ ，存在一个常数$C_{\alpha }$ ，使得$\left|{\partial }_{\alpha }f\left(\xi \right)\right|\le C_{\alpha }{\left(1+\left|\xi \right|\right)}^{m-\left|\alpha \right|}$ 对所有的$\xi \in R^n$ )则算子$f\left(D\right)$ 在$B_{p,r}^s\to B_{p,r}^{s-m}$ 是连续的。

引理2.3 (在Besov空间上的先验估计) [37]让$1\le p,r\le \infty$ 和$s>-\min \left(\frac{1}{p},1-\frac{1}{p}\right)$ 。假设$f_0\in B_{p,r}^s$ ，$F\in L^1\left(0,T;B_{p,r}^s\right)$ 。如果$s>1+\frac{1}{p}$ ，${\partial }_{x}v\in L^1\left(0,T;B_{p,r}^{s-1}\right)$ ，否则${\partial }_{x}v\in L^1\left(0,T;B_{p,r}^{\frac{1}{p}}\cap L^{\infty }\right)$ 。如果$f\in L^{\infty }\left(0,T;B_{p,r}^s\right)\cap C\left(\left[0,T\right];{\phi }^{\prime }\left(R\right)\right)$ 是以下一维线性传输方程的解：

$\{\begin{array}{l}{f}_t+v{f}_x=F,\\ f\left(x,0\right)=f_0.\end{array}$ (2.2)

则存在一个常数C仅依赖于$s,p,r$ 使得以下陈述成立：

1) 如果$r=1$ 或者$s\ne 1+\frac{1}{p}$ 则

${\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^s}\le {\Vert f_0\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert F\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }+C{\displaystyle {\int }_0^t{V}^{\prime }\left(\tau \right){\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }$ ，

或

${\Vert f\Vert }_{B_{p,r}^s}\le {\text{e}}^{CV\left(t\right)}\left({\Vert f_0\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-CV\left(\tau \right)}}{\Vert F\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau \right)$ 。 (2.3)

如果$s<1+\frac{1}{p}$ ，$V\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t{\Vert v_x\Vert }_{B_{p,r}^{\frac{1}{p}}\cap L^{\infty }}^{}\text{d}\tau }$ 。否则，$V\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t{\Vert v_x\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\text{d}\tau }$ 。

2) 如果$s\le 1+\frac{1}{p}$ ，${f^{\prime }}_0\in L^{\infty }$ 和$f_x\in L^{\infty }\left(\left(0,T\right)\times R\right)$ 和$F_x\in L^1\left(0,T;L^{\infty }\right)$ ，则

${\Vert f\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert f_x\Vert }_{L^{\infty }}\le {\text{e}}^{CV\left(t\right)}\left({\Vert f_0\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert f_{0x}\Vert }_{L^{\infty }}+{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-CV\left(t\right)}}\left[{\Vert F\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert F_x\left(\tau \right)\Vert }_{L^{\infty }}\right]\text{d}\tau \right)$ ，

其中

$V\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\partial }_{x}v\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^{\frac{1}{p}}\cap L^{\infty }}^{}\text{d}\tau }$ 。

3) 如果$f=v$ ，则对于所有的$s>0$ ，当$V\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t{\Vert v_x\Vert }_{L^{\infty }}\text{d}\tau }$ ，陈述(1)成立。

4) 如果$r<\infty$ ，则$f\in C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^s\right)$ 。如果$r=\infty$ ，对所有的$s^{\prime }<s$ 则$f\in C\left(\left[0,T\right];B_{p,\infty }^{s^{\prime }}\right)$ 。

引理2.4 (存在性和唯一性) [37]让$p,r,s,f_0$ 和F就像在引理2.3所陈述的那样。假设$v\in L^{\rho }\left(0,T;B_{\infty ,\infty }^{-M}\right)$ 对于一些$\rho >1$ 和$M>0$ ；如果$s>1+\frac{1}{p}$ 或$s=1+\frac{1}{p}$ ，$r=1$ ，$v_x\in L^1\left(0,T;B_{p,r}^{s-1}\right)$ ；如果$s<1+\frac{1}{p}$ ，$v_x\in L^1\left(0,T;B_{p,r}^{\frac{1}{p}}\cap L^{\infty }\right)$ 。则问题(2.1)有唯一解$f\in L^{\infty }\left(0,T;B_{p,r}^s\right)\cap \left({\cap }_{s^{\prime }<s}C\left(\left[0,T\right];B_{p,1}^{s^{\prime }}\right)\right)$ 和引理2.3的不等式成立。此外，如果$r<\infty$ ，则$f\in C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^s\right)$ 。

3. 局部适定性结果

定理 令$1\le p,r\le \infty$ 和$s>\text{max}\left(1+\frac{1}{p},\frac{3}{2}\right)$ ，$u_0\in B_{p,r}^s$ ，则存在一个时间$T>0$ ，使得问题(1.1)在

$E_{p,r}^s\left(T\right)$ 中存在唯一解u。映射$u_0\to u$ 是在$B_{p,r}^s$ 上$u_0$ 的一个邻域到$C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s^{\prime }}\right)\cap C^1\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s^{\prime }-1}\right)$ 对每一个$s^{\prime }<s$ 都是连续的。当$r<\infty$ 时，问题(1.1)的解在$E_{p,r}^s\left(T\right)$ 上是连续的。

证明 第一步：近似解的建立

利用标准迭代过程，建立一个解。从$u^0:=0$ 开始，定义一个光滑函数序列${\left(u^n\right)}_{n\in N}$ 通过计算来解决以下线性传输方程：

$\{\begin{array}{l}\left({\partial }_t+\left(\frac{{\mu }_0}{\mu }+\theta u^n\right){\partial }_x\right)u^{n+1}=P\left(D\right)\left[\left(c-\frac{{\mu }_0}{\mu }\right)u^n+\frac{3-\theta }{2}{\left(u^n\right)}^2+\frac{\theta }{2}{\left(u_x^n\right)}^2+\frac{{\text{Λ}}_1}{3{\alpha }^2}{\left(u^n\right)}^3+\frac{{\text{Λ}}_2}{4{\alpha }^3}{\left(u^n\right)}^4\right],\\ u^{n+1}\left(x,0\right)=u_0^{n+1}=S_{n+1}{u}_0.\end{array}$ (3.1)

因为所有的数据都属于$B_{p,r}^{\infty }$ ，通过使用引理2.4和计算，证明了对所有$n\in N$ ，上述方程在$C\left(R^{+},B_{p,r}^{\infty }\right)$ 上有一个全局解[37]。

第二步：一致有界估计

将引理2.3的(2.3)式和(3.1)相结合，有

${\Vert u^{n+1}\Vert }_{B_{p,r}^s}\le {\text{e}}^{C{U}^n\left(t\right)}{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}+\frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{C{U}^n\left(t\right)-C{U}^n\left(\tau \right)}{\Vert P\left(D\right)F\left(u^n,u_x^n\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }$ 。 (3.2)

其中$U^n\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \frac{{\mu }_0}{\mu }+\theta u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }={\displaystyle {\int }_0^t\left({\Vert \frac{{\mu }_0}{\mu }\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert \theta u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)\text{d}\tau }=\theta {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }$ 。

$F\left(u^n,u_x^n\right)=\left[\left(c-\frac{{\mu }_0}{\mu }\right)u^n+\frac{3-\theta }{2}{\left(u^n\right)}^2+\frac{\theta }{2}{\left(u_x^n\right)}^2+\frac{{\text{Λ}}_1}{3{\alpha }^2}{\left(u^n\right)}^3+\frac{{\text{Λ}}_2}{4{\alpha }^3}{\left(u^n\right)}^4\right]$ 。 (3.3)

所以

${\Vert u^{n+1}\Vert }_{B_{p,r}^s}\le {\text{e}}^{C\theta {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }}{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}+\frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{C\theta {\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }}{\Vert P\left(D\right)F\left(u^n,u_x^n\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }$ 。 (3.4)

因为$B_{p,r}^s$ 是一个代数在$s>\max \left\{1+\frac{1}{p},\frac{3}{2}\right\}$ ，通过使用$P\left(D\right)$ 的$S^{-1}$ 乘数性质，$B_{p,r}^s$ 空间的定义，引理2.2的5)的(ii)式和$B_{p,r}^{s-1}$ 在$s>\max \left\{1+\frac{1}{p},\frac{3}{2}\right\}$ 是一个代数，可以得到

$\begin{array}{c}{\Vert P\left(D\right)F\left(u^n,u_x^n\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\le C{\Vert \left(c-\frac{{\mu }_0}{\mu }\right)u^n+\frac{3-\theta }{2}{\left(u^n\right)}^2+\frac{\theta }{2}{\left(u_x^n\right)}^2+\frac{{\text{Λ}}_1}{3{\alpha }^2}{\left(u^n\right)}^3+\frac{{\text{Λ}}_2}{4{\alpha }^3}{\left(u^n\right)}^4\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\\ \le C\left({\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^2+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^3+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^4\right).\end{array}$ (3.5)

综上所述，所以得出

${\Vert u^{n+1}\Vert }_{B_{p,r}^s}\le {\text{e}}^{C{U}^n\left(t\right)}{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}+\frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{C{U}^n\left(t\right)-C{U}^n\left(\tau \right)}}\left({\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^2+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^3+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^4\right)\text{d}\tau$ 。 (3.6)

其中C是从线到线的变化并且依赖于$\mu$ ，${\mu }_0$ ，$\theta$ ，$\alpha$ ，${\text{Λ}}_1$ 和${\text{Λ}}_2$ 。

现在固定一个时间$T>0$ 使得$T<\min \left\{\frac{1}{2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}},\frac{1}{C}\right\}$ ，并且假设

${\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\le \frac{2\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}}{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}$ 。 (3.7)

因为$U^n\left(t\right)= \theta {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }$ ，从(3.7)有

$\begin{array}{c}{\text{e}}^{C{U}^n\left(t\right)-C{U}^n\left(\tau \right)}={\text{e}}^{C\theta {\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\left(t^{\prime }\right)\text{d}{t}^{\prime }}}\le {\text{e}}^{C\theta {\displaystyle {\int }_{\tau }^t\frac{2\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}}{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}{t}^{\prime }}\text{d}{t}^{\prime }}}={\text{e}}^{-\theta \left[{\ln \left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}{t}^{\prime }\right)|}_{\tau }^t\right]}\\ ={\text{e}}^{\ln {\left(\frac{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau }{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}\right)}^{\theta }}={\left(\frac{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau }{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}\right)}^{\theta }.\end{array}$ (3.8)

从(3.8)可知，当$\tau =0$ 时，有

${\text{e}}^{C{U}^n\left(t\right)}\le \frac{1}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{\theta }}$ 。 (3.9)

通过利用(3.7)和(3.8)，得到

$\begin{array}{l}\frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{C{U}^n\left(t\right)-C{U}^n\left(\tau \right)}{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\left(\tau \right)\text{d}\tau }\\ \le \frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(\frac{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau }{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}\right)}^{\theta }\times \frac{2\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}}{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau }\text{d}\tau }\\ =\frac{C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{\theta }}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau \right)}^{\theta -1}\text{d}\tau }\\ =\frac{1}{2\theta }\left({\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\theta }-1\right).\end{array}$ (3.10)

通过使用平均值定理，可以得到

${\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\theta }-1=2C{\theta }^2{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t{\xi }_1{}^{-\left(\theta +1\right)}$ 。 (3.11)

其中

${\xi }_1=\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\xi \right)$ ，$0<\xi <t$ 。

将(3.11)代入到(3.10)，得到

$\frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{C{U}^n\left(t\right)-C{U}^n\left(\tau \right)}{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\left(\tau \right)\text{d}\tau }\begin{array}{c}\le \end{array}\frac{C_1\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{\theta +1}}$ 。 (3.12)

类似地可以得到

$\begin{array}{l}\frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{C{U}^n\left(t\right)-C{U}^n\left(\tau \right)}{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^2\left(\tau \right)\text{d}\tau }\\ \le \frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(\frac{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau }{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}\right)}^{\theta }\times \frac{4{\theta }^2{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^2}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau \right)}^2}\text{d}\tau }\\ =\frac{-\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{\theta }}\left[{\frac{1}{\theta -1}{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau \right)}^{\theta -1}|}_0^t\right]\\ \le C_2{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\left[{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\theta }-{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-1}\right]\end{array}$ (3.13)

$\begin{array}{l}\frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{C{U}^n\left(t\right)-C{U}^n\left(\tau \right)}{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^3\left(\tau \right)\text{d}\tau }\\ \le \frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(\frac{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau }{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}\right)}^{\theta }\times \frac{8{\theta }^3{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^3}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau \right)}^3}\text{d}\tau }\\ =\frac{-2{\theta }^2{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^2}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{\theta }}\left[{\frac{1}{\theta -2}{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau \right)}^{\theta -2}|}_0^t\right]\\ \le C_3{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^2\left[{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\theta }-{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-2}\right]\end{array}$ (3.14)

$\begin{array}{l}\frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{C{U}^n\left(t\right)-C{U}^n\left(\tau \right)}{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^4\left(\tau \right)\text{d}\tau }\\ \le \frac{C}{2}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(\frac{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau }{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}\right)}^{\theta }\times \frac{16{\theta }^4{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^4}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau \right)}^4}\text{d}\tau }\\ =\frac{-4{\theta }^3{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^3}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{\theta }}\left[{\frac{1}{\theta -3}{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\tau \right)}^{\theta -3}|}_0^t\right]\\ \le C_4{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^3\left[{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\theta }-{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-3}\right]\end{array}$ (3.15)

其中，$C_1,C_2,C_3,C_4$ 都是常数且依赖于$\theta$ ，将(3.9)~(3.15)代入到(3.6)，可以得到

$\begin{array}{c}{\Vert u^{n+1}\Vert }_{B_{p,r}^s}\le {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\theta }+C_1{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\left(\theta +1\right)}\\ +C_2{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}\left[{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\theta }-{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-1}\right]\\ +C_3{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^2\left[{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\theta }-{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-2}\right]\\ +C_4{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^3\left[{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\theta }-{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-3}\right]\\ \le C{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^3[{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\theta }+{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-1}\\ +{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-2}+{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-3}].\end{array}$ (3.16)

因此，${\left(u^n\right)}_{n\in N}$ 在$C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^s\right)$ 上是一致有界的。利用$B_{p,r}^{s-1}$ 在$s>\max \left\{1+\frac{1}{p},\frac{3}{2}\right\}$ 是一个代数，以及$B_{p,r}^s\subset B_{p,r}^{s-1}$ 和Besov空间的定义，可以推导出

$\begin{array}{c}{\Vert \left(\frac{{\mu }_0}{\mu }+\theta u^n\right)u_x^{n+1}\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert \frac{{\mu }_0}{\mu }+\theta u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert u_x^{n+1}\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}} \le C\theta {\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}{\Vert u^{n+1}\Vert }_{B_{p,r}^s}\\ \le C\theta \frac{2\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}}{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}\times C{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^3[{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\theta }+{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-1}\\ +{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-2}+{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-3}]\\ \le C{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^4[{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\left(\theta +1\right)}+{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-2}\\ +{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-3}+{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-4}].\end{array}$ (3.17)

因为$B_{p,r}^{s-1}$ 是一个代数，利用$P\left(D\right)$ 的$S^{-1}$ 乘数性质和(3.6)，有

$\begin{array}{l}{\Vert P\left(D\right)F\left(u^n,u_x^n\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\\ \le {\Vert P\left(D\right)F\left(u^n,u_x^n\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\underset{{}_{\begin{array}{l}\\ \end{array}}}{\overset{}{}}\\ \le C\left({\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^2+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^3+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}^4\right)\\ \le C\left(\frac{2\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}}{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}+\frac{4{\theta }^2{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^2}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^2}+\frac{8{\theta }^3{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^3}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^3}+\frac{16{\theta }^4{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^4}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^4}\right)\\ =C{\displaystyle \sum }_{Q=1}^4{\left(\frac{2\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}}{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}\right)}^Q.\end{array}$ (3.18)

因此，(3.1)结合(3.17)和(3.18)，有

$\begin{array}{c}{\Vert u_t^{n+1}\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le {\Vert \left(\frac{{\mu }_0}{\mu }+\theta u^n\right)u_x^{n+1}\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+{\Vert P\left(D\right)F\left(u^n,u_x^n\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\\ \le C{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^4\left[{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-\left(\theta +1\right)}+{\displaystyle \sum }_{Q=2}^4{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^{-Q}\right]+C{\displaystyle \sum }_{Q=1}^4{\left(\frac{2\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}}{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}\right)}^Q.\end{array}$ (3.19)

所以，${\left(u^n\right)}_n\in C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^s\right)\cap C^1\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right)$ 。

现在证明${\left(u^n\right)}_n$ 是一个柯西列，且${\left(u^n\right)}_n\in C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right)$ 。

对于$m,n\in N$ ，从(3.1)可知

$u_t^{n+1}+\left(\frac{{\mu }_0}{\mu }+\theta u^n\right)u_x^{n+1}=P\left(D\right)\left[\left(c-\frac{{\mu }_0}{\mu }\right)u^n+\frac{3-\theta }{2}{\left(u^n\right)}^2+\frac{\theta }{2}{\left(u_x^n\right)}^2+\frac{{\text{Λ}}_1}{3{\alpha }^2}{\left(u^n\right)}^3+\frac{{\text{Λ}}_2}{4{\alpha }^3}{\left(u^n\right)}^4\right]$ 。 (3.20)

$\begin{array}{l}{u}_t^{n+m+1}+\left(\frac{{\mu }_0}{\mu }+\theta u^{n+m}\right)u_x^{n+m+1}\\ =P\left(D\right)\left[\begin{array}{l}\left(c-\frac{{\mu }_0}{\mu }\right)u^{n+m}+\frac{3-\theta }{2}{\left(u^{n+m}\right)}^2+\frac{\theta }{2}{\left(u_x^{n+m}\right)}^2+\frac{{\text{Λ}}_1}{3{\alpha }^2}{\left(u^{n+m}\right)}^3+\frac{{\text{Λ}}_2}{4{\alpha }^3}{\left(u^{n+m}\right)}^4\end{array}\right].\end{array}$ (3.21)

利用(3.21)减去(3.20)，有

${\left(u^{n+m+1}-u^{n+1}\right)}_t+\left(\frac{{\mu }_0}{\mu }+\theta u^{n+m}\right){\left(u^{n+m+1}-u^{n+1}\right)}_x={\displaystyle \sum }_{k=1}^6{T}_k$ 。 (3.22)

其中

$T_1=P\left(D\right)\left[\left(c-\frac{{\mu }_0}{\mu }\right)\left(u^{n+m}-u^n\right)\right]$ ，

$T_2=P\left(D\right)\left[\frac{3-\theta }{2}\left(u^{n+m}-u^n\right)\left(u^{n+m}+u^n\right)\right]$ ，

$T_3=P\left(D\right)\left[\frac{\theta }{2}{\left(u^{n+m}-u^n\right)}_x{\left(u^{n+m}+u^n\right)}_x\right]$ ，

$T_4=P\left(D\right)\left[\frac{{\text{Λ}}_1}{3{\alpha }^2}\left(u^{n+m}-u^n\right)\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^2{\left(u^{n+m}\right)}^{2-k}{\left(u^n\right)}^k\right)\right]$ ，

$T_5=P\left(D\right)\left[\frac{{\text{Λ}}_2}{4{\alpha }^3}\left(u^{n+m}-u^n\right)\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^3{\left(u^{n+m}\right)}^{3-k}{\left(u^n\right)}^k\right)\right]$ ，

$T_6=-\theta \left(u^{n+m}-u^n\right)u_x^{n+1}$ 。

当$s>\max \left\{1+\frac{1}{p},\frac{3}{2}\right\}$ ，利用$P\left(D\right)$ 的$S^{-1}$ 乘数性质，$B_{p,r}^{s-1}\subset B_{p,r}^{s-2}$ ，有

${\Vert T_1\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert \left(c-\frac{{\mu }_0}{\mu }\right)\left(u^{n+m}-u^n\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\le C{\Vert u^{n+m}-u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}$ 。 (3.23)

因为$s>\max \left\{1+\frac{1}{p},\frac{3}{2}\right\}$ ，利用$P\left(D\right)$ 的$S^{-1}$ 乘数性质，$B_{p,r}^{s-1}$ 是一个代数，引理2.2的5)的(ii)式和$B_{p,r}^s\subset B_{p,r}^{s-1}\subset B_{p,r}^{s-2}$ ，有

$\begin{array}{l}{\Vert T_2\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert \frac{3-\theta }{2}\left(u^{n+m}-u^n\right)\left(u^{n+m}+u^n\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\\ \le C{\Vert u^{n+m}-u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-2\le }}{\Vert u^{n+m}+u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\\ \le C{\Vert u^{n+m}-u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\left({\Vert u^{n+m}\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\right),\end{array}$ (3.24)

$\begin{array}{l}{\Vert T_3\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert \frac{\theta }{2}{\left(u^{n+m}-u^n\right)}_x{\left(u^{n+m}+u^n\right)}_x\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\\ \le C{\Vert u^{n+m}-u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert u^{n+m}+u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\\ \le C{\Vert u^{n+m}-u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\left({\Vert u^{n+m}\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\right),\end{array}$ (3.25)

类似的可以得到

$\begin{array}{l}{\Vert T_4\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert \frac{{\text{Λ}}_1}{3{\alpha }^2}\left(u^{n+m}-u^n\right)\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^2{\left(u^{n+m}\right)}^{2-k}{\left(u^n\right)}^k\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\\ \le C{\Vert u^{n+m}-u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^2{\Vert {\left(u^{n+m}\right)}^{2-k}\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert {\left(u^n\right)}^k\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\right)\\ \begin{array}{c}\le C{\Vert u^{n+m}-u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^2{\Vert {\left(u^{n+m}\right)}^{2-k}\Vert }_{B_{p,r}^s}{\Vert {\left(u^n\right)}^k\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)\end{array},\end{array}$ (3.26)

$\begin{array}{l}{\Vert T_5\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert \frac{{\text{Λ}}_2}{4{\alpha }^3}\left(u^{n+m}-u^n\right)\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^3{\left(u^{n+m}\right)}^{3-k}{\left(u^n\right)}^k\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\\ \le C{\Vert u^{n+m}-u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^3{\Vert {\left(u^{n+m}\right)}^{3-k}\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert {\left(u^n\right)}^k\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\right)\\ \le C{\Vert u^{n+m}-u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^3{\Vert {\left(u^{n+m}\right)}^{3-k}\Vert }_{B_{p,r}^s}{\Vert {\left(u^n\right)}^k\Vert }_{B_{p,r}^s}\right),\end{array}$ (3.27)

${\Vert T_6\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert -\theta \left(u^{n+m}-u^n\right)u_x^{n+1}\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\le C{\Vert u^{n+m}-u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert u^{n+1}\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}$ 。 (3.28)

所以，综上所述

${\Vert T_j\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert u^{n+m}-u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\left({\Vert u^{n+m}\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^3$ 。 (3.29)

又因为，对$\forall n\in N$ ，有

${\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\le \frac{2\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}}{1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t}$ ，

将(3.23)~(3.29)结合在一起，可以得到

${\Vert {\displaystyle \sum }_{j=1}^6{T}_j\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le {\displaystyle \sum }_{j=1}^6{\Vert T_j\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert u^{n+m}-u^n\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\frac{8{\theta }^3{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^3}{{\left(1-2C\theta {\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}t\right)}^3}$ 。 (3.30)

下面进行分类讨论

(i) 当$s\ne 2+\frac{1}{p}$ 时，将引理2.4与(3.22)和(3.30)相结合，有

$\begin{array}{c}{\Vert u^{n+m+1}-u^{n+1}\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le {\text{e}}^{C{W}^{n+m}\left(t\right)}{\Vert \left(u^{n+m+1}-u^{n+1}\right)\left(.,0\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\\ +C{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{C{W}^{n+m}\left(t\right)-C{W}^{n+m}\left(\tau \right)}{\displaystyle \sum }_{j=1}^6{\Vert T_j\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\text{d}\tau }。\end{array}$ (3.31)

当$s-1<1+\frac{1}{p}$ 时：

$W^{n+m}\left(t\right)=\theta {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\partial }_x{u}^{n+m}\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^{\frac{1}{p}}\cap L^{\infty }}^{}\text{d}\tau }$ 。 (3.32)

当$s-1>1+\frac{1}{p}$ 时：

$W^{n+m}\left(t\right)=\theta {\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\partial }_x{u}^{n+m}\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\text{d}\tau }$ 。 (3.33)

从(3.32)可知，如果$s-1<1+\frac{1}{p}$ ，利用$B_{p,r}^{s-1}\subset L^{\infty }$ 和$s>1+\frac{1}{p}$ ，有

$W^{n+m}\left(t\right)\le C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert u^{n+m}\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }$ 。 (3.34)

从(3.33)可知，如果$s-1>1+\frac{1}{p}$ ，有

$W^{n+m}\left(t\right)\le C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert u^{n+m}\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }$ 。 (3.35)

因为

${\Vert {\displaystyle \sum }_{q=n+1}^{n+m}{\Delta }_q{u}_0\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{2}^{-n}{\Vert u_0\Vert }_{B_{p,r}^s}$ 。[37] (3.36)

利用(3.30)~(3.36)，可以得到

${\Vert u^{n+m+1}-u^{n+1}\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C_T\left(2^{-n}+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \left(u^{n+m}-u^n\right)\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\text{d}\tau }\right)$ 。 (3.37)

通过对指数n的归纳论证，可以很容易的证明

${\Vert u^{n+m+1}-u^{n+1}\left(t\right)\Vert }_{L_T^{\infty }{B}_{p,r}^{s-1}}\le \frac{{\left(T{C}_T\right)}^{n+1}}{\left(n+1\right)!}{\Vert u^m\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+2^{-n}{C}_T{\displaystyle \sum }_{k=0}^n{2}^k\frac{{\left(T{C}_T\right)}^k}{k!}$ 。 (3.38)

因为${\Vert u^m\Vert }_{L^{\infty }\left(B_{p,r}^{s-1}\right)}$ 独立于m是有界的，可以找到一个新的常数${C^{\prime }}_T$ 使得

${\Vert u^{n+m+1}-u^{n+1}\left(t\right)\Vert }_{L_T^{\infty }{B}_{p,r}^{s-1}}\le {C^{\prime }}_T{2}^{-n}$ ， (3.39)

因此，${\left(u^n\right)}_n$ 在$C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right)$ 上是一个柯西列。此外，${\left(u^n\right)}_n$ 在$C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right)$ 收敛于极限函数u。

(ii) 当$s=2+\frac{1}{p}$ 时，通过使用引理2.2的(6)式，可以得到

$\begin{array}{c}{\Vert u^{n+m+1}-u^{n+1}\left(t\right)\Vert }_{L_T^{\infty }{B}_{p,r}^{s-1}}={\Vert u^{n+m+1}-u^{n+1}\left(t\right)\Vert }_{L_T^{\infty }{B}_{p,r}^{1+\frac{1}{p}}}^{}\\ \le {\Vert u^{n+m+1}-u^{n+1}\Vert }_{L_T^{\infty }{B}_{p,r}^{s_1}}^{\theta }{\Vert u^{n+m+1}-u^{n+1}\left(t\right)\Vert }_{L_T^{\infty }{B}_{p,r}^{s_2}}^{1-\theta }\\ \le {\Vert u^{n+m+1}-u^{n+1}\Vert }_{B_{p,r}^{1+\frac{1}{p}}}^{\theta }{\left[{\Vert u^{n+m+1}\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^{2+\frac{1}{p}}}^{}+{\Vert u^{n+1}\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^{2+\frac{1}{p}}}^{}\right]}^{1-\theta }\\ \le {\left(C^{\prime }\right)}^{\theta }{2}^{-\theta n}{\left[{\Vert u^{n+m+1}\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^{2+\frac{1}{p}}}^{}+{\Vert u^{n+1}\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^{2+\frac{1}{p}}}^{}\right]}^{1-\theta }\end{array}$ (3.40)

其中$S_1\in \left(\max \left(1+\frac{1}{p},\frac{3}{2}\right)-1,1+\frac{1}{p}\right)$ ，$S_2\in \left(1+\frac{1}{p},2+\frac{1}{p}\right)$ 。所以，${\left(u^n\right)}_n$ 是$C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right)$ 上的一个柯西列。此外，${\left(u^n\right)}_n$ 在$C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right)$ 收敛于极限函数u。

第三步：(解在$E_{p,r}^s\left(T\right)$ 存在且唯一)，证明u属于$E_{p,r}^s\left(T\right)$ 并且满足方程(1.1)。

因为${\left(u^n\right)}_n$ 在$L^{\infty }\left(0,T;B_{p,r}^s\right)$ 上一致有界，在Besov空间上Fatou性质保证了u属于$L^{\infty }\left(0,T;B_{p,r}^s\right)$ 。

如果$s^{\prime }\le s-1$ ，则

${\Vert u^n-u\Vert }_{B_{p,r}^{s^{\prime }}}\le {\Vert u^n-u\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}$ 。 (3.41)

如果$s-1<s^{\prime }<s$ ，利用引理2.2的(6)式，有

${\Vert u^n-u\Vert }_{B_{p,r}^{s^{\prime }}}\le {\Vert u^n-u\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}^{\theta }{\Vert u^n-u\Vert }_{B_{p,r}^s}^{1-\theta }\le {\Vert u^n-u\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}^{\theta }{\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert u^n\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^{1-\theta }$ 。 (3.42)

其中$\theta =s-s^{\prime }$ 。

结合(3.41)和(3.42)，对所有的$s^{\prime }<s$ ，有${\left(u^n\right)}_n$ 在$C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s^{\prime }}\right)$ 收敛于u。对(3.1)和(3.2)取极限，可以得出u是方程(1.1)的解。现在$u\in L^{\infty }\left(0,T;B_{p,r}^s\right),$ 以下方程的右边

$u_t+\left(\frac{{\mu }_0}{\mu }+\theta u\right)u_x=P\left(D\right)\left(\left(c-\frac{{\mu }_0}{\mu }\right)u+\frac{3-\theta }{2}{u}^2+\frac{\theta }{2}{u}_x^2+\frac{{\text{Λ}}_1}{3{\alpha }^2}{u}^3+\frac{{\text{Λ}}_2}{4{\alpha }^3}{u}^4\right)$ 。 (3.43)

也属于$L^{\infty }\left(0,T;B_{p,r}^s\right)$ ，利用$P\left(D\right)$ 的$S^{-1}$ 乘数性质，$B_{p,r}^{s-1}$ 在$s>\max \left\{1+\frac{1}{p},\frac{3}{2}\right\}$ 是一个代数。可以得到

$\begin{array}{l}{\Vert P\left(D\right)\left(\left(c-\frac{{\mu }_0}{\mu }\right)u+\frac{3-\theta }{2}{u}^2+\frac{\theta }{2}{u}_x^2+\frac{{\text{Λ}}_1}{3{\alpha }^2}{u}^3+\frac{{\text{Λ}}_2}{4{\alpha }^3}{u}^4\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\\ \le C\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}^2+{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}^3+{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}^4\right).\end{array}$ (3.44)

当$r<\infty$ 时，从引理2.4和(3.43)，知道$u\in C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^s\right)$ ，很容易可以得到

${\Vert \left(\frac{{\mu }_0}{\mu }+\theta u\right)u_x\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+\theta {\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}^2\right)\le C{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}^2$ 。 (3.45)

将(3.44)与(3.45)相结合，有$u_t\in C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right)$ 和$L^{\infty }\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right)$ ，因此$u\in E_{p,r}^s\left(T\right)$ 。

考虑$s\ne 2+\frac{1}{p}$ 的情况。假设$u,v\in L^{\infty }\left(0,T;B_{p,r}^s\right)\cap C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right)$ 分别是带有初始数据$u_0,v_0\in B_{p,r}^s$ 的一般拟线性浅水波动方程的解。将要证明

${\Vert u\left(t\right)-v\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le {\Vert u_0-v_0\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\text{e}}^{C{\displaystyle {\int }_0^t{\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^3\left(\tau \right)\text{d}\tau }}$ 。 (3.46)

显然$w=u-v$ 满足以下传输方程

$w_t+\left(\frac{{\mu }_0}{\mu }+\theta u\right)w_x={\displaystyle \sum }_{k=1}^5{t}_k-\theta w{v}_x$ 。 (3.47)

其中

$t_1=P\left(D\right)\left[\left(c-\frac{{\mu }_0}{\mu }\right)\left(u-v\right)\right]$ ，

$t_2=P\left(D\right)\left[\frac{3-\theta }{2}\left(u-v\right)\left(u+v\right)\right]$ ，

$t_3=P\left(D\right)\left(\frac{\theta }{2}\left(u_x+v_x\right)\left(u_x-v_x\right)\right)$ ，

$t_4=P\left(D\right)\left(\frac{{\text{Λ}}_1}{3{\alpha }^2}\left(u-v\right)\left({\displaystyle \sum _{k=0}^2{u}^{2-k}}{v}^k\right)\right)$ ，

$t_5=P\left(D\right)\left[\frac{{\text{Λ}}_2}{4{\alpha }^3}\left(u-v\right)\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^3{u}^{3-k}{v}^k\right)\right]$ 。 (3.48)

当$s-1>1+\frac{1}{p}$ 时，利用引理2.3和(3.47)，使用$\partial x$ 的$S^{-1}$ 乘数性质，$B_{p,r}^{s-1}$ 在$s>1+\frac{1}{p}$ 是一个代数和$B_{p,r}^s\subset B_{p,r}^{s-1}$ ，有

$\begin{array}{c}{\Vert w_t\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le {\Vert w_0\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+{\displaystyle {\int }_0^t\left({\Vert {\displaystyle \sum }_{k=1}^5{t}_k\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+{\Vert \theta w{v}_x\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\right)\text{d}\tau }+C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \theta u_x\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}{\Vert w\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\text{d}\tau }\\ \le {\Vert w_0\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\displaystyle \sum }_{k=1}^5{t}_k\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+\theta {\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }+C{\displaystyle {\int }_0^t\theta {\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert w\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\text{d}\tau }\\ \le {\Vert w_0\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\displaystyle \sum }_{k=1}^5{t}_k\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\right){\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\text{d}\tau }+C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}{\Vert w\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\text{d}\tau }.\end{array}$ (3.49)

当$s-1<1+\frac{1}{p}$ 时，使用引理2.3的1)和(3.47)，$B_{p,r}^{s-1}$ 是一个代数，$s-1>\frac{1}{p}$ ，$B_{p,r}^{s-1}\subset L^{\infty }$ ，有

$\begin{array}{c}{\Vert w_t\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le {\Vert w_0\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+{\displaystyle {\int }_0^t}\left({\Vert {\displaystyle \sum }_{k=1}^5{t}_k\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+{\Vert \theta w{v}_x\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\right)\text{d}\tau +C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \theta u_x\Vert }_{B_{p,r}^{\frac{1}{p}}\cap L^{\infty }}^{}{\Vert w\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\text{d}\tau }\\ \le {\Vert w_0\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\displaystyle \sum }_{k=1}^5{t}_k\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\text{d}\tau }+C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert u_x\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert w\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\text{d}\tau }\\ \le {\Vert w_0\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert {\displaystyle \sum }_{k=1}^5{t}_k\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\right){\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\text{d}\tau }+C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}{\Vert w\left(\tau \right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\text{d}\tau }.\end{array}$ (3.50)

因为$s>\max \left\{1+\frac{1}{p},\frac{3}{2}\right\}$ ，通过使用$P\left(D\right)$ 的$S^{-1}$ 乘数性质，$B_{p,r}^{s-1}\subset B_{p,r}^{s-2}$ ，有

${\Vert t_1\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert u-v\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}$ 。 (3.51)

因为$s>\max \left\{1+\frac{1}{p},\frac{3}{2}\right\}$ ，通过使用$P\left(D\right)$ 的$S^{-1}$ 乘数性质，$B_{p,r}^{s-1}\subset B_{p,r}^{s-2}$ ，$B_{p,r}^{s-1}\left(s-1>\frac{1}{p}\right)$ 是一个代数，有

$\begin{array}{c}{\Vert t_2\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert \left(u-v\right)\left(u+v\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert u+v\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\\ \le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\right)\le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)\end{array}$ (3.52)

$\begin{array}{c}{\Vert t_3\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert \frac{\theta }{2}\left(u_x+v_x\right)\left(u_x-v_x\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\le C{\Vert u-v\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert u_x+v_x\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\\ \le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert u+v\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)\end{array}$ (3.53)

因为$s>\max \left\{1+\frac{1}{p},\frac{3}{2}\right\}$ ，通过使用$P\left(D\right)$ 的$S^{-1}$ 乘数性质，$B_{p,r}^{s-1}\subset B_{p,r}^{s-2}$ ，$B_{p,r}^{s-1}\left(s-1>\frac{1}{p}\right)$ 是一个代数，引理2.2的5)的(ii)式，$B_{p,r}^s$ 的定义，可以得到

$\begin{array}{c}{\Vert t_4\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le {\Vert \frac{{\text{Λ}}_1}{3{\alpha }^2}\left(u-v\right)\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^2{u}^{2-k}{v}^k\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert {\displaystyle \sum }_{k=0}^2{u}^{2-k}{v}^k\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\\ \le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert {\displaystyle \sum }_{k=0}^2{u}^{2-k}{v}^k\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^2{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}^{2-k}{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}^k\right)\end{array}$ (3.54)

$\begin{array}{c}{\Vert t_5\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le {\Vert \frac{{\text{Λ}}_2}{4{\alpha }^3}\left(u-v\right)\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^3{u}^{3-k}{v}^k\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert {\displaystyle \sum }_{k=0}^3{u}^{3-k}{v}^k\Vert }_{B_{p,r}^{s-2}}\\ \le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\Vert {\displaystyle \sum }_{k=0}^3{u}^{3-k}{v}^k\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^3{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}^{3-k}{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}^k\right)\\ \le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\left({\displaystyle \sum }_{k=0}^3{\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}^{3-k}{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}^k\right)\le C{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^3\end{array}$ (3.55)

当$s\ne 2+\frac{1}{p}$ 时，将(3.51)~(3.55)代入(3.49)和(3.50)，有

${\Vert w\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le {\Vert w_0\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}+C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert w\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^3\text{d}\tau }$ 。 (3.56)

利用一般的Gronwall不等式，有

${\Vert w\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}\le {\Vert w_0\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}{\text{e}}^{C{\displaystyle {\int }_0^t{\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^3\text{d}\tau }}$ 。

当$u_0=v_0$ 时，可以得到$u\left(t\right)=v\left(t\right)$ 。

对于$s=2+\frac{1}{p}$ 时，将$s\ne 2+\frac{1}{p}$ 的情况与插值相结合，很容易得到唯一的结果。

第四步：对初始数据连续依赖

如果$s^{\prime }=s-1$ ，结论是成立的，如果$s^{\prime }<s-1$ ，通过使用引理2.2的6)式和(3.46)，有

$\begin{array}{l}{\Vert u\left(t\right)-v\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s^{\prime }}}\\ \le C{\Vert u\left(t\right)-v\left(t\right)\Vert }_{B_{p.r}^{s_1}}^{{\theta }_1}{\Vert u\left(t\right)-v\left(t\right)\Vert }_{B_{p.r}^{s-1}}^{1-{\theta }_1}\\ \le C{\Vert u\left(t\right)-v\left(t\right)\Vert }_{B_{p.r}^{s_1}}^{{\theta }_1}{\text{e}}^{C\left(1-{\theta }_1\right){\displaystyle {\int }_0^t{\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^3\text{d}\tau }}{\Vert u_0-v_0\Vert }_{B_{p.r}^{s-1}}^{1-{\theta }_1}\\ \le C{\Vert u\left(t\right)-v\left(t\right)\Vert }_{B_{p.r}^{s_1}}^{{\theta }_1}{e}^{C\left(1-{\theta }_1\right){\displaystyle {\int }_0^t{\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^3\text{d}\tau }}{\Vert u_0-v_0\Vert }_{B_{p,r}^{s^{\prime }}}^{{\theta }_2\left(1-{\theta }_1\right)}{\Vert u_0-v_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^{\left(1-{\theta }_2\right)\left(1-{\theta }_1\right)}\\ \le C{\left[{\Vert u\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\right]}^{{\theta }_1}{\text{e}}^{C\left(1-{\theta }_1\right){\displaystyle {\int }_0^t{\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^3\text{d}\tau }}{\Vert u_0-v_0\Vert }_{B_{p,r}^{s^{\prime }}}^{{\theta }_2\left(1-{\theta }_1\right)}{\Vert u_0-v_0\Vert }_{B_{p,r}^s}^{\left(1-{\theta }_2\right)\left(1-{\theta }_1\right)}\end{array}$ (3.57)

其中

$s^{\prime }={\theta }_1{s}_1+\left(1-{\theta }_1\right)\left(s-1\right)$ ，$s_1<s-1$ ，

$s-1={\theta }_2{s}^{\prime }+s\left(1-{\theta }_2\right)$ 。

如果$s-1<s^{\prime }<s$ ，通过使用引理2.2的(6)式和(3.46)，推导出

$\begin{array}{c}{\Vert u\left(t\right)-v\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s^{\prime }}}\le C{\Vert u\left(t\right)-v\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}^{{\theta }_3}{\Vert u\left(t\right)-v\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}^{1-{\theta }_3}\\ \le C{\Vert u\left(0\right)-v\left(0\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s-1}}^{{\theta }_3}{\text{e}}^{C{\theta }_3{\displaystyle {\int }_0^t{\left({\Vert u\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^3\left(\tau \right)\text{d}\tau }}{\left({\Vert u\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^{1-{\theta }_3}\\ \le C{\Vert u\left(0\right)-v\left(0\right)\Vert }_{B_{p,r}^{s^{\prime }}}^{{\theta }_3}{\text{e}}^{C{\theta }_3{\displaystyle {\int }_0^t{\left({\Vert u\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^3\left(\tau \right)\text{d}\tau }}{\left({\Vert u\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}+{\Vert v\left(t\right)\Vert }_{B_{p,r}^s}\right)}^{1-{\theta }_3}\end{array}$

其中

$s^{\text{'}}={\theta }_3\left(s-1\right)+\left(1-{\theta }_3\right)s。$

当$r<\infty$ 时，可以证明在$C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^s\right)\cap C^1\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right)$ 上的连续性是正确的，它在粘性近似解序列的帮助下${\left(u_{\epsilon }\right)}_{\epsilon >0}$ 对于拟线性浅水波动方程在$C\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^s\right)\cap C^1\left(\left[0,T\right];B_{p,r}^{s-1}\right)$ 上是收敛的。因此完成了定理1的证明。

4. 总结

本文主要研究了一类新的拟线性浅水波方程在Besov空间$\left\{B_{p,r}^s\left(R^n\right)|s\in R,1\le p,r\le +\infty \right\}$ 中的局部适定性问题。然而，关于方程(1.1)在Besov空间中的爆破现象，解的全局存在性等其他问题还有待被研究。

基金项目

山西省基础研究计划项目(202203021212286)。

NOTES

^*通讯作者。