四元数Segal-Bargmann变换的$L^p$映射性质

The Mapping Properties of the Quaternionic Segal-Bargmann Transform on $L^p$

摘要: 本文研究了四元数Segal-Bargmann变换的Lp映射性质。具体来说，当2

Abstract: In this paper, we study the mapping properties of the quaternionic Segal-Bargmann transform onLp. To be specific, when2

文章引用：韩媛媛. 四元数Segal-Bargmann变换的$L^p$映射性质[J]. 理论数学, 2024, 14(6): 331-340. https://doi.org/10.12677/pm.2024.146253

1. 引言

Fock空间又称为Segal-Bargmann空间，是研究经典量子力学的一个非常重要的工具。近年来，将经典量子力学推广到四元数上引起了很多人的兴趣。在2004年，Alder证明了四元数量子场论可以被表述出来，参见文献[1]。从数学的角度来看，Fock空间可以看作是Hilbert空间的对称或反对称或全张量幂的直和的结果。2014年，Alpay，Colombo Sabadini和Salomon在文献[2]中定义并研究了切片超全纯背景下Fock空间，并证明了该空间与虚单位I的选取无关，并且是一个再生核Hilbert空间。超全纯的Fock空间为描述四元数量子场激发态提供了数学框架。

总所周知，Segal-Bargmann变换是从$L^2$ 到Fock空间的一个酉变换，它将量子力学中的相干态与复分析中的整函数联系了起来，从而为处理相干态提供了一个更加优雅和便利的数学框架。Diki和Ghanmi在文献[3]中引入和研究了四元数Segal-Bargmann变换，并给出了该变换逆的显式表达式以及该变换与四元数Fourier变换之间的关系。文献[3]中也研究了四元数Segal-Bargmann变换的$L^2$ 映射性质。对于经典Bargmann变换，文献[4]中已经研究了它的$L^p\left(ℝ\right)$ 映射性质。而四元数Segal-Bargmann变换的$L^p$ 映射尚未研究，本文将对此展开研究。具体来说，文章将详细地介绍和研究在$p=2$ 的时候，该变换是否是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界算子的有界算子。

本文将采用如下的结构安排：第二节中介绍了四元数和切片正则函数的理论，并且给出了四元数Segal-Bargmann变换的定义。第三节中利用定义证明了$p=2$ 时，四元数Segal-Bargmann变换的$L^p$ 映射性质，得到了该变换的有界性。第四节中给出了四元数Segal-Bargmann变换与Fourier变换之间的关系，并利用这个关系证明文章的主要结论。

2. 预备知识

2.1. 四元数和切片正则函数

本节将介绍一些四元数和切片正则函数的基本概念与结果。关于切片正则函数的理论参见文献[3] [4]。

四元数是由$ℝ$ 和三个虚数单位$i,j,k$ 组成的结合代数。四元数代数用$ℍ$ 来表示，即

四元数是非交换的，其中虚数单位满足Hamilton乘法法则

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j$

四元数$q\in ℍ$ 的共轭和模分别定义为

$\overline{q}=\mathrm{Re}\left(q\right)-\mathrm{Im}\left(q\right)$ ，其中$\mathrm{Re}\left(q\right)=x_0,\mathrm{Im}\left(q\right)=x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k$ ，

和$\left|q\right|=\sqrt{q\overline{q}}=\sqrt{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ 。那么对于$\forall p,q\in ℍ$ ，四元数共轭满足$\overline{pq}=\overline{q}\overline{p}$。

四元数中虚数单位组成的集合为$\mathbb{S}=\left\{q\in ℍ;q^2=-1\right\}$ ，因此$\mathbb{S}$ 是一个二维单位球面。每个非实数的四元数都可以表示为$q=x+Iy$ ，其中$x,y$ 为实数且$I\in \mathbb{S}$ 。具体来说，

$q=x_0+\frac{x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}{\left|x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k\right|}\left|x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k\right|$

对于$\forall I\in \mathbb{S}$ ，切片${ℂ}_I$ 定义为包含虚数单位I的复平面

${ℂ}_I:=ℝ+ℝI$ .

因此可以认为切片${ℂ}_I$ 是$ℍ$ 经过的0，1和I复平面。其中半切片${ℂ}_I^{+}$ 定义为$\left\{x+Iy;x,y\in ℝ,y\ge 0\right\}$ 。如果$q=x_0\in ℝ$ ，那么对于$\forall I\in \mathbb{S}$ 都有$q\in {ℂ}_I$ ，并称

$ℍ={\displaystyle \underset{I\in \mathbb{S}}{\cup }{ℂ}_I}$

为四元数切片结构。

Gentili和Struppa在文献[5]中将经典全纯函数理论从复平面推广到四元数上。他们在四元数上定义了切片正则函数：

定义2.1 [5]设$f:\Omega \to ℍ$ 是定义域$\Omega \in ℍ$ 上的一个实可微函数，若对于$\forall I\in \mathbb{S}$ ，函数$f_I$ 是f在切片${ℂ}_I$ 上的限制并且在${\Omega }_I$ 上满足

${\overline{\partial }}_{I}f\left(x+Iy\right):=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}+I\frac{\partial }{\partial y}\right)f_I\left(x+Iy\right)=0,$

则称函数f为四元数(左)切片正则函数，简称切片正则函数。

注2.2切片正则函数组成的空间是非交换代数$ℍ$ 上的一个右线性空间。为了方便起见，用$\mathcal{S}ℛ\left(ℍ\right)$ 表示所有切片正则函数组成的空间。

对$\forall I\in \mathbb{S}$ ，存在$J\in \mathbb{S}$ ，$I\perp J$ ，四元数可分解为如下形式：

$ℍ={ℂ}_I+{ℂ}_{I}J$

Colombo，Sabadini和Struppa在文献[4]中给出了切片正则函数的相关理论：

引理2.3 (分裂引理) [6]设f是域Ω上的切片正则函数，对$\forall I\in \mathbb{S}$ ，存在$J\in \mathbb{S}$ 且$I\perp J$ ，同时存在两个全纯函数$F,G:{\Omega }_I\to {ℂ}_I$ ，使得对所有$z=x+Iy\in {\Omega }_I$ 有

$f_I\left(z\right)=F\left(z\right)+G\left(z\right)J$

定理2.4 (泰勒级数) [6]设f是一个$ℍ$ -值函数且$B\left(0,R\right)=\left\{q\in ℍ;\left|q\right|<R\right\}$ 。如果f在$B\left(0,R\right)\subset ℍ$ 上是

切片正则函数当且仅当它具有如下形式的级数展开：

$f\left(q\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{q}^n\frac{f^n\left(0\right)}{n!}},q\in B\left(0,R\right)$

定义2.5 [6]设Ω为$ℍ$ 中的域。如果$\Omega \cap ℝ$ 是非空的，满足对$\forall I\in \mathbb{S}$ ，域${\Omega }_I$ 仍为${ℂ}_I$ 中的域，则称$\Omega \subset ℍ$ 为切片域(或称为Slice域)。该域${\Omega }_I=\Omega \cap {ℂ}_I$ 是复平面${ℂ}_I$ 的域。如果Ω满足对任意的$q=x+Iy\in \Omega$ ，其中$x,y\in ℝ$ ，$I\in \mathbb{S}$ 均有$x+y\mathbb{S}\in \Omega$ ，则称Ω为轴对称切片域。

定理2.6 (表示公式) [6]设$\Omega \subset ℍ$ 是轴对称切片域，函数f是域Ω上的切片正则函数，则对于$\forall I,J\in \mathbb{S}$ ，有

$f\left(x+Jy\right)=\frac{1}{2}\left(1-JI\right)f_I\left(x+Iy\right)+\frac{1}{2}\left(1+JI\right)f_I\left(x-Iy\right),$

其中$q=x+Jy\in \Omega$ 。

定理2.7 (唯一性定理) [6]设f和g是定义在切片域Ω上的两个切片正则函数，如果对于某个$I\in \mathbb{S}$ ，在${\Omega }_I$ 的子集上f和g重合，并且在该子集上有一个聚点，那么在切片域Ω上有$f\equiv g$ 。

引理2.8 (延拓引理) [6]设${\Omega }_I$ 是${ℂ}_I$ 中一个关于实轴对称的域，并且有${\Omega }_I\cap ℝ\ne \varnothing$ 。设$h:{\Omega }_I\to ℍ$ 是全纯函数，对于$\forall I,J\in \mathbb{S}$ ，那么函数$ext\left(h\right)$ 满足

$ext\left(h\right)\left(x+Jy\right)=\frac{1}{2}\left[h\left(x+Iy\right)+h\left(x-Iy\right)\right]+\frac{JI}{2}\left[h\left(x-Iy\right)-h\left(x+Iy\right)\right]$

其中在$\tilde{\Omega }={\displaystyle \underset{x+Jy\in \Omega }{\cup }x+Iy}$ 上将h延拓为一个切片正则函数$ext\left(h\right)$ 。此外，$ext\left(h\right)$ 是h的唯一切片正则延拓。

2.2. 四元数Segal-Bergmann变换

文献[2]引入了切片超全纯四元数Fock空间，Diki和Ghanmi继续考虑了该空间，并在文献[3]中定义了如下四元数Bargmann-Fock空间。给定$I\in \mathbb{S}$ ，$q=x+yI\in ℍ$ 和实数$\nu >0$ 有

${ℱ}_I^{2,\nu }=\left\{f\in \mathcal{S}ℛ\left(ℍ\right);{\displaystyle {\int }_{{ℂ}_I}{\left|f_I\left(q\right)\right|}^2}{\text{e}}^{-\nu {\left|q\right|}^2}\text{d}{\lambda }_I\left(q\right)<\infty \right\},$

其中$f_I={f|}_{{ℂ}_I}$ 且$\text{d}{\lambda }_I\left(q\right)=\text{d}x\text{d}y$ 。为了方便，四元数Bargmann-Fock空间简写为${ℱ}_I^{2,\nu }$ 。对于${ℱ}_I^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ 的内积和范数定义如下：

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{{ℂ}_I}\overline{g_I\left(q\right)}{f}_I\left(q\right){\text{e}}^{-\nu {\left|q\right|}^2}\text{d}{\lambda }_I\left(q\right)},$

和

${\Vert f\Vert }_{{ℱ}_I^{2,\nu }}^2={\displaystyle {\int }_{{ℂ}_I}{\left|f_I\left(q\right)\right|}^2}{\text{e}}^{-\nu {\left|q\right|}^2}\text{d}{\lambda }_I\left(q\right),$

其中$f,g\in {ℱ}_I^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ 。

引进四元数Segal-Bargmann变换的核函数

(1)

文献[7]中定义了如下四元数Segal-Bargmann变换：

定义2.9 (四元数Segal-Bargmann变换)设函数$\psi :ℝ\to ℍ$ ，结合(1)给出的核函数$K\left(q,x\right)$ ，定义如下积分变换

$\begin{array}{l}{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right):={\displaystyle {\int }_{ℝ}K\left(q,x\right)\psi \left(x\right)\text{d}x}\\ ={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{\frac{3}{4}}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}\left(q^2+x^2\right)+\nu \sqrt{2}qx}\psi \left(x\right)\text{d}x},\nu >0,q\in ℍ\end{array}$ (2)

如果积分存在，则称该积分变换为四元数Segal-Bargmann变换，简称Segal-Bargmann变换。为了方便起见用${ℬ}_{\nu }$ 表示该变换。

性质2.10四元数Segal-Bargmann变换是Hilbert空间$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 到切片超全纯Bargmann-Fock空间的满射同构。

此外，在$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 上的实Hermite函数定义为：

$h_{\nu }^n\left(x\right):={\left(-1\right)}^n{\text{e}}^{{}^{\frac{\nu }{2}{x}^2}}\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{x}^n}\left({\text{e}}^{-\nu x^2}\right),$

并且Hermite函数$h_{\nu }^n\left(x\right)$ 构成了$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 的正交基。对于该函数的$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 范数定义为：

${\Vert h_{\nu }^n\left(x\right)\Vert }_{L^2\left(ℝ\text{;}ℍ\right)}^2=2^n{\nu }^{n}n!{\left(\frac{\pi }{\nu }\right)}^{1/2}$

3. Segal-Bargmann变换的有界性

文献[4]中研究了经典Bargmann变换的$L^p\left(ℝ\right)$ 映射性质。本节致力于将该变换从复平面推广到四元数上。文献[3]中已经得到当$p=2$ 时，四元数Segal-Bargmann变换${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ 的等距映射。然而，当$p\ne 2$ 时，该变换在$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 空间上有怎样的映射性质是一个值得考虑的问题。详细地说，当$p\ne 2$ 时，该变换是否将$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 有界映射到${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 上。接下来根据这个问题展开研究。

当$1\le p\le \infty$ 时，对于$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 上的每一个函数$\psi$ ，四元数Segal-Bargmann变换都是定义良好的，这一点与其他的积分变换不同。令$q=u+v{I}_q\in {ℂ}_{I_q}$ ，其中$u,v\in ℝ$ ，$I_q\in \mathbb{S}$ ，将其代入到等式(2)则很容易得出

${ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2+\nu v{I}_q\left(\sqrt{2}x-u\right)}\psi \left(x\right)\text{d}x}$ (3)

通过等式(3)可以得到如下不等式

$\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\right|\le {\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2}\left|\psi \left(x\right)\right|\text{d}x}$ (4)

如果$\psi \left(x\right)\in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，其中$1<p<\infty$ 且$1/p+1/p^{\prime }=1$ 。那么对$\forall q\in ℍ$ ，根据不等式(4)和Hölder不等式有

$\begin{array}{l}\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\right|\le {\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right]}^{\frac{1}{p}}{\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu p^{\prime }}{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2}\text{d}x}\right]}^{\frac{1}{p^{\prime }}}\\ ={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu p^{\prime }}{2}{x}^2}\text{d}x}\right]}^{\frac{1}{p^{\prime }}}{\Vert \psi \Vert }_p\\ ={\left(\frac{4\nu }{\pi }\right)}^{1/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\Vert \psi \Vert }_p\end{array}$

四元数值函数空间$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 不是自然有序的。换句话说，对于两个不同的$0<p,p^{\prime }<\infty$ ，空间$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 和空间$L^{p^{\prime }}\left(ℝ;ℍ\right)$ 之间不存在包含关系。这是研究许多积分变换的映射性质比较复杂的原因之一。

接下来根据上述问题给出本篇文章的主要结论：

定理3.1 当$p\ne 2$ 时，四元数Segal-Bargmann变换${ℬ}_{\nu }$ 的$L^p\left(ℝ\text{;}ℍ\right)$ 映射性质如下：

${ℬ}_{\nu }:\{\begin{array}{l}{L}^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)是有界映射,2<p\le \infty ,\\ L^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)是有界映射,1\le p<2其中1/p+1/p^{\prime }=1\end{array}$

并且，当$2<p\le \infty$ 时，算子${ℬ}_{\nu }:L^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 是单射但不是满射；当$1\le p<2$ 时，算子${ℬ}_{\nu }:L^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$ 是单射但不是满射，其中$1/p+1/p^{\prime }=1$ 。

证明 首先证明$2<p\le \infty$ 时的情况。如果$\psi \in L^{\infty }\left(ℝ;ℍ\right)$ ，对$\forall q\in ℍ$ 我们通过(4)得到

$\begin{array}{l}\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\right|\le {\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2}\text{d}x}{\Vert \psi \Vert }_{\infty }\\ ={\left(\frac{4\nu }{\pi }\right)}^{1/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\Vert \psi \Vert }_{\infty }\end{array}$

通过上式可得到${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^{\infty }\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{\infty ,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射。

此外，我们知道该变换是从$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ 的酉算子。因此，通过内插定理得出，当$2<p\le \infty$ 时，${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射。

对于${ℬ}_{\nu }$ 是单射但不是满射的证明，这里假设${ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)=0$ ，即

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2}\psi \left(x\right)\text{d}x}=0,q\in ℍ$

在积分内部对q进行微分，并设$q=0$ ，得到

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}{x}^k\psi \left(x\right)\text{d}x}=0,k\ge 0$

通过Hermite函数的性质得出$\psi \left(x\right)=0$ 在$ℝ$ 上几乎处处成立，从而得出${ℬ}_{\nu }$ 是单射。

下面取$p_0\in \left(2,p\right)$ ，可以找到函数$\psi \left(x\right)\in L^{p_0}\left(ℝ;ℍ\right)\backslash L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，则有${ℬ}_{\nu }\psi \in {ℱ}_{slice}^{p_0,\nu }\left(ℍ\right)\subset {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 。如果${ℬ}_{\nu }:L^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 是满射，则存在函数$\varphi \in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，使得${ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)={ℬ}_{\nu }\left(\varphi \right)$ ，即${ℬ}_{\nu }\left(\psi -\varphi \right)=0$ 。通过上述可得$\psi -\varphi =0$ 在$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 上几乎处处成立，这与$\psi \left(x\right)\notin L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 矛盾，说明${ℬ}_{\nu }$ 不是满射。

接下来证明$1\le p<2$ 时的情况。$1\le p<2$ 的情况与$2<p\le \infty$ 的情况大不相同。首先可以得到如下Hausdorff-Young型结果。如果$\psi \left(x\right)\in L^1\left(ℝ;ℍ\right)$ ，对$\forall q\in ℍ$ 我们根据(4)有

$\begin{array}{l}\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\right|\le {\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|\psi \left(x\right)\right|\text{d}x}\\ ={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\Vert \psi \Vert }_1\end{array}$

通过上式可得到${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^1\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{\infty ,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射。

众所周知，该变换是从$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ 的等距映射。同理，可以通过内插定理得出，当$1\le p<2$ 时，${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射，其中$1/p+1/p^{\prime }=1$ 。

对于${ℬ}_{\nu }$ 是单射但不是满射，可以利用$2<p\le \infty$ 情况的类似证明方法，因此这里省略证明细节，证毕。

当$1\le p<2$ 时，四元数Segal-Bargmann变换还有如下性质：

定理3.2 当$1\le p<2$ 时，有

(a) 存在函数$\psi \left(x\right)\in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，使得${ℬ}_{\nu }\psi \notin {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 。

(b) 不存在正整数$C>0$ ，使得${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$ 。

(c) 不存在右线性子空间$X\subset L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，使得${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$ ，其中函数$\psi \in X$ ，实数$C>0$ 。

证明 存在函数$\psi \left(x\right)\in L^p\left(ℝ;ℍ\right)\backslash L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ ，则有${ℬ}_{\nu }\psi \in {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)\subset {ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ ，那么

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)}=C{\Vert \psi \Vert }_{L^2\left(ℝ;ℍ\right)}<\infty$

这与$\psi \left(x\right)\notin L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 矛盾。因此(a)成立，同时也说明了(b)成立。

对于(c)的证明利用反证法。对于$\forall \psi \in X$ 且常数$C>0$ ，如果存在右线性子空间$X\subset L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，使得${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$ 成立。那么固定函数$\psi \in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，选择序列$\left\{{\psi }_n\right\}\subset X$ ，使得当$n\to \infty$ 时，${\Vert {\psi }_n-\psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}\to 0$ 。由于X是右线性子空间，则有

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)-{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}={\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n-\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert {\psi }_n-\psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$

因此$\left\{{ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)\right\}$ 是${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 的Cauchy序列。由于${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 是Banach空间，存在函数$\varphi \in {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 使得当$n\to \infty$ 时，有${\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)-\varphi \Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\to 0$ 。特别地，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)\left(q\right)=\varphi \left(q\right),q\in ℍ$

由于当$n\to \infty$ 时，有

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)\left(q\right)-{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C^{\prime }{\Vert {\psi }_n-\psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}{\text{e}}^{\frac{\nu {\left|q\right|}^2}{2}}\to 0,q\in ℍ$

其中$C^{\prime }$ 是常数。因为$\underset{n\to \infty }{\lim }{ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)\left(q\right)={ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)$ ，$q\in ℍ$ 。那么可以得到${ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)=\varphi \in {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ ，由于$\psi$ 是任意的，得到该结果与(a)矛盾。这个矛盾也说明了(c)成立，证毕。

注3.3 定理3.2中(c)的证明采用了反证法，但是反证后的内容与复分析中的结论相矛盾[5]。由于四元数中包含了复数，该有界性在复分析中不成立，那么在四元数中也不成立，否则出现矛盾。

上述主要讨论了当$1\le p\le \infty$ 时，四元数Segal-Bargmann变换的$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 映射性质。对此，我们很自然地想到在$0<p<1$ 时，该变换的$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 映射性质。当$0<p<1$ 时，没有合理的方法将${ℬ}_{\nu }$ 延拓到$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 。取任意有限区间$\left(a,b\right)$ 很容易找到函数$\psi \in L^p\left[a,b\right]\backslash L^1\left[a,b\right]$ 。那么，对任意区间$\left(a,b\right)$ 存在函数$\psi \in L^p\left[a,b\right]$ 使得积分变换

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}q\right)}^2}\psi \left(x\right)\text{d}x},q\in ℍ$

没有良好定义。因此，当$0<p<1$ 时，对于$\psi \in L^p\left[a,b\right]$ ，我们不能给出${ℬ}_{\nu }$ 的积分定义。并且，定义在$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 上的四元数Segal-Bargmann变换是稠密的，从而给出下面的定理：

定理3.4 线性空间$X_p=L^p\left(ℝ;ℍ\right)\cap L^1\left(ℝ;ℍ\right)$ 在$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 上是稠密的并且${ℬ}_{\nu }\psi$ 是定义良好的切片正则函数，其中$\psi \in X_p$ 。当$0<p<1$ 时不存在正整数C使得

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)},\psi \in X_p$ (5)

证明 假设存在正常数C满足不等式(5)，则对$\forall \psi \in X_p$ 有${ℬ}_{\nu }\psi \in {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)\subset {ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ 。由于${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)}={\Vert \psi \Vert }_{L^2\left(ℝ;ℍ\right)}<\infty$ ，这意味着$L^p\left(ℝ;ℍ\right)\cap L^1\left(ℝ;ℍ\right)\subset L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ ，这个结果显然错误，因此假设不成立，证毕。

注3.5 定理3.4中采用反证法，反证后的内容与复分析中$0<p<1$ 的结论相矛盾[4]，该矛盾也直接说明该定理的内容成立。

4. Fourier方法证明Segal-Bargmann变换的有界性

第三节主要介绍了用定义证明四元数Segal-Bargmann变换的$L^p$ 映射性质。本节将利用Segal-Bargmann变换与Fourier变换之间的关系证明${ℬ}_{\nu }$ 的$L^p$ 映射性质。该节内容使用了Fourier变换的映射性质，避免了使用内插定理。

我们用$ℱ$ 表示Fourier变换，用$ℱ\left[\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}\right]\left(v\right)$ 表示$\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}$ 的Fourier变换，其中$q=u+vI$ ，则有

$\begin{array}{c}{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\text{e}}^{-\nu Iuv}={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}{\text{e}}^{\sqrt{2}\nu Ixv}\psi \left(x+\sqrt{2}u\right)\text{d}x}\\ ={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}ℱ\left[\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}\right]\left(v\right)\end{array}$ (6)

下面是利用${ℬ}_{\nu }$ 与Fourier变换的关系对$1\le p<2$ 情况的再次证明。

定理 4.1设$1\le p<2$ 时，$1/p+1/p^{\prime }=1$ 且$p_0<p^{\prime }$ ，则${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射但不是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p_0,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射。

证 首先证明${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射。为了方便计算，设$c={\left(\frac{v}{\pi }\right)}^{3/4}$ 。当$1\le p<2$ 时，根据Fourier变换和Hausdorff-Young不等式得

$\begin{array}{c}{\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)}^{p^{\prime }}={{\displaystyle {\int }_{{ℂ}_I}\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left|q\right|}^2}\right|}}^{p^{\prime }}\text{d}\lambda \left(q\right)\\ =c^{p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\text{d}u}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|ℱ\left[\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}\right]\left(v\right)\right|}^{p^{\prime }}\text{d}v}\\ \le c^{p^{\prime }}{{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{v}^2}\right|}^{{}^p}}\text{d}v\right]}}^{\frac{p^{\prime }}{p}}\text{d}u,\end{array}$ (7)

改写$p^{\prime }/p$ 为

$\frac{p^{\prime }}{p}=1+\frac{p^{\prime }-p}{p}$

代入不等式(7)得

$\begin{array}{c}{\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)}^{p^{\prime }}\le c^{p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{v}^2}\right|}^p}\text{d}v\right]}{\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{v}^2}\right|}^p\text{d}v}\right]}^{\frac{p^{\prime }-p}{p}}\text{d}u\\ \le c^{p^{\prime }}{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}^{p-p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\text{d}u}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right)\right|}^p{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}p{v}^2}\text{d}v}\\ \le c^{p^{\prime }}{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}^{p-p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}p{v}^2}\text{d}}v{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right)\right|}^p\text{d}u}\\ \le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}^{p^{\prime }},\end{array}$

其中

$C=c^{p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}p{v}^2}\text{d}}v$

当$p=1$ 时，设函数$\psi \left(x\right)\in L^1\left(ℝ;ℍ\right)$ ，对$\forall u\in ℝ$ 有不等式

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}\right|}^p\text{d}}x\le {\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|\psi \left(x\right)\right|}\text{ d}x$

通过等式(6)和Hausdorff-Young不等式得

$\begin{array}{c}{\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)}=\underset{q\in ℍ}{\sup }\left|{ℬ}_{\nu }\left[\psi \right]\left(q\right)\right|{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left|q\right|}^2}\\ \le c\underset{u\in ℝ}{\sup }{\Vert \psi \left(x+\sqrt{2}u\right)\Vert }_{L^1\left(ℝ;ℍ\right)}\\ \le c{\Vert \psi \Vert }_{L^1\left(ℝ;ℍ\right)}\end{array}$

因此证明了当$1\le p<2$ 时，${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },v}\left(ℍ\right)$ 的有界映射。

下面利用反证法证明在$1\le p<2$ 时，${ℬ}_{\nu }$ 不是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)$ 的有界映射。如果该变换是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)$ 的有界映射，则存在一个常数$M>0$ 满足对$\forall \psi \in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 有${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)}\le M{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$ 。设$X_p$ 是$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 中所有具有紧支集的函数组成的子集。对于$\forall \psi \in X_p$ ，设${\psi }_r\left(x\right)=\psi \left(rx\right)$ ，其中$r\in \left(1,\infty \right)$ 。由于${\psi }_r\left(x\right)\in X_p$ ，则

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left[{\psi }_r\right]\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)}^p\le M^p{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(rx\right)\right|}^p}\text{d}x=\frac{M^p}{r}{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}^p$ (8)

对等式(3)进行变量变换，令$x=t/r$ 得到

${\left|{ℬ}_{\nu }\left[{\psi }_r\right]\left(q\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left|q\right|}^2}\right|}^{p_0}=\frac{c^{p_0}}{r^{p_0}}{\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(\frac{v}{r}\right)\right|}^{p_0}{\text{e}}^{-\nu p_0{u}^2}$

再进行一次简单的变量变换得到

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left[{\psi }_r\right]\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)}^{p_0}=\frac{c^{p_0}}{r^{p_0-1}}{{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(v\right)\right|}}}^{p_0}{\text{e}}^{-\nu p_0{u}^2}\text{d}v\text{d}u$

结合不等式(8)使得

${\left[{{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(v\right)\right|}}}^{p_0}{\text{e}}^{-\nu p_0{u}^2}\text{d}v\text{d}u\right]}^{\frac{1}{p_0}}\le N{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)},$ (9)

其中正常数$N=\frac{M}{c}{r}^{1-\frac{1}{p_0}-\frac{1}{p}}$ 。由于$p_0<p^{\prime }$ 且$r>1$ ，则对于常数$C>0$ 有

${\left[{{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\nu u^2}\right]\left(v\right)\right|}}}^{p_0}\text{d}v\text{d}u\right]}^{\frac{1}{p_0}}=C{\Vert ℱ\left(\psi \right)\Vert }_{L^{p_0}\left(ℝ;ℍ\right)}$ (10)

由于$\psi$ 具有紧支集则

$\underset{r\to \infty }{\lim }ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(v\right){\text{e}}^{-\nu u^2}=ℱ\left[\psi \right]\left(v\right){\text{e}}^{-\nu u^2}$

由不等式(9)和等式(10)以及Fatou引理得

$\begin{array}{c}{\Vert ℱ\left(\psi \right)\Vert }_{L^{p_0}\left(ℝ;ℍ\right)}\le C^{-1}\underset{r\to \infty }{\lim \inf }{\left[{{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(v\right)\right|}}}^{p_0}{\text{e}}^{-\nu p_0{u}^2}\text{d}v\text{d}u\right]}^{\frac{1}{p_0}}\\ \le M^{\prime }{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)},\end{array}$

其中$M^{\prime }$ 是正常数。通过Hausdorff-Young不等式发现这个结果和我们所熟知的Fourier变换的映射性质相矛盾。因此当$1\le p<2$ 时，${ℬ}_{\nu }$ 不是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p_0,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射。

注4.2定理4.1中采用反证法，如果在$1\le p<2$ 时，存在一个常数$M>0$ ，满足对$\forall \psi \in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 有${\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_r\right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p_0,\nu }\left(ℍ\right)}\le M{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$ 。但这与复分析中的有界性相矛盾[4]，该矛盾也直接说明定理的内容成立。

5. 总结

本文主要研究了切片超全纯Bargmann-Fock空间中的四元数Segal-Bargmann变换的$L^p$ 映射性质。具体来说，当$2<p<\infty$ 时，该变换是从四元数值函数空间$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到四元数Bargmann-Fock空间${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界算子并且是单射；当$1\le p<2$ 时，该变换是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界算子但不是$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界算子，其中$1/p+1/p^{\prime }=1$ 。并且给出了两种不同证明办法。这些有界性为进一步研究四元数Segal-Bargmann变换的分析性质，建立熵测不准原理等打下了良好的基础。

基金项目

天津市自然科学基金No. 22JCQNJC00470。

参考文献

[1]	Alder, S.L. (1986) Quaternionic Quantum Field Theory. Communications in Mathematical Physics, 104, 611-656. https://doi.org/10.1007/bf01211069
[2]	Alpay, D., Colombo, F., Sabadini, I. and Salomon, G. (2014) The Fock Space in the Slice Hyperholomorphic Setting. In: Bernstein, S., Kähler, U., Sabadini, I., Sommen, F., Eds., Hypercomplex Analysis: New Perspectives and Applications, Trends in Mathematics, 43-59.
[3]	Diki, K. and Ghanmi, A. (2016) A Quaternionic Analogue of the Segal-Bargmann Transform. Complex Analysis and Operator Theory, 11, 457-473. https://doi.org/10.1007/s11785-016-0609-5
[4]	Cao, G., He, L. and Hou, S. (2018) The Bargmann Transform on . Journal of Mathematical Analysis and Applications, 468, 642-649. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2018.08.031
[5]	Gentili, G. and Struppa, D.C. (2007) A New Theory of Regular Functions of a Quaternionic Variable. Advances in Mathematics, 216, 279-301. https://doi.org/10.1016/j.aim.2007.05.010
[6]	Colombo, F., Sabadini, I. and Struppa, D.C. (2016) Entire Slice Regular Functions. Springer.
[7]	Colombo, F., Gentili, G., Sabadini, I. and Struppa, D. (2009) Extension Results for Slice Regular Functions of a Quaternionic Variable. Advances in Mathematics, 222, 1793-1808. https://doi.org/10.1016/j.aim.2009.06.015

1. 引言

Fock空间又称为Segal-Bargmann空间，是研究经典量子力学的一个非常重要的工具。近年来，将经典量子力学推广到四元数上引起了很多人的兴趣。在2004年，Alder证明了四元数量子场论可以被表述出来，参见文献[1]。从数学的角度来看，Fock空间可以看作是Hilbert空间的对称或反对称或全张量幂的直和的结果。2014年，Alpay，Colombo Sabadini和Salomon在文献[2]中定义并研究了切片超全纯背景下Fock空间，并证明了该空间与虚单位I的选取无关，并且是一个再生核Hilbert空间。超全纯的Fock空间为描述四元数量子场激发态提供了数学框架。

总所周知，Segal-Bargmann变换是从$L^2$ 到Fock空间的一个酉变换，它将量子力学中的相干态与复分析中的整函数联系了起来，从而为处理相干态提供了一个更加优雅和便利的数学框架。Diki和Ghanmi在文献[3]中引入和研究了四元数Segal-Bargmann变换，并给出了该变换逆的显式表达式以及该变换与四元数Fourier变换之间的关系。文献[3]中也研究了四元数Segal-Bargmann变换的$L^2$ 映射性质。对于经典Bargmann变换，文献[4]中已经研究了它的$L^p\left(ℝ\right)$ 映射性质。而四元数Segal-Bargmann变换的$L^p$ 映射尚未研究，本文将对此展开研究。具体来说，文章将详细地介绍和研究在$p=2$ 的时候，该变换是否是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界算子的有界算子。

本文将采用如下的结构安排：第二节中介绍了四元数和切片正则函数的理论，并且给出了四元数Segal-Bargmann变换的定义。第三节中利用定义证明了$p=2$ 时，四元数Segal-Bargmann变换的$L^p$ 映射性质，得到了该变换的有界性。第四节中给出了四元数Segal-Bargmann变换与Fourier变换之间的关系，并利用这个关系证明文章的主要结论。

2. 预备知识

2.1. 四元数和切片正则函数

本节将介绍一些四元数和切片正则函数的基本概念与结果。关于切片正则函数的理论参见文献[3] [4]。

四元数是由$ℝ$ 和三个虚数单位$i,j,k$ 组成的结合代数。四元数代数用$ℍ$ 来表示，即

四元数是非交换的，其中虚数单位满足Hamilton乘法法则

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j$

四元数$q\in ℍ$ 的共轭和模分别定义为

$\overline{q}=\mathrm{Re}\left(q\right)-\mathrm{Im}\left(q\right)$ ，其中$\mathrm{Re}\left(q\right)=x_0,\mathrm{Im}\left(q\right)=x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k$ ，

和$\left|q\right|=\sqrt{q\overline{q}}=\sqrt{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ 。那么对于$\forall p,q\in ℍ$ ，四元数共轭满足$\overline{pq}=\overline{q}\overline{p}$。

四元数中虚数单位组成的集合为$\mathbb{S}=\left\{q\in ℍ;q^2=-1\right\}$ ，因此$\mathbb{S}$ 是一个二维单位球面。每个非实数的四元数都可以表示为$q=x+Iy$ ，其中$x,y$ 为实数且$I\in \mathbb{S}$ 。具体来说，

$q=x_0+\frac{x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}{\left|x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k\right|}\left|x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k\right|$

对于$\forall I\in \mathbb{S}$ ，切片${ℂ}_I$ 定义为包含虚数单位I的复平面

${ℂ}_I:=ℝ+ℝI$ .

因此可以认为切片${ℂ}_I$ 是$ℍ$ 经过的0，1和I复平面。其中半切片${ℂ}_I^{+}$ 定义为$\left\{x+Iy;x,y\in ℝ,y\ge 0\right\}$ 。如果$q=x_0\in ℝ$ ，那么对于$\forall I\in \mathbb{S}$ 都有$q\in {ℂ}_I$ ，并称

$ℍ={\displaystyle \underset{I\in \mathbb{S}}{\cup }{ℂ}_I}$

为四元数切片结构。

Gentili和Struppa在文献[5]中将经典全纯函数理论从复平面推广到四元数上。他们在四元数上定义了切片正则函数：

定义2.1 [5]设$f:\Omega \to ℍ$ 是定义域$\Omega \in ℍ$ 上的一个实可微函数，若对于$\forall I\in \mathbb{S}$ ，函数$f_I$ 是f在切片${ℂ}_I$ 上的限制并且在${\Omega }_I$ 上满足

${\overline{\partial }}_{I}f\left(x+Iy\right):=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}+I\frac{\partial }{\partial y}\right)f_I\left(x+Iy\right)=0,$

则称函数f为四元数(左)切片正则函数，简称切片正则函数。

注2.2切片正则函数组成的空间是非交换代数$ℍ$ 上的一个右线性空间。为了方便起见，用$\mathcal{S}ℛ\left(ℍ\right)$ 表示所有切片正则函数组成的空间。

对$\forall I\in \mathbb{S}$ ，存在$J\in \mathbb{S}$ ，$I\perp J$ ，四元数可分解为如下形式：

$ℍ={ℂ}_I+{ℂ}_{I}J$

Colombo，Sabadini和Struppa在文献[4]中给出了切片正则函数的相关理论：

引理2.3 (分裂引理) [6]设f是域Ω上的切片正则函数，对$\forall I\in \mathbb{S}$ ，存在$J\in \mathbb{S}$ 且$I\perp J$ ，同时存在两个全纯函数$F,G:{\Omega }_I\to {ℂ}_I$ ，使得对所有$z=x+Iy\in {\Omega }_I$ 有

$f_I\left(z\right)=F\left(z\right)+G\left(z\right)J$

定理2.4 (泰勒级数) [6]设f是一个$ℍ$ -值函数且$B\left(0,R\right)=\left\{q\in ℍ;\left|q\right|<R\right\}$ 。如果f在$B\left(0,R\right)\subset ℍ$ 上是

切片正则函数当且仅当它具有如下形式的级数展开：

$f\left(q\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{q}^n\frac{f^n\left(0\right)}{n!}},q\in B\left(0,R\right)$

定义2.5 [6]设Ω为$ℍ$ 中的域。如果$\Omega \cap ℝ$ 是非空的，满足对$\forall I\in \mathbb{S}$ ，域${\Omega }_I$ 仍为${ℂ}_I$ 中的域，则称$\Omega \subset ℍ$ 为切片域(或称为Slice域)。该域${\Omega }_I=\Omega \cap {ℂ}_I$ 是复平面${ℂ}_I$ 的域。如果Ω满足对任意的$q=x+Iy\in \Omega$ ，其中$x,y\in ℝ$ ，$I\in \mathbb{S}$ 均有$x+y\mathbb{S}\in \Omega$ ，则称Ω为轴对称切片域。

定理2.6 (表示公式) [6]设$\Omega \subset ℍ$ 是轴对称切片域，函数f是域Ω上的切片正则函数，则对于$\forall I,J\in \mathbb{S}$ ，有

$f\left(x+Jy\right)=\frac{1}{2}\left(1-JI\right)f_I\left(x+Iy\right)+\frac{1}{2}\left(1+JI\right)f_I\left(x-Iy\right),$

其中$q=x+Jy\in \Omega$ 。

定理2.7 (唯一性定理) [6]设f和g是定义在切片域Ω上的两个切片正则函数，如果对于某个$I\in \mathbb{S}$ ，在${\Omega }_I$ 的子集上f和g重合，并且在该子集上有一个聚点，那么在切片域Ω上有$f\equiv g$ 。

引理2.8 (延拓引理) [6]设${\Omega }_I$ 是${ℂ}_I$ 中一个关于实轴对称的域，并且有${\Omega }_I\cap ℝ\ne \varnothing$ 。设$h:{\Omega }_I\to ℍ$ 是全纯函数，对于$\forall I,J\in \mathbb{S}$ ，那么函数$ext\left(h\right)$ 满足

$ext\left(h\right)\left(x+Jy\right)=\frac{1}{2}\left[h\left(x+Iy\right)+h\left(x-Iy\right)\right]+\frac{JI}{2}\left[h\left(x-Iy\right)-h\left(x+Iy\right)\right]$

其中在$\tilde{\Omega }={\displaystyle \underset{x+Jy\in \Omega }{\cup }x+Iy}$ 上将h延拓为一个切片正则函数$ext\left(h\right)$ 。此外，$ext\left(h\right)$ 是h的唯一切片正则延拓。

2.2. 四元数Segal-Bergmann变换

文献[2]引入了切片超全纯四元数Fock空间，Diki和Ghanmi继续考虑了该空间，并在文献[3]中定义了如下四元数Bargmann-Fock空间。给定$I\in \mathbb{S}$ ，$q=x+yI\in ℍ$ 和实数$\nu >0$ 有

${ℱ}_I^{2,\nu }=\left\{f\in \mathcal{S}ℛ\left(ℍ\right);{\displaystyle {\int }_{{ℂ}_I}{\left|f_I\left(q\right)\right|}^2}{\text{e}}^{-\nu {\left|q\right|}^2}\text{d}{\lambda }_I\left(q\right)<\infty \right\},$

其中$f_I={f|}_{{ℂ}_I}$ 且$\text{d}{\lambda }_I\left(q\right)=\text{d}x\text{d}y$ 。为了方便，四元数Bargmann-Fock空间简写为${ℱ}_I^{2,\nu }$ 。对于${ℱ}_I^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ 的内积和范数定义如下：

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{{ℂ}_I}\overline{g_I\left(q\right)}{f}_I\left(q\right){\text{e}}^{-\nu {\left|q\right|}^2}\text{d}{\lambda }_I\left(q\right)},$

和

${\Vert f\Vert }_{{ℱ}_I^{2,\nu }}^2={\displaystyle {\int }_{{ℂ}_I}{\left|f_I\left(q\right)\right|}^2}{\text{e}}^{-\nu {\left|q\right|}^2}\text{d}{\lambda }_I\left(q\right),$

其中$f,g\in {ℱ}_I^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ 。

引进四元数Segal-Bargmann变换的核函数

(1)

文献[7]中定义了如下四元数Segal-Bargmann变换：

定义2.9 (四元数Segal-Bargmann变换)设函数$\psi :ℝ\to ℍ$ ，结合(1)给出的核函数$K\left(q,x\right)$ ，定义如下积分变换

$\begin{array}{l}{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right):={\displaystyle {\int }_{ℝ}K\left(q,x\right)\psi \left(x\right)\text{d}x}\\ ={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{\frac{3}{4}}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}\left(q^2+x^2\right)+\nu \sqrt{2}qx}\psi \left(x\right)\text{d}x},\nu >0,q\in ℍ\end{array}$ (2)

如果积分存在，则称该积分变换为四元数Segal-Bargmann变换，简称Segal-Bargmann变换。为了方便起见用${ℬ}_{\nu }$ 表示该变换。

性质2.10四元数Segal-Bargmann变换是Hilbert空间$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 到切片超全纯Bargmann-Fock空间的满射同构。

此外，在$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 上的实Hermite函数定义为：

$h_{\nu }^n\left(x\right):={\left(-1\right)}^n{\text{e}}^{{}^{\frac{\nu }{2}{x}^2}}\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{x}^n}\left({\text{e}}^{-\nu x^2}\right),$

并且Hermite函数$h_{\nu }^n\left(x\right)$ 构成了$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 的正交基。对于该函数的$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 范数定义为：

${\Vert h_{\nu }^n\left(x\right)\Vert }_{L^2\left(ℝ\text{;}ℍ\right)}^2=2^n{\nu }^{n}n!{\left(\frac{\pi }{\nu }\right)}^{1/2}$

3. Segal-Bargmann变换的有界性

文献[4]中研究了经典Bargmann变换的$L^p\left(ℝ\right)$ 映射性质。本节致力于将该变换从复平面推广到四元数上。文献[3]中已经得到当$p=2$ 时，四元数Segal-Bargmann变换${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ 的等距映射。然而，当$p\ne 2$ 时，该变换在$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 空间上有怎样的映射性质是一个值得考虑的问题。详细地说，当$p\ne 2$ 时，该变换是否将$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 有界映射到${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 上。接下来根据这个问题展开研究。

当$1\le p\le \infty$ 时，对于$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 上的每一个函数$\psi$ ，四元数Segal-Bargmann变换都是定义良好的，这一点与其他的积分变换不同。令$q=u+v{I}_q\in {ℂ}_{I_q}$ ，其中$u,v\in ℝ$ ，$I_q\in \mathbb{S}$ ，将其代入到等式(2)则很容易得出

${ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2+\nu v{I}_q\left(\sqrt{2}x-u\right)}\psi \left(x\right)\text{d}x}$ (3)

通过等式(3)可以得到如下不等式

$\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\right|\le {\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2}\left|\psi \left(x\right)\right|\text{d}x}$ (4)

如果$\psi \left(x\right)\in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，其中$1<p<\infty$ 且$1/p+1/p^{\prime }=1$ 。那么对$\forall q\in ℍ$ ，根据不等式(4)和Hölder不等式有

$\begin{array}{l}\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\right|\le {\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right]}^{\frac{1}{p}}{\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu p^{\prime }}{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2}\text{d}x}\right]}^{\frac{1}{p^{\prime }}}\\ ={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu p^{\prime }}{2}{x}^2}\text{d}x}\right]}^{\frac{1}{p^{\prime }}}{\Vert \psi \Vert }_p\\ ={\left(\frac{4\nu }{\pi }\right)}^{1/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\Vert \psi \Vert }_p\end{array}$

四元数值函数空间$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 不是自然有序的。换句话说，对于两个不同的$0<p,p^{\prime }<\infty$ ，空间$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 和空间$L^{p^{\prime }}\left(ℝ;ℍ\right)$ 之间不存在包含关系。这是研究许多积分变换的映射性质比较复杂的原因之一。

接下来根据上述问题给出本篇文章的主要结论：

定理3.1 当$p\ne 2$ 时，四元数Segal-Bargmann变换${ℬ}_{\nu }$ 的$L^p\left(ℝ\text{;}ℍ\right)$ 映射性质如下：

${ℬ}_{\nu }:\{\begin{array}{l}{L}^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)是有界映射,2<p\le \infty ,\\ L^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)是有界映射,1\le p<2其中1/p+1/p^{\prime }=1\end{array}$

并且，当$2<p\le \infty$ 时，算子${ℬ}_{\nu }:L^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 是单射但不是满射；当$1\le p<2$ 时，算子${ℬ}_{\nu }:L^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$ 是单射但不是满射，其中$1/p+1/p^{\prime }=1$ 。

证明 首先证明$2<p\le \infty$ 时的情况。如果$\psi \in L^{\infty }\left(ℝ;ℍ\right)$ ，对$\forall q\in ℍ$ 我们通过(4)得到

$\begin{array}{l}\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\right|\le {\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2}\text{d}x}{\Vert \psi \Vert }_{\infty }\\ ={\left(\frac{4\nu }{\pi }\right)}^{1/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\Vert \psi \Vert }_{\infty }\end{array}$

通过上式可得到${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^{\infty }\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{\infty ,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射。

此外，我们知道该变换是从$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ 的酉算子。因此，通过内插定理得出，当$2<p\le \infty$ 时，${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射。

对于${ℬ}_{\nu }$ 是单射但不是满射的证明，这里假设${ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)=0$ ，即

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}u\right)}^2}\psi \left(x\right)\text{d}x}=0,q\in ℍ$

在积分内部对q进行微分，并设$q=0$ ，得到

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}{x}^k\psi \left(x\right)\text{d}x}=0,k\ge 0$

通过Hermite函数的性质得出$\psi \left(x\right)=0$ 在$ℝ$ 上几乎处处成立，从而得出${ℬ}_{\nu }$ 是单射。

下面取$p_0\in \left(2,p\right)$ ，可以找到函数$\psi \left(x\right)\in L^{p_0}\left(ℝ;ℍ\right)\backslash L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，则有${ℬ}_{\nu }\psi \in {ℱ}_{slice}^{p_0,\nu }\left(ℍ\right)\subset {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 。如果${ℬ}_{\nu }:L^p\left(ℝ;ℍ\right)\to {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 是满射，则存在函数$\varphi \in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，使得${ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)={ℬ}_{\nu }\left(\varphi \right)$ ，即${ℬ}_{\nu }\left(\psi -\varphi \right)=0$ 。通过上述可得$\psi -\varphi =0$ 在$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 上几乎处处成立，这与$\psi \left(x\right)\notin L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 矛盾，说明${ℬ}_{\nu }$ 不是满射。

接下来证明$1\le p<2$ 时的情况。$1\le p<2$ 的情况与$2<p\le \infty$ 的情况大不相同。首先可以得到如下Hausdorff-Young型结果。如果$\psi \left(x\right)\in L^1\left(ℝ;ℍ\right)$ ，对$\forall q\in ℍ$ 我们根据(4)有

$\begin{array}{l}\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\right|\le {\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|\psi \left(x\right)\right|\text{d}x}\\ ={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\text{e}}^{\frac{\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\Vert \psi \Vert }_1\end{array}$

通过上式可得到${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^1\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{\infty ,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射。

众所周知，该变换是从$L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ 的等距映射。同理，可以通过内插定理得出，当$1\le p<2$ 时，${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射，其中$1/p+1/p^{\prime }=1$ 。

对于${ℬ}_{\nu }$ 是单射但不是满射，可以利用$2<p\le \infty$ 情况的类似证明方法，因此这里省略证明细节，证毕。

当$1\le p<2$ 时，四元数Segal-Bargmann变换还有如下性质：

定理3.2 当$1\le p<2$ 时，有

(a) 存在函数$\psi \left(x\right)\in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，使得${ℬ}_{\nu }\psi \notin {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 。

(b) 不存在正整数$C>0$ ，使得${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$ 。

(c) 不存在右线性子空间$X\subset L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，使得${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$ ，其中函数$\psi \in X$ ，实数$C>0$ 。

证明 存在函数$\psi \left(x\right)\in L^p\left(ℝ;ℍ\right)\backslash L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ ，则有${ℬ}_{\nu }\psi \in {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)\subset {ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ ，那么

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)}=C{\Vert \psi \Vert }_{L^2\left(ℝ;ℍ\right)}<\infty$

这与$\psi \left(x\right)\notin L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ 矛盾。因此(a)成立，同时也说明了(b)成立。

对于(c)的证明利用反证法。对于$\forall \psi \in X$ 且常数$C>0$ ，如果存在右线性子空间$X\subset L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，使得${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$ 成立。那么固定函数$\psi \in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ ，选择序列$\left\{{\psi }_n\right\}\subset X$ ，使得当$n\to \infty$ 时，${\Vert {\psi }_n-\psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}\to 0$ 。由于X是右线性子空间，则有

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)-{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}={\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n-\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert {\psi }_n-\psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$

因此$\left\{{ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)\right\}$ 是${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 的Cauchy序列。由于${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 是Banach空间，存在函数$\varphi \in {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 使得当$n\to \infty$ 时，有${\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)-\varphi \Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\to 0$ 。特别地，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)\left(q\right)=\varphi \left(q\right),q\in ℍ$

由于当$n\to \infty$ 时，有

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)\left(q\right)-{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C^{\prime }{\Vert {\psi }_n-\psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}{\text{e}}^{\frac{\nu {\left|q\right|}^2}{2}}\to 0,q\in ℍ$

其中$C^{\prime }$ 是常数。因为$\underset{n\to \infty }{\lim }{ℬ}_{\nu }\left({\psi }_n\right)\left(q\right)={ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right)$ ，$q\in ℍ$ 。那么可以得到${ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)=\varphi \in {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ ，由于$\psi$ 是任意的，得到该结果与(a)矛盾。这个矛盾也说明了(c)成立，证毕。

注3.3 定理3.2中(c)的证明采用了反证法，但是反证后的内容与复分析中的结论相矛盾[5]。由于四元数中包含了复数，该有界性在复分析中不成立，那么在四元数中也不成立，否则出现矛盾。

上述主要讨论了当$1\le p\le \infty$ 时，四元数Segal-Bargmann变换的$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 映射性质。对此，我们很自然地想到在$0<p<1$ 时，该变换的$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 映射性质。当$0<p<1$ 时，没有合理的方法将${ℬ}_{\nu }$ 延拓到$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 。取任意有限区间$\left(a,b\right)$ 很容易找到函数$\psi \in L^p\left[a,b\right]\backslash L^1\left[a,b\right]$ 。那么，对任意区间$\left(a,b\right)$ 存在函数$\psi \in L^p\left[a,b\right]$ 使得积分变换

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left(x-\sqrt{2}q\right)}^2}\psi \left(x\right)\text{d}x},q\in ℍ$

没有良好定义。因此，当$0<p<1$ 时，对于$\psi \in L^p\left[a,b\right]$ ，我们不能给出${ℬ}_{\nu }$ 的积分定义。并且，定义在$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 上的四元数Segal-Bargmann变换是稠密的，从而给出下面的定理：

定理3.4 线性空间$X_p=L^p\left(ℝ;ℍ\right)\cap L^1\left(ℝ;ℍ\right)$ 在$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 上是稠密的并且${ℬ}_{\nu }\psi$ 是定义良好的切片正则函数，其中$\psi \in X_p$ 。当$0<p<1$ 时不存在正整数C使得

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)}\le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)},\psi \in X_p$ (5)

证明 假设存在正常数C满足不等式(5)，则对$\forall \psi \in X_p$ 有${ℬ}_{\nu }\psi \in {ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)\subset {ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)$ 。由于${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{2,\nu }\left(ℍ\right)}={\Vert \psi \Vert }_{L^2\left(ℝ;ℍ\right)}<\infty$ ，这意味着$L^p\left(ℝ;ℍ\right)\cap L^1\left(ℝ;ℍ\right)\subset L^2\left(ℝ;ℍ\right)$ ，这个结果显然错误，因此假设不成立，证毕。

注3.5 定理3.4中采用反证法，反证后的内容与复分析中$0<p<1$ 的结论相矛盾[4]，该矛盾也直接说明该定理的内容成立。

4. Fourier方法证明Segal-Bargmann变换的有界性

第三节主要介绍了用定义证明四元数Segal-Bargmann变换的$L^p$ 映射性质。本节将利用Segal-Bargmann变换与Fourier变换之间的关系证明${ℬ}_{\nu }$ 的$L^p$ 映射性质。该节内容使用了Fourier变换的映射性质，避免了使用内插定理。

我们用$ℱ$ 表示Fourier变换，用$ℱ\left[\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}\right]\left(v\right)$ 表示$\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}$ 的Fourier变换，其中$q=u+vI$ ，则有

$\begin{array}{c}{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\left(q\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left|q\right|}^2}{\text{e}}^{-\nu Iuv}={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}{\text{e}}^{\sqrt{2}\nu Ixv}\psi \left(x+\sqrt{2}u\right)\text{d}x}\\ ={\left(\frac{\nu }{\pi }\right)}^{3/4}ℱ\left[\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}\right]\left(v\right)\end{array}$ (6)

下面是利用${ℬ}_{\nu }$ 与Fourier变换的关系对$1\le p<2$ 情况的再次证明。

定理 4.1设$1\le p<2$ 时，$1/p+1/p^{\prime }=1$ 且$p_0<p^{\prime }$ ，则${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射但不是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p_0,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射。

证 首先证明${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射。为了方便计算，设$c={\left(\frac{v}{\pi }\right)}^{3/4}$ 。当$1\le p<2$ 时，根据Fourier变换和Hausdorff-Young不等式得

$\begin{array}{c}{\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)}^{p^{\prime }}={{\displaystyle {\int }_{{ℂ}_I}\left|{ℬ}_{\nu }\left(\psi \right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left|q\right|}^2}\right|}}^{p^{\prime }}\text{d}\lambda \left(q\right)\\ =c^{p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\text{d}u}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|ℱ\left[\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}\right]\left(v\right)\right|}^{p^{\prime }}\text{d}v}\\ \le c^{p^{\prime }}{{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{v}^2}\right|}^{{}^p}}\text{d}v\right]}}^{\frac{p^{\prime }}{p}}\text{d}u,\end{array}$ (7)

改写$p^{\prime }/p$ 为

$\frac{p^{\prime }}{p}=1+\frac{p^{\prime }-p}{p}$

代入不等式(7)得

$\begin{array}{c}{\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)}^{p^{\prime }}\le c^{p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{v}^2}\right|}^p}\text{d}v\right]}{\left[{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{v}^2}\right|}^p\text{d}v}\right]}^{\frac{p^{\prime }-p}{p}}\text{d}u\\ \le c^{p^{\prime }}{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}^{p-p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\text{d}u}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right)\right|}^p{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}p{v}^2}\text{d}v}\\ \le c^{p^{\prime }}{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}^{p-p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}p{v}^2}\text{d}}v{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(v+\sqrt{2}u\right)\right|}^p\text{d}u}\\ \le C{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}^{p^{\prime }},\end{array}$

其中

$C=c^{p^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}p{v}^2}\text{d}}v$

当$p=1$ 时，设函数$\psi \left(x\right)\in L^1\left(ℝ;ℍ\right)$ ，对$\forall u\in ℝ$ 有不等式

${\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(x+\sqrt{2}u\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{x}^2}\right|}^p\text{d}}x\le {\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|\psi \left(x\right)\right|}\text{ d}x$

通过等式(6)和Hausdorff-Young不等式得

$\begin{array}{c}{\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)}=\underset{q\in ℍ}{\sup }\left|{ℬ}_{\nu }\left[\psi \right]\left(q\right)\right|{\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left|q\right|}^2}\\ \le c\underset{u\in ℝ}{\sup }{\Vert \psi \left(x+\sqrt{2}u\right)\Vert }_{L^1\left(ℝ;ℍ\right)}\\ \le c{\Vert \psi \Vert }_{L^1\left(ℝ;ℍ\right)}\end{array}$

因此证明了当$1\le p<2$ 时，${ℬ}_{\nu }$ 是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },v}\left(ℍ\right)$ 的有界映射。

下面利用反证法证明在$1\le p<2$ 时，${ℬ}_{\nu }$ 不是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)$ 的有界映射。如果该变换是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)$ 的有界映射，则存在一个常数$M>0$ 满足对$\forall \psi \in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 有${\Vert {ℬ}_{\nu }\left(\psi \right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)}\le M{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$ 。设$X_p$ 是$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 中所有具有紧支集的函数组成的子集。对于$\forall \psi \in X_p$ ，设${\psi }_r\left(x\right)=\psi \left(rx\right)$ ，其中$r\in \left(1,\infty \right)$ 。由于${\psi }_r\left(x\right)\in X_p$ ，则

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left[{\psi }_r\right]\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)}^p\le M^p{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\left|\psi \left(rx\right)\right|}^p}\text{d}x=\frac{M^p}{r}{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}^p$ (8)

对等式(3)进行变量变换，令$x=t/r$ 得到

${\left|{ℬ}_{\nu }\left[{\psi }_r\right]\left(q\right){\text{e}}^{\frac{-\nu }{2}{\left|q\right|}^2}\right|}^{p_0}=\frac{c^{p_0}}{r^{p_0}}{\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(\frac{v}{r}\right)\right|}^{p_0}{\text{e}}^{-\nu p_0{u}^2}$

再进行一次简单的变量变换得到

${\Vert {ℬ}_{\nu }\left[{\psi }_r\right]\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p_0,v}\left(ℍ\right)}^{p_0}=\frac{c^{p_0}}{r^{p_0-1}}{{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(v\right)\right|}}}^{p_0}{\text{e}}^{-\nu p_0{u}^2}\text{d}v\text{d}u$

结合不等式(8)使得

${\left[{{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(v\right)\right|}}}^{p_0}{\text{e}}^{-\nu p_0{u}^2}\text{d}v\text{d}u\right]}^{\frac{1}{p_0}}\le N{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)},$ (9)

其中正常数$N=\frac{M}{c}{r}^{1-\frac{1}{p_0}-\frac{1}{p}}$ 。由于$p_0<p^{\prime }$ 且$r>1$ ，则对于常数$C>0$ 有

${\left[{{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\nu u^2}\right]\left(v\right)\right|}}}^{p_0}\text{d}v\text{d}u\right]}^{\frac{1}{p_0}}=C{\Vert ℱ\left(\psi \right)\Vert }_{L^{p_0}\left(ℝ;ℍ\right)}$ (10)

由于$\psi$ 具有紧支集则

$\underset{r\to \infty }{\lim }ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(v\right){\text{e}}^{-\nu u^2}=ℱ\left[\psi \right]\left(v\right){\text{e}}^{-\nu u^2}$

由不等式(9)和等式(10)以及Fatou引理得

$\begin{array}{c}{\Vert ℱ\left(\psi \right)\Vert }_{L^{p_0}\left(ℝ;ℍ\right)}\le C^{-1}\underset{r\to \infty }{\lim \inf }{\left[{{\displaystyle {\int }_{ℝ}{\displaystyle {\int }_{ℝ}\left|ℱ\left[\psi \left(t\right){\text{e}}^{-\frac{\nu t^2}{2r^2}+\sqrt{2}\nu \frac{t}{r}u}\right]\left(v\right)\right|}}}^{p_0}{\text{e}}^{-\nu p_0{u}^2}\text{d}v\text{d}u\right]}^{\frac{1}{p_0}}\\ \le M^{\prime }{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)},\end{array}$

其中$M^{\prime }$ 是正常数。通过Hausdorff-Young不等式发现这个结果和我们所熟知的Fourier变换的映射性质相矛盾。因此当$1\le p<2$ 时，${ℬ}_{\nu }$ 不是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p_0,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界映射。

注4.2定理4.1中采用反证法，如果在$1\le p<2$ 时，存在一个常数$M>0$ ，满足对$\forall \psi \in L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 有${\Vert {ℬ}_{\nu }\left({\psi }_r\right)\Vert }_{{ℱ}_{slice}^{p_0,\nu }\left(ℍ\right)}\le M{\Vert \psi \Vert }_{L^p\left(ℝ;ℍ\right)}$ 。但这与复分析中的有界性相矛盾[4]，该矛盾也直接说明定理的内容成立。

5. 总结

本文主要研究了切片超全纯Bargmann-Fock空间中的四元数Segal-Bargmann变换的$L^p$ 映射性质。具体来说，当$2<p<\infty$ 时，该变换是从四元数值函数空间$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到四元数Bargmann-Fock空间${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界算子并且是单射；当$1\le p<2$ 时，该变换是从$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p^{\prime },\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界算子但不是$L^p\left(ℝ;ℍ\right)$ 到${ℱ}_{slice}^{p,\nu }\left(ℍ\right)$ 的有界算子，其中$1/p+1/p^{\prime }=1$ 。并且给出了两种不同证明办法。这些有界性为进一步研究四元数Segal-Bargmann变换的分析性质，建立熵测不准原理等打下了良好的基础。

基金项目

天津市自然科学基金No. 22JCQNJC00470。