1. 引言
KP方程作为可积系统中典型的(2 + 1)维模型,很好地描述了长波在二维空间中的传播,由此求解KP方程的解也是一个重要的研究对象。到目前为止,已经建立了许多构造KP方程解的方法,如无限维伽罗瓦–李变换群理论[1]、直接线性化方法[2] [3]和广义柯西矩阵方法[4] [5] [6]。本文的目的是在用Sylvester方程推导KP方程并求得解的基础上,建立解与τ函数的联系,从而更好的理解KP方程。
2. KP和KdV方程的推导及解
在大多数情况下,柯西矩阵方法开始于一个包含未知矩阵
的Sylvester方程。本文需要的Sylvester方程如下:
, (2.1)
其中矩阵
,
,
,列向量
,行向量
。其中
,
和
是
的函数,
,
是非平凡矩阵,其色散关系为:
, (2.2a)
, (2.2b)
. (2.2c)
椭圆KP系统与一组由
表示的标量密切相关,其中
,
并且使
可逆,这些量从Sylvester方中产生的,定义为
. (2.3)
当
时
. (2.4)
对(2.1)左右两边对x求偏导得
, (2.5)
代入(2.2a)有:
, (2.6)
因此:
. (2.7a)
相似的过程我们能够得到:
, (2.7b)
, (2.7c)
此时我们就得到了关于
的一组关系式。
接着引入辅助向量:
, (2.8)
可以改写为:
, (2.9)
两边分别对
求偏导可得:
, (2.10a)
, (2.10b)
. (2.10c)
从表达式中,我们可以发现其有相似性,因此我们这里只选取以(2.10a)为例来求相关的
方程。对(2.10a)移项得:
, (2.11)
左乘
,并且两边同时加上
:
. (2.12a)
同理可得:
, (2.12b)
. (2.12c)
当
时,我们得到KP方程:
, (2.13)
令
得到:
, (2.14)
显然可见此时它的解为:
. (2.15)
当
时,KP方程约化为我们熟悉的KdV的方程
, (2.16)
该解为:
. (2.17)
3. 解与τ函数的联系
定理:
,其中
为
的对数导数[7] [8]。
命题:对于满足本文给定的Sylvester方程里的
及标量函数
,通过色散关系(2.2)有:
, (3.1)
其中
.
证明:当
时,得到:
, (3.2)
利用迹的计算得:
, (3.3)
由色散关系(2.2a)可得
, (3.4)
所以有:
, (3.5)
由上述定理知:
, (3.6)
即对于任意的
的
,可以得到:
, (3.7)
当
时,可以得到:
, (3.8)
特别的
。
通过上述定理,KP方程的解可以表示为:
, (3.9)
即
. (3.10)
4. 结论
本文写作背景是在之前所了解的Sato理论中[9],可积方程的解由τ函数来建立联系,其具体表现为Hirota的级数展开形式,或者是Wronskian行列式的形式[10] [11]。本文首先从Sylvester方程出发,通过色散关系构造出标量关系
,通过未知矩阵
的相关表达式从而推导出KP方程并且得到其用
表示的解,最后本文又建立了该解与τ函数之间的联系,与可积系统中的有理表示相对应。