Hessian流形上两个特殊泛函的Euler-Lagrange方程

The Euler-Lagrange Equations of Two Special Functionals on Hessian Geometry

摘要: 本文主要研究Hessian几何上Koszul形式和泛函变分问题。首先给出Hessian几何中Hessian结构、Koszul形式、Hessian曲率概念及相关性质，然后在Hessian流形上计算了Hessian曲率Q、第二Koszul形式β及Tr(β)的变分，最后计算了两个特殊泛函的Euler-Lagrange方程。

Abstract: This paper focuses on the Koszul forms and functional variation problems on Hessian geometry. Firstly, the concept and properties of Hessian structures, the Koszul forms and Hessian curvature are given. Then, we calculate the variation of Hessian curvature Q, the second Koszul form β, its trace Tr(β). Finally, we calculate the Euler-Lagrange equations of two special functionals on Hessian geometry.

1. 引言

Hessian几何是一种特殊的黎曼几何，黎曼流形中许多性质在Hessian流形上也成立，所以可以把对于黎曼流形研究的相关技术与方法用来研究Hessian流形。由于Hessian流形的特殊性，它上面的几何量比黎曼流形携带更多的几何信息。

若黎曼流形(M,g)上存在平坦联络D使得黎曼度量$g=D\left(D\phi \right)$ 其中φ为M上的局部函数，称(D,g)为Hessian结构，称黎曼流形(M,g)为Hessian流形，g称为Hessian度量，记为(M,D,g) [1]。J. L. Koszul研究在平坦流形具有闭的1-形式α使得Dα正定[2] [3]，因此$g=D\alpha$ 就是Hessian度量。Kito H.研究了欧氏空间和双曲空间中Hessian结构的存在问题[4]。

Hessian几何与Kähler几何、仿射微分几何、信息几何都有紧密的联系。Shima定义了Hessian曲率和Hessian截面曲率并且研究了三种常Hessian截面曲率[5]。H. Furuhata和T. Kurose从一个曲率为常数c的黎曼流形出发，给出了该黎曼流形为Hessian截面曲率为-4c的Hessian流形的等价条件，并且找到一个特殊的Hessian流形对于所有的Hessian截面曲率为非负常数的Hessian流形都同构于黎曼流形中非负的空间形式[6]。Hessian几何为特殊的黎曼几何，不仅Hessian曲率Q和黎曼曲率等联系紧密，Levi-Civita联络$\nabla$ 和平坦联络D在一定条件下也存在相等关系，第一Koszul形式$\alpha$ 和第二Koszl形式$\beta$ 占据重要位置，Cheng和Yau证明了如果第一Koszul形式α = 0，那么φ是二次多项式且$\nabla =D$ [7]。Shima证明了(M,D,g)为紧定向的Hessian流形，若第二Koszul形式$\beta$ 半负定，则$\nabla =D$ [1]。

Hessian形式，就称其为Kähler度量，因此S. Y. Cheng和S. T. Yau称Hessian度量为仿射Kähler度量[7]。实际上Hessian度量与Kähler度量不仅形式上非常相似而且密切相关，比如Hessian流形的切丛为Kähler流形；在Kähler流形上的黎曼曲率张量和Ricci张量、全纯截面曲率与Hessian曲率张量和第二Koszul形式$\beta$ 、Hessian截面曲率形式上非常相似。齐性正则凸锥中的实正定对称矩阵就是一类经典的Hessian流形[8]。西格尔域可以用欧几里得空间$R^n$ 一个正则凸锥定义，而正则凸锥上自然存在Hessian度量，在复欧几里得空间$C^n$ 有界域上存在类似Hessian度量的Bergman度量。Vinberg E. B., Gindikin, S. G.和Pyatetskii-Shapior证明了西格尔域全纯等价于有界域，即Bergman度量在有界域上是Kähler度量[9]，Koecher和Vinberg通过几类特殊齐性自对偶锥将紧半单代数进行了分类[10] [11] [12]。

通过$Xg\left(Y,Z\right)=g\left(D_{X}Y,Z\right)+g\left(Y,{D^{\prime }}_{X}Y\right)$ 定义了一个新的联络$D^{\prime }$ ，如果联络D无挠，则$\left(D^{\prime },g\right)$ 也是

Codazzi结构，称$D^{\prime }$ 为D的对偶联络。一般的根据D和$D^{\prime }$ 对应的挠率和曲率是否为零分为统计结构、部分平坦结构而Hessian结构是它们的特殊情况[13] [14]。在仿射微分几何中对偶联络很自然通过一个非退化的仿射超曲面浸入和它的余浸入得到[15]。S. Amari和H. Nagaoka发现了光滑概率分布族上存在对偶联络作为自然几何结构，信息几何许多理论来自对偶联络[16] [17]。由此可见Hessian结构在信息几何中有着重要作用。

紧定向黎曼流形上有$\Psi \left(g\right)=Vo{l}_g{\left(M\right)}^{-\frac{n-2}{n}}{\displaystyle {\int }_M{R}_g\text{d}{V}_g}$ 定义黎曼度量的数量曲率积分泛函，对于泛函$\Psi \left(g\right)$ 的研究可以追溯到Hilbert [18] [19]。黎曼度量g是$\Psi \left(g\right)$ 的临界点当且仅当g是Einstein度量。由于在黎曼流形上有许多黎曼度量，我们可以使用临界度量作为所给流形一种特殊度量。除此之外有三个经典的二次曲率泛函${\Psi }_1\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{R}_g^2\text{d}{V}_g}$ ，${\Psi }_2\left(g\right)={\displaystyle {\int }_{M}Ri{c}^2\text{d}{V}_g}$ ，${\Psi }_3\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{\left|R\right|}^2\text{d}{V}_g}$ 它们的临界条件由Berger给出[20]。从临界点的条件来看，Einstein度量显然为${\Psi }_1\left(g\right)$ 和${\Psi }_2\left(g\right)$ 的临界度量，然而反过来不一定成立，Yamaguchi和Chuman给出了反例，并且证明了一个Sasakian临界点是Einstein [21]。${\Psi }_2\left(g\right)$

在极值Kähler度量的研究中也有重要作用[22] [23] [24]。常曲率的度量和常全纯曲率的Kähler度量均是

泛函${\Psi }_3\left(g\right)$ 的临界度量[25]。Schoen R. M.系统的描述了截面曲率泛函变分问题[26]。N. KOiso研究了数

量曲率泛函的二阶变分问题[27]，对于更多黎曼泛函的临界度量的研究见[28] [29] [30]。

我们类比经典黎曼流形上的二次曲率泛函${\Psi }_1\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{R}_g^2\text{d}{V}_g}$ ，${\Psi }_2\left(g\right)={\displaystyle {\int }_{M}Ri{c}^2\text{d}{V}_g}$ ， ${\Psi }_3\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{\left|R\right|}^2\text{d}{V}_g}$ 的临界条件相关结论[29]计算了Hessian流形上两个特殊泛函变分$E\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{\left|\alpha \right|}^2\text{d}{V}_g}$ 和$F\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{S}_g\text{d}{V}_g}$ 的Euler-Lagrange方程。是继续探究$E\left(g\right)$ 和$F\left(g\right)$ 的临界条件与Einstein-Hessian流形的联系基础。

2. 预备知识

2.1. Hessian流形

定义2.1若黎曼流形$\left(M,g\right)$ 上存在平坦联络D使得黎曼度量g表示为

$g=D\text{d}\phi$ (1)

局部坐标系表示为

$g_{ij}=\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^i\partial x^j}$ (2)

其中$\phi$ 为M上的函数，就称黎曼流形$\left(M,g\right)$ 为Hessian流形，g称为Hessian度量，记为$\left(M,D,g\right)$ ，记$\nabla$ 是黎曼度量g的Levi-Civita联络，称

${\gamma }_{X}Y={\nabla }_{X}Y-D_{X}Y$ (3)

称$\gamma$ 为$\nabla$ 和D的差张量。

性质2.1 g为平坦流形$\left(M,D\right)$ 上的黎曼度量，则下面条件等价

(1) g是Hessian度量；

(2) $\left(D_{X}g\right)\left(Y,Z\right)=\left(D_{Y}g\right)\left(X,Z\right)$ ；

(3) $\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}$ ；

(4) $g\left({\gamma }_{X}Y,Z\right)=g\left({\gamma }_{X}Z,Y\right)$ ；

(5) ${\gamma }_{ijk}={\gamma }_{jik}$ 。

证明：根据定义(1)$\Rightarrow$ (3)是显然的，(3)和(5)分别是(2)和(4)的局部表示。又

$\begin{array}{l}{\gamma }^i{}_{jk}=\frac{1}{2}{g}^{is}\left(\frac{\partial g_{sj}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{sk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^s}\right)\\ {\gamma }_{ijk}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}\right)\end{array}$

则我们可以得知(3)和(5)等价。

下面证明(3)$\Rightarrow$ (1)，我们记

$h_j={\displaystyle {\sum }_i{g}_{ij}\text{d}{x}^i,}$

两边同时微分可得

$\text{d}{h}_j={\displaystyle {\sum }_i\text{d}{g}_{ij}\text{d}{x}^i}={\displaystyle \sum _{k<i}\left(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}\right)\text{d}{x}^k\text{d}{x}^i}=0$ .

根据庞加莱引理，存在函数${\phi }_j$ 使得$h_j=\text{d}{\phi }_j$ ，如果让

$h={\displaystyle {\sum }_j{\phi }_j\text{d}{x}^j}$

两边同时微分得

$\text{d}h={\displaystyle \sum \text{d}{\phi }_j\text{d}{x}^j}=0$

再一次运用庞加莱引理，存在$\phi$ 使得$h=\text{d}\phi$ ，因此$\frac{\partial \phi }{\partial x^j}={\phi }_j$ 和$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^i\partial x^j}=\frac{\partial {\phi }_i}{\partial x^j}=g_{ij}$ 。

定义2.2 在Hessian流形$\left(M,D,g\right)$ 上，称$\left(1,3\right)$ 型张量

$Q=D\gamma$

为Hessian曲率张量，在局部坐标系下表示为

$Q^i{}_{jkl}=\frac{\partial {\gamma }^i{}_{jl}}{\partial x^k}$

我们有

$\begin{array}{c}{Q}_{ijkl}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^4\phi }{\partial x^i\partial x^j\partial x^k\partial x^l}-\frac{1}{2}{g}^{rs}\frac{{\partial }^3\phi }{\partial x^i\partial x^k\partial x^r}\frac{{\partial }^3\phi }{\partial x^j\partial x^l\partial x^s}\\ ={\gamma }_{ijk;l}+{\gamma }_{pjk}{\gamma }_{il}^p+{\gamma }_{ijp}{\gamma }_{kl}^p-{\gamma }_{ipk}{\gamma }_{jl}^p\end{array}$ (4)

$Q_{ijkl}=Q_{kjil}=Q_{klij}=Q_{ilkj}=Q_{jilk}$ (5)

性质2.2 R为Hessian度量g的黎曼曲率张量，我们有

(1) $R\left(X,Y\right)=-\left[{\gamma }_X,{\gamma }_Y\right]$ ，$R^i{}_{jkl}={\gamma }^i{}_{lr}{\gamma }^r{}_{jk}-{\gamma }^i{}_{kr}{\gamma }^r{}_{jl}$ ；

(2) 由$X,Y$ 张成得截面曲率K为

$K=\frac{g\left({\gamma }_{X}Y,{\gamma }_{X}Y\right)-g\left({\gamma }_{X}X,{\gamma }_{Y}Y\right)}{g\left(X,X\right)g\left(Y,Y\right)-g{\left(X,Y\right)}^2}$

(3) $R_{ijkl}=\frac{1}{2}\left(Q_{ijkl}-Q_{jikl}\right)$

证明：(1) 由性质2.2可得

$\begin{array}{c}{R}^i{}_{jkl}=\frac{\partial {\gamma }^i{}_{jl}}{\partial x^k}-\frac{\partial {\gamma }^i{}_{jk}}{\partial x^l}-{\gamma }^i{}_{lr}{\gamma }^r{}_{jk}+{\gamma }^i{}_{kr}{\gamma }^r{}_{jl}\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g^{ir}}{\partial x^k}\frac{\partial g_{rj}}{\partial x^l}+g^{ir}\frac{{\partial }^2{g}_{rj}}{\partial x^l\partial x^k}\right)\\ -\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g^{ir}}{\partial x^l}\frac{\partial g_{rj}}{\partial x^k}+g^{ir}\frac{{\partial }^2{g}_{rj}}{\partial x^l\partial x^k}\right)-{\gamma }^i{}_{lr}{\gamma }^r{}_{jk}+{\gamma }^i{}_{kr}{\gamma }^r{}_{jl}\\ =2\left(-{\gamma }^{ir}{}_k{\gamma }_{rjl}+{\gamma }^{ir}{}_l{\gamma }^r{}_{jk}\right)-{\gamma }^i{}_{lr}{\gamma }^r{}_{jk}+{\gamma }^i{}_{kr}{\gamma }^r{}_{jl}\\ ={\gamma }^i{}_{lr}{\gamma }^r{}_{jk}-{\gamma }^i{}_{kr}{\gamma }^r{}_{jl}\end{array}$

(2) 由于

$K=\frac{g\left(R\left(X,Y\right)Y,X\right)}{g\left(X,X\right)g\left(Y,Y\right)-g{\left(X,Y\right)}^2}$

从性质2.1我们有

$\begin{array}{c}g\left(R\left(X,Y\right)Y,X\right)=g\left(-\left[{\gamma }_X,{\gamma }_Y\right]Y,X\right)\\ =g\left(-{\gamma }_X{\gamma }_{Y}Y+-{\gamma }_Y{\gamma }_{X}Y,X\right)\\ =g\left({\gamma }_{X}Y,{\gamma }_{X}Y\right)-g\left({\gamma }_{X}X,{\gamma }_{Y}Y\right)\end{array}$

代入可得(2)。

(3) 由性质2.1，性质2.1和(4)我们有

$Q_{ijkl}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^4\phi }{\partial x^i\partial x^j\partial x^k\partial x^l}-2g^{rs}{\gamma }_{ikr}{\gamma }_{jls}$

可得

$\begin{array}{c}{Q}_{ijkl}-Q_{jikl}=-2g^{rs}{\gamma }_{ikr}{\gamma }_{jls}+2g^{rs}{\gamma }_{jkr}{\gamma }_{jls}\\ =2\left({\gamma }_{jkr}{\gamma }^r{}_{il}-{\gamma }_{jlr}{\gamma }^r{}_{ik}\right)\\ =2R_{ijkl}\end{array}$

定义2.3 Hessian流形$\left(M,D,g\right)$ 上，v是关于度量g的体积元，有

$\begin{array}{l}{D}_{X}v=\alpha \left(X\right)v\\ \beta =D\alpha \end{array}$

分别称$\alpha$ 和$\beta$ 为第一Koszul形式和第二Koszul形式，我们也称$\beta$ 为Koszu Ricci曲率。如果Hessian流形$\left(M,D,g\right)$ 满足

$\beta =\lambda g,\lambda =\frac{{\beta }^i{}_i}{n},$

称M为Einstein-Hessian流形。

2.2. 相关张量的变分

我们记集合O为黎曼流形$\left(M,g\right)$ 上所有光滑黎曼度量，$P\left(g\right)$ 为取决黎曼度量g的泛函，记[31]。

$\delta P\left[h\right]=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{P\left(g+th\right)-P\left(g\right)}{t}={\frac{\text{d}\overline{P}}{\text{d}t}|}_{t=0}$

其中$\overline{P}\left(t\right):=P\left(\overline{g}\right)=P\left(g+th\right)$ ，h为对称$\left(0,2\right)$ 型张量。我们称$\delta P\left[h\right]$ 为P在h方向的变分。显然${\overline{g}}_{ij}=g_{ij}+t{h}_{ij}$ 和${\left(\delta g\left[h\right]\right)}_{ij}=h_{ij}$ 。接下来我们计算黎曼流形上相关张量的变分。为了书写方便我们记逗号“，”为Hessian流形$\left(M,D,g\right)$ 上平坦联络D的协变微分，记逗号“；”为Hessian流形$\left(M,D,g\right)$ 上Levi-Civita联络${\nabla }^g$ 的协变微分，接下来我们计算相关张量的变分。

(1) $g^{-1}$ 的变分

由于${\overline{g}}^{ip}{\overline{g}}_{pj}={\delta }_j^i=g^{ip}{g}_{pj}$ ，我们有

$\begin{array}{c}0=\frac{1}{t}\left({\overline{g}}^{ip}{\overline{g}}_{pj}-g^{ip}{g}_{pj}\right)\\ =\frac{1}{t}\left({\overline{g}}^{ip}-g^{ip}\right){\overline{g}}_{pj}+\frac{1}{t}\left({\overline{g}}_{pj}-g_{pj}\right)g^{ip}\end{array}$

让$t\to 0$ 。可以得到

${\left(\delta g^{-1}\left[h\right]\right)}^{ij}=-g^{ip}{g}^{jq}{h}_{pq}$ (6)

(2) 体积形式的$\text{d}{V}_g$ 的变分

在局部坐标系下，我们有

$\text{d}{V}_g=\sqrt{\det \left(\overline{g}\right)}\text{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^n$

所以

$\begin{array}{c}\left(\delta \text{d}{V}_g\right)\left[h\right]={\frac{\text{d}\left(\text{d}{V}_g\right)}{\text{d}t}|}_{t=0}={\frac{\text{d}\sqrt{\det \left(\overline{g}\right)}}{\text{d}t}|}_{t=0}\text{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^n\\ ={\left(\frac{1}{2\sqrt{\det \left(\overline{g}\right)}}\frac{\text{d}\left(\det \left(g+th\right)\right)}{\text{d}t}\right)|}_{t=0}\text{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^n\end{array}$

又由于

$\begin{array}{l}\det \left(A+tB\right)=\det \left(A\right)\det \left(I+t{A}^{-1}B\right)\\ {\frac{\text{d}}{\text{d}t}\det \left(I+tB\right)|}_{t=0}=\text{tr}\left(B\right)\end{array}$

使用Jacobi公式计算得

${\frac{\text{d}}{\text{d}t}\det \left(A+tB\right)|}_{t=0}=\det \left(A\right)\text{tr}\left(A^{-1}B\right)$

则

$\left(\delta \text{d}{V}_g\right)\left[h\right]=\frac{1}{2}H\text{d}{V}_g,$ (7)

其中$H=\text{tr}\left(g^{-1}h\right)$ 。

(3) Christoffel符号变分

由于${\Gamma }_{jk}^i=\frac{1}{2}{g}^{kp}\left(g_{jp,i}+g_{pi,j}-g_{ij,p}\right)$ ，我们有

$\begin{array}{c}\delta \Gamma {\left[h\right]}_{jk}^i=\frac{1}{2}\left\{\delta g^{kp}\left(g_{jp,i}+g_{pi,j}-g_{ij,p}\right)\right\}+\frac{1}{2}{g}^{kp}\left\{{\left(\delta g_{pj}\right)}_{,i}+{\left(\delta g_{ip}\right)}_{,j}-{\left(\delta g_{ij}\right)}_{,p}\right\}\\ =-g^{kp}{h}_{pq}{\Gamma }_{ij}^q+\frac{1}{2}{g}^{kp}\left(h_{pj,i}+h_{ip,j}-h_{ij,p}\right)\end{array}$

根据协变导数定义有

$h_{ij;p}=h_{ij,p}-{\Gamma }_{ip}^q{h}_{qj}-{\Gamma }_{jp}^q{h}_{iq}$

代入上面式子，我们有

${\left(\delta \Gamma \left[h\right]\right)}_{jk}^i=\frac{1}{2}{g}^{kp}\left(h_{pj;i}+h_{ip;j}-h_{ij;p}\right)$ (8)

(4) Hessian曲率Q的变分

由于${\gamma }_{jk}^i={\Gamma }_{jk}^i$ ，我们有

$\begin{array}{c}{\left(\delta \gamma \left[h\right]\right)}_{ijk}=\frac{1}{2}\left(h_{ij,k}+h_{ik,j}-h_{jk,i}\right)\\ =\frac{1}{2}(h_{ij;k}+h_{pj}{\gamma }_{ik}^p+h_{ip}{\gamma }_{jk}^p+h_{ik;j}+h_{pk}{\gamma }_{ij}^p+h_{ip}{\gamma }_{kj}^p-h_{jk;i}-h_{pk}{\gamma }_{ji}^p-h_{jp}{\gamma }_{ki}^p)\\ =\frac{1}{2}\left(h_{ij;k}+h_{ik;j}-h_{jk;i}+2h_{ip}{\gamma }_{jk}^p\right)\end{array}$ (9)

接下来我们计算$\frac{\partial \delta \gamma {\left[h\right]}_{ijk}}{\partial x^l}:={\left(\delta \gamma {\left[h\right]}_{ijk}\right)}_{,l}$

$\begin{array}{c}{\left({\left(\delta \gamma \left[h\right]\right)}_{ijk}\right)}_{,l}=\frac{1}{2}\left(h_{ij;k,l}+h_{ik;j,l}-h_{jk;i,l}+2h_{ip,l}{\gamma }_{jk}^p+2h_{ip}{\gamma }_{jk,l}^p\right)\\ =\frac{1}{2}(h_{ij;kl}+h_{pj;k}{\gamma }_{il}^p+h_{ip;k}{\gamma }_{jl}^p+h_{ij;p}{\gamma }_{kl}^p+h_{ik;jl}+h_{pk;j}{\gamma }_{il}^p+h_{ip;j}{\gamma }_{kl}^p+h_{ik;p}{\gamma }_{jl}^p\\ -h_{jk;il}-h_{pk;i}{\gamma }_{jl}^p-h_{jp;i}{\gamma }_{kl}^p-h_{jk;p}{\gamma }_{il}^p)+{\gamma }_{jk}^p\left(h_{ip;l}+h_{qp}{\gamma }_{il}^q+h_{iq}{\gamma }_{pl}^q\right)\\ +\frac{1}{2}{h}_{ip}{g}^{pq}\left({\gamma }_{jk;l}^p+{\gamma }_{qk}^p{\gamma }_{jl}^q+{\gamma }_{jq}^p{\gamma }_{kl}^q-{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{ql}^p\right)\end{array}$ (10)

接下来我们计算${\gamma }_{ipk}{\gamma }_{jl}^p$

$\begin{array}{c}\delta \left({\gamma }_{ipk}{\gamma }_{jl}^p\right)=\delta \left({\gamma }_{ipk}\right){\gamma }_{jl}^p+{\gamma }_{ipk}\delta \left({\gamma }_{jl}^p\right)\\ =\frac{1}{2}{\gamma }_{jl}^p\left(h_{ip;k}+h_{ik;p}-h_{pk;i}\right)+2h_{iq}{\gamma }_{jk}^q+\frac{1}{2}{\gamma }_{ipk}{g}^{pq}\left(h_{ql;j}+h_{jq;l}-h_{jl;q}\right)\end{array}$

又因为

$Q_{ijkl}={\gamma }_{ijk;l}+{\gamma }_{pjk}{\gamma }_{il}^p+{\gamma }_{ijp}{\gamma }_{kl}^p-{\gamma }_{ipk}{\gamma }_{jl}^p$ (11)

对上式两边同时求变分我们有

$\begin{array}{c}{\left(\delta Q\left[h\right]\right)}_{ijkl}=\frac{1}{2}\left(h_{ij;kl}+h_{ik;jl}-h_{jk;il}\right)+\frac{1}{2}{\gamma }_{il}^p\left(h_{pj;k}+h_{pk;j}-h_{jk;p}\right)\\ -\frac{1}{2}{\gamma }_{jl}^p\left(h_{ip;k}+h_{ik;p}-h_{pk;i}\right)+\frac{1}{2}{\gamma }_{kl}^p\left(h_{ij;p}+h_{ip;j}-h_{jp;i}\right)\\ +{\gamma }_{jk}^p\left(h_{ip;l}+h_{qp}{\gamma }_{il}^q+h_{iq}{\gamma }_{pl}^q\right)-\frac{1}{2}{\gamma }_{ipk}{g}^{pq}\left(h_{ql;j}+h_{jq;l}-h_{jl;q}\right)\\ +\frac{1}{2}{h}_{ip}{g}^{pq}\left({\gamma }_{jk;l}^p+{\gamma }_{qk}^p{\gamma }_{jl}^q+{\gamma }_{jq}^p{\gamma }_{kl}^q-{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{ql}^p\right)-2h_{iq}{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{jl}^p\end{array}$ (12)

(5) 第二Koszul形式$\beta$ 的变分

根据协变导数的定义，我们有

${\left({\gamma }_{ijk}\right)}_{,l}={\gamma }_{ijk;l}+{\gamma }_{pjk}{\gamma }_{il}^p+{\gamma }_{ipk}{\gamma }_{jl}^p+{\gamma }_{ijp}{\gamma }_{kl}^p$

由(11)可得

${\beta }_{kl}=g^{ij}{Q}_{ijkl}=g^{ij}{\gamma }_{ijk;l}+g^{ij}{\gamma }_{pjk}{\gamma }_{il}^p+g^{ij}{\gamma }_{ijp}{\gamma }_{kl}^p-g^{ij}{\gamma }_{ipk}{\gamma }_{jl}^p$

对上式两边求变分我们有

$\begin{array}{c}{\left(\delta \beta \left[h\right]\right)}_{kl}=-g^{ip}{g}^{jq}{h}_{pq}{Q}_{ijkl}+g^{ij}{\left(\delta Q\left[h\right]\right)}_{ijkl}\\ =-g^{ip}{g}^{jq}{h}_{pq}\left({\gamma }_{ijk;l}+{\gamma }_{sjk}{\gamma }_{il}^s+{\gamma }_{ijs}{\gamma }_{kl}^s-{\gamma }_{isk}{\gamma }_{jl}^s\right)\\ +g^{ij}\{\frac{1}{2}\left(h_{ij;kl}+h_{ik;jl}-h_{jk;il}\right)+\frac{1}{2}{\gamma }_{il}^p\left(h_{pj;k}+h_{pk;j}-h_{jk;p}\right)\\ -\frac{1}{2}{\gamma }_{jl}^p\left(h_{ip;k}+h_{ik;p}-h_{pk;i}\right)+\frac{1}{2}{\gamma }_{kl}^p\left(h_{ij;p}+h_{ip;j}-h_{jp;i}\right)\\ +{\gamma }_{jk}^p\left(h_{ip;l}+h_{qp}{\gamma }_{il}^q+h_{iq}{\gamma }_{pl}^q\right)-\frac{1}{2}{\gamma }_{ipk}{g}^{pq}\left(h_{ql;j}+h_{jq;l}-h_{jl;q}\right)\\ +\frac{1}{2}{h}_{ip}{g}^{pq}\left({\gamma }_{jk;l}^p+{\gamma }_{qk}^p{\gamma }_{jl}^q+{\gamma }_{jq}^p{\gamma }_{kl}^q-{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{ql}^p\right)-2h_{iq}{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{jl}^p\}\end{array}$ (13)

(6) $S=Tr\beta$ 的变分

由于

$S=g^{kl}{\beta }_{kl}$

两边求变分，我们有

$\begin{array}{c}\left(\delta S\left[h\right]\right)=-g^{mk}{g}^{nl}{h}_{mn}{\beta }_{kl}+g^{kl}{\left(\delta \beta \left[h\right]\right)}_{kl}\\ =-g^{mk}{g}^{nl}{h}_{mn}{\beta }_{kl}-g^{kl}{g}^{ip}{g}^{jq}{h}_{pq}{Q}_{ijkl}+g^{kl}{g}^{ij}{\left(\delta Q\left[h\right]\right)}_{ijkl}\\ =-2g^{mk}{g}^{nl}{\beta }_{kl}{h}_{mn}+g^{kl}{g}^{ij}{\left(\delta Q\left[h\right]\right)}_{ijkl}\end{array}$

$\begin{array}{c}=-2g^{mk}{g}^{nl}{\beta }_{kl}{h}_{mn}+\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}\left(h_{ij;kl}+h_{ik;jl}-h_{jk;il}\right)+\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{il}^p\left(h_{pj;k}+h_{pk;j}-h_{jk;p}\right)\\ -\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{jl}^p\left(h_{ip;k}+h_{ik;p}-h_{pk;i}\right)+\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{kl}^p\left(h_{ij;p}+h_{ip;j}-h_{jp;i}\right)\\ +g^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{jk}^p\left(h_{ip;l}+h_{qp}{\gamma }_{il}^q+h_{iq}{\gamma }_{pl}^q\right)-\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{ipk}{g}^{pq}\left(h_{ql;j}+h_{jq;l}-h_{jl;q}\right)\\ +\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}{h}_{ip}{g}^{pq}({\gamma }_{jk;l}^p+{\gamma }_{qk}^p{\gamma }_{jl}^q+{\gamma }_{jq}^p{\gamma }_{kl}^q-{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{ql}^p)-2g^{kl}{g}^{ij}{h}_{iq}{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{jl}^p\end{array}$ (14)

3. 定理的证明

在本节我们将计算Hessian流形上两个特殊泛函变分$E\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{\left|\alpha \right|}^2\text{d}{V}_g}$ 和$F\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{S}_g}\text{d}{V}_g$ 的临界值，其中$S_g=Tr\beta$ ，即下面的两个定理。

定理3.1 $\left(M^n,D,g\right)$ 为紧的Hessian流形，$E\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{\left|\alpha \right|}^2\text{d}{V}_g}$ 为Hessian流形上关于Hessian度量的一个泛函，则泛函$E\left(g\right)$ 的Euler-Lagrange方程为

$g^{kt}{\gamma }_{rs;k}^r+g^{st}{\gamma }_{ri;i}^r-g^{pt}{\gamma }_{rs;p}^r+\frac{{\left|\alpha \right|}^2}{2}{g}^{ts}=0.$

对于所有的$t,s=1,\cdots ,n$ ，其中分号“；”表示Levi-Civita联络$\nabla$ 的协变微分，相同指标表求和。

定理3.2 $\left(M,D,g\right)$ 为紧的Hessian流形，$F\left(g\right)={\displaystyle {\int }_{M}Tr\left(\beta \right)\text{d}{V}_g}$ 为Hessian流形上关于Hessian度量的一个泛函，则泛函$F\left(g\right)$ 的Euler-Lagrange方程为

$\begin{array}{c}0=-2g^{mk}{g}^{nl}{\beta }_{kl}+\frac{1}{2}\left(g^{kl}{g}^{in}{\gamma }_{il;k}^m+g^{ij}{g}^{ln}{\gamma }_{il;j}^m-g^{nl}{g}^{im}{\gamma }_{il;p}^p\right)-\frac{1}{2}\left(g^{mj}{g}^{kl}{\gamma }_{jl;k}^n+g^{mj}{g}^{nl}{\gamma }_{jl;p}^p-g^{ij}{g}^{nl}{\gamma }_{jl;i}^m\right)\\ -\frac{1}{2}\left(g^{mn}{g}^{kl}{\gamma }_{kl;p}^p+g^{mj}{g}^{kl}{\gamma }_{kl;j}^n-g^{im}{g}^{kl}{\gamma }_{kl;i}^n\right)+\left(g^{mj}{g}^{kl}{\gamma }_{kl;l}^j+g^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{il}^m{\gamma }_{jk}^n+g^{kl}{g}^{mj}{\gamma }_{pl}^n{\gamma }_{jk}^p\right)\\ -\frac{1}{2}\left(g^{ij}{g}^{kn}{\gamma }_{ik;j}^m+g^{mi}{g}^{kl}{\gamma }_{ik;l}^n-g^{im}{g}^{nk}{\gamma }_{ik;q}^q\right)+\frac{1}{2}{g}^{mj}{g}^{kl}{g}^{nq}\left({\gamma }_{jk;l}^n+{\gamma }_{qk}^n{\gamma }_{jl}^q+{\gamma }_{jq}^n{\gamma }_{kl}^q-{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{ql}^n\right)\\ -2g^{mj}{g}^{kl}{\gamma }_{jk}^n{\gamma }_{jl}^p.\end{array}$

其中分号“；”表示Levi-Civita联络$\nabla$ 的协变微分，相同指标表求和。

定理3.1的证明：

我们对$E\left(g\right)$ 两边同时求变分并且由(7)(8)和分部积分我们有

$\begin{array}{c}\delta \left(E\left(g\right)\right)={\displaystyle {\int }_M\delta \left({\displaystyle \sum _i{\alpha }_i{}^2}\right)}\left[h\right]\text{d}{V}_g+{\left|\alpha \right|}^2\delta \left(\text{d}{V}_g\right)\left[h\right]\\ ={\displaystyle {\int }_{M}2{\gamma }_{ri}^r\delta \left({\gamma }_{ki}^k\right)}+\frac{{\left|\alpha \right|}^2}{2}{g}^{ts}{h}_{ts}\text{d}{V}_g\\ ={\displaystyle {\int }_M{g}^{kp}{\gamma }_{ri}^r}\left(h_{pi;k}+h_{kp;i}-h_{ki;p}\right)+\frac{{\left|\alpha \right|}^2}{2}{g}^{ts}{h}_{ts}\text{d}{V}_g\\ ={\displaystyle {\int }_M{g}^{kp}{\gamma }_{ri}^r}\left({\gamma }_{ri;k}^r{h}_{pi}+{\gamma }_{ri;i}^r{h}_{kp}-{\gamma }_{ri;p}^r{h}_{ki}\right)+\frac{{\left|\alpha \right|}^2}{2}{g}^{ts}{h}_{ts}\text{d}{V}_g\\ ={\displaystyle {\int }_M\left(g^{kt}{\gamma }_{rs;k}^r+g^{st}{\gamma }_{ri;i}^r-g^{pt}{\gamma }_{rs;p}^r+\frac{{\left|\alpha \right|}^2}{2}{g}^{ts}\right)h_{ts}\text{d}{V}_g}\end{array}$

则泛函$E\left(g\right)$ 的Euler-Lagrange方程为

$g^{kt}{\gamma }_{rs;k}^r+g^{st}{\gamma }_{ri;i}^r-g^{pt}{\gamma }_{rs;p}^r+\frac{{\left|\alpha \right|}^2}{2}{g}^{ts}=0.$

定理3.2的证明：对$F\left(g\right)$ 两边变分有

$\delta F\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M\left(\delta S\left[h\right]\right)\text{d}{V}_g}+S_g\left(\delta \text{d}{V}_g\right)\left[h\right]$

下面利用分部积分，(13)代入${\displaystyle {\int }_M{S}_g}\left(\delta d{V}_g\right)\left[h\right]\text{d}{V}_g$ 中我们有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_M\left(\delta S\left[h\right]\right)\text{d}{V}_g}={\displaystyle {\int }_M-}2g^{mk}{g}^{nl}{\beta }_{kl}{h}_{mn}+g^{kl}{g}^{ij}{\left(\delta Q\left[h\right]\right)}_{ijkl}\text{d}{V}_g\\ ={\displaystyle {\int }_M-}2g^{mk}{g}^{nl}{\beta }_{kl}{h}_{mn}+\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{il}^p\left(h_{pj;k}+h_{pk;j}-h_{jk;p}\right)-\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{jl}^p\left(h_{ip;k}+h_{ik;p}-h_{pk;i}\right)\\ +\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{kl}^p\left(h_{ij;p}+h_{ip;j}-h_{jp;i}\right)+g^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{jk}^p\left(h_{ip;l}+h_{qp}{\gamma }_{il}^q+h_{iq}{\gamma }_{pl}^q\right)-2g^{kl}{g}^{ij}{h}_{iq}{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{jl}^p\\ -\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{ik}^q\left(h_{ql;j}+h_{jq;l}-h_{jl;q}\right)+\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}{h}_{ip}{g}^{pq}\left({\gamma }_{jk;l}^p+{\gamma }_{qk}^p{\gamma }_{jl}^q+{\gamma }_{jq}^p{\gamma }_{kl}^q-{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{ql}^p\right)\text{d}{V}_g\end{array}$

$\begin{array}{c}={\displaystyle {\int }_M-}2g^{mk}{g}^{nl}{\beta }_{kl}{h}_{mn}+\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}\left({\gamma }_{il;k}^p{h}_{pj}+{\gamma }_{il;j}^p{h}_{pk}-{\gamma }_{il;p}^p{h}_{jk}\right)\\ -\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}\left({\gamma }_{jl;k}^p{h}_{pi}+{\gamma }_{jl;p}^p{h}_{ik}-{\gamma }_{jl;i}^p{h}_{pk}\right)+\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}\left({\gamma }_{kl;p}^p{h}_{ij}+{\gamma }_{kl;j}^p{h}_{ip}-{\gamma }_{kl;i}^p{h}_{jp}\right)\\ +g^{kl}{g}^{ij}\left({\gamma }_{jk;l}^p{h}_{ip}+{\gamma }_{jk}^p{\gamma }_{il}^q{h}_{qp}+{\gamma }_{jk}^p{\gamma }_{pl}^q{h}_{iq}\right)-\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}\left({\gamma }_{ik;j}^q{h}_{ql}+{\gamma }_{ik;l}^q{h}_{jq}-{\gamma }_{ik;q}^q{h}_{jl}\right)\\ +\frac{1}{2}{g}^{kl}{g}^{ij}{h}_{ip}{g}^{pq}\left({\gamma }_{jk;l}^p+{\gamma }_{qk}^p{\gamma }_{jl}^q+{\gamma }_{jq}^p{\gamma }_{kl}^q-{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{ql}^p\right)-2g^{kl}{g}^{ij}{h}_{iq}{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{jl}^p\text{d}{V}_g\end{array}$

$\begin{array}{c}={\displaystyle {\int }_M-}2g^{mk}{g}^{nl}{\beta }_{kl}{h}_{mn}+\frac{1}{2}{h}_{mn}\left(g^{kl}{g}^{in}{\gamma }_{il;k}^m+g^{ij}{g}^{ln}{\gamma }_{il;j}^m-g^{nl}{g}^{im}{\gamma }_{il;p}^p\right)\\ -\frac{1}{2}{h}_{mn}\left(g^{mj}{g}^{kl}{\gamma }_{jl;k}^n+g^{mj}{g}^{nl}{\gamma }_{jl;p}^p-g^{ij}{g}^{nl}{\gamma }_{jl;i}^m\right)-\frac{1}{2}{h}_{mn}\left(g^{mn}{g}^{kl}{\gamma }_{kl;p}^p+g^{mj}{g}^{kl}{\gamma }_{kl;j}^n-g^{im}{g}^{kl}{\gamma }_{kl;i}^n\right)\\ +h_{mn}\left(g^{mj}{g}^{kl}{\gamma }_{kl;l}^j+g^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{il}^m{\gamma }_{jk}^n+g^{kl}{g}^{mj}{\gamma }_{pl}^n{\gamma }_{jk}^p\right)-\frac{1}{2}{h}_{mn}\left(g^{ij}{g}^{kn}{\gamma }_{ik;j}^m+g^{mi}{g}^{kl}{\gamma }_{ik;l}^n-g^{im}{g}^{nk}{\gamma }_{ik;q}^q\right)\\ +\frac{1}{2}{h}_{mn}{g}^{mj}{g}^{kl}{g}^{nq}\left({\gamma }_{jk;l}^n+{\gamma }_{qk}^n{\gamma }_{jl}^q+{\gamma }_{jq}^n{\gamma }_{kl}^q-{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{ql}^n\right)-2h_{mn}{g}^{mj}{g}^{kl}{\gamma }_{jk}^n{\gamma }_{jl}^p\text{d}{V}_g\end{array}$

又${\displaystyle {\int }_M{S}_g}\left(\delta \text{d}{V}_g\right)\left[h\right]\text{d}{V}_g=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_M{g}^{mn}}{h}_{mn}\text{d}{V}_g$ ，我们有

$\delta F\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M\left(-2g^{mk}{g}^{nl}{\beta }_{kl}+M_{mn}\right)h_{mn}\text{d}{V}_g}$

其中

$\begin{array}{c}{M}_{mn}=\frac{1}{2}\left(g^{kl}{g}^{in}{\gamma }_{il;k}^m+g^{ij}{g}^{ln}{\gamma }_{il;j}^m-g^{nl}{g}^{im}{\gamma }_{il;p}^p\right)-\frac{1}{2}\left(g^{mj}{g}^{kl}{\gamma }_{jl;k}^n+g^{mj}{g}^{nl}{\gamma }_{jl;p}^p-g^{ij}{g}^{nl}{\gamma }_{jl;i}^m\right)\\ -\frac{1}{2}\left(g^{mn}{g}^{kl}{\gamma }_{kl;p}^p+g^{mj}{g}^{kl}{\gamma }_{kl;j}^n-g^{im}{g}^{kl}{\gamma }_{kl;i}^n\right)+\left(g^{mj}{g}^{kl}{\gamma }_{kl;l}^j+g^{kl}{g}^{ij}{\gamma }_{il}^m{\gamma }_{jk}^n+g^{kl}{g}^{mj}{\gamma }_{pl}^n{\gamma }_{jk}^p\right)\\ -\frac{1}{2}\left(g^{ij}{g}^{kn}{\gamma }_{ik;j}^m+g^{mi}{g}^{kl}{\gamma }_{ik;l}^n-g^{im}{g}^{nk}{\gamma }_{ik;q}^q\right)+\frac{1}{2}{g}^{mj}{g}^{kl}{g}^{nq}\left({\gamma }_{jk;l}^n+{\gamma }_{qk}^n{\gamma }_{jl}^q+{\gamma }_{jq}^n{\gamma }_{kl}^q-{\gamma }_{jk}^q{\gamma }_{ql}^n\right)\\ -2g^{mj}{g}^{kl}{\gamma }_{jk}^n{\gamma }_{jl}^p\end{array}$

则泛函$E\left(g\right)$ 的Euler-Lagrange方程为

$-2g^{mk}{g}^{nl}{\beta }_{kl}+M_{mn}=0$

我们就证明了定理3.2。

4. 总结

本文主要研究Hessian几何上Koszul形式和泛函变分问题的研究。首先我们介绍了Hessian结构、第一Koszul形式$\alpha$ 和第二Koszul形式$\beta$ 、Hessian曲率等概念及相关性质，然后我们计算了Hessian曲率

Q、第二Koszul形式$\beta$ 及其迹的变分，最后计算Hessian流形上两个特殊泛函变分$E\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{\left|\alpha \right|}^2\text{d}{V}_g}$ 和$F\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{S}_g}\text{d}{V}_g$ 的Euler-Lagrange方程。在此论文的基础上我们可以类比经典黎曼流形上的二次曲率泛函${\Psi }_1\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{R}_g^2\text{d}{V}_g}$ ，${\Psi }_2\left(g\right)={\displaystyle {\int }_{M}Ri{c}^2\text{d}{V}_g}$ ，${\Psi }_3\left(g\right)={\displaystyle {\int }_M{\left|R\right|}^2\text{d}{V}_g}$ 的临界条件，继续探究$E\left(g\right)$ 和$F\left(g\right)$ 的

临界条件与Einstein-Hessian流形的联系。