定积分微元法的应用探讨

Exploration of the Application of Differential Element Method of Definite Integral

摘要: 微积分能够广泛应用于各个领域来改变我们这个世界，得益于应用它解决问题的思想方法——微元法。本文分析了定积分微元法的主要思想，总结了定积分微元法的使用条件及方法，并通过三种分割方法求面积，分析总结微元法的难点和使用原则，并解决了旋转体的体积和抽取液体做功两个问题。该方法类似可推广到其他几何、物理及经济问题。

Abstract: Calculus can be used in a wide range of fields to change our world, thanks to its application to solve problems of thought—the element method. In this paper, the main idea of the definite integral element method is analyzed, the conditions and methods of using the definite integral element method are summarized, and the area is obtained by three segmentation methods, the difficulties and principles of the method are analyzed and summarized, and the two problems of the volume of the rotating body and the extraction of liquid to do work are solved. The method can also be extended to other geometric, physical and economic problems.

1. 引言

微积分的创立改变了我们这个世界，它广泛地应用在了天文学，几何学、物理学、经济学和其他工程领域，使社会发展突飞猛进，微积分之所以如此重要，得益于它能解决当时社会急需解决的实际问题。其中有一大类问题都需要求一类非均匀连续分布的整体量Ｕ，如面积、体积、质量、做功等等。这类量都具有对区间的可加性，可通过“分割，近似代替，求和，取极限”4个步骤，将所求整体量Ｕ表达为具有相同结构的和式极限，即为定积分[1] [2] [3]，显然这种做法太过繁琐。数学理论广泛应用于各种实践，并指导着实践。在实践中，需要求大量的这类未知整体量的问题，前人探索研究出目前在各科研领域和实践领域中广泛应用的非常实用简捷的重要数学思想方法——微元分析法(简称微元法或元素法) [4]。微元法指导着整个积分学的应用，它是微积分广泛应用于各个领域的基本思想方法，是微积分理论联系实际问题的桥梁，极其重要。

但是在用微元法解决实际问题时，许多人往往仅仅是机械的模仿，而并未领会到微元法的核心思想所在。不能真正理解元素法并且灵活掌握这个方法的原理以及实施步骤乃至最终用好元素法。因此本文从定积分的极限定义式(特殊和式的极限)出发，分析如何给出待求量的微元。对微元法的原理、思想和方法深入探讨，并探讨微元法在求面积、求体积、求物体所做的功等实际问题中的广泛应用。

2. 微元法的使用条件和方法分析

1. 元素法的使用条件：(1) 所求总量U是一个与某变量x的变化区间$\left[a,b\right]$ 有关的量，即总量U是一个分布在区间$\left[a,b\right]$ 上的整体量；(2) 总量U对于$\left[a,b\right]$ 具有可加性，即$U=\Sigma \Delta U$ ；(3) 总量U的部分量ΔU可近似地表示成$f\left(x\right)\Delta x$ ，或者说求得微分表达式$\text{d}U=f\left(x\right)\text{d}x$ 。

2. 元素法求总量U的方法步骤

设所求总量U满足微元法的使用条件，则可按下列步骤求U：(1) 分割：确定分割方法，将总量U看成是一系列部分量的叠加，自然地产生自变量x以及它的变化区间$\left[a,b\right]$ ；(2) 求总量U的微元：将区间$\left[a,b\right]$ 分成若干小区间，任取其中的一个区间微元$\left[x,x+\text{d}x\right]$ ，在其上求部分量的近似值$\Delta U\approx f\left(x\right)\Delta x$ ，

并验证$\Delta U=f\left(x\right)\Delta x+\text{o}\left(\Delta x\right)$ ，这里$\text{o}\left(\Delta x\right)$ 表示当$\Delta x\to 0$ 时Δx的高阶无穷小，从而函数$U\left(x\right)$ 可微，且$\text{d}U=f\left(x\right)\text{d}x$ ，即得到总量U的微元$\text{d}U=f\left(x\right)\text{d}x$ ；(3) 求总量U：将部分量累加得定积分，计算求得总量$U={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}$ 。上述步骤可浓缩为如下框图1：

Figure 1. Step diagram

图1. 步骤图

3. 微元法的应用

1. 求面积

例1 求半径为R的圆的面积。

分析：现在当然大家都知道圆的面积是$\pi R^2$ ，但最初人们是不知道的，那如果回到最初，我们是如何来求圆的面积呢？下面针对这个问题我们用不同的方式来处理，从中体会元素法的精髓。

Figure 2. Vertical strip segmentation method

图2. 竖条分割法

方法一，竖条分割法：根据元素法的思想，要求圆的面积这个总量，首先我们要对这个圆进行分割。不妨把圆切成竖条来看一看。

如图2所示，第一步，分割：用刀把这个圆从左至右依次切成小竖条，此时圆的面积就看成是一系列竖条的面积的叠加。这样的切割，显然从$x=-R$ 开始切，到$x=R$ 结束，这样自然产生自变量x和区间$\left[-R,R\right]$ ；第二步，求总面积S的微元：对区间$\left[-R,R\right]$ 分割之后，形成了很多的小区间，任意找一个小区间作为代表区间$\left[x,x+\text{d}x\right]$ ，在代表区间上求部分量(竖条的面积)的近似值，由于竖条非常的细，可以把它近似的看做是矩形来求面积。如图1所示，我们连接这两点得到一个直角三角形，这条直角边用勾股定理直接计算出来为$\sqrt{R^2-x^2}$ 。那矩形的高就刚好是这条直角边的两倍为$2\sqrt{R^2-x^2}$ ，宽是dx。这样我们就求得了这一个小竖条面积的近似值，即总面积S的微元：$\text{d}S=2\sqrt{R^2-x^2}\text{d}x$ ；第三步，求总面积：将

部分量累加可快速写出定积分，它的上、下限也就是区间的起点$x=-R$ 和终点$x=R$ ：$S={\displaystyle {\int }_{-R}^{R}2\sqrt{R^2-x^2}\text{d}x}$ ，

写出了定积分之后我们就用牛莱公式计算这个定积分，显然可以用三角代换求出它的原函数。最后求得

它的值正好是$\pi R^2$ ，即$S={\displaystyle {\int }_{-R}^{R}2\sqrt{R^2-x^2}\text{d}x}=\pi R^2$ 。这样我们就用切竖条的方法对这个圆进行了分割，最

终用微元法求得了这个圆的面积。

Figure 3. Sector segmentation method

图3. 扇形分割法

方法二，扇形分割法：如果假设这个圆是一个圆形的蛋糕，那我们大多数人都喜欢把它分成如图所示的小扇形。下面我们尝试用这种分割方法来求此圆的面积。

如图3所示，第一步，分割：用刀把这个圆从x轴正向的位置开始依次切成小扇形，转一圈。那这个圆的面积就看成是一系列小扇形的面积的叠加。切割的时候，我们显然从$\theta =0$ 开始切，到$\theta =2\pi$ 结束，这样自然产生自变量$\theta$ 和区间$\left[0,2\pi \right]$ ；第二步，求总面积S的微元：对区间$\left[0,2\pi \right]$ 分割之后，任意找一个小区间作为代表区间$\left[\theta ,\theta +\text{d}\theta \right]$ ，在代表区间上求部分量(小扇形面积)的近似值，小扇形圆心角非常

的小就是$\text{d}\theta$ ，那弧长就等于半径乘以圆心角$R\cdot \text{d}\theta$ ，因此小扇形面积就等于$\frac{1}{2}R\text{d}\theta \cdot R=\frac{1}{2}{R}^2\text{d}\theta$ 。这样我们就求得了这个小扇形面积的近似值，也就是总面积S的微元$\text{d}S=\frac{1}{2}{R}^2\text{d}\theta$ ；第三步，求总面积：将部分量累加可快速写出定积分，它的上限对应区间的起点、下限对应区间的终点：$\text{d}S=\frac{1}{2}R\text{d}\theta \cdot R=\frac{1}{2}{R}^2\text{d}\theta$ 。写出了定积分之后我们就用用牛莱公式计算这个定积分的值正好就是$\pi R^2$ ，即$S={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}{R}^2\text{d}\theta }=\pi R^2$ 。这样

我们把圆分割成小扇形，同样用微元法求得了它的面积。

Figure 4. Circular segmentation method

图4. 环形分割法

方法三，环形分割法：除了切竖条，切扇形。我们还可以把这个圆有规律的切割切成一系列的圆环。

如图4所示，第一步，分割：用刀把这个圆从内往外依次切成小圆环。那这个圆的面积就看成是一系列小圆环的面积的叠加。切割的时候，显然从$x=0$ 开始切，到$x=R$ 结束，这样自然产生自变量x和区间$\left[0,R\right]$ ；第二步：对区间$\left[0,R\right]$ 分割之后，任意找一个小区间作为代表区间$\left[x,x+\text{d}x\right]$ ，在代表区间上求部分量(小圆环面积)的近似值，小圆环的内半径为x，外半径为$x+\text{d}x$ ，由于内外半径之差dx非常的小，小圆环可以近似地看作一个矩形。它的内圆周作为矩形的长，内外半径之差dx作为矩形的宽。因此小圆环面积就近似为内圆周长$2\pi x$ 乘以宽dx。好，这样我们就求得了这个小圆环面积的近似值。也就是总面积S的微元；第三步：将部分量累加可快速写出定积分，它的下限对应区间的起点和上限对应区间的终点。好，写出了定积分之后我们就用牛莱―公式计算这个定积分，最后求得它的值正好是$\pi R^2$ 。

到此，我们用三种不同的切割方法，都用微元法求得了这个圆的面积，用元素法的时要注意它的难点：确定分割方法，并求部分量的近似值，也就是总量的微元。根据问题的不同，它是灵活多变的，在实际问题中我们要恰当的找到分割方式，并顺利找到对应微元，在分割区域上，便可以方便地把它化成我们熟知的定积分。

通过此题总结体会微元法的使用原则：

第一是可加性原则。比如：圆的面积可以看作是一系列的小竖条面积的叠加。这样我的分割才是有意义的、有效的分割。所以这是微元法使用的一个基本原则。

第二是有序性原则。比如：当我在把圆切成小竖条的时候，我是从左至右依次切割，有顺序；当我把圆看切成小扇形的时候，我是从$\theta =0$ 开始逆时针旋转一圈依次切割，也是有顺序的；当我把原切成小圆环时，我是从圆心出发依次往外做环形切割，它们都是有序的，这样才能保证我的切割不遗漏，不重复，最终能进行完整的叠加。所以有序性原则也是非常重要的。

定积分的应用是及其广泛的，他能解决多种问题。下面我们来看一个体积问题，进一步来体会微元法的精妙用法。

2. 求旋转体的体积

例2 从图中看到有一个曲边梯形，曲边为$y=f\left(x\right)$ ，区间为$\left[a,b\right]$ ，现在分别让它绕x轴和y轴来旋转一周，求所得的旋转体的体积。

Figure 5. Rotating body

图5. 旋转体

分析：(1) 当此曲边梯形绕x轴旋转，观察到所求立体是一个如图5所示的旋转体，此旋转体的特点是如果垂直于x轴来切割，不管切哪个位置，所得的切片都正好是一个小圆片。根据此找规律，将此旋转体垂直于x轴来切片分割，看作是一系列小圆片的叠加。

经过分析之后，下面我们用微元法来解决这个问题。

第一步，分割：用刀把这个旋转体从左至右依次切成小圆片，那这个旋转体的体积就可以看成是一系列小圆片体积的叠加。显然从$x=a$ 开始切，到$x=b$ 结束，这样自然产生自变量x和区间$\left[a,b\right]$ 。

第二步，求体积微元：对区间$\left[a,b\right]$ 分割之后，任意找一个小区间$\left[x,x+\text{d}x\right]$ 作为代表区间，由于这个小圆片儿非常的薄，所以它的厚度我们用dx来表示。因此如果把区间的左端点记为x，那么右端点就是$x+\text{d}x$ 。在代表区间上求部分量(小圆片的体积)的近似值，要求小圆片的体积就是先来求这个截面圆的面积，显然它的半径是$f\left(x\right)$ ，所以面积为$\pi$ 乘以半径的平方。由于小圆片特别的薄，所以可以把它看作是

一个圆柱体。所以它的体积呢，就是底面积乘以它的厚度dx，即$\text{d}V=\pi {\left[f\left(x\right)\right]}^2\text{d}x$ ，到此我们就求得了

这一个小圆片的体积的近似值，即为总体积V的微元。

第三步，求总体积：将部分量累加可快速写出定积分，即$V={\displaystyle {\int }_a^b\pi {\left[f\left(x\right)\right]}^2\text{d}x}$ ，如果这个函数有具体

的表达式，可以具体计算出此旋转体的体积。

(2) 当此曲边梯形绕y轴旋转，观察到所求立体是一个如图6所示的旋转体，图6只画出了它一半的图形。

Figure 6. Half of the rotating body

图6. 一半旋转体

观察到此旋转体可以近似地看作一个空心的圆柱体，或者看做一个壁很厚的圆筒。求它的体积，注意要有规律的切割。联想我们在求圆的面积时，有一种分割方法叫做圆环分割。是由内而外的逐层分割成一个一个的圆环叠加。类比过来可以把此旋转体看成是一层一层的圆筒壁叠加。经过分析之后，我们用微元法来解决这个问题。

第一步，分割：把这个旋转体从内到外依次分割成圆筒壁，那这个旋转体的体积就可以看成是一系列圆筒壁体积的叠加。显然从$x=a$ 开始切，到$x=b$ 结束，这样自然产生自变量x和区间$\left[a,b\right]$ 。

第二步，求体积微元：对区间$\left[a,b\right]$ 分割之后，任意找一个小区间$\left[x,x+\text{d}x\right]$ 作为代表区间，由于这个圆筒壁非常的薄，所以它的厚度我们用dx来表示。因此如果把区间的左端点记为x，那么右端点就是$x+\text{d}x$ ，下面在代表区间上求部分量(圆筒壁的体积)的近似值，我们可以把它展开，看成是一个有厚度的长方形，这个长方形的长是原来的圆筒壁的内圆周的周长。他的宽是$f\left(x\right)$ ，它的厚度是dx，这样我们就可以求出来圆筒壁的体积的近似值，即总体积V的微元$\text{d}V=2\pi xf\left(x\right)\text{d}x$ 。

第三步，求总体积：将部分量累加可快速写出定积分，即$V={\displaystyle {\int }_a^{b}2\pi xf\left(x\right)\text{d}x}$ ，如果这个函数有具体的

表达式，则可以具体计算出此旋转体的体积。

定积分的应用是及其广泛的，不仅可以解决同一领域内的各种问题，它还可以解决不同领域的问题，比如说物理问题。

3. 求抽出液体所做的功

例3 一个军事的储油罐为了隐蔽和安全的需要，设计成地下锥体。油的体密度是ρ，求将全部的油抽出到地面需要做多少功。

分析：要求所做的功，我们知道功等于力乘以位移。而力等于质量乘以重力加速度。而质量又等于体积乘以密度。即所求功$W=\rho gVS$ 。现在要把油抽出到地面，不同高度的油抽到地面的位移是不同的，由于位移随高度不同而改变，所以我们要计算将全部的油抽出到地面所做的功，就需要分层来计算。把全部的油看成是一层一层的油的叠加，下面我们用微元法来解决这个问题。

Figure 7. Coordinate system

图7. 坐标系

第一步，分割：建立如图7所示的坐标系。垂直于x轴自上而下做分割，自然得到自变量x和区间$\left[0,h\right]$ 。

第二步，求功微元：对区间$\left[0,h\right]$ 分割之后，任意找一个小区间作为代表区间$\left[x,x+\text{d}x\right]$ ，由于油层非常的薄，所以它的厚度我们用dx来表示。因此如果把区间的左端点记为x，那么右端点就是$x+\text{d}x$ ，在代表区间上求部分量(抽出一薄层油做的功)的近似值，这一薄层油的形状是一个圆形，那么这个圆的半

径我们要先求出来。从图6中看，$\Delta ON{N}_1$ 和$\Delta OM{M}_1$ 是两个相似三角形，所以有$\frac{r}{R}=\frac{x}{H}$ ，从中可以求出这一薄层油即这个圆形的半径为$r=\frac{R}{H}x$ ，把它近似看作是厚度为dx的一个圆形薄片，可以求出它的体积近似值为$\pi {\left[\frac{R}{H}x\right]}^2\text{d}x$ ，它的质量近似值为$\rho \pi {\left[\frac{R}{H}x\right]}^2\text{d}x$ ，把这一层油提上去所需要的力近似值为$\rho g\pi {\left[\frac{R}{H}x\right]}^2\text{d}x$ ，最后求得抽出这一薄层油所做功的近似值为$\rho g\pi {\left[\frac{R}{H}x\right]}^2\text{d}x\cdot x$ ，即所求功的微元$\text{d}W=\rho g\pi \frac{R^2}{H^2}{x}^3\text{d}x$ 。

第三步，求总功：将部分量累加可快速写出定积分，即$W={\displaystyle {\int }_0^h\rho g\pi \frac{R^2}{H^2}{x}^3\text{d}x}$ ，如果这个函数有具体

的表达式，则可以具体计算出将全部的油抽出到地面所做的功。

4. 结语

本文我们通过几何和物理的例子，总结了定积分应用的元素法，在解决问题的过程中感受了微元分析法的灵活性，精妙和重要性。此方法之所以重要是因为它是微积分能够广泛应用于物理、工程、科技、经济等领域的有效方法。类似可用此方法解决弧长、细棒质量、水压力及引力等问题。定积分微元法还可以类似推广到多元函数的情形，用来解决重积分、线面积分的几何、物理、经济应用问题。