利用GeoGebra和“PBL”模式进行数学建模研究一例

A Case Study of Mathematical Modeling Using GeoGebra and “PBL” Model

摘要: 《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订版)》中明确将“数学建模”列为数学学科六大核心素养之一，数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。但在数学课堂教学中数学建模如何开展仍然是一线数学教师非常关注并难以实施的问题，这里利用GeoGebra数学软件并借鉴项目学习框架，以探究茶水的最佳饮用时间为例提供了一个具体的教学设计。

Abstract: “Mathematics modeling” is clearly listed as one of the six core qualities of mathematics in the general high school Mathematics Curriculum Standards (2017 edition, 2020 revision edition). Mathematical modeling builds a bridge between mathematics and the outside world, and is an important form of mathematical application. Mathematical modeling is the basic means of applying mathematics to solve practical problems, and it is also the driving force to promote the development of mathematics. However, how to carry out mathematical modeling in mathematics classroom teaching is still a problem that front-line mathematics teachers are very concerned about and difficult to implement. Here, GeoGebra mathematics software and project learning framework are used for reference to provide a specific teaching design to explore the best drinking time of tea as an example.

1. 数学建模核心素养与“PBL”教学模式

1.1. 数学建模素养的重要地位与开展“PBL”教学活动的必要性

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。

数学核心素养成为数学课程改革的关注焦点，是在面对新时代为提高全体国民素质和人才培养质量的要求的背景之下和适应经济、科技的迅猛发展和社会的快速变革背景之下的，并在我国的《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订版)》中就指出数学学科核心素养是具有数学特征的重要思维品质[1]。

探究数学建模教学模式是非常重要的当前急待解决的一个问题，目前来看缺少一种切实可行的课堂教学模式为数学建模的教学应用作为一种实现途径，传统的教学方式无法应对数学建模教学所带来的新的挑战，那么在此对数学建模的教学模式展开研究以期望探究出一种适合培养数学建模核心素养的课堂教学模式的一个具体的教学案例设计是具有十分重要的意义的。

1.2. 数学建模软件简介

此次数学建模教学软件选择的是GeoGebra数学软件，GeoGebra数学软件是一款可视化、动态、轻量级，能将“数”与“形”完美融合适合数学学科教与学的数学软件。GeoGebra数学软件的操作简便，可以在手机、电脑、平板等多平台使用，并且其使用完全免费，也就是说明该软件的使用是免费且非常方便的，手机、电脑、平板等均可以使用，而在阶段上也可以满足从数学启蒙到高等数学教育的师生的全阶段的数学学习使用要求。那么教师可以利用GeoGebra数学软件对学生进行数学建模教学，激发学生的兴趣和探索欲，从而提高教学的效率与教学的质量。

1.3. 数学建模教学模式选择——“PBL”教学模式

本文先简介项目式教学的相关内容，然后依据项目式教学设计一个具体的有关数学建模的教学设计的案例。首先对PBL项目式教学模式的简介，项目式教学模式也可称为项目式学习(Project-Based Learning)，简称为PBL [2]。早在2005年左右就已经进入了中国，虽然并不是一个很新的教学模式，但是项目式学习能为培养学生的数学核心素养提供有效途径。

PBL项目式教学模式源于教育家杜威提出的“做中学”的教育理念，克伯屈也就是杜威的学生提出了项目教学法，进而提出了项目式学习的概念。项目式教学模式在目前欧美的中小学依然普遍使用，到进入21世纪后，各国开始关注未来人才的培养，也更加注重项目式教学，在2016年，大家又开始广泛关注项目式学习，因为项目式学习对中国教育改革的核心素养的培养提供了很好的实现途径，到了2021年在“双减”教育政策之下，学校重新成为育人的主要阵地，学生与学习回归校园，其中的作业关联、考试管理也都与项目式学习密切相关，作业管理的分层、个性化以及学习任务的个性化，恰恰对应于项目式学习的本身提倡的个性化的学习。

数学项目学习助力学生形成数学建模素养，数学项目学习应该以学生的“生活”或者“环境”为取向，进行学科综合的学习，我们可以将生活中遇见的真实事件作为学习数学的切入口，为学生尝试在真实世界与数学世界之间建立联系，从真实世界中抽象出数学问题并加以分析、解决。

2. 高中数学建模项目的设计——数学建模：茶水的最佳饮用时间

本节以“茶水的最佳饮用时间”项目为例进行设计其中包括：1. 设计背景；2. 项目设计；3. 关于项目活动评价的建议。

1. 设计背景

(1) 项目背景介绍

本项目来自于《普通高中教科书·数学》人教A版必修的第一册，中国的茶文化博大精深而饮茶深受大众的喜爱，在饮茶的过程中茶水的口感是最重要的一部分，研究在室温下刚泡制好的茶水要等多长时间可以饮用才能达到最佳的饮用口感是具有现实生活的意义的研究问题[3]。

(2) 项目实施对象分析

本项目实施面向的对象是高一年级的学生，他们掌握了高中数学一些基础的知识，并具有一定的课题学习和数学活动的能力，愿意参与项目式学习并且高一的学生时间相比于高二和高三的学生的时间相对较多一点，是适合于开展项目式教学的。在解决项目式学习的过程中，同学们进行数学实验、测量数据、收集数据、分析数据，再利用数学软件进行模拟，之后撰写数学建模的论文，进行汇报与PPT答辩，在这个过程中学生会经历生生互评、教师评价的多主体评价的过程，同时在项目实施的过程中互帮互助、互相合作、共同进步，进行思维的碰撞，从而提出解决问题的思路最后成功解决问题，学生的参与度与主动性相比传统的课堂模式变得更高，深度学习的能力也有所增强。

(3) 本次项目的四个课程目标

通过上网或查阅书籍等途径，学会测量茶水随着时间变化的数据，以及学习之后对于数据的收集、整理、分析数据的方法；通过GeoGebra数学软件，进行散点图的拟合，绘制出函数图像；通过学生的亲自实践，培养学生的创新意识的思维品质；通过小组合作进行，小组同学分工与合作共同完成本次项目。

(4) 项目的课时安排与说明

在2019年的人教A版数学教科书必修一书中只包含1个数学建模活动所以课时分配至少是3个课时按一个课时45分钟计算至少可以利用135分钟来可以开展本次的教学活动。

2. “数学建模：茶水的最佳饮用时间”项目设计

(1) 使用激发学生兴趣的引导语引导学生进入项目式学习的挑战性情境

我们可以使用激发学生兴趣的引导语，例如一片叶子，落入水中，改变了水的味道，从此有了茶，关于茶，古称南方之嘉木，早在神农本草经中就有这样的记载“神农尝百草，日遇七十二毒，得茶解之”，因此中国是最早发现茶树、利用茶叶的国家，更是世界茶文化的发源地，中国的饮茶历史最早历来对选茗、取水、备具、作料，烹茶奉茶及品尝方法都颇为讲究，因而逐渐形成了丰富多彩，雅俗共赏的茶文化。通过以上的文字介绍中国茶文化的相关知识也可以展示有关茶文化的图片或者纪录片，呈现出“数学建模：茶水的最佳饮用时间”项目的相关情境，从而激发出学生投入到该项目的学习热情与兴趣。

(2) “数学建模：茶水的最佳饮用时间”项目活动结构图与知识结构图

学生参与这个项目活动将会需要以下的一些数学概念知识，见图1和图2。

Figure 1. Activity structure of the project “Mathematical Modeling: Optimal Drinking Time of Tea”

图1. “数学建模：茶水的最佳饮用时间”项目活动结构图

Figure 2. Knowledge structure diagram of “Mathematical Modeling: Optimal Drinking Time of Tea”

图2. “数学建模：茶水的最佳饮用时间”的知识结构图

3. 关于项目活动评价的建议

关于该项目活动，当然可以进行有趣而又有挑战的活动在此基础上教师可提供项目活动的建议之后由学生分组后进行选择当然也允许学生们围绕这个主题自己提出活动建议，先与老师进行沟通然后可以进行活动。

建议一：撰写论文

在网上学习科研论文撰写的方法，学习写出一篇数学建模的论文，对于格式有着严格的要求，请提前阅读相应的论文，获取论文格式要求和写作要点的相关知识。

建议二：制作海报

制作有创意的海报，其中可以包括实验数据的测量、收集、分析的过程；用数学软件进行处理绘制散点图的过程；拟合的过程；建立数学模型的过程。

建议三：制作PPT

制作PPT，向同学们介绍自己小组数学建模的全过程，包括：实验数据的测量、收集、分析的过程；用GeoGebra数学软件进行处理绘制散点图的过程；拟合的过程；建立数学模型的过程。

建议四：录制微课

录制微课，向同学们介绍自己小组数学建模的全过程，尤其突出一些对于同学们来说在建模过程中难点的解决过程，例如对于实验数据的收集测量，拟合，和最后选取数学模型的过程。

建议五：录制短视频VLOG

记录自己小组建模的全过程，类似纪录片的作用，有条件的情况下也可以将项目的活动过程制作成为光盘等数码产品以作为纪念。

建议六：撰写活动报告

总结小组进行建模过程遇到的问题包括解决这些问题的所采用的方法，在过程中得到了的收获等。

3. 反思

考虑到实际上高中的学习节奏较快且课时紧张，项目活动可能只能按照课程标准的最低要求来进行开展，而同学们可能也不会选择那么多的形式，大部分同学可能会选择撰写论文或者撰写实验报告的形式，下面选取其中撰写论文的形式进行详细的活动实施介绍。注意在指导同学们撰写论文时，要在论文中清晰地描述茶水最佳饮用时间的数学建模过程，包括问题的提出、模型的建立、数据的收集和分析，以及结论的得出。

4. 项目正式实施

在项目式学习的过程中学生首先需要进行自主预习，只有经过了自主预习学生才会有自己的理解，所以在项目的准备阶段学生需要根据教师发布的任务进行学习为项目之后的实施打好基础，学生在项目学习中还应该进行合作学习，包括合作进行实验数据的测量收集、合作撰写数学建模的论文、合作制作答辩的PPT等过程。

第1课时：确定小组分工以及任务。以小组合作形式进行探究，教师根据班级人数将班级分为几组并确定组长，分好小组后，各小组与老师共同探讨，明确第一阶段小组的任务包括查阅文献，学习数学软件的使用等，每个小组制定活动计划，填写活动计划书。

第2课时：数据收集与数据测量方法的确定并明确实验设计与实验要求，在做好第一阶段的准备工作后，本项目开始了第二阶段。教师针对真实情境下的驱动型问题，发布设计精心的、有梯度的课堂任务。在正式开始活动后对于收集茶水温度变化数据的过程学生可以利用秒表、温度计等工具并以小组为单位，收集并以表格的形式记录茶水的温度随时间变化的数据，记录数据以表格形式呈现更加直观形象方便之后活动的开展，见表1。

Table 1. Data table of tea temperature change over time

表1. 茶水的温度随时间变化数据表

时间/min	0	1	2	3	4	5
水温/℃	85.00	79.19	74.75	71.19	68.19	65.10

之后将表1中得到的数据导入到GeoGebra数学软件中，同学们认真观察散点的分布状况，分析其变化规律，回顾函数的相关知识，猜想哪一种函数与模型接近，之后尝试在教师的指导下利用手机、电脑或者平板中的GeoGebra数学软件将上面表格中测量的数据输入到数学软件中进行数据处理，可以得到茶水的温度随时间变化的散点图，见图3。

学生继续进行探究活动，借助GeoGebra数学软件选择合适的函数模型，尝试拟合的过程中学生可以借助GeoGebra数学软件对数据进行拟合，而在尝试的过程中学生可能会选择一次函数、二次函数、对数函数、指数型函数等函数模型对散点进行拟合操作，同学之间可以进行小组讨论，围绕大家提出的拟合方案进行思考与交流，最终得到拟合效果最好的一个函数模型，见图4。

Figure 3. Scatter diagram of tea temperature change over time

图3. 茶水的温度随时间变化散点图

Figure 4. Fitting diagram of tea temperature variation with time

图4. 茶水的温度随时间变化规律拟合图

接下来在教师的指导下同学们可以通过自主探究与小组讨论等方式继续进行探究活动，并通过GeoGebra数学软件尝试进行拟合操作，同时教师对学生探究出的多个不同的拟合函数模型进行分析与评价，最后教师要引导学生选择合适的函数模型，理解模型的确定不仅依靠对原始数据的简单函数拟合效果，还要遵循客观规律和科学规律，而且考虑现实情况等因数进而得出最终的最符合的函数解析式。考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，最终选择函数$y=k{a}^x+25\left(k\in R,0<a<1,x>0\right)$ 来近似地刻画茶水温度随着时间变化的规律。

由实际情况可知，当$x=0$ 时，$y=85$ 解得$k=60$ ，即$y=60a^x+25$ ，小组分析与讨论思考这样一个问题即如何求出温度的衰减比例$a$ 呢？可以尝试进行小组讨论，并将讨论后的结果汇报，见表2。

Table 2. Group discussion process table

表2. 小组讨论过程表

小组1同学代表汇报	将一组数据代入到式子$y=60a^x+25$ 中求$a$ 。
小组2同学代表汇报	将$y=60a^x+25$ 转化为$y-25=60a^x$ ，从中我们可以发现每份$y-25$ 的值与上一份$y-25$ 的值的比值为$a$ 计算各比值的平均值从而我们可以得到 $a=\frac{1}{5}\left(0.9032+0.9181+0.9284+0.9351+0.9285\right)=0.9227$ ，最后我们把这个平均值作为衰减比例最后就得到了一个函数模型$y=60\times {0.9227}^x+25\left(x>0\right)$ 。
各小组一起讨论得出最终结果	观察函数模型与实际数据的拟合程度当然我们也可以借助GeoGebra数学软件研究其误差平方与最后我们经过讨论发现小组2的模型能较好地反映茶水温度随时间的变化规律，在GeoGebra数学软件中绘制$y=60$ ，与$y=60\times {0.9227}^x+25$ 交点的横坐标的值即为所求。 利用信息技术求得$x\approx 6.6997$ ，所以泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7分钟。

第3课时：在分享展示项目成果阶段形式也非常多样，例如可以举办主题班会，也可以举办校园展示活动，向老师与学生们展示成果。而在项目评价的阶段，可以进行多元的评价，可以建立个人评价、小组评价及教师评价的多元评价模式并撰写各个小组合作完成项目结课作业，并且在之后进行学生互评和教师评价最后填写过程性评价量表。

5. 总结与反思

本文围绕数学建模在数学课堂中的实施问题展开研究，结合GeoGebra数学软件和项目学习框架，以茶水的最佳饮用时间为例，提出了具体的教学设计。这对于解决数学建模在教学实践中的难题具有一定的参考价值，有利于提高数学教师对于数学建模教学的认识和实施能力。

本研究的不足之处在于高中实际课堂时间紧张而本文也只是围绕其中的一种活动形式展开的设计，还可以用其他形式开展活动。优点是利用GeoGebra数学软件并借鉴项目学习框架以探究茶水的最佳饮用时间为例提供了一个具体的数学建模进行的过程，在经历一个完整地由学生自己参与其中的数学建模活动中之后，学生对于数学建模将不会再感到陌生，也会从中学习很多，既锻炼了学生的主动学习能力和小组合作探究的能力，同时也对发展数学建模素养起到了重要的作用。