数学物理方程中的极值原理——具有斜导数边界条件的椭圆方程

The Maximum Principles of Differential Equations in Mathematical Physics—Elliptic Equations with Oblique Derivative Boundary Condition

摘要: 极值原理则是研究椭圆型偏微分方程的重要工具之一。椭圆方程的极值原理多数情况下都是在狄利克雷边界条件下得出的。本文在此基础上，首先对斜导数边界进行了说明，接着又对一般情形的极值原理进行简单概括，最后得出了带有斜导数边界条件椭圆方程的极值原理。

Abstract: The maximum principle is one of the important tools for studying elliptic partial differential equations. In most situations, the maximum principle is derived under the Dirichlet boundary conditions. This paper considers the oblique derivative boundary conditions. Firstly, we explain the oblique derivative boundary. Then the general maximum principle is introduced. Finally, we obtain the maximum principle with the oblique derivative boundary condition for elliptic.

1. 引言

偏微分方程可根据它的数学特征分为三大类型，分别是抛物型、双曲型和椭圆型。这三类偏微分方程描述了不同本质的物理现象。椭圆偏微分方程在数学和物理领域中占据了重要的地位。椭圆偏微分方程的研究涉及到了微分方程理论、泛函分析、几何分析等多个领域[1]。而极大值原理则是解决椭圆偏微分方程的重要工具之一[2] [3]。

传统的椭圆偏微分方程研究多基于狄利克雷边界条件，即函数在边界上的值是给定的[4] [5]。然而，在某些实际物理现象的描述中，仅仅知道函数在边界上的值并不足够，还需要知道函数在边界附近的斜率或方向导数，这就引出了斜导数边界条件。与狄利克雷边界条件相比，斜导数边界条件提供了更为丰富的信息，使得对物理现象的描述更为精确。

在狄利克雷边界条件下，极值原理表明椭圆方程的解在其定义域内达到最大值和最小值的点一定在边界上取得。这是一个非常重要的结论，因为它为求解椭圆偏微分方程提供了重要的线索。经过深入的研究和推导，我们发现，在斜导数边界条件下，椭圆方程的解在一定条件下仍然满足极值原理。这一结论与狄利克雷边界条件下的结果类似，这一发现不仅丰富了我们对椭圆偏微分方程的理解，也为解决带有斜导数边界条件的椭圆方程提供了新的思路和方法。同时，它也进一步证明了极大值原理在椭圆偏微分方程研究中的重要性和普适性。

总的来说，椭圆偏微分方程作为数学和物理领域的重要工具，其研究不仅具有理论价值，更具有广泛的应用前景。而斜导数边界条件的引入和极大值原理的应用，则为我们进一步探索椭圆偏微分方程提供了新的视角和思路。

2. 预备知识

2.1. 椭圆方程

本节主要介绍椭圆方程的定义以及椭圆性条件。假设$\Omega \in {ℝ}^n$ 是一个有界开集。对于函数$u\left(x\right):\overline{\Omega }\to ℝ$ 定义算子L：

$Lu={\displaystyle {\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}{D}_{ij}u}+{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{b}_i{D}_{i}u}+cu$ (1)

其中$a_{ij},b_i$ 和c均是定义在$\overline{\Omega }$ 上的函数，并且$a_{ij}$ 满足以下的对称条件

$a_{ij}=a_{ji}\left(i,j=1,\cdots ,n\right)$ .

若存在两个正数$\lambda \le \Lambda$ 有

$\lambda {\left|\xi \right|}^2\le {\displaystyle {\sum }_{i,j}{a}_{ij}{\xi }_i{\xi }_j}\le \Lambda {\left|\xi \right|}^2,\forall \xi \in {ℝ}^n$ (2)

和

${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left|b_i\right|}+\left|c\right|\le \Lambda$ ,

则称方程(1)是一致椭圆方程，条件(2)是一致椭圆条件。通常情况下，我们也称(1)是具有非散度形式的椭圆方程。

2.2. 斜导数

现在我们来介绍斜导数边界条件。假设区域的边界是$\partial \Omega$ 并且是$C^2$ 光滑的，在$\partial \Omega$ 有向量场$\beta$ ，并且$\overline{x}\in \partial \Omega$ 。如果存在一个正数$t_0$ 使得对任意的$t\in \left(0,t_0\right)$ 均有$\overline{x}+t\beta \in \overline{\Omega }$ ，那么称向量场$\beta$ 在$\overline{x}$ 处指向Ω内部。对任意的函数$f\left(x\right)$ ，在$\partial \Omega$ 处有$\beta \cdot Du\le f\left(x\right)$ 即是

$\underset{t\to 0+}{\lim }\sup \frac{u\left(x+t\beta \right)-u\left(x\right)}{t}\le f$ .

在$\partial \Omega$ 处，给定向量场$\beta$ ，数量场$\gamma$ ，在边界上定义算子M：

$Mu=\beta \cdot Du+\gamma u$ . (3)

上式即是具有斜导数的边界条件。一般情况下，当给出函数$u\left(x\right)$ 在区域边界$\partial \Omega$ 的值时，称为狄利克雷边界条件。另一方面，当在边界$\partial \Omega$ 处给出关于$u\left(x\right)$ 的斜导数的边界条件时，我们称(1)式是具有斜导数边界条件的椭圆方程。

2.3. 简单性质

这一节中，我们将介绍函数在区域中取得极值时的两个性质，具体陈述如下。

性质1假设$\Omega \in {ℝ}^n$ 是一个有界开集。对于函数$u\left(x\right)\in C^2\left(\overline{\Omega }\right):\overline{\Omega }\to ℝ$ ，若$u\left(x\right)$ 在Ω区域内部$x_0$ 处取得极大值，则有

$Du\left(x_0\right)=0,D^{2}u\left(x_0\right)\le 0$ .

此处$D^{2}u\left(x_0\right)\le 0$ 指的是对称矩阵$D^{2}u\left(x_0\right)$ 是非正定的。

性质2假设$\Omega \in {ℝ}^n$ 是一个有界开集。对于函数$u\left(x\right)\in C^2\left(\overline{\Omega }\right):\overline{\Omega }\to ℝ$ ，若$u\left(x\right)$ 边界$\overline{x}\in \partial \Omega$ 处取得极大值，并且$\beta$ 在$\overline{x}$ 处指向Ω内部，则有

$\beta \left(\overline{x}\right)\cdot Du\left(\overline{x}\right)\le 0$ .

这两个性质的证明均在[6]有详细说明，这里不在赘述。

3. 椭圆方程极值原理

这一节中，我们将介绍两个椭圆方程的极值原理，同时也是为了下一节中证明带有斜导数边界条件的椭圆方程极值原理做准备。

定理1 设L是定义有界开集Ω的算子满足(1)式和(2)式。若$u\left(x\right)\in C^2\left(\Omega \right)\cap C^0\left(\overline{\Omega }\right)$ ，并且对任意$x\in \Omega$ 有

$Lu\ge 0$ 和$c\equiv 0$ ，

那么$u\left(x\right)$ 在$\overline{\Omega }$ 中的最大值必在边界上取得，即

$\underset{\overline{\Omega }}{\max }u\left(x\right)=\underset{\partial \Omega }{\max }u\left(x\right)$ .

证明：我们首先证明

$Lu>0$

时的情形。假设存在Ω中的内点$x_0$ 使得

$u\left(x_0\right)=\underset{\overline{\Omega }}{\max }u\left(x\right)$ .

由$x_0$ 是极大值点，根据性质1可知

$Du\left(x_0\right)=0,D^{2}u\left(x_0\right)\le 0$ .

另一方面，由一致椭圆条件可知矩阵

$A=\left\{a_{ij}\left(x_0\right)\right\}$

是对称半正定的。因此通过计算可得

${\displaystyle {\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}\left(x_0\right)D_{ij}u\left(x_0\right)}\le 0$ . (4)

又

$\begin{array}{c}Lu={\displaystyle {\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}\left(x_0\right)D_{ij}u\left(x_0\right)}+{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{b}_i{D}_{i}u\left(x_0\right)}+c\left(x_0\right)u\left(x_0\right)\\ ={\displaystyle {\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}\left(x_0\right)D_{ij}u\left(x_0\right)}>0\end{array}$

这与(4)式矛盾，所以

$\underset{\overline{\Omega }}{\max }u\left(x\right)=\underset{\partial \Omega }{\max }u\left(x\right)$ .

现在证明

$Lu\ge 0$

的情形。令$k>0$ 为待定常数，作函数

$u^{ϵ}\left(x\right)=u\left(x\right)+ϵ{\text{e}}^{k{x}_1}$ ,

则有

$L{u}^{ϵ}=Lu+ϵL\left({\text{e}}^{k{x}_1}\right)\ge ϵ{\text{e}}^{k{x}_1}\left[k^2{a}_{11}+k{b}_1\right]\ge ϵ{\text{e}}^{k{x}_1}\left(k^2\lambda -\Lambda k\right)$ .

选取$k$ 足够大，则有

$L{u}^{ϵ}>0$ .

于是

$\underset{\overline{\Omega }}{\max }{u}^{ϵ}\left(x\right)=\underset{\partial \Omega }{\max }{u}^{ϵ}\left(x\right)$ .

再令$ϵ\to 0$ ，可得$\underset{\overline{\Omega }}{\max }u\left(x\right)=\underset{\partial \Omega }{\max }u\left(x\right)$ 。证毕。

定理2 设L是定义有界开集Ω的算子满足(1)式和(2)式。若$u\left(x\right)\in C^2\left(\Omega \right)\cap C^0\left(\overline{\Omega }\right)$ ，并且对任意$x\in \Omega$ 有

$Lu\ge 0$ 和$c\le 0$ ,

则有

$\underset{\overline{\Omega }}{\max }u\left(x\right)\le \underset{\partial \Omega }{\max }{u}^{+}\left(x\right)$ ,

其中$u^{+}\left(x\right)=\max \left\{u\left(x\right),0\right\}$ 。

证明：定义集合$U=\left\{x\in \Omega |u\left(x\right)>0\right\}$ ，并且在U上定义算子K：

$Ku=Lu-cu$ ,

于是在U上有

$Ku\ge 0$ .

利用定理1可得

$\underset{\overline{\Omega }}{\max }u\le \underset{\overline{V}}{\max }u=\underset{\partial \overline{V}}{\max }u=\underset{\partial \Omega }{\max }{u}^{+}$ .

即证。

定理1和2中均对系数c的符号有要求，这一条件是十分必要的。由下面的例子可知，当$c>0$ 时椭圆方程的极值原理不一定存在。

例1 设$\Omega \in {ℝ}^2$ 具有如下定义

$\Omega =\left\{\left(x,y\right)\in {ℝ}^2:0<x<1,0<y<1\right\}$ .

令$u\left(x,y\right)=\sin \left(\pi x\right)\sin \left(\pi y\right)$ ，则$u\left(x,y\right)$ 满足

$\{\begin{array}{ll}{u}_{xx}+u_{yy}+2{\pi }^{2}u=0\hfill & 在\Omega 中\hfill \\ u=0\hfill & 在\partial \Omega 上\hfill \end{array}$

此时对应的椭圆方程系数$c=2{\pi }^2$ 为正，$u\left(x,y\right)$ 在区域内部$x=\frac{1}{2}$ ，$y=\frac{1}{2}$ 处取得最大值。

4. 具有斜导数边界条件的极值原理

这一节中，本文将给出两个具有斜导数边界条件椭圆方程的极值原理。

定理3 假设$u\left(x\right)\in C^2\left(\Omega \right)\cap C^0\left(\overline{\Omega }\right)$ ，L是定义有界开集Ω的算子满足(1)式和(2)式。在区域Ω中有$Lu\ge 0$ ，在边界$\partial \Omega$ 上有$Mu=\beta \cdot Du+\gamma u\ge 0$ 。如果$\beta$ 指向区域内部，在边界$\partial \Omega$ 上$\gamma <0$ ，在区域Ω中$c<0$ ，$Lu\ge 0$ ，那么

$\underset{\overline{\Omega }}{\max }u\left(x\right)\le 0$ .

证明：假设$u\left(x\right)$ 在$x_0$ 处取得最大值。现在两种情况，如果$x_0$ 是区域Ω的内点，则根据证明定理1中(4)式类似，有

${\displaystyle {\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}\left(x_0\right)D_{ij}u\left(x_0\right)}\le 0$

和

${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{b}_i\left(x_0\right)D_{i}u\left(x_0\right)}=0$ .

又通过在区域Ω中，$Lu\ge 0$ 有

$cu\left(x_0\right)\ge 0$ .

又由$c<0$ ，可得$u\left(x_0\right)\le 0$ 。

另一方面，如果$x_0\in \partial \Omega$ ，通过性质2有

$\beta \left(x_0\right)\cdot Du\left(x_0\right)\le 0$ .

又由$Mu=\beta \cdot Du+\gamma u\ge 0$ 可得

$\gamma u\left(x_0\right)\ge 0$ .

再由$\gamma <0$ ，可得$u\left(x_0\right)\le 0$ 。综上所述我们有

$\underset{\overline{\Omega }}{\max }u\left(x\right)\le 0$ .

定理4 假设$u\left(x\right)\in C^2\left(\Omega \right)\cap C^0\left(\overline{\Omega }\right)$ ，L是定义有界开集Ω的算子满足(1)式和(2)式。在区域Ω中有$Lu\ge 0$ ，在边界$\partial \Omega$ 上有$Mu=\beta \cdot Du+\gamma u\ge 0$ 。如果$\beta$ 指向区域内部，在边界$\partial \Omega$ 上$\gamma <0$ ，在区域Ω中$c\le 0$ ，$Lu\ge 0$ ，那么

$\underset{\overline{\Omega }}{\max }u\left(x\right)\le 0$ .

证明：假设$u\left(x\right)$ 的最大值点$x_1$ 处取得。如果$u\left(x_1\right)>0$ ，由定理2有

$\underset{\overline{\Omega }}{\max }u\left(x\right)\le \underset{\partial \text{Ω}}{\max }{u}^{+}\left(x\right)$,

这说明了$x_1\in \partial \Omega$ 。再由性质2可知

$\beta \left(x_1\right)\cdot Du\left(x_1\right)\le 0$ .

另一方面，由$Mu=\beta \cdot Du+\gamma u\ge 0$ 可得

$\beta \left(x_1\right)\cdot Du\left(x_1\right)+\gamma \left(x_1\right)u\left(x_1\right)\ge 0$ ,

即有

$\gamma \left(x_1\right)u\left(x_1\right)\ge 0$ .

又通过条件$\gamma <0$ ，可得$u\left(x_1\right)\le 0$ 。因此$u\left(x_1\right)>0$ 假设不成立，即证。