唯一极值拟共形映射的Reich序列的显示示例

Display Example of Reich Sequence for Unique Extremal Quasi-Conformal Mapping

摘要: 拟共形映射的极值理论主要研究给定边界对应的拟共形映射族中极值映射的存在性、唯一性、以及极值映射的性质、特征的刻画等问题。本文中，我们基于极值拟共形映射，研究了在唯一性与非唯一性交界的情况下的正规Reich序列，给出了在唯一性和非唯一性之间的边界情况下唯一极值拟共形映射的Reich序列的示例。

Abstract: The extreme value theory of quasi-conformal mapping mainly studies the existence and uniqueness of the extreme value mapping in the quasi-conformal mapping family corresponding to a given boundary, as well as the properties and characteristics of the extreme value mapping. In this paper, based on the extremal quasi-conformal mapping, the normal Reich sequence at the boundary between uniqueness and non-uniqueness is studied, and example of Reich sequence of the unique extremal quasi-conformal mapping at the boundary between uniqueness and non-uniqueness is given.

1. 引言

拟共形映射起源于上世纪30年代，1928年Grötzsch引进一类正则的拟共形映射用于解决一类非共形映射的极值问题：在把矩形$R$ 映射到矩形$R^{\prime }$ 且保持顶点对应的连续可微映射中，怎样的换“最接近”共形映射。Teichmüller继承和发展了Grötzsch的思想和方法，运用拟共形映射去研究经典的Riemann模问题，并建立和发展了现在所称的Teichmüller空间理论。

1940年左右，Teichmüller首先在给定的两个紧Riemann曲面R₁和R₂之间的同伦类中寻找极值拟共形映射并证明这样的极值拟共形映射是存在唯一并且是Teichmüller映射，对于有限型Riemann曲面，上述结论也被证明是正确的。但是对于无限型Riemann曲面，上述问题的结论就变得比较复杂。利用正规族理论可以知道每个同伦类中极值拟共形映射一定是存在的，但是可以不唯一。Strebel通过构造烟囱区域上的仿射拉伸映射给出了极值拟共形映射不唯一的性质。

1987~1988年，Strebel [1] [2]针对不同的区域和映射分别进行了研究，得到了下面两个定理：

定理1.1 分别记$\Omega =\left\{\left(x,y\right)|0<x<\alpha ,-\infty <y<+\infty \right\},f=Kx+iy,E\subset \partial \Omega$ 。则$f$ 在$Q\left({f|}_E\right)$ 中唯一极值的充要条件是：$\pm i\infty$ 都是E的聚点；$f$ 在$Q\left({f|}_E\right)$ 中极值的充要条件是：$\pm i\infty$ 至少有一个是E的聚点。

定理1.2 记$w=f\left(z\right):\left|w\right|={\left|z\right|}^{\frac{1}{K}},\arg w=\arg z$ 是扩充复平面到自身的拟共形映射，E是平面中闭的点集，E的可能聚点为0或∞。则$f$ 在$Q\left({f|}_E\right)$ 中唯一极值的充要条件是：0和∞都是E的聚点；$f$ 在$Q\left({f|}_E\right)$ 中极值的充要条件是：0和∞至少有一个是E的聚点。

其中$Q\left({f|}_{\partial \Omega }\right)=\left\{g:g是\Omega 到\tilde{\Omega }上的拟共形映射，{g|}_{\partial \Omega }={f|}_{\partial \Omega }\right\}$ ，如果对$\forall g\in Q\left({f|}_{\partial \Omega }\right)$ 成立$K\left(f\right)\le K\left(g\right)$ ，那么称$f$ 在$Q\left({f|}_{\partial \Omega }\right)$ 中极值；如果对$\forall g\in Q\left({f|}_{\partial \Omega }\right)$ 且$f\ne g$ ，成立$K\left(f\right)<K\left(g\right)$ ，那么称$f$ 在$Q\left({f|}_{\partial \Omega }\right)$ 中中唯一极值。

记$G_{\alpha }=\left\{\left(x,y\right)|y>{\left|x\right|}^{\alpha }\right\}$ 其中$\alpha$ 为一常数，$f=Ki+iy$ ，Reich和Strebel证明了下面的定理：

定理1.3 $f$ 在$Q\left({f|}_{\partial G_{\alpha }}\right)$ 中极值的充要条件为$\alpha >1$ ，$f$ 在$Q\left({f|}_{\partial G_{\alpha }}\right)$ 中唯一极值的充要条件为$\alpha \ge 3$ 。2005年，Reich [3]给出了临界情况下$\alpha =3$ 的正规Reich序列的一个明确例子。2021年，MENG X [4]考虑了另一种唯一性极值拟共形映射，在唯一性与非唯一性交界的情况下，首次明确给出了这种情况下的正规Reich序列。1986年，Reich [5]证明了当$\alpha \ge \frac{3}{2}$ 时，是唯一极值的，在证明中，给出了当$\alpha >\frac{3}{2}$ 时的正规Reich序列，但是当$\alpha =\frac{3}{2}$ 时，正规Reich序列无法工作。1988年，Strebel [5]为$\alpha =\frac{3}{2}$ 的情况构建了正规的Reich序列。1995年，程金发[6]证明了当$s\ge \frac{3}{1+\alpha }$ ，$T\left(z\right)$ 是唯一极值的，在证明中，给出了当$s>\frac{3}{1+\alpha }$ 时的正规Reich序列，但是当$s=\frac{3}{1+\alpha }$ ，正规Reich序列无法工作。在本文中，我们为这种情况构建了正规的Reich序列。

2. 定义与符号

首先我们给出拟共形映射的定义。平面区域$\Omega$ 上的同胚映射$f$ 成为K-拟共形(简记为K-qc)映射，如果它满足条件：1) $f$ 在$\Omega$ 内具有A.C.L性质，2) $f$ 的最大伸缩商$K\left(f\right)=\frac{1+{\left|{\mu }_f\right||}_{\infty }}{1-{\left|{\mu }_f\right||}_{\infty }}\le K,K\ge 1$ ，其中${\mu }_f=\frac{f_{\overline{z}}}{f_z}$ 称为的复特征或的Beltrami系数。

平面区域设$\Omega$ 为至少有两个边界点的平面域。Teichmüller空间$T\left(\Omega \right)$ 是从拟共形映射$f$ 到变量域$\Omega$ 的等价类空间$f\left(\Omega \right)$ 。两个拟共形映射$f$ 从$\Omega$ 到$f\left(\Omega \right)$ 和$g$ 从$\Omega$ 到$g\left(\Omega \right)$ 是等价的如果有一个保角映射$c$ 从$f\left(\Omega \right)$ 到$g\left(\Omega \right)$ 以及通过拟共形映射的同伦$h_t$ 把$\Omega$ 映射为$g\left(\Omega \right)$ 使得

$h_0=c\circ f,h_1=g,h_t\left(p\right)=c\circ f\left(p\right)$

对任意$t\in \left[0,1\right]$ 和每一个在$\Omega$ 边界上的$p$ 都成立。用$\left[f\right]$ 表示$f$ 的Teichmüller等价类；有时用$\left[\mu \right]$ 表示等价类，$\left[\mu \right]$ 是$f$ 的Beltrami系数。

用$M\left(\Omega \right)$ 表示$L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 中的单位球。对于$\mu \in M\left(\Omega \right)$ ，定义$k_0\left(\left[\mu \right]\right)=\inf \left\{{\Vert \nu \Vert }_{\infty }:\nu \in \left[\mu \right]\right\}$ 。

我们说$\mu$ 在$\left[\mu \right]$ 中是极值的如果${\Vert \mu \Vert }_{\infty }=k_0\left(\left[\mu \right]\right)$ ，对于任何其他${\Vert \nu \Vert }_{\infty }=k_0\left(\mu \right)$ ，我们说$\nu \in \left[\mu \right]$ 是唯一极值的。对应的$f$ 也称为极值或者唯一极值的。如果拟共形映射$f$ 的Beltrami系数$\mu$ 为Teichmüller类型，则称其为Teichmüller类型，即，

$\mu \left(z\right)=\frac{f_{\overline{z}}\left(z\right)}{f_z\left(z\right)}=k\frac{\overline{{\phi }_0\left(z\right)}}{\left|{\phi }_0\left(z\right)\right|},z\in \Omega$ ， (2.1)

其中为$k\in \left(0,1\right)$ 常数，${\phi }_0\left(z\right)\ne 0$ 是$\Omega$ 中的一个几乎可测的函数。特别的，如果${\phi }_0$ 在$\Omega$ 中是全纯的，我们称$f$ 为Teichmüller映射，对应的$\mu$ 为Teichmüller微分。

设$B\left(\Omega \right)$ 为全纯函数$\phi \left(z\right)$ 组成的Banach空间，属于$L^1\left(\Omega \right)$ ，具有范数$\Vert \phi \Vert ={\displaystyle {\iint }_{\Omega }\left|\phi \left(z\right)\right|\text{d}x\text{d}y}<\infty$ 。

对于$\mu \in M\left(\Omega \right)$ 和$\phi \in B\left(\Omega \right)$ ，集合$\delta \left[\phi \right]=k\Vert \phi \Vert -\mathrm{Re}{\displaystyle {\iint }_{\Omega }\mu \left(z\right)\phi \left(z\right)\text{d}x\text{d}y}$ 。

1970年，Reich [7]证明了以下定理。

定理2.1 设$\mu \in M\left(\Omega \right)$ 由(1.1)给出。假设存在一个函数序列${\phi }_n\in B\left(\Omega \right),n=1,2,\cdots$ ，使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\mu }_n\left(z\right)={\phi }_n\left(z\right)$ (2.2)

几乎逐点成立于$\Omega$ 上，

$\underset{n\to \infty }{\lim }\delta \left[{\phi }_n\right]=0$ (2.3)

则$f$ 是唯一极值的。

1981年，Reich [8]表明，只要适当加强(2.2)的条件，(2.3)就可以被$\left\{\delta \left[{\phi }_n\right]\right\}$ 较弱的有界性假设所取代。这在他的定理中得到了证明，如下所述。

定理2.2 设$\mu \in M\left(\Omega \right)$ ，由(2.1)给出。假设存在一个函数序列${\phi }_n\in B\left(\Omega \right),n=1,2,\cdots$ ，使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\mu }_n\left(z\right)={\phi }_0\left(z\right)$ (2.4)

几乎逐点成立于$\Omega$ 上，${\phi }_0\in L_{\text{koc}}^1\left(\Omega \right)$ ，

$\delta \left[{\phi }_n\right]\le M,n=1,2,\cdots$ (2.5)

$\underset{A\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}{\displaystyle {\iint }_{\Omega \left(n,A\right)}\left|{\phi }_n\left(z\right)\right|\text{d}x\text{d}y}=0$ (2.6)

均匀地相对于$n$ ，而$\Omega \left(n,A\right)=\left\{z\in \Omega :A\left|{\phi }_0\left(z\right)\right|<\left|{\phi }_n\left(z\right)\right|\right\}$ 。则$f$ 是唯一极值的。

一般来说，如果$\mu$ 满足上面的Reich’s条件，由[8]，对于在$\Omega$ 中的$\mu$ ，我们称$\left\{{\phi }_n\right\}$ 为Reich序列。请注意，对于$\mu$ ，Reich序列$\left\{{\phi }_n\right\}$ 在$\Omega$ 中不一定是逐点收敛的(参见[9] [10] [11])。因此，如果$\phi {}_n$ 在$\Omega$ 上逐点收敛到某个$\phi {}_0$ ，我们称$\left\{{\phi }_n\right\}$ 为$\mu$ 在$\Omega$ 上的正规Reich序列。

设$\mu \in M\left(\Omega \right)$ ，由(2.1)给出。我们说$\mu$ 在$\Omega$ 上满足弱Reich’s条件，如果$B\left(\Omega \right)$ 中存在一个序列$\left\{{\phi }_n\right\}$ ，使得(2.4)~(2.6)成立。如果$\mu$ 满足弱Reich’s条件，我们称$\left\{{\phi }_n\right\}$ 为$\mu$ 在$\Omega$ 上的弱Reich序列。为了证明$f$ ，的唯一极值性，当我们不能通过定理2.1找到正规的Reich序列，我们可以用定理2.2找到弱Reich序列。例如，定义：

${\Omega }_{\alpha }=\left\{z=x+iy:x>{\left|y\right|}^{\alpha }\right\},1<\alpha <\infty ,{\Omega }_{\infty }=\left\{z=x+iy:x>0,\left|y\right|<1\right\}$ (2.7)

从[1]开始，人们就知道族(2.7)有一个精确的过渡点$\alpha =3$ 。众所周知，${\Omega }_{\alpha }$ 的一个水平延伸是唯一极值的当且仅当$3\le \alpha \le \infty$ 。这很容易验证

${\phi }_n\left(z\right)={\text{e}}^{\frac{-z}{n}}$ .

当$3\le \alpha \le \infty$ 时提供正规的Reich序列，但对于临界情况$\alpha =3$ 则无法工作。2005年，Reich [3]给出了临界情况下$\alpha =3$ 的正规Reich序列的一个明确例子。

2021年，MENG X [4]考虑了另一种唯一性极值拟共形映射，在唯一性与非唯一性交界的情况下，首次明确给出了这种情况下的正规Reich序列。

定义$w_{\alpha }=\left\{z=x+iy:y>{\left|x\right|}^{\alpha },z\ne ib,b>0\right\}$ ，$T\left(z\right)$ 是由二次微分${\phi }_0\left(z\right)=\frac{i}{\left(z-ib\right)}$ 生成的Teichmüller映射。复膨胀为$\phi \left(z\right)=k\frac{z-ib}{i\left|z-ib\right|},0<k<1$ 。

1986年，Reich [8]证明了当$\alpha \ge \frac{3}{2}$ 时，$T\left(z\right)$ 是唯一极值的，在证明中，给出了当$\alpha >\frac{3}{2}$ 时的正规Reich序列，但是当时$\alpha =\frac{3}{2}$ ，正规Reich序列无法工作。在[1]中，Strebel为这种情况构建了正规的Reich序列。

定义$w_{\alpha }=\left\{z=x+iy:y>{\left|x\right|}^s,z\ne ib,b>0\right\}$ ，$T\left(z\right)$ 是由二次微分${\phi }_0\left(z\right)=\frac{i}{{\left(z-ib\right)}^{\alpha }}\left(0\le \alpha <2\right)$ 生成的Teichmüller映射。复膨胀为$\phi \left(z\right)=k\frac{z-ib}{i\left|z-ib\right|},0<k<1$ 。

1995年，程金发[6]证明了当$s\ge \frac{3}{1+\alpha }$ ，$T\left(z\right)$ 是唯一极值的，在证明中，给出了当$s>\frac{3}{1+\alpha }$ 时的正规Reich序列，但是当$s=\frac{3}{1+\alpha }$ ，正规Reich序列无法工作。在本文中，我们为这种情况构建了正规的Reich序列。

3. 主要定理及证明

定理3.1序列：

${\phi }_n\left(z\right)=\frac{i\cdot \exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]}{{\left(z-ib\right)}^{\alpha }},z\in w_s,n=1,2,\cdots ,\left(0\le \alpha <2\right)$

$z^{\frac{1}{n}}$ 表示右半平面上的分支，该分支在正y轴上是实的，为$w_s$ 提供正规的Reich序列。证明：我们有

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n\left(z\right)={\phi }_0\left(z\right)$ ，

$\left|{\phi }_n\left(z\right)\right|=\frac{\left|\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right|}{{\left|z-ib\right|}^{\alpha }}$

和

$\delta \left[{\phi }_n\right]=k{\displaystyle {\iint }_{w_s}\frac{\left|\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right|-\mathrm{Re}\left\{\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right\}}{{\left|z-ib\right|}^{\alpha }}\text{d}x\text{d}y}$ .

我们主要关注$w_s$ 的左半部分到线$\mathrm{Im}z=N,N>\max \left\{2b,1\right\}$ ，首先将其表示为$\Omega$ ，即$\Omega =\left\{z:z\in w_s,\mathrm{Re}z<0,\mathrm{Im}2>N\right\}$ 。我们也让$\tilde{\Omega }=\left\{z:z\in w_s,\mathrm{Re}z>0,\mathrm{Im}z>N\right\}$ 。显然，

$k{\displaystyle {\iint }_{\Omega \cup \tilde{\Omega }}\frac{\left|\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right|-\mathrm{Re}\left\{\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right\}}{{\left|z-ib\right|}^{\alpha }}}\text{d}x\text{d}y$

等价于

$2k{\displaystyle {\iint }_{\Omega }\frac{\left|\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right|-\mathrm{Re}\left\{\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right\}}{{\left|z-ib\right|}^{\alpha }}}\text{d}x\text{d}y$ ，

考虑

$k{\displaystyle {\iint }_{\Omega }\frac{\left|\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right|-\mathrm{Re}\left\{\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right\}}{{\left|z-ib\right|}^{\alpha }}}\text{d}x\text{d}y$ .

设$E\left(z\right)=\left|\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right|-\mathrm{Re}\left\{\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right\}$ ，并且设$\theta =\arg \left(-iz\right),z=x+iy,-iz=-ix+y$ 。因此$\left|z\right|\cos \theta =y,\left|z\right|\sin \theta =-x$ 。

易知$\theta <\frac{\pi }{4},1>\frac{\sin \theta }{\theta }>\frac{2\sqrt{2}}{\pi }$ ，由：$\frac{\text{sin}\frac{\theta }{n}}{\frac{\theta }{n}}<1<\frac{\pi \sin \theta }{2\sqrt{2}\theta }$ ，我们有：$\text{sin}\frac{\theta }{n}<\frac{\pi \sin \theta }{2\sqrt{2}}$ ，由：

$\mathrm{Re}\left\{\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right\}=\text{exp}\left(-\frac{{\left|z\right|}^{\frac{1}{n}}\cos \frac{\theta }{n}}{2^n}\right)\cdot \cos \left(\frac{{\left|z\right|}^{\frac{1}{n}}\sin \frac{\theta }{n}}{2^n}\right)$

并且

$\begin{array}{c}\text{cos}\left(\frac{{\left|z\right|}^{\frac{1}{n}}\sin \frac{\theta }{n}}{2^n}\right)>\text{cos}\left(\frac{{\left|z\right|}^{\frac{1}{n}}\pi \sin \frac{\theta }{n}}{2^{n}2\sqrt{2}n}\right)=\text{cos}\left(\frac{\pi {\left|z\right|}^{\frac{1-n}{n}}\left|x\right|}{2^{n}2\sqrt{2}n}\right)>\text{cos}\left(\frac{\pi y^{\frac{1-n}{n}}{y}^{\frac{1}{s}}}{2^{n}2\sqrt{2}n}\right)\\ >\cos \left(\frac{\pi y^{\frac{1-n}{n}+\frac{1}{s}}}{2^{n}2\sqrt{2}n}\right)>\cos \left(\frac{\pi }{2^{n}2\sqrt{2}n}\right)>0\end{array}$ (3.1)

当n充分大时，我们得到

$\mathrm{Re}\left\{\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right\}>0$

因为

$\left|w\right|-\mathrm{Re}w=\frac{{\left(\mathrm{Im}w\right)}^2}{\left|w\right|+\mathrm{Re}w}<\frac{{\left(\mathrm{Im}w\right)}^2}{\left|w\right|}$

当$\mathrm{Re}>0$ 时，由(2.1)我们得到

$E\left(\text{z}\right)\le \exp \left(-\frac{{\left|z\right|}^{\frac{1}{n}}\cos \frac{\theta }{n}}{2^n}\right)\cdot {\sin }^2\left(\frac{{\left|z\right|}^{\frac{1}{n}}\sin \frac{\theta }{n}}{2^n}\right)$ (3.2)

接下来我们来估计(2.2)式的右边部分，当n充分大时。由

$\text{cos}\frac{\theta }{n}\ge \cos \left(\frac{2\cdot \pi }{3\cdot 4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\stackrel{\Delta }{\equiv }c$

我们得到

$\exp \left(-\frac{{\left|z\right|}^{\frac{1}{n}}\cos \frac{\theta }{n}}{2^n}\right)\le \exp \left[-\frac{y^{\frac{1}{n}c}}{2^n}\right]$

由

${\left|z\right|}^{\frac{1}{n}}\sin \frac{\theta }{n}\le {\left|z\right|}^{\frac{1-n}{n}}\cdot \left|z\right|\cdot \frac{\pi \left|\sin \theta \right|}{2\sqrt{2}n}\le y^{\frac{1-n}{n}}\cdot \left|x\right|\cdot \frac{\pi }{2\sqrt{2}n}$ ，

我们得到：

${\text{sin}}^2\left(\frac{{\left|z\right|}^{\frac{1}{n}}\sin \frac{\theta }{n}}{2^n}\right)\le \frac{1}{2^{2n}}\cdot \frac{y^{\frac{2-2n}{n}\cdot {\pi }^2\cdot x^2}}{8n^2}$

由于 $N>2b$ ，易知$\left|z-ib\right|>\frac{y}{2}$ ，当$z\in \Omega$ ，因此

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\iint }_{\Omega }\frac{\left|\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right|-\mathrm{Re}\left\{\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right\}}{{\left|z-ib\right|}^{\alpha }}}\text{d}x\text{d}y\\ \le {\displaystyle {\iint }_{\Omega }\text{exp}}\left[-\frac{y^{\frac{1}{n}}c}{2^n}\right]\cdot \frac{\frac{y^{\frac{2-2n}{n}}\cdot {\pi }^2\cdot x^2}{2^{2n}\cdot 8n^n}}{\frac{y^{\alpha }}{2^{\alpha }}}\text{d}x\text{d}y\\ =\frac{2^{\alpha }{\pi }^2}{2^{2n}\cdot 8n^2}{\displaystyle {\int }_N^{\infty }\exp \left(-\frac{y^{\frac{1}{n}}c}{2^n}\right)}\cdot y^{\frac{2-2n}{n}-\alpha }\text{d}y{\displaystyle {\int }_{-y^{\frac{1}{s}}}^0{x}^2}\text{d}x\\ <\frac{2^{\alpha }{\pi }^2}{3\cdot 2^{2n}\cdot 8n^2}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\exp \left(-\frac{y^{\frac{1}{n}}c}{2^n}\right)}\cdot y^{\frac{3}{s}-\alpha +\frac{2-2n}{n}}\text{d}y\end{array}$ (3.3)

当$s=\frac{3}{1+\alpha }$ ，设$u=\frac{y^{\frac{1}{n}}}{2^n}$ ，则$y=2^{n^2}\cdot u^n,\text{d}y=2^{n^2}\cdot n\cdot u^{n-1}\text{d}u,s=\frac{3}{1+\alpha }$ ，因此

$\begin{array}{l}\frac{2^{\alpha }{\pi }^2}{3\cdot 2^{2n}\cdot 8n^2}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\exp \left(-\frac{y^{\frac{1}{n}}c}{2^n}\right)}\cdot y^{\frac{3}{s}-\alpha +\frac{2-2n}{n}}\text{d}y\\ =\frac{2^{\alpha +n^2\left(\frac{3}{s}-\alpha -1\right)}{\pi }^2}{3\cdot 8n^2}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{-cu}\cdot u^{1+n\left(\frac{3}{s}-\alpha -1\right)}}\text{d}u<\frac{2^{\alpha }{\pi }^2}{3\cdot 8n}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{-cu}\cdot u}\text{d}u=\frac{2^{\alpha }{\pi }^2}{24c^{2}n}\end{array}$

由上可得：${\displaystyle {\iint }_{\Omega }\frac{\left|\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right|-\mathrm{Re}\left\{\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right\}}{{\left|z-ib\right|}^{\alpha }}\text{d}x\text{d}y}<\frac{2^{\alpha }{\pi }^2}{24n}\cdot \frac{1}{c^2}$ 。

接下来我们来估计另外一部分：设$w={\text{e}}^{i\theta }=r\cos \theta +ir\sin \theta$ 。则

$\left|{\text{e}}^w\right|-\mathrm{Re}\left({\text{e}}^w\right)={\text{e}}^{r\cos \theta }-{\text{e}}^{r\cos \theta }\cos \left(r\sin \theta \right)={\text{e}}^{r\cos \theta }\cdot 2{\sin }^2\frac{r\sin \theta }{2}<\frac{1}{2}{e}^{r\cos \theta }{r}^2{\sin }^2\theta \le \frac{1}{2}{\text{e}}^r{r}^2$ 。

设${\Omega }_N=w_s-\left(\Omega \cup \tilde{\Omega }\right)$ ，则$0\le y\le N,0\le \left|x\right|\le N^{\frac{1}{s}}$ ，我们得到当$z\in {\Omega }_N,\left|-iz\right|=\sqrt{x^2+y^2}<2N$ 。设

$w=-\frac{{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}}{2^n},r=\left|w\right|=\left|-\frac{{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}}{2^n}\right|<\frac{{\left(2N\right)}^{\frac{1}{n}}}{2^n}$ 。

由上可得：

$\left|\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right|-\mathrm{Re}\left\{\exp \left[-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right]\right\}<\frac{1}{2}\cdot {\text{e}}^{\frac{{\left(2N\right)}^{\frac{1}{n}}}{2^n}}\cdot \frac{{\left(2N\right)}^{\frac{2}{n}}}{2^{2n}}<\frac{3}{2}\cdot \frac{{\left(2N\right)}^{\frac{2}{n}}}{2^{2n}}$ 。

由：

$-\frac{N}{2}<-b<y-b<N-b<N,\left|z-ib\right|=\sqrt{{\left(y-b\right)}^2+x^2}<\sqrt{N^2+N^2}<2N$ 。

可得：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\iint }_{{\Omega }_N}\frac{\left|\exp \left(-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right)\right|-\mathrm{Re}\left(-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right)}{{\left|z-ib\right|}^{\alpha }}}\text{d}x\text{d}y<\frac{3}{2}\cdot \frac{{\left(2N\right)}^{\frac{2}{N}}}{2^{2n}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_N}\frac{\text{d}x\text{d}y}{{\left|z-ib\right|}^{\alpha }}}\\ =\frac{3{\left(2N\right)}^{\frac{2}{n}}}{2^{2n+1}}{\displaystyle {\int }_0^{2N}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{r}^{1-\alpha }}\text{d}r\text{d}\theta }=\frac{3\pi {\left(2N\right)}^{\frac{2}{n}}}{2^{2n}}{\displaystyle {\int }_0^{2N}{r}^{1-\alpha }}\text{d}r=\underset{\eta \to 0^{+}}{\lim }{\frac{r^{2-\alpha }}{2-\alpha }|}_{\eta }^{2N}\\ =\underset{\eta \to 0^{+}}{\lim }\frac{{\left(2N\right)}^{2-\alpha }-{\eta }^{2-\alpha }}{2-\alpha }=\frac{{\left(2N\right)}^{2-\alpha }}{2-\alpha }\left(0\le \alpha <2\right)\end{array}$ 。

由上可得：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\iint }_{{\Omega }_N}\frac{\left|\exp \left(-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right)\right|-\mathrm{Re}\left(-\left(2^{-n}{\left(-iz\right)}^{\frac{1}{n}}\right)\right)}{{\left|z-ib\right|}^{\alpha }}\text{d}x\text{d}y}\\ <\frac{3\pi {\left(2N\right)}^{\frac{2}{n}}}{2^{2n}}{\displaystyle {\int }_0^{2N}{r}^{1-\alpha }}\text{d}r=\frac{3\pi {\left(2N\right)}^{\frac{2}{n}}}{2^{2n}}\cdot \frac{{\left(2N\right)}^{2-\alpha }}{2-\alpha }\\ =\frac{3\pi {\left(2N\right)}^{\frac{2}{n}+2-\alpha }}{2^{2n}\left(2-\alpha \right)}\end{array}$

由(3.3)~(3.4)，我们得到：

$\delta \left[{\phi }_n\right]<k\left(\frac{2^{\alpha }{\pi }^2}{24n{c}^2}+\frac{3\pi {\left(2N\right)}^{\frac{2}{n}+2-\alpha }}{2^{2n}\left(2-\alpha \right)}\right),\left(s=\frac{3}{1+\alpha },0\le \alpha <2\right)$ 。

当时$n\to \infty$ 上式趋于0。证明完毕。