C*-代数中具有翻转作用的三个酉元旋转关系的稳定性——全部扰动的情况

Stability of Rotation Relations of Three Unitaries with the Flip Action in C*-Algebras—Case of Total Perturbation

摘要: 在本文中我们证明了若Θ=(θjk)是3×3完全无理实斜对称矩阵，其中θjk∈[0,1)，j,k=1,2,3，那么对于任意的ε>0，存在δ>0满足以下结论：在任何具有消去性质、严格比较性质、非空迹态空间、有单位元的C*-代数A中，任意四个酉元u₁,u₂,u₃,w∈A，如果并且u₁ ,u₂ ,u₃ ,w满足一定的迹条件，那么存在四个酉元_u^~₁，_u^~₂，_u^~₃，_w^~∈A使得

Abstract: We show that ifΘ=(θjk)is a3×3totally irrational real skew-symmetric matrix, whereθjk∈[0,1)forj,k=1,2,3, then for anyε>0, there existsδ>0satisfying the following: for any unital C*-algebra A with the cancellation property, strict comparison and nonempty tracial state space, any four unitariesu₁,u₂,u₃,w∈Asuch that and u₁ ,u₂ ,u₃ ,w satisfy some trace conditions, there exists a 4-tuple of unitaries _u^~₁，_u^~₂，_u^~₃，_w^~∈A such that

1. 介绍

算子代数是二十世纪三十年代发展起来的重要数学方向，在量子物理、几何、拓扑、动力系统等领域具有重要的应用。根据Dirac和von Neumann的科学理论，在微观世界里的可观察量，可由Hillbert空间中的算子作为模型，而这种算子的系统构成C*-代数，因此C*-代数吸引了许多学者对其展开研究。设$A=\left(a_{ij}\right)$ 是$n\times n$ 实矩阵，如果$A=-A^{\text{T}}$ ，即$a_{ij}=-a_{ji}$ ，$i,j=1,2,\cdots ,n$ ，则称A是实斜对称矩阵。在对C*-代数中的酉元稳定性的研究中，实斜对称矩阵可以用来简单表示多个酉元的旋转关系。

设$\Theta =\left({\theta }_{jk}\right)$ 是$3\times 3$ 实斜对称矩阵。设$A_{\Theta }$ 是由满足关系式

${\mathfrak{u}}_k{\mathfrak{u}}_j={\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{\mathfrak{u}}_j{\mathfrak{u}}_k$ ，$j,k=1,2,3$

的三个酉元${\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_3$ 生成的万有C*-代数。设$\alpha :{\mathfrak{u}}_j\to {\mathfrak{u}}_j^{-1},j=1,2,3$ 是$A_{\Theta }$ 上的翻转自同构(在单的三维环面$A_{\Theta }$ 上，非平凡有限群上的典范作用只有${\mathbb{Z}}_2$ 的翻转作用[1])。注意到$A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ 是由满足关系式

${\mathfrak{u}}_k{\mathfrak{u}}_j={\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{\mathfrak{u}}_j{\mathfrak{u}}_k$ ，$\mathfrak{w}{\mathfrak{u}}_j{\mathfrak{w}}^{*}={\mathfrak{u}}_j^{*}$ ，${\mathfrak{w}}^2=1$ ，$j,k=1,2,3$ ，

的四个酉元${\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_3$ 和$\mathfrak{w}$ 生成的万有C*-代数。这个交叉积$A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ 已经被很多学者研究过，见[2] [3]。

在[4]中，王，胡和花利用交叉积代数$A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ ，研究了C*-代数中具有翻转作用的三个酉元的旋转关系的稳定性。确切的，他们证明了以下定理：

定理1.1 [4]. 令$\Theta =\left({\theta }_{jk}\right)$ 是$3\times 3$ 完全无理实斜对称矩阵，其中${\theta }_{jk}\in \left[0,1\right)$ ，$j,k=1,2,3$ 。那么，对于任意$\epsilon >0$ ，存在$\delta >0$ 满足以下结论：在任何具有消去性质、严格比较性质、非空迹态空间、有单位元的C*-代数A中，任意四个酉元$u_1,u_2,u_3,w\in A$ ，如果

(1) $\Vert u_k{u}_j-{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{u}_j{u}_k\Vert <\delta$ ，$w{u}_j{w}^{-1}=u_j^{-1}$ ，$w^2=1_A$ ，$j,k=1,2,3$ ，

(2) 对$\forall n\in \mathbb{N}$ ，$\forall a\in C*\left(u_1,u_2,u_3\right)$ ，$\forall A$ 上迹态$\tau$ ，都有

$\tau \left(aw\right)=0$ ，$\tau \left({\left(u_k{u}_j{u}_k^{*}{u}_j^{*}\right)}^n\right)={\text{e}}^{2\pi in{\theta }_{jk}}$ ，$j,k=1,2,3$ ，

其中$C*\left(u_1,u_2,u_3\right)$ 是由$u_1,u_2,u_3$ 生成的C*-子代数，那么存在四个酉元${\tilde{u}}_1,{\tilde{u}}_2,{\tilde{u}}_3,\tilde{w}\in A$ 使得

${\tilde{u}}_k{\tilde{u}}_j={\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{\tilde{u}}_j{\tilde{u}}_k$，$\tilde{w}{\tilde{u}}_j{\tilde{w}}^{-1}={\tilde{u}}_j^{-1}$ ，${\tilde{w}}^2=1_A$ ，且

$\Vert u_j-{\tilde{u}}_j\Vert <\epsilon$ ，$\Vert w-\tilde{w}\Vert <\epsilon$ 。

在定理1.1中，他们只扰动了旋转关系，即只要求

$\Vert {\tilde{u}}_k{\tilde{u}}_j-{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{\tilde{u}}_j{\tilde{u}}_k\Vert <\delta$，$w{u}_j{w}^{-1}=u_j^{-1}$ ，$w^2=1_A$ ，$j,k=1,2,3$ ，

但更一般的情况是所有关系都被扰动，即

$\Vert {\tilde{u}}_k{\tilde{u}}_j-{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{\tilde{u}}_j{\tilde{u}}_k\Vert <\delta$，$\Vert w{u}_j{w}^{-1}-u_j\Vert <\delta$ ，$\Vert w^2-1_A\Vert <\delta$ ，$j,k=1,2,3$ 。

本文将解决更一般的情况，即所有关系都被扰动的情况。我们通过增加更多迹条件，来得到类似定理1.1的结论。

本文研究的是具有翻转作用的酉元的旋转关系的稳定性问题，可以看做是矩阵和算子理论中一个古老而著名的Halmos问题的推广，即，给定$\epsilon >0$ ，是否存在$\delta >0$ ($\delta$ 仅依赖于$\epsilon$ ，和矩阵的阶无关)，使得对任意两个$n\times n$ 自伴矩阵$a,b$ ，如果$\Vert a\Vert ,\Vert b\Vert \le 1$ 并满足

$\Vert ab-ba\Vert <\delta$ ，

那么在$M_n$ 中存在一对自伴矩阵$\tilde{a}$ 和$\tilde{b}$ ，使得

$\tilde{a}\tilde{b}=\tilde{b}\tilde{a}$ ，$\Vert a-\tilde{a}\Vert <\delta$ ，$\Vert b-\tilde{b}\Vert <\delta$ ？

这个问题在1976年被Halmos作为公开问题所提出[5]。之后许多学者研究了相关的问题，见[6]-[12]。

本文组织如下：在第二节，我们列举了一些符号和已知的结论；在第三节，我们给出了由逼近关系生成的Bott型投影；在第四节，我们考虑了Bott型投影以外的其他投影；在最后一节，我们利用C*-代数分类理论中的存在性和唯一性定理证明了本文的主要结论。

2. 前言

在本节中，我们将提供在后面使用的符号和定义。

对于任何整数$n\ge 2$ ，我们用${\mathcal{T}}_n$ 来表示$n\times n$ 实斜对称矩阵空间。

定义2.1. 令$\Theta ={\left({\theta }_{jk}\right)}_{n\times n}\in {\mathcal{T}}_n$ 。非交换环面$A_{\Theta }$ 是由满足关系式

${\tilde{u}}_k{\tilde{u}}_j={\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{\tilde{u}}_j{\tilde{u}}_k,1\le j,k\le n$

的酉元${\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,\cdots ,{\mathfrak{u}}_n$ 生成的万有C*-代数(显然，如果所有的${\theta }_{jk}$ 是整数，那么它就不是非交换的)。在本文中我们通常用${\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,\cdots ,{\mathfrak{u}}_n$ 来表示$A_{\Theta }$ 的n个生成元。特别地，给定$\theta \in ℝ$ ，定义$A_{\theta }$ 是由一对满足关系式

$\mathfrak{u}\mathfrak{v}={\text{e}}^{2\pi i\theta }\mathfrak{v}\mathfrak{u}$

的酉元$\mathfrak{u}$ 和$\mathfrak{v}$ 生成的万有C*-代数。

对于任意的$\Theta ={\left({\theta }_{jk}\right)}_{n\times n}\in {\mathcal{T}}_n$ ，对$\widehat{{\mathbb{Z}}^n}$ 的典范作用积分可以得到$A_{\Theta }$ 有一个典范迹态${\tau }_{\Theta }$ [13]。将这个迹记为${\tau }_{\Theta }$ 或者${\tau }_{A_{\Theta }}$ 。

定义2.2. 我们称实斜对称$n\times n$ 矩阵$\Theta$ 是非退化的，如果$x\in {\mathbb{Z}}^n$ ，对于任意的$y\in {\mathbb{Z}}^n$ ，有${\text{e}}^{2\pi i\langle x,\Theta y\rangle }=1$ ，那么$x=0$ 。否则，我们称$\Theta$ 是退化的。

定义2.3. 对于任意的$\Theta =\left({\theta }_{jk}\right)\in {\mathcal{T}}_n$ ，若${\theta }_{jk}$ ($j,k=1,2,3$ )是无理数，并且是有理无关的，则我们称$\Theta$ 是完全无理的。

注意到若$\Theta$ 是完全无理的，则$\Theta$ 是非退化的[6]。

定义2.4. 我们定义一列有限维C*-代数的归纳极限是AF-代数。

给定$\Theta \in {\mathcal{T}}_n$ 。记$\alpha$ 是$A_{\Theta }$ 上的自同构，由$\alpha \left({\mathfrak{u}}_j\right)=u_j^{-1}$ ，$j=1,2,\cdots ,n$ 给出。为减少符号，我们把$A_{\Theta }$ 的子代数$A_{{\theta }_{jk}}$ ($j,k=1,2,3$ )上的翻转自同构仍记为$\alpha$ 。

以下定理描述了交叉积代数$A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ 的结构。

定理2.1 [3]. 设$\Theta \in {\mathcal{T}}_n$ 非退化，$\alpha :A_{\Theta }\to A_{\Theta }$ 是翻转自同构。那么$A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ 是具有唯一迹态的有单位元的单AF-代数，且

$K_0\left(A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2\right)\cong {\mathbb{Z}}^{3\cdot 2^{n-1}}$ ，$K_1\left(A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2\right)=0$ 。

注2.5. 设A是有单位元的C*-代数。我们用$T\left(A\right)$ 来表示A的迹态空间，把$T\left(A\right)$ 上的实仿射函数空间记为$Aff\left(T\left(A\right)\right)$ 。若$\tau \in T\left(A\right)$ ，为了简便，对于任意的$k\in {\mathbb{Z}}_{+}$ ，我们仍把$M_k\left(A\right)$ 上的迹$\tau \otimes Tr$ 记为$\tau$ 或${\tau }^{\oplus n}$ ，其中$Tr$ 是矩阵代数$M_k$ 上非归一化的迹。记由${\rho }_A\left(\left[p\right]\right)\left(\tau \right)={\tau }^{\oplus n}\left(p\right)$ 诱导得到的序保持映射为${\rho }_A:K_0\left(A\right)\to Aff\left(T\left(A\right)\right)$ ，其中投影$p\in A\otimes M_n$ ，$n=1,2,\cdots$ 。

对任意正元$a\in M_k\left(A\right)$ ，定义关于$\tau \in T\left(A\right)$ 的维数函数$d_{\tau }$ 为$d_{\tau }\left(a\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\tau \left(a^{1/n}\right)$ ，其中的$\tau$ 看做是$M_k\left(A\right)$ 上的非归一化迹。特别地，如果$a=p$ 是投影，那么$d_{\tau }\left(p\right)=\tau \left(p\right)$ 。

记$U\left(A\right)$ 是由A的酉元构成的群。令$u\in U\left(A\right)$ ，$a\in A$ ，定义$Adu\left(a\right)=u^{*}au$ 。对于任意$a\in A$ ，我们把a的谱记为$spec\left(a\right)$ 。

我们用${\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}$ 来表示$\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ 上的特征函数，即

${\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left(x\right)=\{\begin{array}{l}0,x\notin \left(\frac{1}{2},+\infty \right),\\ 1,x\in \left(\frac{1}{2},+\infty \right).\end{array}$

定义2.6. 如果对于任意的$\tau \in T\left(A\right)$ 和任意两个正元$a,b\in M_k\left(A\right)$ ，有$d_{\tau }\left(a\right)<d_{\tau }\left(b\right)$ ，并存在$r_n\in M_k\left(A\right)$ ，$n\in \mathbb{N}$ ，使得$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n^{*}b{r}_n=a$ ，那么我们称C*-代数A具有严格比较性质。

设A是具有严格比较性质的C*-代数，$p,q\in M_k\left(A\right)$ 是两个投影。如果对于任意的$\tau \in T\left(A\right)$ ，有$\tau \left(p\right)<\tau \left(q\right)$ ，那么存在$s\in M_k\left(A\right)$ ，使得$p=s^{*}s$ 且$s{s}^{*}\le q$ 。

定义2.7. 设A和C是两个C*-代数并令$L:A\to C$ 是线性映射。令$\delta >0$ 并且$\mathcal{G}\subset A$ 是有限子集，如果

$\Vert L\left(ab\right)-L\left(a\right)L\left(b\right)\Vert <\delta$ ，$a,b\in \mathcal{G}$ ，

那么我们称L是-$\delta$ -可乘的。为了简便，若$L:A\to C$ 是线性映射，我们将仍用相同的符号标记诱导映射$L\otimes i{d}_n:A\otimes M_n\to C\otimes M_n$ 。

众所周知，如果a是矩阵代数$M_n\left(A\right)$ 中的“几乎”投影，那么a依范数逼近一个实际上的投影。因为范数靠近的投影是酉等价的，所以$\left[a\right]\in K_0\left(A\right)$ 定义合理。给定一个“几乎”同态$L:A\to C$ ，我们记在K-理论上相应的诱导(部分定义)映射为$\left[L\right]$ 。由[14]的注4.5.1，可知对于任意有限集合，存在有限子集$\mathcal{G}\subset A$ 和$\delta >0$ 使得，对于任意单位完全正-$\delta$ -可乘线性映射L，$\left[L\right]$ 在上定义合理。

定义2.8. 令

$f_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi it}\right)=\{\begin{array}{ll}{\left(1-\theta \right)}^{-1}\left(t\right),\hfill & 0\le t\le 1-\theta ,\hfill \\ 1,\hfill & \epsilon \le t\le \theta ,\hfill \\ {\left(1-\theta \right)}^{-1}\left(1-t\right),\hfill & 1-\theta \le t\le \theta ,\hfill \end{array}$

和

$g_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi it}\right)=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & 0\le t\le \theta ,\hfill \\ {\left[f_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi it}\right)\left(1-f_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi it}\right)\right)\right]}^{\frac{1}{2}},\hfill & \theta \le t\le \theta +\epsilon ,\hfill \end{array}$

那么$f_{\theta }$ 和$g_{\theta }$ 是单位圆盘上的实值函数并满足

(1) $g_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi it}\right)\cdot g_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi i\left(t-\theta \right)}\right)=0$ ，

(2) $g_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi it}\right)\cdot \left[f_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi it}\right)+f_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi i\left(t+\theta \right)}\right)\right]=g_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi it}\right)$ ，

(3) $f_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi it}\right)={\left[f_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi it}\right)\right]}^2+{\left[g_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi it}\right)\right]}^2+{\left[g_{\theta }\left({\text{e}}^{2\pi i\left(t-\theta \right)}\right)\right]}^2$ 。

我们在这里选择的函数$f_{\theta }$ 和$g_{\theta }$ 是Connes在[15]中构造的。

设$\mathfrak{u},\mathfrak{v}$ 是$A_{\theta }$ 的典范生成元。$A_{\theta }$ 中的Rieffel投影是投影

$p_{\theta }\left(\mathfrak{u},\mathfrak{v}\right)=g_{\theta }\left(\mathfrak{u}\right){\mathfrak{v}}^{*}+f_{\theta }\left(\mathfrak{u}\right)+\mathfrak{v}{g}_{\theta }\left(\mathfrak{u}\right)$ 。

我们定义

$P_{\theta }\left(\mathfrak{u},\mathfrak{v},\mathfrak{w}\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{p}_{\theta }\left(\mathfrak{u},\mathfrak{v}\right)+\frac{1}{2}{p}_{\theta }\left(\mathfrak{u},\mathfrak{v}\right)\mathfrak{w},\hfill & \frac{1}{2}\le \theta <1,\hfill \\ \frac{1}{2}\left(1-p_{1-\theta }\left(\mathfrak{v},\mathfrak{u}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(1-p_{1-\theta }\left(\mathfrak{v},\mathfrak{u}\right)\right)\mathfrak{w},\hfill & 0<\theta <\frac{1}{2}.\hfill \end{array}$

令$\Theta =\left({\theta }_{jk}\right)\in {\mathcal{T}}_3$ 。注意到$A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ 是由满足关系式

${\mathfrak{u}}_k{\mathfrak{u}}_j={\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{\mathfrak{u}}_j{\mathfrak{u}}_k$ ，$\mathfrak{w}{\mathfrak{u}}_j{\mathfrak{w}}^{*}={\mathfrak{u}}_j^{*}$ 和${\mathfrak{w}}^2=1$ ，$j,k=1,2,3$

的四个酉元${\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_3$ 和$\mathfrak{w}$ 生成的万有C*-代数。现在，我们把$A_{{\theta }_{jk}}{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ ($1\le j<k\le 3$ )看做是$A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ 的子代数，则有以下定理：

定理2.2 [4]. 设$\Theta =\left({\theta }_{jk}\right)\in {\mathcal{T}}_3$ 是完全无理的，其中${\theta }_{jk}\in \left[0,1\right)$ ，$j,k=1,2,3$ 。那么$K_0\left(A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2\right)$ 与${\mathbb{Z}}^{12}$ 同构，并且它是由以下元素的K-理论类生成的：

1，$Q_1=\frac{1}{2}\left(1+\mathfrak{w}\right)$ ，$Q_2=\frac{1}{2}\left(1-{\mathfrak{u}}_1\mathfrak{w}\right)$ ，$Q_3=\frac{1}{2}\left(1-{\mathfrak{u}}_2\mathfrak{w}\right)$ ，$Q_4=\frac{1}{2}\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{12}}{\mathfrak{u}}_1{\mathfrak{u}}_2\mathfrak{w}\right)$ ，

$Q_5=\frac{1}{2}\left(1+{\mathfrak{u}}_3\mathfrak{w}\right)$ ，$Q_6=\frac{1}{2}\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{\mathfrak{u}}_1{\mathfrak{u}}_3\mathfrak{w}\right)$ ，$Q_7=\frac{1}{2}\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{\mathfrak{u}}_2{\mathfrak{u}}_3\mathfrak{w}\right)$ ，$P_{{\theta }_{12}}\left({\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)$ ，

$P_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{\mathfrak{u}}_2,{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_3\mathfrak{w}\right)$ ，$P_{{\theta }_{13}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)$ ，$P_{{\theta }_{23}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_2,\mathfrak{w}\right)$ 。

此外，${\tau }_{A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2}$ 在这些类上取以下值(按照上面的顺序)：

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{{\theta }_{12}}{2},\frac{{\theta }_{12}}{2},\frac{{\theta }_{13}}{2},\frac{{\theta }_{23}}{2}$ 。

3. Bott型投影

定义3.1. 令$\theta \in \left(0,1\right)$ 并令A是有单位元的C*-代数且$u,v$ 是A的一对酉元。我们定义

$e_{\theta }\left(u,v\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}[\left(1-v{g}_{1-\theta }\left(u\right)-f_{1-\theta }\left(u\right)-g_{1-\theta }\left(u\right)v^{*}\right)+\left(1-v^{*}{g}_{1-\theta }\left(u^{*}\right)-f_{1-\theta }\left(u^{*}\right)-g_{1-\theta }\left(u^{*}\right)v\right)],0<\theta <\frac{1}{2},\\ \frac{1}{2}[\left(u{g}_{\theta }\left(v\right)+f_{\theta }\left(v\right)+g_{\theta }\left(v\right)u^{*}\right)+\left(u^{*}{g}_{\theta }\left(v^{*}\right)+f_{\theta }\left(v^{*}\right)+g_{\theta }\left(v^{*}\right)u\right)],\frac{1}{2}\le \theta <1.\end{array}$

如果$uv={\text{e}}^{2\pi i\theta }vu$ ，$e_{\theta }\left(u,v\right)$ 就是一个投影。特别地，我们有$e_{\theta }\left(u,v\right)=p_{\theta }\left(u,v\right)$ 。

显然，$e_{\theta }\left(u,v\right)$ 是自伴的。

命题3.2 [16]. 设$\theta \in \left(0,1\right)$ 。在任何有单位元的C*-代数A中，对于任意一对酉元$u,v\in A$ ，如果存在一个${\delta }_0>0$ 使得，

$\Vert uv-{\text{e}}^{2\pi i\theta }vu\Vert <{\delta }_0$ ，

那么

$\Vert {\left(e_{\theta }\left(u,v\right)\right)}^2-e_{\theta }\left(u,v\right)\Vert <\frac{1}{4}$ 。

特别地，$\frac{1}{2}$ 不在$e_{\theta }\left(u,v\right)$ 的谱中。

定义3.3. 令$\theta \in \left(0,1\right)$ ，根据命题3.2来选择一个${\delta }_0>0$ 。设A是有单位元的C*-代数，$u,v$ 是A中满足关系式$\Vert uv-{\text{e}}^{2\pi i\theta }vu\Vert <{\delta }_0$ 的两个酉元。我们定义$R_{\theta }\left(u,v\right)={\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left(e_{\theta }\left(u,v\right)\right)$ 。

显然，$R_{\theta }\left(u,v\right)$ 是A中投影。

定义3.4. 令$\theta \in \left(0,1\right)$ ，根据命题3.2选择一个${\delta }_0>0$ 。设A是有单位元的C*-代数，$u,v,w$ 是A中满足关系式$\Vert uv-{\text{e}}^{2\pi i\theta }vu\Vert <{\delta }_0$ 的三个酉元。我们定义$e_{\theta }\left(u,v,w\right)=\frac{1}{2}{R}_{\theta }\left(u,v\right)+\frac{1}{4}\left(R_{\theta }\left(u,v\right)w+w^{*}{R}_{\theta }\left(u,v\right)\right)$ 。

显然，$e_{\theta }\left(u,v,w\right)$ 是自伴的。

引理3.5 [14]. 令X是单位圆盘的紧子集，f是X上的连续函数。对于任意$\epsilon >0$ ，存在$\delta >0$ 满足以下结论：假设A是有单位元的C*-代数，$a,b\in A$ 且$\Vert a\Vert ,\Vert b\Vert \le 1$ ，b正规，$spec\left(b\right)\subset X$ ，如果$\Vert ab-ba\Vert <\delta$ 且$\Vert a{b}^{*}-b^{*}a\Vert <\delta$ ，那么$\Vert f\left(b\right)a-af\left(b\right)\Vert <\epsilon$ 。

引理3.6 [17]. 令$X\subset \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ 是紧子集，f是X上的连续函数。对于任意$\epsilon >0$ ，存在$\delta >0$ 满足以下结论：假设A是有单位元的C*-代数，$a,b\in A$ 且$\Vert a\Vert \le 1,\Vert b\Vert \le \frac{3}{2}$ ，b正规，$spec\left(b\right)\subset X$ ，如果$\Vert ab-ba\Vert <\delta$ 且$\Vert a{b}^{*}-b^{*}a\Vert <\delta$ ，那么$\Vert f\left(b\right)a-af\left(b\right)\Vert <\epsilon$ 。

命题3.7. 设$\Theta =\left({\theta }_{jk}\right)\in {\mathcal{T}}_3$ 是完全无理的，其中${\theta }_{jk}\in \left[0,1\right)$ ，$j,k=1,2,3$ 。根据命题3.2选择一个${\delta }_0>0$ (根据${\theta }_{12},{\theta }_{13},{\theta }_{23}$ 选择最小的${\delta }_0$ )，在任何有单位元的C*-代数A中，对于任意四个酉元$u_1,u_2,u_3,w\in A$ ，如果存在$\delta \in \left(0,{\delta }_0\right)$ 使得，

$\Vert u_k{u}_j-{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{u}_j{u}_k\Vert <\delta$ ，$\Vert w{u}_j{w}^{-1}-u_j^{-1}\Vert <\delta$ ，$\Vert w^2-1_A\Vert <\delta$ ，$j,k=1,2,3$ ，

那么

$\Vert {\left(e_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k,w\right)\right)}^2-e_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k,w\right)\Vert <\frac{1}{4}$ ，$j,k=1,2,3$ 。

特别地，$\frac{1}{2}$ 不在$e_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k,w\right)$ $\left(j,k=1,2,3\right)$ 的谱中。

证明：因为$\Vert u_k{u}_j-{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{u}_j{u}_k\Vert <\delta <{\delta }_0$ ，$j,k=1,2,3$ ，那么由定义3.3可知，$e_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k,w\right)$ 的定义合理。

对于任意$\frac{1}{2}<{\theta }_{jk}<1$ $\left(j,k=1,2,3\right)$ 和任意${\delta }_1>0$ ，根据定义3.1得到$e_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)$ 。由引理3.5，对于充分小的$\delta$ ，我们有

$\begin{array}{c}w{e}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)=\frac{1}{2}w\left(\left((u_j{g}_{{\theta }_{jk}}\left(u_k\right)+f_{{\theta }_{jk}}\left(u_k\right)+g_{{\theta }_{jk}}\left(u_k\right)u_j^{*}\right)+\left(u_j^{*}{g}_{{\theta }_{jk}}\left(u_k^{*}\right)+f_{{\theta }_{jk}}\left(u_k^{*}\right)+g_{{\theta }_{jk}}\left(u_k^{*}\right)u_j\right)\right)\\ =\frac{1}{2}w\left(u_j{g}_{{\theta }_{jk}}\left(u_k\right)+f_{{\theta }_{jk}}\left(u_k\right)+g_{{\theta }_{jk}}\left(u_k\right)u_j^{*}\right)w^{*}w+\frac{1}{2}w\left(u_j^{*}{g}_{{\theta }_{jk}}\left(u_k^{*}\right)+f_{{\theta }_{jk}}\left(u_k^{*}\right)+g_{{\theta }_{jk}}\left(u_k^{*}\right)u_j\right)w^{*}w\\ =\frac{1}{2}\left(w{u}_j{w}^{*}w{g}_{{\theta }_{jk}}\left(u_k\right)w^{*}+w{f}_{{\theta }_{jk}}\left(u_k\right)w^{*}+w{g}_{{\theta }_{jk}}\left(u_k\right)w^{*}w{u}_j^{*}{w}^{*}\right)w\\ +\frac{1}{2}\left(w{u}_j^{*}{w}^{*}w{g}_{{\theta }_{jk}}\left(u_k^{*}\right)w^{*}+w{f}_{{\theta }_{jk}}\left(u_k^{*})\right)w^{*}+w{g}_{{\theta }_{jk}}\left(u_k^{*}\right)w^{*}w{u}_j{w}^{*}\right)w\\ {\approx }_{{\delta }_1}\left(\frac{1}{2}\left(u_j^{*}{g}_{{\theta }_{jk}}\left(u_k^{*}\right)+f_{{\theta }_{jk}}\left(u_k^{*}\right)+g_{{\theta }_{jk}}\left(u_k^{*}\right)u_j\right)+\left(u_j{g}_{{\theta }_{jk}}\left(u_k\right)+f_{{\theta }_{jk}}\left(u_k\right)+g_{{\theta }_{jk}}\left(u_k\right)u_j^{*}\right)\right)w\\ =e_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w\end{array}$

类似地，对于充分小的$\delta$ 和$0<{\theta }_{jk}<\frac{1}{2}$ $\left(j,k=1,2,3\right)$ ，有$w{e}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right){\approx }_{{\delta }_1}{e}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w$ 。所以对于任意的${\theta }_{jk}\in \left(0,1\right)$ $\left(j,k=1,2,3\right)$ ，我们有$\Vert w{e}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)-e_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w\Vert <{\delta }_1$ 。注意到$R_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)={\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left(e_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)\right)$ ，$j,k=1,2,3$ ，那么对于任意的${\delta }_2>0$ ，由引理3.6，我们有$\Vert w{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)-R_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w\Vert <{\delta }_2$ 。

我们计算

$\begin{array}{c}{e}_{{\theta }_{jk}}^2\left(u_j,u_k,w\right)={\left(\frac{1}{2}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)+\frac{1}{4}\left(R_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w+w^{*}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)\right)\right)}^2\\ =\frac{1}{4}{R}_{{\theta }_{jk}}^2\left(u_j,u_k\right)+\frac{1}{8}{R}_{{\theta }_{jk}}^2\left(u_j,u_k\right)w+\frac{1}{8}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w^{*}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)+\frac{1}{8}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)\\ +\frac{1}{16}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w+\frac{1}{16}{R}_{{\theta }_{jk}}{\left(u_j,u_k\right)}^2+\frac{1}{8}{w}^{*}{R}_{{\theta }_{jk}}^2\left(u_j,u_k\right)\\ +\frac{1}{16}{w}^{*}{R}_{{\theta }_{jk}}^2\left(u_j,u_k\right)w+\frac{1}{16}{w}^{*}{R}_{\theta }\left(u_j,u_k\right)w^{*}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{\approx }_{\frac{5}{16}{\delta }_2}\frac{1}{4}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)+\frac{1}{8}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w+\frac{1}{8}{w}^{*}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)+\frac{1}{8}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w+\frac{1}{16}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w^2\\ +\frac{1}{16}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)+\frac{1}{8}{w}^{*}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)+\frac{1}{16}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)+\frac{1}{16}{\left(w^2\right)}^{*}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)\\ {\approx }_{\frac{1}{8}\delta }{\left(\frac{1}{2}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)+\frac{1}{4}\left(R_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)w+w^{*}{R}_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k\right)\right)\right)}^2=e_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k,w\right).\end{array}$

所以对于充分小的$\delta$ ，我们有$\Vert {\left(e_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k,w\right)\right)}^2-e_{{\theta }_{jk}}\left(u_j,u_k,w\right)\Vert <\frac{1}{4}$ 。$\square$

定义3.8. 设$\theta \in \left(0,1\right)$ ，根据命题3.7选择一个$\delta >0$ 。设A是有单位元的C*-代数，$u,v,w$ 是A中三个酉元并满足关系式

$\Vert uv-{\text{e}}^{2\pi i\theta }vu\Vert <\delta$ ，$\Vert wu{w}^{-1}-u^{-1}\Vert <\delta$ ，$\Vert wv{w}^{-1}-v^{-1}\Vert <\delta$ ，$\Vert w^2-1_A\Vert <\delta$ 。

我们定义

$R_{\theta }\left(u,v,w\right)={\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left(e_{\theta }\left(u,v,w\right)\right)$ ，

那么$R_{\theta }\left(u,v,w\right)$ 是A中投影。特别地，若

$uv={\text{e}}^{2\pi i\theta }vu$ ，$wu{w}^{-1}=u^{-1}$ ，$wv{w}^{-1}=v^{-1}$ 且$w^2=1_A$ ，

那么$R_{\theta }\left(u,v,w\right)=P_{\theta }\left(u,v,w\right)$ 。

定义3.9. 设$\theta \in \left[0,1\right)$ 。记${\log }_{\theta }$ 是定义在$F_{\theta }=\left\{{\text{e}}^{it}:t\in \left(2\pi \theta -\pi ,2\pi \theta +\pi \right)\right\}$ 上的对数的连续分支，其值在$\left\{ri:r\in \left(2\pi \theta -\pi ,2\pi \theta +\pi \right)\right\}$ 中取并且。注意到，如果u是C*-代数中的任意酉元并且$\Vert u-{\text{e}}^{2\pi i\theta }\Vert <2$ ，那么${\text{e}}^{2\pi i\theta +\pi i}$ 不在u的谱中，因此${\log }_{\theta }\left(u\right)$ 定义合理。特别地，若$\theta =0$ ，我们把${\log }_0\left(u\right)$ 简记为$\log \left(u\right)$ 。

引理3.10 [17]. 设A是有单位元的C*-代数并且$T\left(A\right)\ne \varnothing$ 。令$\theta \in \left(0,1\right)$ 是无理数，根据命题3.7选择一个$\delta$ ，如果对于任意的$u,v,w\in U\left(A\right)$ ，有

(1) $\Vert uv-{\text{e}}^{2\pi i\theta }vu\Vert <\delta$ ，$\Vert wu{w}^{-1}-u^{-1}\Vert <\delta$ ，$\Vert wv{w}^{-1}-v^{-1}\Vert <\delta$ ，$\Vert w^2-1_A\Vert <\delta$ ，

(2) 对于任意的$j_i\in \left\{-1,1\right\}$ ，任意的$k=1,2,\cdots$ ，和任意的$\tau \in T\left(A\right)$ ，

$\tau \left({\displaystyle \prod _{i=1}^n{R}_{\theta }}\left(u,v\right)w^{j_i}\right)=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & n=2k-1,\hfill \\ \tau \left(R_{\theta }\left(u,v\right)\right),\hfill & n=2k,\hfill \end{array}$

那么对于任意的$\tau \in T\left(A\right)$ ，有

${\rho }_A\left(\left[R_{\theta }\left(u,v,w\right)\right]\right)\left(\tau \right)=\frac{1}{4\pi i}\tau \left({\log }_{\theta }\left(uv{u}^{*}{v}^{*}\right)\right)$ ，

其中$R_{\theta }\left(u,v,w\right)$ 在定义3.8中给出的。

4. Bott型投影以外的投影

在本节中，我们考虑了Bott型投影以外的投影并构造了一个新的迹条件——迹条件I。

引理4.1. 令$\Theta =\left({\theta }_{jk}\right)\in {\mathcal{T}}_3$ ，其中${\theta }_{jk}\in \left[0,1\right)$ ，$j,k=1,2,3$ 。在任何有单位元的C*-代数A中，对于任意的四个酉元$u_1,u_2,u_3,w\in A$ ，如果$\Vert u_k{u}_j-{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{u}_j{u}_k\Vert <\frac{1}{2}$ ，$\Vert w{u}_j{w}^{-1}-u_j^{-1}\Vert <\frac{1}{2}$ ，$\Vert w^2-1_A\Vert <\frac{1}{2}$ ，$j,k=1,2,3$ ，那么

${\tilde{Q}}_1=\frac{1}{4}\left(2+w+w^{*}\right)$ ，${\tilde{Q}}_2=\frac{1}{4}\left(2-u_{1}w-w^{*}{u}_1^{*}\right)$ ，${\tilde{Q}}_3=\frac{1}{4}\left(2-u_{2}w-w^{*}{u}_2^{*}\right)$ ，${\tilde{Q}}_5=\frac{1}{4}\left(2-u_{3}w-w^{*}{u}_3^{*}\right)$ ，

${\tilde{Q}}_4=\frac{1}{4}\left(\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{12}}{u}_1{u}_{2}w\right)+{\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{12}}{u}_1{u}_{2}w\right)}^{*}\right)$，${\tilde{Q}}_6=\frac{1}{4}\left(\left((1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{u}_1{u}_{3}w\right)+{\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{u}_1{u}_{3}w\right)}^{*}\right)$，和

${\tilde{Q}}_7=\frac{1}{4}\left(\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2{u}_{3}w\right)+{\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2{u}_{3}w\right)}^{*}\right)$

都是自伴元并且$\frac{1}{2}$ 不在它们的谱中。

证明：

(1) 易证${\tilde{Q}}_1,{\tilde{Q}}_2,{\tilde{Q}}_3,{\tilde{Q}}_4,{\tilde{Q}}_5,{\tilde{Q}}_6,{\tilde{Q}}_7$ 是投影。

(2) 接下来我们要证明$\frac{1}{2}$ 不在它们的谱中。我们计算

$\begin{array}{c}\Vert {\left({\tilde{Q}}_1\right)}^2-{\tilde{Q}}_1\Vert =\Vert \frac{1}{16}\left(6+w^2+{\left(w^{*}\right)}^2+4w+4w^{*}\right)-\frac{1}{4}\left(2+w+w^{*}\right)\Vert \\ =\Vert \frac{1}{16}\left(w^2\right)+\frac{1}{16}{\left(w^{*}\right)}^2-\frac{1}{8}\Vert \le \frac{1}{8}\Vert w^2-1\Vert <\frac{1}{4},\end{array}$

$\begin{array}{c}\Vert {\left({\tilde{Q}}_2\right)}^2-{\tilde{Q}}_2\Vert =\Vert \frac{1}{16}\left(6+u_{1}w{u}_{1}w+w^{*}{u}_1^{*}{w}^{*}{u}_1^{*}-4u_{1}w+4w^{*}{u}_1^{*}\right)-\frac{1}{4}\left(2-u_{1}w{u}_{1}w-w^{*}{u}_1^{*}{w}^{*}{u}_1^{*}\right)\Vert \\ =\Vert \frac{1}{16}{u}_{1}w{u}_{1}w+\frac{1}{16}{w}^{*}{u}_1^{*}{w}^{*}{u}_1^{*}-\frac{1}{8}\Vert \le \frac{1}{8}\Vert u_{1}w{u}_{1}w\text{-1}\Vert \le \frac{1}{8}\left(\Vert w^2-1\Vert +1\right)<\frac{1}{4},\end{array}$

$\begin{array}{c}\Vert {\left({\tilde{Q}}_3\right)}^2-{\tilde{Q}}_3\Vert =\Vert \frac{1}{16}\left(6+u_{2}w{u}_{2}w+w^{*}{u}_2^{*}{w}^{*}{u}_2^{*}-4u_{2}w+4w^{*}{u}_2^{*}\right)-\frac{1}{4}\left(2-u_{2}w{u}_{2}w-w^{*}{u}_2^{*}{w}^{*}{u}_2^{*}\right)\Vert \\ =\Vert \frac{1}{16}{u}_{2}w{u}_{2}w+\frac{1}{16}{w}^{*}{u}_2^{*}{w}^{*}{u}_2^{*}-\frac{1}{8}\Vert \le \frac{1}{8}\Vert u_{2}w{u}_{2}w-1\Vert \le \frac{1}{8}\left(\Vert w^2-1\Vert +1\right)<\frac{1}{4},\end{array}$

$\begin{array}{c}\Vert {\left({\tilde{Q}}_4\right)}^2-{\tilde{Q}}_4\Vert =\Vert \frac{1}{16}\left(6+{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{12}}{u}_1{u}_{2}w{u}_1{u}_{2}w+{\text{e}}^{-2\pi i{\theta }_{12}}{w}^{*}{u}_2^{*}{u}_1^{*}{w}^{*}{u}_2^{*}{u}_1^{*}-4{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{12}}{u}_1{u}_{2}w-4{\text{e}}^{-\pi i{\theta }_{12}}{w}^{*}{u}_2^{*}{u}_1^{*}\right)\\ -\frac{1}{4}\left(\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{12}}{u}_1{u}_{2}w\right)+{\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{12}}{u}_1{u}_{2}w\right)}^{*}\right)\Vert \\ =\frac{1}{16}\Vert {\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{12}}{u}_1{u}_{2}w{u}_1{u}_{2}w+{\text{e}}^{-2\pi i{\theta }_{12}}{w}^{*}{u}_2^{*}{u}_1^{*}{w}^{*}{u}_2^{*}{u}_1^{*}-2\Vert \\ \le \frac{1}{16}\left(\Vert {\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{12}}{u}_1{u}_{2}w{u}_1{u}_{2}w-1\Vert +\Vert {\text{e}}^{-2\pi i{\theta }_{12}}{w}^{*}{u}_2^{*}{u}_1^{*}{w}^{*}{u}_2^{*}{u}_1^{*}-1\Vert \right)<\frac{1}{4},\end{array}$

$\begin{array}{c}\Vert {\left({\tilde{Q}}_5\right)}^2-{\tilde{Q}}_5\Vert =\Vert \frac{1}{16}\left(6+u_{3}w{u}_{3}w+w^{*}{u}_3^{*}{w}^{*}{u}_3^{*}-4u_{3}w+4w^{*}{u}_3^{*}\right)-\frac{1}{4}\left(2-u_{3}w{u}_{3}w-w^{*}{u}_3^{*}{w}^{*}{u}_3^{*}\right)\Vert \\ =\Vert \frac{1}{16}{u}_{3}w{u}_{3}w+\frac{1}{16}{w}^{*}{u}_3^{*}{w}^{*}{u}_3^{*}-\frac{1}{8}\Vert \le \frac{1}{8}\Vert u_{3}w{u}_{3}w-1\Vert \le \frac{1}{8}\left(\Vert w^2-1\Vert +1\right)<\frac{1}{4}，\end{array}$

$\begin{array}{c}\Vert {\left({\tilde{Q}}_6\right)}^2-{\tilde{Q}}_6\Vert =\Vert \frac{1}{16}\left(6+{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{13}}{u}_1{u}_{3}w{u}_1{u}_{3}w+{\text{e}}^{-2\pi i{\theta }_{13}}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_1^{*}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_1^{*}-4{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{u}_1{u}_{3}w-4{\text{e}}^{-\pi i{\theta }_{13}}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_1^{*}\right)\\ -\frac{1}{4}\left(\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{u}_1{u}_{3}w\right)+{\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{u}_1{u}_{3}w\right)}^{*}\right)\Vert \\ =\frac{1}{16}\Vert {\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{13}}{u}_1{u}_{3}w{u}_1{u}_{3}w+{\text{e}}^{-2\pi i{\theta }_{13}}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_1^{*}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_1^{*}-2\Vert \\ \le \frac{1}{16}\left(\Vert {\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{13}}{u}_1{u}_{3}w{u}_1{u}_{3}w-1\Vert +\Vert {\text{e}}^{-2\pi i{\theta }_{13}}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_1^{*}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_1^{*}-1\Vert \right)<\frac{1}{4},\end{array}$

$\begin{array}{c}\Vert {\left({\tilde{Q}}_7\right)}^2-{\tilde{Q}}_7\Vert =\Vert \frac{1}{16}\left(6+{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{23}}{u}_2{u}_{3}w{u}_2{u}_{3}w+{\text{e}}^{-2\pi i{\theta }_{23}}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_2^{*}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_2^{*}-4{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2{u}_{3}w-4{\text{e}}^{-\pi i{\theta }_{12}}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_2^{*}\right)\\ -\frac{1}{4}\left(\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2{u}_{3}w\right)+{\left(1-{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2{u}_{3}w\right)}^{*}\right)\Vert \\ =\frac{1}{16}\Vert {\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{23}}{u}_2{u}_{3}w{u}_2{u}_{3}w+{\text{e}}^{-2\pi i{\theta }_{23}}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_2^{*}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_2^{*}-2\Vert \\ \le \frac{1}{16}\left(\Vert {\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{23}}{u}_2{u}_{3}w{u}_2{u}_{3}w-1\Vert +\Vert {\text{e}}^{-2\pi i{\theta }_{23}}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_2^{*}{w}^{*}{u}_3^{*}{u}_2^{*}-1\Vert \right)<\frac{1}{4},\end{array}$

所以$\frac{1}{2}\notin spec\left({\tilde{Q}}_j\right)$ 并且$spec\left({\tilde{Q}}_j\right)\subset \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ ，$j=1,\cdots ,7$ 。

引理4.2. 令$\Theta =\left({\theta }_{jk}\right)\in {\mathcal{T}}_3$ ，其中${\theta }_{jk}\in \left[0,1\right)$ ，$j,k=1,2,3$ 。在任何有单位元的C*-代数A中，如果任意的四个酉元$u_1,u_2,u_3,w\in A$ 满足以下结论：

(1) $\Vert u_k{u}_j-{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{u}_j{u}_k\Vert <2$ ，$\Vert w{u}_j{w}^{-1}-u_j^{-1}\Vert <\frac{1}{2}$ ，$\Vert w^2-1_A\Vert <\frac{1}{2}$ ，$j,k=1,2,3$ ，

(2) 对于任意的$n\in \mathbb{N}$ 和任意的$\tau \in T\left(A\right)$ ，有$\tau {\left(\left(u_k{u}_j{u}_k^{*}{u}_j^{*}\right)\right)}^n={\text{e}}^{2\pi in{\theta }_{jk}}$ ，

(3) 对于任意的$h_i\in \left\{-1,1\right\}$ ，任意的$p\in \left\{1,R_{{\theta }_{12}}\left(u_2,u_1\right),R_{{\theta }_{13}}\left(u_3,u_1\right),R_{{\theta }_{23}}\left(u_3,u_2\right)\right\}$ ，任意的$\tau \in T\left(A\right)$ 和任意的$m=1,2,\cdots$ ，有

$\tau \left({\displaystyle \prod _{i=1}^{n}p}{w}^{h_i}\right)=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & n=2m-1,\hfill \\ \tau \left(p\right),\hfill & n=2m,\hfill \end{array}$

(4) 对于任意的$h_i\in \left\{-1,1\right\}$ ，任意的$a\in \left\{u_1,u_2,u_3\right\}$ ，任意的$\tau \in T\left(A\right)$ 和任意的$m=1,2,\cdots$ ，有

$\tau \left({\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a}{w}^{h_i}\right)=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & n=2m-1,\hfill \\ 1,\hfill & n=2m,\hfill \end{array}$

(5) 对于任意$h_i\in \left\{-1,1\right\}$ ，任意$\tau \in T\left(A\right)$ 和任意$k=1,2,\cdots$ ，有

$\tau \left({\displaystyle \prod _{i=1}^n{u}_1}{u}_2{w}^{h_i}\right)=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & n=2m-1,\hfill \\ \tau \left({\left(u_1{u}_2{u}_1^{*}{u}_2^{*}\right)}^m\right),\hfill & n=2m,\hfill \end{array}$

(6) 对于任意的$h_i\in \left\{-1,1\right\}$ ，任意的$\tau \in T\left(A\right)$ 和任意的$k=1,2,\cdots$ ，有

$\tau \left({\displaystyle \prod _{i=1}^n{u}_1}{u}_3{w}^{h_i}\right)=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & n=2m-1,\hfill \\ \tau \left({\left(u_1{u}_3{u}_1^{*}{u}_3^{*}\right)}^m\right),\hfill & n=2m,\hfill \end{array}$

(7) 对于任意的$h_i\in \left\{-1,1\right\}$ ，任意的$\tau \in T\left(A\right)$ 和任意的$k=1,2,\cdots$ ，有

$\tau \left({\displaystyle \prod _{i=1}^n{u}_2}{u}_3{w}^{h_i}\right)=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & n=2m-1,\hfill \\ \tau \left({\left(u_2{u}_3{u}_2^{*}{u}_3^{*}\right)}^m\right),\hfill & n=2m,\hfill \end{array}$

那么${\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_1\right),{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_2\right),{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_3\right),{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_4\right),{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_5\right),{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_6\right)$ 和${\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_7\right)$ 是A中投影，并且对于任意的$\tau \in T\left(A\right)$ ，

$\tau \left({\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_1\right)\right)=\frac{1}{2}$ ，$\tau \left({\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_2\right)\right)=\frac{1}{2}$ ，$\tau \left({\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_3\right)\right)=\frac{1}{2}$ ，$\tau \left({\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_4\right)\right)=\frac{1}{2}$ ，

$\tau \left({\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_5\right)\right)=\frac{1}{2}$ ，$\tau \left({\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_6\right)\right)=\frac{1}{2}$ ，$\tau \left({\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_7\right)\right)=\frac{1}{2}$ ，

其中${\tilde{Q}}_j$ $\left(j=1,2,3\right)$ 的定义在引理4.1中给出。

证明：对于任意的$n=2k+1$ ，$k=0,1,2,\cdots$ ，由条件(3)和

${\left(w+w^{*}\right)}^2=w^2+{\left(w^{*}\right)}^2+2$ ，

我们有

$\tau \left({\left(w+w^{*}\right)}^n\right)=\tau \left({\left(w^2+{\left(w^{*}\right)}^2+2\right)}^k\left(w+w^{*}\right)\right)=0$ ，

所以有

$\begin{array}{c}\tau \left({\left({\tilde{Q}}_1\right)}^n\right)=\frac{1}{4^n}\tau \left({\left(2+w+w^{*}\right)}^n\right)=\frac{1}{4^n}{\displaystyle \sum _{j=1}^n{C}_n^j{2}^{n-j}\tau \left({\left(w+w^{*}\right)}^j\right)}\\ =\frac{1}{4^n}{\displaystyle \sum _{j=1}^k{C}_n^{2j}{2}^{n-2j}\tau \left({\left(w+w^{*}\right)}^{2j}\right)}=\frac{1}{4^n}{\displaystyle \sum _{j=1}^k{C}_n^{2j}{2}^n}=\frac{1}{2^n}{\displaystyle \sum _{j=1}^k{C}_n^{2j}}=\frac{1}{2},\end{array}$

其中$C_n^j$ 是二项展开式的系数，$j=0,\cdots ,n$ 。

对于任意的$n=2k$ ，$k=1,2,\cdots$ ，由条件(3)和

$\tau \left({\left(w+w^{*}\right)}^n\right)=4^k=2^n$ ，

所以有

$\begin{array}{c}\tau \left({\left({\tilde{Q}}_1\right)}^n\right)=\frac{1}{4^n}\tau \left({\left(2+w+w^{*}\right)}^n\right)=\frac{1}{4^n}{\displaystyle \sum _{j=1}^n{C}_n^j{2}^{n-j}\tau \left({\left(w+w^{*}\right)}^j\right)}\\ =\frac{1}{4^n}{\displaystyle \sum _{j=1}^k{C}_n^{2j}{2}^{n-2j}\tau \left({\left(w+w^{*}\right)}^{2j}\right)}=\frac{1}{4^n}{\displaystyle \sum _{j=1}^k{C}_n^{2j}{2}^n}=\frac{1}{2^n}{\displaystyle \sum _{j=1}^k{C}_n^{2j}}=\frac{1}{2}.\end{array}$

故，$\forall n\in \mathbb{N}$ ，$\tau \left({\left({\tilde{Q}}_1\right)}^n\right)=\frac{1}{2}$ 。

类似地，由条件(4)，我们可得到$\tau \left({\left({\tilde{Q}}_2\right)}^n\right)=\frac{1}{2}$ ，$\tau \left({\left({\tilde{Q}}_3\right)}^n\right)=\frac{1}{2}$ 和$\tau \left({\left({\tilde{Q}}_5\right)}^n\right)=\frac{1}{2}$ ；由条件(2)和条件(5)~(7)，我们可得到$\tau \left({\left({\tilde{Q}}_4\right)}^n\right)=\frac{1}{2}$ ，$\tau \left({\left({\tilde{Q}}_6\right)}^n\right)=\frac{1}{2}$ 和$\tau \left({\left({\tilde{Q}}_7\right)}^n\right)=\frac{1}{2}$ 。

接下来我们只证明$\tau \left({\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_1\right)\right)=\frac{1}{2}$ ，其余证明类似。

对于任意的$0<\epsilon <1$ ，由Stone-Weierstrass定理，在$spec\left({\tilde{Q}}_1\right)$ 上存在多项式$P\left(x\right)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$ ，使得

${\Vert {\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}-P\Vert }_{\text{spec}\left({\tilde{Q}}_1\right)}<\frac{\epsilon }{8}$。

注意到

$\Vert a_0\Vert =\Vert a_0-0\Vert =\Vert P\left(0\right)-{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left(0\right)\Vert <\frac{\epsilon }{8}$ ，

令$P_1\left(x\right)=a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$ ，我们可得

${\Vert P\left(x\right)-P_1\left(x\right)\Vert }_{spec\left({\tilde{Q}}_1\right)}=\Vert a_0\Vert <\frac{\epsilon }{8}$

和

$\Vert P_1\left(1\right)-1\Vert \le \Vert P_1\left(1\right)-P\left(1\right)\Vert +\Vert {\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left(1\right)-P\left(1\right)\Vert <\frac{\epsilon }{4}$ 。

再令$\tilde{P}\left(x\right)=P_1\left(x\right)/P_1\left(1\right)$ ，则$\tilde{P}\left(0\right)=0$ ，$\tilde{P}\left(1\right)=1$ 且

$\begin{array}{c}{\Vert \tilde{P}-{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\Vert }_{spec\left({\tilde{Q}}_1\right)}={\Vert P_1\left(x\right)/P_1\left(1\right)-{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left(x\right)\Vert }_{spec\left({\tilde{Q}}_1\right)}\\ \le \frac{\Vert \left(P_1\left(x\right)-P\left(x\right)\right)+\left(P\left(x\right)-{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left(x\right)\right)+\left({\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left(x\right)P_1\left(1\right)\right)\Vert }{\Vert P_1\left(1\right)\Vert }\\ <\frac{\epsilon /2}{\Vert P_1\left(1\right)\Vert }<\epsilon \end{array}$

由前和$\tau \left({\left({\tilde{Q}}_j\right)}^n\right)=\frac{1}{2}$ ，$n=1,2,\cdots$ ，我们可得

$\tau \left(\tilde{P}\left({\tilde{Q}}_1\right)\right)=\frac{1}{\Vert P_1\left(1\right)\Vert }\left(a_1\tau \left({\tilde{Q}}_1\right)+\cdots +a_n\tau \left({\left({\tilde{Q}}_1\right)}^n\right)\right)=\frac{1}{2}\tilde{P}\left(1\right)=\frac{1}{2}$ 。 (1)

由(1)式和$\epsilon$ 的任意性，我们可知对于任意的$\tau \in T\left(A\right)$ ，有

$\tau \left({\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}\left({\tilde{Q}}_1\right)\right)=\frac{1}{2}$ 。

即证得。$\square$

定义4.3. 对于任何有单位元的C*-代数A且$T\left(A\right)\ne \varnothing$ ，如果任意的四个酉元$u_1,u_2,u_3,w\in A$ 满足引理4.2的条件(2)~(7)，那么我们称这四个酉元满足迹条件I。

注4.4. 特别地，若在引理4.2中，$w{u}_j{w}^{-1}=u_j^{-1}$ ，$w^2=1_A$ ，$j=1,2,3$ ，那么对于任意的$a\in C*\left(u_1,u_2,u_3\right)$ 和任意A上的迹态$\tau$ ，$\tau \left(aw\right)=0$ 意味着满足引理4.2的条件(3)~(7)，其中$C*\left(u_1,u_2,u_3\right)$ 是由$u_1,u_2,u_3$ 生成的C*-子代数。所以满足定理1.1的条件(2)意味着满足了迹条件I。

引理4.5 [16]. 设$\theta \in \left(0,1\right)$ 。在任何迹态空间非空且有单位元的C*-代数A中，对于任意两个满足关系式$\Vert uv-{\text{e}}^{2\pi i\theta }vu\Vert <2$ 的酉元$u,v\in A$ ，如果对于任意的$n\in \mathbb{N}$ 和任意的$\tau \in T\left(A\right)$ ，有$\tau \left({\left(uv{u}^{*}{v}^{*}\right)}^n\right)={\text{e}}^{2\pi in\theta }$ ，那么对于任意的$\tau \in T\left(A\right)$ ，有$\tau \left({\log }_{\theta }\left(uv{u}^{*}{v}^{*}\right)\right)=2\pi i\theta$ 。

5. 具有几乎翻转作用的三个酉元旋转关系的稳定性

设A是C*-代数。假设p是$M_n\left(A\right)$ 中投影，q是$M_m\left(A\right)$ 中投影。如果存在$v\in M_{m,n}\left(A\right)$ ，使得$p=v^{*}v$ 和$q=v{v}^{*}$ ，那么我们记为$p{\sim }_{0}q$ 。

定义5.1 [18]. 设$p,q$ 是${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}{M}_n\left(A\right)}$ 中任意一对投影。如果在$K_0\left(A\right)$ 中，$\left[p\right]=\left[q\right]$ 当且仅当$p{\sim }_{0}q$ ，那么我们称C*-代数A具有消去性质。

下面的定理称为从有限维C*-代数到具有消去性质、有单位元的C*-代数的同态的存在性和唯一性定理。

定理5.2 [16]. 设A是有单位元的AF-代数，C是具有消去性质、有单位元的C*-代数。假设$\psi :K_0\left(A\right)\to K_0\left(C\right)$ 是单位正同态，那么存在单位同态$h:A\to C$ 使得$h_{*}=\psi$ 。

定理5.3 [16]. 设A是有单位元的AF-代数，C是具有消去性质、有单位元的C*-代数。对于任意的$\epsilon >0$ 和任意的有限子集$ℱ\subset A$ ，如果存在$\delta >0$ ，有限子集和有限子集$\mathcal{G}\subset A$ 使得：$L_1,L_2:A\to C$ 是两个$\mathcal{G}$ -$\delta$ -可乘的压缩完全正线性映射并且

，

其中是由生成的子群，那么就存在酉元$u\in C$ ，使得在$ℱ$ 上，

$\text{Ad}u°L_1{\approx }_{\epsilon }{L}_2$ 。

命题5.4. 设$\Theta =\left({\theta }_{jk}\right)\in {\mathcal{T}}_3$ 是完全无理的，其中${\theta }_{jk}\in \left[0,1\right)$ ，$j,k=1,2,3$ 。令${\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_3$ 和$\mathfrak{w}$ 是$A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ 的典范生成元。那么对于任意的有限集合$\mathcal{G}\subset A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ ，任意的$\eta >0$ 和任意的$\epsilon >0$ ，存在一个$\delta >0$ 使得：在任何有单位元的C*-代数A中，A的任意四个酉元$u_1,u_2,u_3$ 和w满足

$\Vert u_k{u}_j-{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{u}_j{u}_k\Vert <\delta$ ，$\Vert w{u}_j{w}^{-1}-u_j^{-1}\Vert <\delta$ ，$\Vert w^2-1_A\Vert <\delta$ ，$j,k=1,2,3$ ，

并且存在$\mathcal{G}$ -$\eta$ -可乘c.p.c.(完全正压缩)单位映射$L:A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2\to A$ 使得

$\Vert L\left({\mathfrak{u}}_j\right)-u_j\Vert <\epsilon$ ，$j=1,2,3$ 和$\Vert L\left(\mathfrak{w}\right)-w\Vert <\epsilon$ 。

证明：假设命题不成立。令${\left\{{\delta }_m\right\}}_{m=1}^{\infty }$ 是一列递减到0的正数。那么存在有限子集$\mathcal{G}\subset A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ 和$\epsilon ,\eta >0$ 使得，对于任意的m，存在有单位元的C*-代数$A_m$ 和四个酉元$u_1^{\left(m\right)},u_2^{\left(m\right)},u_3^{\left(m\right)},w^{\left(m\right)}\in A_m$ 使得

$\Vert u_k^{\left(m\right)}{u}_j^{\left(m\right)}-{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{u}_j^{\left(m\right)}{u}_k^{\left(m\right)}\Vert <{\delta }_m$ ，$\Vert w^{\left(m\right)}{u}_j^{\left(m\right)}{\left(w^{\left(m\right)}\right)}^{-1}-{\left(u_j^{\left(m\right)}\right)}^{-1}\Vert <{\delta }_m$ ，$\Vert {\left(w^{\left(m\right)}\right)}^2-1_A\Vert <{\delta }_m$ ，$j,k=1,2,3$ ，

但是对于任意$\mathcal{G}$ -$\eta$ -可乘c.p.c.单位映射${\varphi }_m:A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2\to A_m$ ，存在$j\in \left\{1,2,3\right\}$ 使得

$\Vert {\varphi }_m\left({\mathfrak{u}}_j\right)-u_j^{\left(m\right)}\Vert \ge \epsilon$ ，

或者

$\Vert {\varphi }_m\left(\mathfrak{w}\right)-w^{\left(m\right)}\Vert \ge \epsilon$ 。

令$C={\Pi }_{m=1}^{\infty }{A}_m/{\oplus }_{m=1}^{\infty }{A}_m$ 并设$\pi :{\Pi }_{m=1}^{\infty }{A}_m\to C$ 是典范商映射。令$u_j=\left(u_j^{\left(m\right)}\right),w=\left(w^{\left(m\right)}\right)\in {\Pi }_{m=1}^{\infty }{A}_m$ ，$j=1,2,3$ ，那么$\pi \left(u_1\right),\pi \left(u_2\right),\pi \left(u_3\right)$ 和$\pi \left(w\right)$ 是酉元并且

$\pi \left(u_k\right)\pi \left(u_j\right)={\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}\pi \left(u_j\right)\pi \left(u_k\right)$ ，$\pi \left(w\right)\pi \left(u_j\right)\pi {\left(w\right)}^{-1}=\pi {\left(u_j\right)}^{-1}$ 和$\pi {\left(w\right)}^2=1_A$ ，$j,k=1,2,3$ ，

所以存在单位同态$\varphi :A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2\to C$ 。由Choi-Effros提升定理，我们可以把$\varphi$ 提升到c.p.c.单位映射

$\tilde{\varphi }=\left({\varphi }_1,{\varphi }_2,\cdots ,{\varphi }_m,\cdots \right):A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2\to {\Pi }_{m=1}^{\infty }{A}_m$ 。

特别地，每个坐标映射${\varphi }_m$ 是单位完全正的，并且我们可以通过归一化假设它们都是压缩的。通过选择充分大的m，${\varphi }_m$ 是$\mathcal{G}$ -$\eta$ -可乘的。由我们的构造，可得

$\underset{m\to \infty }{\lim }\Vert {\varphi }_m\left({\mathfrak{u}}_j\right)-u_j^{\left(m\right)}\Vert =0$ ，$j,k=1,2,3$ 且$\underset{m\to \infty }{\lim }\Vert {\varphi }_m\left(\mathfrak{w}\right)-w^{\left(m\right)}\Vert =0$ ，

矛盾。$\square$

下面的引理是利用泛函演算和范数逼近的投影等价的事实得到的。

引理5.5 [4]. 设$\Theta =\left({\theta }_{jk}\right)\in {\mathcal{T}}_3$ 是完全无理的，其中${\theta }_{jk}\in \left[0,1\right)$ ，$j,k=1,2,3$ 。设${\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_3$ 和$\mathfrak{w}$ 是$A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ 的典范生成元。令

$\left[Q_1\right],\left[Q_2\right],\left[Q_3\right],\left[Q_4\right],\left[Q_5\right],\left[Q_6\right],\left[Q_7\right],\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)\right],$ $\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{\mathfrak{u}}_2,{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_3\mathfrak{w}\right)\right],\left[P_{{\theta }_{13}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)\right],\left[P_{{\theta }_{23}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_2,\mathfrak{w}\right)\right]$

是$K_0\left(A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2\right)$ 中的元素，这些元素的定义在定理2.2中给出。那么存在有限子集$\mathcal{G}\subset A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ ，$\delta >0$ 和$\epsilon >0$ ，使得：在任意有单位元的C*-代数A中，对于A的任意四个酉元$u_1,u_2,u_3$ 和w，如果$\mathcal{G}$ -$\delta$ -可乘压缩完全的线性映射$L:A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2\to A$ 满足

$\Vert L\left({\mathfrak{u}}_j\right)-u_j\Vert <\epsilon$ ，$j=1,2,3$ 和$\Vert L\left(\mathfrak{w}\right)-w\Vert <\epsilon$ ，

那么

$\left[L\right]\left(\left[1\right]\right)=\left[1_A\right]$ ，$\left[L\right]\left(\left[Q_j\right]\right)=\left[{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}{\tilde{Q}}_j\right]$ ，$j=1,\cdots ,7$ ，

$\left[L\right]\left(\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)\right]\right)=\left[R_{{\theta }_{12}}\left(u_2,u_1,w\right)\right]$ ，

$\left[L\right]\left(\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{\mathfrak{u}}_2,{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_3\mathfrak{w}\right)\right]\right)=\left[R_{{\theta }_{12}}\left(u_2,u_1,w\right)\right]$ ，

$\left[L\right]\left(\left[P_{{\theta }_{13}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)\right]\right)=\left[R_{{\theta }_{13}}\left(u_3,u_1,w\right)\right]$ ，$\left[L\right]\left(\left[P_{{\theta }_{23}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_2,\mathfrak{w}\right)\right]\right)=\left[R_{{\theta }_{23}}\left(u_3,u_2,w\right)\right]$ 。

接下来我们来证明本文的主要结论。

定理5.6. 设$\Theta =\left({\theta }_{jk}\right)\in {\mathcal{T}}_3$ 是完全无理的，其中${\theta }_{jk}\in \left[0,1\right)$ ，$j,k=1,2,3$ 。那么，对于任意$\epsilon >0$ ，存在$\delta >0$ 满足以下结论：在任何具有消去性质、严格比较性质、$T\left(A\right)\ne \varnothing$ 、有单位元的C*-代数A中，对任意四个酉元$u_1,u_2,u_3,w\in A$ ，如果

(1) $\Vert u_k{u}_j-{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{u}_j{u}_k\Vert <\delta$ ，$\Vert w{u}_j{w}^{-1}-u_j^{-1}\Vert <\delta$ ，$\Vert w^2-1_A\Vert <\delta$ ，$j,k=1,2,3$ ，

(2) $u_1,u_2,u_3,w$ 满足迹条件I，

那么存在四个酉元${\tilde{u}}_1,{\tilde{u}}_2,{\tilde{u}}_3,\tilde{w}\in A$ 使得

${\tilde{u}}_j{\tilde{u}}_k={\text{e}}^{2\pi i\theta }{\tilde{u}}_k{\tilde{u}}_j$，$\tilde{w}{\tilde{u}}_j{\tilde{w}}^{-1}={\tilde{u}}_j^{-1}$ ，${\tilde{w}}^2=1_A$ 且

$\Vert u_j-{\tilde{u}}_j\Vert <\epsilon$ ，$\Vert w-\tilde{w}\Vert <\epsilon$ ，$j,k=1,2,3$ 。

证明：令$B=A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ ，下面我们用${\tau }_B$ 来表示B上典范迹态并用${\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_3,\mathfrak{w}$ 来表示B的典范生成元。由定理2.1和定理2.2，可知B是有单位元的单AF-代数并且

$\begin{array}{c}{K}_0\left(B\right)=\mathbb{Z}\left[1_B\right]+\mathbb{Z}\left[Q_1\right]+\mathbb{Z}\left[Q_2\right]+\mathbb{Z}\left[Q_3\right]+\mathbb{Z}\left[Q_4\right]+\mathbb{Z}\left[Q_5\right]+\mathbb{Z}\left[Q_6\right]+\mathbb{Z}\left[Q_7\right]+\mathbb{Z}\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)\right]\\ +\mathbb{Z}\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{\mathfrak{u}}_2,{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_3\mathfrak{w}\right)\right]+\mathbb{Z}\left[P_{{\theta }_{13}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)\right]+\mathbb{Z}\left[P_{{\theta }_{23}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_2,\mathfrak{w}\right)\right]\end{array}$

和

$K_0{\left(B\right)}_{+}=\left\{c\in K_0\left(B\right)|{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(c\right)>0\right\}$ 。

给定$\epsilon >0$ 。对于$\frac{\epsilon }{2}>0$ 和$ℱ=\left\{1_B,{\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_3,\mathfrak{w}\right\}$ ，令${\delta }_1>0$ ，${\mathcal{G}}_1\subset B$ 是有限子集，并令

是定理5.3所需的有限子集。再应用引理5.5，可以选择有限子集${\mathcal{G}}_2\subset B$ ，$0<{\epsilon }_0<\frac{\epsilon }{2}$ 和${\delta }_2>0$ 使得，当$u_1,u_2,u_3$ 和w是A中酉元并且$L:A\to B$ 是${\mathcal{G}}_2$ -${\delta }_2$ -可乘c.p.c.线性映射的时候，有

$\Vert L\left({\mathfrak{u}}_j\right)-u_j\Vert <{\epsilon }_0$ ，$j=1,2,3$ 和$\Vert L\left(\mathfrak{w}\right)-w\Vert <{\epsilon }_0$ ，

那么

$\left[L\right]\left(\left[1\right]\right)=\left[1_A\right]$ ，$\left[L\right]\left(\left[Q_j\right]\right)=\left[{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}{\tilde{Q}}_j\right]$ ，$j=1,\cdots ,7$ ， (2)

$\left[L\right]\left(\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)\right]\right)=\left[R_{{\theta }_{12}}\left(u_2,u_1,w\right)\right]$ ， (3)

$\left[L\right]\left(\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{\mathfrak{u}}_2,{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_3\mathfrak{w}\right)\right]\right)=\left[R_{{\theta }_{12}}\left(u_2,u_1,w\right)\right]$ ， (4)

$\left[L\right]\left(\left[P_{{\theta }_{13}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)\right]\right)=\left[R_{{\theta }_{13}}\left(u_3,u_1,w\right)\right]$ ，$\left[L\right]\left(\left[P_{{\theta }_{23}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_2,\mathfrak{w}\right)\right]\right)=\left[R_{{\theta }_{23}}\left(u_3,u_2,w\right)\right]$ 。 (5)

根据命题3.2选择一个${\delta }_0$ (根据${\theta }_{12},{\theta }_{13},{\theta }_{23}$ 选择最小的${\delta }_0$ )。令$\mathcal{G}={\mathcal{G}}_1\cup {\mathcal{G}}_2$ 和${\delta }_3=\min \left\{{\delta }_0,{\delta }_1,{\delta }_2\right\}$ 。由${\delta }_3$ (取代$\eta$ )和${\epsilon }_0>0$ (取代$\epsilon$ )和命题5.4，我们根据$\mathcal{G}$ 可以找到一个$\delta \le {\delta }_3$ 。现假设A是具有消去性质、严格比较性质、有单位元的C*-代数。令四个酉元$u_1,u_2,u_3,w\in A$ 使得

(1) $\Vert u_k{u}_j-{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{u}_j{u}_k\Vert <\delta$ ，$\Vert w{u}_j{w}^{-1}-u_j^{-1}\Vert <\delta$ ，$\Vert w^2-1_A\Vert <\delta$ ，

(2) $u_1,u_2,u_3,w$ 满足迹条件I。

定义$\kappa :K_0\left(B\right)\to K_0\left(A\right)$ ，

$\kappa \left(\left[1\right]\right)=\left[1_A\right]$ ，$\kappa \left(\left[Q_j\right]\right)=\left[{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}{\tilde{Q}}_j\right]$ ，$j=1,\cdots ,7$ ，

$\kappa \left(\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)\right]\right)=\left[R_{{\theta }_{12}}\left(u_2,u_1,w\right)\right]$ ，

$\kappa \left(\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{\mathfrak{u}}_2,{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_3\mathfrak{w}\right)\right]\right)=\left[R_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2,{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{u}_1,u_{3}w\right)\right]$ ，

$\kappa \left(\left[P_{{\theta }_{13}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)\right]\right)=\left[R_{{\theta }_{13}}\left(u_3,u_1,w\right)\right]$ ，$\kappa \left(\left[P_{{\theta }_{23}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_2,\mathfrak{w}\right)\right]\right)=\left[R_{{\theta }_{23}}\left(u_3,u_2,w\right)\right]$ 。

接下来我们来证明这是一个正同态。事实上，令$\left[p\right]\in K_0\left(B\right)$ 是正元，那么${\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[p\right]\right)>0$ 。存在$n_j\in \mathbb{Z}$ ，$j=1,\cdots ,12$ 使得，

$\begin{array}{l}\left[p\right]=n_1\left[1_B\right]+n_2\left[Q_1\right]+n_3\left[Q_2\right]+n_4\left[Q_3\right]+n_5\left[Q_4\right]+n_6\left[Q_5\right]+n_7\left[Q_6\right]+n_8\left[Q_7\right]+n_9\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)\right]\\ +n_{10}\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{\mathfrak{u}}_2,{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_3\mathfrak{w}\right)\right]+n_{11}\left[P_{{\theta }_{13}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_1,\mathfrak{w}\right)\right]+n_{12}\left[P_{{\theta }_{23}}\left({\mathfrak{u}}_3,{\mathfrak{u}}_2,\mathfrak{w}\right)\right].\end{array}$

对于任意的$\tau \in T\left(A\right)$ ，由引理3.10，可得

${\tau }_{*}\left(\left[R_{{\theta }_{12}}\left(u_2,u_1,w\right)\right]\right)={\rho }_A\left(\left[R_{{\theta }_{12}}\left(u_1,u_2,w\right)\right]\right)\left(\tau \right)=\frac{1}{4\pi i}\tau \left({\log }_{{\theta }_{12}}\left(u_2{u}_1{u}_2^{*}{u}_1^{*}\right)\right)$ ，

$\begin{array}{l}{\tau }_{*}\left(\left[R_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2,{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{u}_1,u_{3}w\right)\right]\right)={\rho }_A\left(\left[R_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2,{\text{e}}^{\text{π}i{\theta }_{13}}{u}_1,u_{3}w\right)\right]\right)\left(\tau \right)\\ =\frac{1}{4\pi i}\tau \left({\log }_{{\theta }_{12}}\left(\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2\right)\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{u}_1\right){\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2\right)}^{*}{\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{u}_1\right)}^{*}\right)\right)\left(\tau \right)=\frac{1}{4\pi i}\tau \left({\log }_{{\theta }_{12}}\left(u_2{u}_1{u}_2^{*}{u}_1^{*}\right)\right),\end{array}$

${\tau }_{*}\left(\left[R_{{\theta }_{13}}\left(u_3,u_1,w\right)\right]\right)={\rho }_A\left(\left[R_{{\theta }_{13}}(\left(u_1,u_3,w\right)\right]\right)\left(\tau \right)=\frac{1}{4\pi i}\tau \left({\log }_{{\theta }_{13}}\left(u_3{u}_1{u}_3^{*}{u}_1^{*}\right)\right)$ ，

${\tau }_{*}\left(\left[R_{{\theta }_{23}}\left(u_3,u_2,w\right)\right]\right)={\rho }_A\left(\left[R_{{\theta }_{23}}\left(u_3,u_2,w\right)\right]\right)\left(\tau \right)=\frac{1}{4\pi i}\tau \left({\log }_{{\theta }_{23}}\left(u_3{u}_2{u}_3^{*}{u}_2^{*}\right)\right)$ 。

再由引理4.5，可得

${\tau }_{*}\left(\left[R_{{\theta }_{12}}\left(u_2,u_1,w\right)\right]\right)=\frac{1}{4\pi i}\tau \left({\log }_{{\theta }_{12}}\left(u_2{u}_1{u}_2^{*}{u}_1^{*}\right)\right)=\frac{{\theta }_{12}}{2}$ ，

${\tau }_{*}\left(\left[R_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2,{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{u}_1,u_{3}w\right)\right]\right)=\frac{1}{4\pi i}\tau \left({\log }_{{\theta }_{12}}(\left(u_2{u}_1{u}_2^{*}{u}_1^{*}\right)\right)=\frac{{\theta }_{12}}{2}$ ，

${\tau }_{*}\left(\left[R_{{\theta }_{13}}\left(u_3,u_1,w\right)\right]\right)=\frac{1}{4\pi i}\tau \left({\log }_{{\theta }_{13}}\left(u_3{u}_1{u}_3^{*}{u}_1^{*}\right)\right)=\frac{{\theta }_{13}}{2}$ ，

${\tau }_{*}\left(\left[R_{{\theta }_{23}}\left(u_3,u_2,w\right)\right]\right)=\frac{1}{4\pi i}\tau \left({\log }_{{\theta }_{23}}\left(u_3{u}_2{u}_3^{*}{u}_2^{*}\right)\right)=\frac{{\theta }_{23}}{2}$ 。

由引理4.2，对于所有的$\tau \in T\left(A\right)$ ，有${\tau }_{*}\left(\left[{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}{\tilde{Q}}_j\right]\right)=\frac{1}{2}$ 。现对任意的$\tau \in T\left(A\right)$ ，我们可以计算

$\begin{array}{c}{\tau }_{*}\left(\kappa \left(\left[p\right]\right)\right)=n_1{\tau }_{*}\left(\left[1_A\right]\right)+n_2{\tau }_{*}\left(\left[{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}{\tilde{Q}}_1\right]\right)+n_3{\tau }_{*}\left(\left[{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}{\tilde{Q}}_2\right]\right)+n_4{\tau }_{*}\left(\left[{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}{\tilde{Q}}_3\right]\right)\\ +n_5{\tau }_{*}\left(\left[{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}{\tilde{Q}}_4\right]\right)+n_6{\tau }_{*}\left(\left[{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}{\tilde{Q}}_5\right]\right)+n_7{\tau }_{*}\left(\left[{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}{\tilde{Q}}_6\right]\right)+n_8{\tau }_{*}\left(\left[{\chi }_{\left(\frac{1}{2},+\infty \right)}{\tilde{Q}}_7\right]\right)\\ +n_9{\tau }_{*}\left(\left[R_{{\theta }_{12}}\left(u_2,u_1,w\right)\right]\right)+n_{10}{\tau }_{*}\left(\left[R_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2,{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{u}_1,u_{3}w\right)\right]\right)\\ +n_{11}{\tau }_{*}\left(\left[R_{{\theta }_{13}}\left(u_3,u_1,w\right)\right]\right)+n_{12}{\tau }_{*}\left(\left[R_{{\theta }_{23}}\left(u_3,u_2,w\right)\right]\right)\\ =n_1\cdot 1+n_2\cdot \frac{1}{2}+n_3\cdot \frac{1}{2}+n_4\cdot \frac{1}{2}+n_5\cdot \frac{1}{2}+n_6\cdot \frac{1}{2}+n_7\cdot \frac{1}{2}+n_8\cdot \frac{1}{2}+n_9\cdot \frac{{\theta }_{12}}{2}+n_{10}\cdot \frac{{\theta }_{12}}{2}+n_{11}\cdot \frac{{\theta }_{13}}{2}+n_{12}\cdot \frac{{\theta }_{23}}{2}\end{array}$

$\begin{array}{c}=n_1{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[1_B\right]\right)+n_2{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[Q_1\right]\right)+n_3{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[Q_2\right]\right)+n_4{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[Q_3\right]\right)+n_5{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[Q_4\right]\right)\\ +n_6{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[Q_5\right]\right)+n_7{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[Q_6\right]\right)+n_8{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[Q_7\right]\right)+n_9{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[P_{{\theta }_{12}}\left(u_2,u_1,w\right)\right]\right)\\ +n_{10}{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[P_{{\theta }_{12}}\left({\text{e}}^{\pi i{\theta }_{23}}{u}_2,{\text{e}}^{\pi i{\theta }_{13}}{u}_1,u_{3}w\right)\right]\right)+n_{11}{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[P_{{\theta }_{13}}\left(u_3,u_1,w\right)\right]\right)\\ +n_{12}{\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[P_{{\theta }_{23}}\left(u_3,u_2,w\right)\right]\right)\\ ={\left({\tau }_B\right)}_{*}\left(\left[p\right]\right)>0\end{array}$

因为A具有严格比较性质，所以上式说明了$\kappa \left(\left[p\right]\right)$ 是正的。因此，由定理5.2，存在单位同态$h:A\to B$ ，使得

$h_{*}{}_0=\kappa$ (6)

再由命题5.4，存在$\mathcal{G}$ -${\delta }_3$ -可乘c.p.c.单位映射$L:A\to B$ 使得，

$\Vert L\left({\mathfrak{u}}_j\right)-u_j\Vert <{\epsilon }_0$ ，$j=1,2,3$ 和$\Vert L\left(\mathfrak{w}\right)-w\Vert <{\epsilon }_0$ 。 (7)

由(2)式和(4)~(7)式，我们有${\left[h\right]|}_{K_0\left(B\right)}={\left[L\right]|}_{K_0\left(B\right)}$ 。所以，由定理5.3，存在酉元$s\in A$ 使得，

$\Vert s^{*}h\left({\mathfrak{u}}_j\right)s-L\left({\mathfrak{u}}_j\right)\Vert <\frac{\epsilon }{2}$ ，$j=1,2,3$ 和$\Vert s^{*}h\left(\mathfrak{w}\right)s-L\left(\mathfrak{w}\right)\Vert <\frac{\epsilon }{2}$ 。 (8)

设

${\tilde{u}}_j=s^{*}h\left({\mathfrak{u}}_j\right)s$ ，$j=1,2,3$ 和$\tilde{w}=s^{*}h\left(\mathfrak{w}\right)s$ 。

那么，由于h是同态，我们有

${\tilde{u}}_k{\tilde{u}}_j={\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{\tilde{u}}_j{\tilde{u}}_k$，$\tilde{w}{\tilde{u}}_j{\tilde{w}}^{-1}={\tilde{u}}_j^{-1}$ 且${\tilde{w}}^2=1_A$ ，$j,k=1,2,3$ 。

结合(7)式和(8)式，我们有

$\Vert u_j-{\tilde{u}}_j\Vert <\epsilon$ ，$j=1,2,3$ 且$\Vert w-\tilde{w}\Vert <\epsilon$ 。

即证得。$\square$

例5.7. 设$\Theta =\left({\theta }_{jk}\right)$ 是$3\times 3$ 完全无理实斜对称矩阵。设$A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ 是由满足关系式

${\mathfrak{u}}_k{\mathfrak{u}}_j={\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{\mathfrak{u}}_j{\mathfrak{u}}_k$ ，$\mathfrak{w}{\mathfrak{u}}_j{\mathfrak{w}}^{*}={\mathfrak{u}}_j^{*}$ 和${\mathfrak{w}}^2=1$ ，$j,k=1,2,3$

的四个酉元${\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_3,\mathfrak{w}$ 生成的万有C*-代数。令${\tau }_{A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2}$ 是$A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ 上的典范迹态。由定理2.1，${\tau }_{A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2}$ 也是$A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2$ 上的唯一迹态。那么对于任意的$\delta >0$ 和$n\in \mathbb{N}$ ，$j,k=1,2,3$ ，我们有

$\Vert {\mathfrak{u}}_k{\mathfrak{u}}_j-{\text{e}}^{2\pi i{\theta }_{jk}}{\mathfrak{u}}_j{\mathfrak{u}}_k\Vert <\delta$ ，$\Vert \mathfrak{w}{\mathfrak{u}}_k{\mathfrak{w}}^{*}-{\mathfrak{u}}_k^{*}\Vert <\delta$ ，$\Vert {\mathfrak{w}}^2-1\Vert <\delta$ ，和

${\tau }_{A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2}\left({\left({\mathfrak{u}}_k{\mathfrak{u}}_j{\mathfrak{u}}_k^{*}{\mathfrak{u}}_j^{*}\right)}^n\right)={\tau }_{A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2}\left({\text{e}}^{2\pi in{\theta }_{jk}}\cdot 1_{A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2}\right)={\text{e}}^{2\pi in{\theta }_{jk}}$ 。

因为对于任意的$a\in C*\left({\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_3\right)$ ，${\tau }_{A_{\Theta }{⋊}_{\alpha }{\mathbb{Z}}_2}\left(a\mathfrak{w}\right)=0$ ，易证得${\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_3,\mathfrak{w}$ 满足引理4.2的条件(3)~(7)，所以${\mathfrak{u}}_1,{\mathfrak{u}}_2,{\mathfrak{u}}_3,\mathfrak{w}$ 满足定理5.6的条件(1)和(2)。

6. 结论

本文证明了对C*-代数中具有翻转作用的三个酉元的所有关系进行扰动后，通过增加一定的迹条件来构造迹条件I，从而得到三个酉元的稳定性结论。稳定性的问题在数学的发展史中不断出现，因为在现实世界中，许多问题的解答与理论预测通常不是精确一致的，因此本文的主要结论对于现实世界的研究具有一定的意义。

基金项目

国家自然科学基金项目(11401256)；浙江省自然科学基金项目(LQ13A010016)；浙江省教育厅科学探索基金项目(Y202249575)。