浅析解三角形最值问题旧题“新变化”

Analysis on the “New Change” of the Old Problem of Triangle Maximum Value Problem

摘要: 解三角形是高中数学中非常重要的内容之一，也是学生在学习过程中感觉难度比较大的知识点。解三角形题目一直是高考的高频考点，其主要考察学生对于数形结合以及逻辑推理能力，其中对于未知变量个数多于已知方程的这类题目，就会涉及到解三角形最值问题。以往解三角形最值问题主要解法是给定边或者角的取值范围，以此来构造相对应的函数方程，从而来求函数值域问题。

Abstract: Solving triangles is one of the very important contents in high school mathematics, and it is also a knowledge point that students feel difficult in the learning process. Solving triangles has always been a high frequency test point in the college entrance examination, which mainly tests students’ ability to combine numbers and shapes and logical reasoning. For such problems where the number of unknown variables is more than that of known equations, it will involve solving the triangle maximum value problem. In the past, the main method to solve the triangle maximum value problem is to define the value range of the edge or angle, so as to construct the corresponding function equation, so as to solve the function range problem.

1. 引言

随着新高考的到来，在教学和考试中不能只重视基本知识、基本技能以及基本思想方法的培养，更要重视基本能力和综合能力的考查与培养[1]。解三角形最值问题不仅需要学生灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等解三角形的基础知识和方法，更要能够结合平面几何、基本不等式以及函数的最值等相关知识点来综合地解决问题[2]。新课标、新教材、新高考下的解三角形题目不再套用以前的模版，其灵活性更大，综合性也更强，不仅考察学生的基本知识、技能、思想方法，还要考察学生的知识迁移能力和综合应用能力。本文借助一道高考模拟题目，对此类问题进行探究与思考。

2. 试题呈现

(乌鲁木齐地区2024年高三年级第二次质量检测第19题)在$△ABC$ 中，点$M,N$ 分别为$BC,AC$ 的中点，AM与BN交于点G，$AM=3$ ，$\angle MAB=45˚$ 。

(1) 若$AC=5\sqrt{5}$ ，求中线BN的长；

(2) 若$△ABC$ 是锐角三角形，求四边形GMCN面积的取值范围。

3. 解法探究

3.1. 对于(1)的解法简析

思路1：在三角形中，利用正余弦定理，构造多个等式，从而求出相关的边和角。

Figure 1. Question stem explanation

图1. 题干说明

解法1：如图1，令$BM=a$ ，则$MC=a$ ，在$△ABM$ 中，用余弦定理可得：$a^2={\left|AB\right|}^2+9-3\sqrt{2}\left|AB\right|$ ，解得：$\left|AB\right|=\frac{3\sqrt{2}\pm \sqrt{4a^2-18}}{2}$ ，在$△AMC$ 中，用余弦定理可得：$\cos C=\frac{a^2+41}{10\sqrt{2}a}$ ，同理，在$△ABC$ 中，有$\cos C=\frac{4a^2+50-{\left|AB\right|}^2}{20\sqrt{2}a}$ ，可得：$a=\sqrt{65}$ 或$a=\sqrt{17}$ ，因在$△ABM$ 中，$a=\sqrt{17}$ 不满足三角形构成条件，故舍去，则求得$\left|AB\right|=7\sqrt{2}$ ，$\cos C=\frac{53}{5\sqrt{130}}$ ，在$△BNC$ 中，用余弦定理，解得：$\left|BN\right|=\frac{3\sqrt{74}}{2}$ 。

思路2：用向量的线性表示，将未知向量转化为已知向量求解。

解法2：在$△ABC$ 中，$2AM=AB+AC$ ，可得：$AC=2AM-AB$ ，两边同时平方，根据题意可得：$\left|AB\right|=7\sqrt{2}$ ，又因为$BN=2AM-\frac{3}{2}AB$ ，两边同时平方，可得$\left|BN\right|=\frac{3\sqrt{74}}{2}$ 。

解三角形这类题目中，最常用的解法就是利用正余弦定理解题的代数法，以及向量线性表示的方法[3]。如此题一样，向量法往往是解三角形的“亮点解法”，它更能简化运算、明确思路。

3.2. 对于(2)的解法探究

思路1：利用锐角三角形条件，构造向量数量积不等式，确定边的取值范围，以此来摆脱未知角度的影响。

解法1：如图1：$\begin{array}{c}{S}_{MBNC}=S_{△AMC}-S_{△AGN}=S_{△AMC}-\frac{1}{3}{S}_{△AMC}=\frac{2}{3}{S}_{△AMC}=\frac{2}{3}{S}_{△ABM}\\ =\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \left|AB\right|\times 3\times \sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\left|AB\right|\end{array}$ 。

因为$△ABC$ 是锐角三角形，所以A是锐角有：$AB\cdot AC>0$ ，即$AB\left(2AM-AB\right)>0$ ， ${\left|AB\right|}^2-3\sqrt{2}\left|AB\right|<0$ ，解得：$0<\left|AB\right|<3\sqrt{2}$ ，B是锐角有：$BM\cdot BA>0$ ，即$\left(AM-AB\right)AB<0$ ， $\frac{3\sqrt{2}}{2}\left|AB\right|-{\left|AB\right|}^2<0$ 解得：$\left|AB\right|>\frac{3\sqrt{2}}{2}$ ，C是锐角有：$CA\cdot CB>0$ ，即$\left(AB-2AM\right)\left(AB-AM\right)>0$ ，解得$\left|AB\right|\in R$ 。

综上可得：$\frac{3\sqrt{2}}{2}<\left|AB\right|<3\sqrt{2}$ 。

则得：$S_{MBNC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left|AB\right|\in \left(\frac{3}{2},3\right)$ 。

思路2：遵循函数思想，利用正余弦定理，化边为角，将题目转变为三角函数最值问题。

Figure 2. Division method

图2. 分割法

解法2：如图2，连接GC，

$\begin{array}{c}{S}_{GMCN}=S_{△GNC}+S_{△GMC}=\frac{1}{2}{S}_{△AGC}+\frac{1}{2}{S}_{△BGC}\\ =\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}{S}_{△ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}=\frac{2}{3}{S}_{ABM}\\ =\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\left|AB\right|\left|AM\right|\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\left|AB\right|\end{array}$

在$△ABM$ 中由正弦定理得：$\frac{AB}{\sin \angle AMB}=\frac{AM}{\sin \angle ABM}$ ，则有$\frac{AB}{\sin \angle AMB}=\frac{3}{\sin \angle ABM}$ ，可得：$AB=\frac{3\sin \angle AMB}{\sin \angle ABM}$ ，令：$\angle ABM=\theta$ ，则有：$AB=\frac{3\sin \left({45}^{\circ }+\theta \right)}{\sin \theta }=\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(1+\frac{1}{\tan \theta }\right)$ 。

则：$S_{GMCN}=\frac{3}{2}\left(1+\frac{1}{\tan \theta }\right)$ ，只需确定$\theta$ 的取值范围即可求解。

以下是$\theta$ 取值范围的方法探究：

探究1：几何直观图

根据题意做图得(如图3、图4、图5)：

Figure 3. On the Y-axis

图3. Y轴上

Figure 4. Left of the Y-axis

图4. Y轴左侧

Figure 5. Right of the Y-axis

图5. Y轴右侧

从上图中很容易看出，只有AM位于y轴左侧，三角形才能满足锐角三角形条件，此时$\angle B$ 的范围只能是$\left({45}^{\circ },{90}^{\circ }\right)$ 。

探究2：极限思想

Figure 6. Concept of limit

图6. 极限思想

在$△ABC$ 中，如图6，令$\angle MAC=\phi$ 。

$\because$ $\angle A+\angle B+\angle C={180}^{\circ }$ ，且$△ABC$ 为锐角三角形。

当$\phi \to 0^{\circ }$ 时，$\angle B+\angle C\to {135}^{\circ }$ ，为保证$△ABC$ 三个角都为锐角，此时$\angle B$ 必然大于45˚ (否则$\angle C$ 为钝角)。

$\therefore$ $\angle B\in \left({45}^{\circ },{90}^{\circ }\right)$

探究3：借助数形结合思想，利用假设法求解

由题可知，$\angle B$ 是锐角。

Figure 7. Combination of numbers and shapes

图7. 数形结合

1) 在图7中，可假设当${45}^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$ 时，

在$△A{B}_2{C}_2$ 中，$\theta +\angle B_{2}AM>\theta +{45}^{\circ }>{90}^{\circ }$ 。

所以$\angle C_2<{90}^{\circ }$ ，这样$△A{B}_2{C}_2$ 的三个角都是锐角，满足题意。

2) 假设$\theta \le {45}^{\circ }$

由图7可知，$\because \angle B_{4}A{C}_3={90}^{\circ }$ $\therefore \angle B_{4}A{C}_4\ge {90}^{\circ }$ ，与题意不符。

综上：$\theta \in \left({45}^{\circ },{90}^{\circ }\right)$ 。

探究4：根据几何关系，建立坐标分析

Figure 8. Coordinate method

图8. 坐标法

以M为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图8所示)，设$A\left(x,y\right)$ ，$\angle ABM=\theta$ ，$BC=a$ 。

由题意可知，点A的轨迹方程为$x^2+y^2=9$ ，$\angle AMC={45}^{\circ }+\theta$ 。

由图8可知：$\tan \left({45}^{\circ }+\theta \right)=\frac{1+\frac{y}{x+\frac{a}{2}}}{1-\frac{y}{x+\frac{a}{2}}}=\frac{y}{x}$ ，化简整理得：$a=\frac{2\left(x^2+y^2\right)}{y-x}=\frac{18}{y-x}$ ，因为$a>0$ ，所以$y-x>0$ ，则有$y>x$ 。

视角1：几何思维

Figure 9. Geometric method

图9. 几何法

在圆中满足条件的位置(如图9所示)，此时直线AM的倾斜角是：$\theta +{45}^{\circ }$ ，说明此时$\theta +{45}^{\circ }$ 的范围只能取$\left({45}^{\circ },{225}^{\circ }\right)$ ，再考虑：因为$\theta$ 是锐角，当$\theta ={45}^{\circ }$ ，由图3可知，$AM\perp x轴$ ，此时$A={90}^{\circ }$ ，不满足$△ABC$ 是锐角三角形这个条件。由图6分析可知，此时要想$\phi$ 变小，只有$\theta$ 变大才满足题意，则$\theta >{45}^{\circ }$ 。又因为$\theta$ 为锐角，所以$\theta <{90}^{\circ }$ 。

综上：$\theta \in \left({45}^{\circ },{90}^{\circ }\right)$ 。

视角2：代数思维

由题可知：$x=3\cos \left({45}^{\circ }+\theta \right)$ ，$y=3\sin \left({45}^{\circ }+\theta \right)$ ，因为$AB=\sqrt{{\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}{a}^2+ax+x^2+y^2}$ 。

又因为$x^2+y^2=9$ ，所以$AB=\sqrt{\frac{1}{4}{a}^2+ax+9}$ ，令$f\left(a\right)=\frac{1}{4}{a}^2+ax+9$ (看成以a为自变量的二次函数)，则对称轴为$a=-2x$ ，因为$a>0$ ，则有$-2x>0$ ，可得：$x<0$ ，则有$x=3\cos \left({45}^{\circ }+\theta \right)<0$ ，且$\theta$ 是三角形内角，可得${45}^{\circ }<\theta <{135}^{\circ }$ 又因为$△ABC$ 是锐角三角形，所以$\theta <{90}^{\circ }$ 。

综上：$\theta \in \left({45}^{\circ },{90}^{\circ }\right)$ 。

探究5：根据数形结合，构建直角坐标系

Figure 10. System construction method

图10. 建系法

建立直角坐标系(如图10所示)，根据题意得，$l_{AB}$ 方程为：$y=x+3$ 。

设$B\left(x_0,x_0+3\right)$ ，则有$C\left(-x_0,-x_0-3\right)$ ，且$A\left(0,3\right)$ 。

根据题意有：$\{\begin{array}{l}AB\cdot AC>0\\ BM\cdot BA>0\\ CA\cdot CB>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\left(x_0,x_0\right)\left(-x_0,-x_0-6\right)>0\\ \left(-x_0,-x_0\right)\left(-2x_0,-2x_0-6\right)>0\\ \left(x_0,x_0+6\right)\left(2x_0,2x_0+6\right)>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}-3<x_0<0\\ x_0>0或x_0<-\frac{3}{2}\\ 无解\end{array}$ 。

解得：$-3<x_0<-\frac{3}{2}$ 。

当$x_0\to -3$ 时，$B\left(-3,0\right)$ ，此时B点的坐标落在x轴上，$\angle B={45}^{\circ }$ 。

当$x_0\to -\frac{3}{2}$ 时，$B\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ ，此时$AB\cdot MB=0$ ，则$\angle B={90}^{\circ }$ 。

综上：${45}^{\circ }<B<{90}^{\circ }$ 。

通过以上探究可知$\theta \in \left({45}^{\circ },{90}^{\circ }\right)$ ，可得：$S_{GMCN}=\frac{3}{2}\left(1+\frac{1}{\tan \theta }\right)\in \left(\frac{3}{2},3\right)$ 。

4. 解后总结与反思

4.1. 解后总结

该题的解法与以往解三角形最值问题的解法有明显的区别，其基本解题步骤是：(1) 确定条件，即在图形中确定三角形的已知和所求，以此确定转化的方向；(2) 确定工具，即根据条件和所求确定转化的工具，进行边角之间的转化；(3) 求结果，综合应用数学知识和方法进行求解。从整个的分析和求解过程看，题目不仅涉及到了解三角形中的基本知识内容，还涉及到了基本不等式、函数、解析几何等知识的应用，不仅体现了数学知识之间的内在联系，也体现出构造法、消元法、配方法、解析法和数形结合、转化等数学方法和思想的运用。题目更加的开放，涉及的知识面更广，没有拘泥于旧题的“套路”，打开了解题者的思想，引导解题者从根本上了解和掌握解三角形最值问题，巧妙转化，更好的培养了解题者的直观想象、逻辑推理、以及数学抽象等核心素养能力[4]。

4.2. 解后反思

新高考改革后，高考突破了传统的出题模式，更加注重考察学生的全面能力。为了能更好的应对新高考，应试者应该注重基础知识，尤其是定义、公式、知识点概念等的理解和掌握，毕竟，基础知识是解出繁杂问题的基石。其次，渗透数形结合[5]思想也是非常重要的，数学中常谈“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，采用数形结合，有时会有意想不到的收获。最后，提升数学运算能力素养，培养数学思维，用数学的思维去思考、解决问题，可以培养学生逻辑推理、思维创新、知识迁移等能力。

NOTES

^*通讯作者。