关于一个特殊矩阵的讨论

Discussion on a Special Matrix

摘要: 矩阵是线性代数中的重要表示工具和主要研究对象，不同结构的矩阵有着不同的价值和意义。本文主要从一个n维列向量和n维行向量的乘积获得的矩阵出发，通过典型例题剖析和重要理论分析相结合的方式，研究线性代数中重要理论之间的关联关系，为学生有效学习线性代数知识和教师设计线性代数的课堂教学提供帮助。

Abstract: Matrix is an important representation tool and a main research object in linear algebra, and matrices with different structures have different values and meanings. This paper mainly starts from the matrix of the product of multiplication of an n-dimensional column vector and an n-dimensional row vector. The paper studies the correlation between the important theories in linear algebra to provide help for students to effectively learn the knowledge of linear algebra and teachers to design the classroom teaching of linear algebra through the combination of typical example analysis and important theoretical analysis.

1. 引言

线性代数是工科院校的一门重要基础课程，是研究多元线性问题理论工具，是工程数学中重要的组成部分，也是学生学习后续课程的数学基础。线性代数的特点是高度抽象、符号多、定义定理多，对初学者来说感觉有点繁杂。然而线性代数的知识点之间存在着密切的关系。在教学的过程中如果能够充分挖掘知识点之间的关联关系，往往可以达到事半功倍的效果。在矩阵构成的集合中，有一个特殊结构的矩阵在知识体系构建和解决问题等方面中具有重要价值。这个特殊的矩阵就是

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& \cdots & a_1{b}_n\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& \cdots & a_2{b}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n{b}_1& a_n{b}_2& \cdots & a_n{b}_n\end{array}\right)$ ,

其中$a_i,b_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)\in ℝ$ ，这里特别要求$n\ge 2$ ，因为$n=1$ 时，该矩阵退化为一个数，后面的讨论中将不再重复强调这一点。该矩阵可以建立与矩阵的运算、矩阵的秩、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型五个重要知识之间的关联关系，为后续的教学提供有利的支撑。

2. 矩阵运算

2.1. 矩阵乘法及交换律

记$\alpha ={\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)}^{\text{T}}$ ，$\beta ={\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)}^{\text{T}}$ ，则

$\alpha {\beta }^{\text{T}}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& \cdots & a_1{b}_n\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& \cdots & a_2{b}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n{b}_1& a_n{b}_2& \cdots & a_n{b}_n\end{array}\right)$ .

上述乘法运算既可以从矩阵乘法定义的角度体会矩阵乘法运算的规则，也可以从分块矩阵的视角去理解分块矩阵的乘法规则[1]。同时，作如下计算

${\beta }^{\text{T}}\alpha =\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)={\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k}=k$ ,

这一结果可看作向量数量积的矩阵乘法描述。结合上面两种方式的运算，不难发现下面的结论：

命题1 记$\alpha ={\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)}^{\text{T}}$ ，$\beta ={\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)}^{\text{T}}$ ，则

(1) $\alpha {\beta }^{\text{T}}=O$ 的充要条件是$\alpha =0$ 或$\beta =0$ ；

(2) ${\beta }^{\text{T}}\alpha \ne 0$ 的必要条件是$\alpha {\beta }^{\text{T}}\ne O$ ；

(3) $\alpha {\beta }^{\text{T}}\ne {\beta }^{\text{T}}\alpha$ 。

命题1证明比较简单，这里不再证明。注意结论(2)只是必要条件，而结论(3)说明矩阵乘法不满足交换律，这是矩阵运算中要特别注意到地方。

在矩阵乘法的教学中，应用此矩阵简单直观，可以很好的诠释矩阵运算的规则，以及不满足交换律的性质。

2.2. 矩阵的行列式与Binet-Cauchy定理

根据行列式的性质，容易计算$\left|\alpha {\beta }^{\text{T}}\right|=0$ ，从这一特殊的结论出发Binet与Cauchy发现了乘积矩阵行列式的重要结论，即Binet-Cauchy定理[2]。

Binet-Cauchy定理设$A\in M_{m\times n}\left(F\right)$ ，$B\in M_{n\times m}\left(F\right)$ ，则

$\left|AB\right|=\{\begin{array}{l}0,m>n,\\ \left|A\right|\left|B\right|,m=n,\\ {\displaystyle \sum _{1\le k_1<k_2<\cdots <k_m\le m}A\left(\begin{array}{c}1,2,\cdots ,m\\ k_1,k_2,\cdots ,k_m\end{array}\right)B\left(\begin{array}{c}{k}_1,k_2,\cdots ,k_m\\ 1,2,\cdots ,m\end{array}\right),m>n,}\end{array}$

运用该结论(当$m>n$ 时，$\left|AB\right|=0$ )计算一些行列式更加快捷高效。

例1 记矩阵

$C=\left(\begin{array}{ccccc}\sin 2{\alpha }_1& \sin \left({\alpha }_1+{\alpha }_2\right)& \sin \left({\alpha }_1+{\alpha }_3\right)& \cdots & \sin \left({\alpha }_1+{\alpha }_n\right)\\ \sin \left({\alpha }_2+{\alpha }_1\right)& \sin 2{\alpha }_2& \sin \left({\alpha }_2+{\alpha }_3\right)& \cdots & \sin \left({\alpha }_2+{\alpha }_n\right)\\ \sin \left({\alpha }_3+{\alpha }_1\right)& \sin \left({\alpha }_3+{\alpha }_2\right)& \sin 2{\alpha }_3& \cdots & \sin \left({\alpha }_3+{\alpha }_n\right)\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ \sin \left({\alpha }_n+{\alpha }_1\right)& \sin \left({\alpha }_n+{\alpha }_2\right)& \sin \left({\alpha }_n+{\alpha }_3\right)& \cdots & \sin 2{\alpha }_n\end{array}\right),n\ge 3$ ,

计算$\left|C\right|$ 。

解 记$A=\left(\begin{array}{cc}\sin {\alpha }_1& \cos {\alpha }_1\\ \sin {\alpha }_2& \cos {\alpha }_2\\ ⋮& ⋮\\ \sin {\alpha }_n& \cos {\alpha }_n\end{array}\right)$ ，$B=\left(\begin{array}{cccc}\cos {\alpha }_1& \cos {\alpha }_2& \cdots & \cos {\alpha }_n\\ \sin {\alpha }_1& \sin {\alpha }_2& \cdots & \sin {\alpha }_n\end{array}\right)$ ，由三角函数和差角公式，有

$\sin {\alpha }_i\cos {\alpha }_j+\cos {\alpha }_i\sin {\alpha }_j=\{\begin{array}{l}\sin 2{\alpha }_i,i=j\\ \sin \left({\alpha }_i+{\alpha }_j\right),i\ne j\end{array},i,j=1,2,\cdots ,n$ ,

于是$C=AB$ 。根据Binet-Cauchy定理有$\left|C\right|=\left|AB\right|=0$ 。

例1是北京科技大学2005年高等代数研究生入学考试题，此方法是计算该行列式最高效的方法。

在行列式的计算的教学中，引入这一结论，拓展计算某些特殊行列式计算方法，进一步提升学生的思维能力。

2.3. 乘法的结合律与方阵的高次幂

矩阵乘法虽然不满足交换律和消去律，但是矩阵乘法满足结合律，同时可以利用结合律计算矩阵的高次幂，而矩阵$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 就是最典型的实例。

命题2 记$\alpha ={\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)}^{\text{T}}$ ，$\beta ={\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)}^{\text{T}}$ ，$A=\alpha {\beta }^{\text{T}}$ ，$k={\beta }^{\text{T}}\alpha$ ，则

(1) $\forall m\in {\mathbb{N}}_{+}$ ，有$A^m=k^{m-1}A$ ；

(2) $A^2=O$ 的充要条件条件是$k=0$ 。

证明 (1) $A^m={\left(\alpha {\beta }^{\text{T}}\right)}^m=\alpha \underset{\left(m-1\right)个{\beta }^{\text{T}}\alpha 相乘}{\underbrace{\left({\beta }^{\text{T}}\alpha \right)\cdots \left({\beta }^{\text{T}}\alpha \right)}}\beta ={\left({\beta }^{\text{T}}\alpha \right)}^{m-1}\left(\alpha \beta \right)=k^{m-1}A$ ；

(2) “充分性” 当$k=0$ 时，由(1)的结果，有$A^2=kA=O$ ；

“必要性” 当$A^2=O$ 时，由(1)的结果，有$A^2=kA=O$ 。假设$k\ne 0$ ，则必有$A=O$ 。根据命题1的结论(1)，知$\alpha =0$ 或$\beta =0$ ，于是$k={\beta }^{\text{T}}\alpha =0$ ，矛盾，从而$k=0$ 。

综合上述，$A^2=O$ 的充要条件条件是$k=0$ 。

命题2中结论(1)的证明过程充分体现了矩阵乘法的结合律，上述结论可进一步拓展到矩阵多项式。

在命题2条件的基础上，设关于x的多项式为$f\left(x\right)=c_m{x}^m+c_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +c_{1}x+c_0$ ，当

$k\ne 0$ 时，有

$f\left(A\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^m{c}_i{k}^{i-1}}A+c_{0}E$ .

例2 已知$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right)$ ，求$A^n$ 。

解 记$\alpha ={\left(1,2,3\right)}^{\text{T}}$ ，$\beta ={\left(1,2,3\right)}^{\text{T}}$ ，则${\beta }^{\text{T}}\alpha =14$ ，

由于$A=\alpha {\beta }^{\text{T}}$ ，则$A^n={14}^{99}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right)$ 。

高次幂的计算方法很多，可以利用数学归纳法、二项展开式以及相似对角化等等。然而当一个矩阵可以分解为一个列向量和一个行向量的乘积时，利用矩阵乘法的结合律能够简化矩阵高次幂的计算，在矩阵乘法的教学，引入该矩阵，给学生扩展思维，提供计算矩阵高次幂的一种方法，更好的理解矩阵乘法不满足交换律，而满足结合律这一特性。

3. 矩阵的秩

由矩阵$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 的构成不难发现，$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 的任一$k\left(1\le k\le n\right)$ 阶子矩阵都能分解成一个k维列向量与k维行向量的乘积，结合Binet-Cauchy定理容易获得$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 的所有2阶子式均为零，结合矩阵的秩的定义，即有$R\left(\alpha {\beta }^{\text{T}}\right)=\{\begin{array}{l}1,\alpha {\beta }^{\text{T}}\ne O\\ 0,\alpha {\beta }^{\text{T}}=O\end{array}$ 。对此结果作进一步拓展可得如下定理[3]。

定理1 设A是n阶非零矩阵，则$R\left(A\right)=1$ 的充要条件是存在n维非零列向量$\alpha$ 和n维非零行向量${\beta }^{\text{T}}$ ，使得$A=\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 。

由于非零列向量和非零行向量的秩均为1，因此把$A=\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 也称为秩1分解。矩阵的低秩分解在数据压缩等方面有着重要应用。结合矩阵的初等变换还可得如下结论：

命题3 若$R\left(\alpha {\beta }^{\text{T}}\right)=1$ 时，有

(1) $\alpha {\beta }^{\text{T}}\stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_n\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$；(2) $\alpha {\beta }^{\text{T}}\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$ 。

命题3的证明十分容易，但是它进一步揭示了矩阵的秩的含义、矩阵的行阶梯形及矩阵的标准形，对研究矩阵分类以及线性方程组求解有重要意义。

4. 线性方程组

根据命题3，可以得出关于线性方程组的相关结论：

命题4 若$R\left(\alpha {\beta }^{\text{T}}\right)=1$ ，则齐次线性方程组$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 和${\beta }^{\text{T}}x=0$ 同解[4]。

命题4对研究$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的解有很大帮助。进一步研究发现，当$R\left(\alpha {\beta }^{\text{T}}\right)=1$ 时，必有${\beta }^{\text{T}}\ne 0$ 。不妨设$b_1\ne 0$ ，可得${\beta }^{\text{T}}x=0$ 的一个基础解系为

${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}-b_2\\ b_1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),{\xi }_2=\left(\begin{array}{c}-b_3\\ 0\\ b_1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\cdots ,{\xi }_{n-1}=\left(\begin{array}{c}-b_n\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ b_1\end{array}\right)$ ,

从而通解为$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-1}{\xi }_{n-1}$ ，其中$k_1,k_2,\cdots ,k_{n-1}$ 为任意常数，即$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的解空间由它的一个基础解系张成。从几何角度看：当$n=2$ 时，$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的解空间为过原点的直线${\beta }^{\text{T}}x=0$ ；当$n=3$ 时，$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的解空间为过原点的平面${\beta }^{\text{T}}x=0$ ；当$n\ge 4$ 时，$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的解空间为过原点的$\left(n-1\right)$ 维超平面${\beta }^{\text{T}}x=0$ 。解空间的正交补空间则由向量$\beta$ 张成，且它们的维数之和恰为n，即${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1},\beta$ 线性无关，且可张成n维向量空间${ℝ}^n$ 。下面结合具体的示例说明这一点。

例3 已知$\alpha ={\left(2,3,-1\right)}^{\text{T}}$ ，$\beta ={\left(-1,-2,1\right)}^{\text{T}}$ ，求齐次线性方程组$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的通解。

解根据上面的讨论，$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的一个基础解系为

${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right),{\xi }_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ ,

通解为$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$ ，其中$k_1,k_2$ 为任意常数。

Figure 1. The solution space of $\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$

图1. $\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的解空间

图1中的平面$\pi$ 即为$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的解空间，以$\beta$ 为方向向量的直线为其正交子空间，同时3维向量空间${ℝ}^3$ 可由${\xi }_1,{\xi }_2,\beta$ 张成。进一步研究发现，向量$\alpha$ 与$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的一个基础解系有着如下的线性相关性。

命题5 若$R\left(\alpha {\beta }^{\text{T}}\right)=1$ ，且${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1}$ 为齐次线性方程组$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的一个基础解系，则

(1) 当${\beta }^{\text{T}}\alpha =0$ 时，${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1},\alpha$ 线性相关；

(2) 当${\beta }^{\text{T}}\alpha \ne 0$ 时，${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1},\alpha$ 线性无关。

证明 (1) 当${\beta }^{\text{T}}\alpha =0$ 时，$\alpha$ 为$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的一个非零解，可由${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1}$ 线性表示，于是${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1},\alpha$ 线性相关；

(2) 当${\beta }^{\text{T}}\alpha \ne 0$ 时，假设${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1},\alpha$ 线性相关。由${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1}$ 线性无关，$\alpha$ 可由${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1}$ 线性表示，即$\alpha$ 为$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的一个非零解，于是$\alpha {\beta }^{\text{T}}\alpha =\left({\beta }^{\text{T}}\alpha \right)\alpha =0$ 。已知${\beta }^{\text{T}}\alpha \ne 0$ ，那么$\alpha =0$ ，从而$\alpha {\beta }^{\text{T}}=O$ ，与$R\left(\alpha {\beta }^{\text{T}}\right)=1$ 矛盾，故${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1},\alpha$ 线性无关。

命题5的直观理解可结合图1实现，这里不在赘述，这为后面相似对角化问题奠定直观的认知基础。

5. 矩阵的特值与特征向量

特征值与特征向量是线性代数中的重要理论，它是研究矩阵相似对角化等问题的理论基础[5]。

5.1. 矩阵$\alpha {\beta }^T$ 的特征值、特征向量及特征多项式的降阶定理

任何矩阵的特征值及特征向量都与系数矩阵有着一定的联系，然而矩阵$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 的特征值及特征向量与向量$\alpha ,\beta$ 的联系更加密切，下面的命题可说明这一点。

命题6 设${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 为矩阵$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 的n个特征值，则

(1) 当${\beta }^{\text{T}}\alpha =0$ 时，有${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$ ；且$\alpha {\beta }^{\text{T}}\ne O$ 时，对应着$\left(n-1\right)$ 个线性无关的特征向量${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1}$ ，其中${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1}$ 为$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的一个基础解系；

(2) 当${\beta }^{\text{T}}\alpha \ne 0$ 时，有${\lambda }_1={\beta }^{\text{T}}\alpha$ ，${\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$ ；且$\alpha$ 为${\lambda }_1$ 对应的特征向量，${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1}$ 为${\lambda }_2,{\lambda }_3,\cdots ,{\lambda }_n$ 对应$\left(n-1\right)$ 个线性无关的特征向量，其中${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_{n-1}$ 为$\alpha {\beta }^{\text{T}}x=0$ 的一个基础解系。

证明 (1) 当${\beta }^{\text{T}}\alpha =0$ 时，由命题2可知${\left(\alpha {\beta }^{\text{T}}\right)}^2=O$ ，则${\left(\alpha {\beta }^{\text{T}}\right)}^2$ 的特征值均为零，于是$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 的特征值也全为零；

(2) 当${\beta }^{\text{T}}\alpha \ne 0$ 时，由$\alpha {\beta }^{\text{T}}\alpha =\alpha \left({\beta }^{\text{T}}\alpha \right)=\left({\beta }^{\text{T}}\alpha \right)\alpha$ 及特征值与特征向量定义可知，${\beta }^{\text{T}}\alpha$ 为$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 的非零特征值，且$\alpha$ 为对应的特征向量。再由$\left|\alpha {\beta }^{\text{T}}\right|=0$ ，可知0也是$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 的特征值。又$R\left(\alpha {\beta }^{\text{T}}\right)=1$ ，所以特征值0的几何重数是$n-1$ 。根据特征值的几何重数小于等于代数重数，可得0是$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 的$n-1$ 重的特征值，于是${\beta }^{\text{T}}\alpha$ 为$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 的单特征值，从而${\lambda }_1={\beta }^{\text{T}}\alpha$ ，${\lambda }_2=\cdot \cdot \cdot ={\lambda }_n=0$ 。

(1)、(2)中关于特征值0对应的特征向量可通过线性方程组部分的结论即可证明。

命题6的结论(2)表明，矩阵$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 与${\beta }^{\text{T}}\alpha$ 有相同的非零特征值，结论(1)和(2)均表明$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 与${\beta }^{\text{T}}\alpha$ 有相同的迹。沿着此结论作深入思考，将向量$\alpha ,\beta$ 用一般矩阵A，B替代，可得特征多项式的降阶定理。

特征多项式降阶定理设A，B分别为$m\times n$ 和$n\times m$ 矩阵，$m\ge n$ ，则

$\left|AB-\lambda E_m\right|={\left(-1\right)}^{m-n}{\lambda }^{m-n}\left|BA-\lambda E_m\right|$ .

特征多项式降阶定理的证明这里不再赘述，定理表明AB与BA有相同的非零特征值，亦有相同的迹。

5.2. 矩阵$\alpha {\beta }^T$ 的相似对角化

矩阵的相似对角化取决于矩阵的特征值与特征向量，根据上面讨论易得如下命题[6]。

命题7 若$R\left(\alpha {\beta }^{\text{T}}\right)=1$ ，则

(1) 当${\beta }^{\text{T}}\alpha =0$ 时，矩阵$\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 不能相似对角化；

(2) 当${\beta }^{\text{T}}\alpha \ne 0$ 时，存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=\Lambda$ ，其中

$P=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& -b_2& \cdots & -b_{n-1}& -b_n\\ a_2& b_1& \cdots & 0& 0\\ a_3& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n-1}& 0& \cdots & b_1& 0\\ a_n& 0& \cdots & 0& b_1\end{array}\right),\Lambda =\left(\begin{array}{ccccc}{\beta }^{\text{T}}\alpha & & & & \\ & 0& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & 0& \\ & & & & 0\end{array}\right)$ .

命题7的证明通过命题6即可完成。从命题7中亦可看出矩阵的秩与非零特征值的个数(重数计入个数)并不相同，但矩阵若能相似对角化，其非零特征值个数必等于秩。

特别地，当$\beta =\alpha \ne 0$ 时，矩阵$\alpha {\alpha }^{\text{T}}$ 是实对称矩阵，则必可以对角化。同时$\alpha {\alpha }^{\text{T}}$ 可作为某n元二次型的矩阵。

5.3. 矩阵$\alpha {\alpha }^T$ 与二次型

矩阵$\alpha {\alpha }^{\text{T}}$ 对应的二次型为$f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=X^{\text{T}}\left(\alpha {\alpha }^{\text{T}}\right)X$ ，存在正交变换$X=QY$ ，使得

$f\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)=\left({\alpha }^{\text{T}}\alpha \right)y_1^2$ ,

其中正交矩阵Q可以通过命题7中可逆矩阵P正交单位化得到。

例4 设$\alpha$ ，$\beta$ 都是第一个分量非零的$n\left(n>2\right)$ 维列向量，且${\alpha }^{\text{T}}\beta =3$ ，求矩阵$B=\alpha {\beta }^{\text{T}}$ 的特征值与特征向量。

解

设$x=\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ ,$y=\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)$ ，且$a_1\ne 0$ ，$b_1\ne 0$ 则$x^{\text{T}}y={\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i}$ ，$x{y}^{\text{T}}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& \cdots & a_1{b}_n\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& \cdots & a_2{b}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n{b}_1& a_n{b}_2& \cdots & a_n{b}_n\end{array}\right)$ ，

设${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是$B=x{y}^{\text{T}}$ 的特征值，则${\displaystyle \sum _{i=1}^n{\lambda }_i}=x^{\text{T}}y=3$ 。因为$x,y$ 都是第一个分量非零，所以$R\left(x{y}^{\text{T}}\right)=1$ ，由命题6可得，${\lambda }_1=3$ ，${\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$ 。

因为$\left(x{y}^{\text{T}}\right)x=x\left(y^{\text{T}}x\right)=3x$ ，所以$k_{1}x$ 是${\lambda }_1=3$ 时的特征向量， $\left(x{y}^{\text{T}}-0E\right)=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1{y}_1& x_1{y}_2& \cdots & x_1{y}_n\\ x_2{y}_1& x_2{y}_2& \cdots & x_2{y}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n{y}_1& x_n{y}_2& \cdots & x_n{y}_n\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& \frac{y_2}{y_1}& \cdots & \frac{y_n}{y_1}\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$

所以${\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$ 对应的特征向量为${\xi }_2=k_2\left(-\frac{y_2}{y_1},1,0,\cdots ,0\right),\cdots ,{\xi }_n=k_n\left(-\frac{y_n}{y_1},0,0,\cdots ,1\right)$ 其中$k_i\ne 0\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 。

这道题的解法的关键，首先证明B是秩1矩阵，其次要证明$x^{\text{T}}y=3$ 是矩阵B唯一的非零解最后要

证明矩阵B可以相似对角化。

6. 结束语

这个特殊矩阵在线性代数的学习和教学中占有重要的地位，从这一特殊矩阵出发，将其分解为一个列向量与行向量的乘积，由其运算可以深刻理解矩阵的乘法运算，验证矩阵乘法不满足交换律这一特性；由其行列式的值，可以得到了著名的Binet-Cauchy定理；由其秩揭示了矩阵的秩的含义、矩阵的行阶梯形及矩阵的标准形，进一步可以探讨线性方程组的求解、解的结构；由其特征值和特征向量，深刻理解相似对角化理论和二次型理论。这一特殊结构的矩阵将线性代数的重要理论都关联起来，不仅形成脉络清晰的知识网络，而且为许多问题的解决提供了一种简便的思路。通过这一特殊的矩阵，便于学生将所学的知识点串联起来，形成整体的概念，内化于心，达到融会贯通的目的。