一类三维非单模洛伦兹李群上的代数Ricci孤立子

A Class of Algebraic Ricci Solitons on a Three-Dimensional Non-Unimodular Left-Invariant Lorentzian Lie Group

摘要: Ricci孤立子是一类特殊的黎曼度量，类似于Ricci曲率定号流形，是近些年研究的热点。关于具有积结构的三维洛伦兹李群与两种联络有关的代数Ricci孤立子存在情况，有学者已经给出了明确的结论。本文在现有成果的基础上，将其拓展到具体一类三维非单模左不变洛伦兹李群上与三种联络相关的两类代数Ricci孤立子存在的情形，给出了该群分别与三种联络有关的两类代数Ricci孤立子存在条件的具体结果，这对揭示李群上几何性质和拓扑性质有重要的理论研究意义。

Abstract: Ricci solitons are a special class of Riemannian metrics that resemble curvature-numbered manifolds, which has been a hot topic in recent years. Some scholars have come to a definite conclusion about the existence of algebraic solitons related to the three-dimensional Lorentzian Lie group with product structure and two kinds of connections. On the basis of the existing results, this paper expands it to a specific type of three-dimensional non-unimodular left-invariant Lorentzian Lie group and two types of algebraic soliton related to three kinds of connections. We gives the specific conditions for the existence of two types of algebraic solitons related to the three types of connections, which has important theoretical research significance for revealing the geometric and topological properties of the Lie group.

1. 引言

Ricci孤立子的概念是由R. Hamilton在80年代中期提出的，它是Ricci流的自相似解，是爱因斯坦流形的自然推广[1]。J. Lauret最先研究了幂零连通李群上左不变的黎曼Ricci孤立子，证明了此时黎曼Ricci孤立子和代数Ricci孤立子是完全等价的[2]，后期又拓展到伪黎曼流形中。研究Ricci孤立子可以更好地认识Ricci流的奇异结构，再结合几何方法得到一些重要的几何拓扑结构。近些年来，在黎曼流形的背景下，有关Ricci流、平均曲率流、孤立子等问题的研究越来越多。

2011年，J. Lauret给出了可解连通李群上的左不变黎曼代数Ricci孤立子的结构[3]。2016年，Batat和Onda深入研究并得出了三维洛伦兹李群上的所有代数Ricci孤立子都是可解孤立子的结论，值得一提的是，发现了李群G₂、G₅和G₆上的新孤立子与黎曼情况的结果相反，即洛伦兹Ricci孤立子不一定是代数Ricci孤立子[4]。在研究孤立子理论问题时，常常会特别关注代数Ricci孤立子的存在情况，具体而言希望能得到孤立子存在时的充要条件或充分条件。对于三维非单模左不变洛伦兹度量李群上的代数Ricci孤立子研究，可追溯到对非线性偏微分方程和洛伦兹李群结合中去，通过计算代数Ricci孤立子，我们可以深入理解其代数性质和Ricci流方程的特殊解形式[5]。2021年，Z. Yan和S. Deng研讨了幂零李群上洛伦兹代数Ricci孤立子的结构，并完整刻画了中心退化时代数Ricci孤立子的具体结构[6]，利用该结论可以构造一类新的伪黎曼度量代数Ricci孤立子。同年，王勇和吴彤得到了具有三种不同分布的三维洛伦兹李群上与Bott联络相关的仿射Ricci孤立子的分类[7]。随着学科间的交叉融合，群论、泛函分析、代数几何以及拓扑学等，都有孤立子理论的应用。李群、联络和Ricci孤立子在广义相对论和数学物理的领域中是相互联系的，共同构成了理解宇宙弯曲性质的数学框架。

基于上述工作，本文将文献[8]中在具有积结构三维洛伦兹李群上与两种联络有关的代数Ricci孤立子结构的思想，拓展到具体一类三维非单模左不变洛伦兹度量李群上与三种联络相关的两类代数Ricci孤立子存在的情形，在具有左不变洛伦兹度量g和李代数g₁的三维非单模洛伦兹李群G₁的例子中[9]，得到了李群G₁的Levi-Civita联络、Canonical联络、Kobayashi-Nomizu联络以及Ricci算子有关结果，进而证得该群与三种联络相关的两类代数Ricci孤立子存在的条件定理。

本文的结构安排如下：在预备知识一节中，详细介绍了李群G₁的具体结构和与三种联络有关的两类代数Ricci孤立子的定义；在3~5节中，给出并详细证明了李群G₁分别与三种联络相关的第一类代数Ricci孤立子存在定理。有关第二类代数Ricci孤立子存在情况文中末尾给出了总结性说明。

2. 预备知识

三维非单模李群G₁上李代数g₁的自同构群如下

$\left\{\left(\begin{array}{cc}GL\left(2,ℝ\right)& \ast \\ 0& 1\end{array}\right)|\ast \in {ℝ}^2\right\}$ (2.1)

此时，我们可以得到如下结论：

定理2.1 李群G₁上的左不变洛伦兹度量等价于下面形式矩阵度量的自同构群

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -\mu \end{array}\right)$ (2.2)

其中，矩阵中的$\mu$ 大于0。

证明：设g是李群G₁上的左不变洛伦兹度量，$\left[g\right]=\left[g_{ij}\right]$ 是一个半对称、非退化的实矩阵

$\left(\begin{array}{ccc}{g}_{11}& g_{12}& g_{13}\\ g_{21}& g_{22}& g_{23}\\ g_{31}& g_{32}& g_{33}\end{array}\right)$ (2.3)

由于$g_{11}{g}_{22}>g_{12}^2$ ，令$b_{13}=\frac{g_{13}{g}_{22}-g_{12}{g}_{23}}{g_{12}^2-g_{11}{g}_{22}}$ ，$b_{23}=\frac{g_{11}{g}_{23}-g_{12}{g}_{13}}{g_{12}^2-g_{11}{g}_{22}}$ ，有

$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& b_{13}\\ 0& 1& b_{23}\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\subset Aut\left(g_1\right)$ (2.4)

从而计算可以得到

$B^{\text{T}}\left[g\right]B=\left(\begin{array}{ccc}{g}_{11}& g_{12}& 0\\ g_{21}& g_{22}& 0\\ 0& 0& -\lambda \end{array}\right)$ (2.5)

其中T为转置，$\lambda >0$ 且$\left(\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\end{array}\right)$ 是一个半对称、非退化的实矩阵。

由于

$\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\in Aut\left(g\right)$ (2.6)

我们假设存在矩阵$C\in Aut\left(g_1\right)$ ，使得

$C^{\text{T}}\left[g_1\right]C=\left(\begin{array}{ccc}{d}_1& 0& 0\\ 0& d_2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$ (2.7)

其中$d_1>0,d_2>0$ 。

设

$D=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{d_1}}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt{d_2}}& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\in Aut\left(g_1\right)$ (2.8)

通过计算可以得到

$D^{\text{T}}{C}^{\text{T}}\left[g\right]CD=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -\mu \end{array}\right)$ (2.9)

综上，具有李代数g₁的三维非单模李群G₁上的左不变洛伦兹度量[g]等价于形式矩阵度量的自同构群。

本文主要研究具有左不变洛伦兹度量$\left[g\right]=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -\mu \end{array}\right)$ 和李代数g₁的三维非单模洛伦兹李群G₁，李代数g₁满足

$[y_1,y_2]=0,[y_2,y_3]=-\frac{1}{\sqrt{\mu }}{y}_2,[y_3,y_1]=\frac{1}{\sqrt{\mu }}{y}_1$ (2.10)

其中$\left\{y_1,y_2,y_3\right\}$ 是伪标准正交基，y₃是类时向量。即知道三维非单模洛伦兹李群G₁上的内积结构J满足

$J{y}_1=y_1,J{y}_2=y_2,J{y}_3=-y_3,g\left(J_{y_i},J_{y_i}\right)=g\left(y_i,y_i\right)$ (2.11)

李群G₁的具体结构如下，见表1所示。

Table 1. The concrete structure of Lie Groups G₁

表1. 李群G₁的具体结构

李代数	$g_1\cong {ℝ}^2{⋊}_{{\sigma }_1}ℝ,{\sigma }_1\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}t& 0\\ 0& t\end{array}\right)$
相关的连通、单连通李群	$G_1\cong {ℝ}^2{⋊}_{{\phi }_1}ℝ,{\phi }_1\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}{e}^t& 0\\ 0& e^t\end{array}\right)$
李代数的自同构群	$\left\{\left(\begin{array}{cc}GL\left(2,ℝ\right)& \ast \\ 0& 1\end{array}\right)|\ast \in {ℝ}^2\right\}$
左不变洛伦兹度量	$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -\mu \end{array}\right),\mu >0$

下面分别给出与三种联络有关的两类代数Ricci孤立子的定义：

设$\tilde{\rho }\left(X,Y\right)=\frac{\rho \left(X,Y\right)+\rho \left(Y,X\right)}{2}$ 和$\tilde{\rho }\left(X,Y\right)=g\left(\widetilde{Ric}\left(X\right),Y\right)$ ，如果满足

$Ric=c\cdot Id+D,\left(\widetilde{Ric}=c\cdot Id+D\right)$ (2.12)

称$\left(G_1,g,J\right)$ 是与Levi-Civita联络$\nabla$ 有关的第一类(第二类)代数Ricci孤立子。

设$\stackrel{~0}{\rho }\left(X,Y\right)=\frac{{\rho }^0\left(X,Y\right)+{\rho }^0\left(Y,X\right)}{2}$ 和$\stackrel{~0}{\rho }\left(X,Y\right)=g\left(\stackrel{~0}{Ric}\left(X\right),Y\right)$ ，如果满足

$Ri{c}^0=c\cdot Id+D,\left(\stackrel{~0}{Ric}=c\cdot Id+D\right)$ (2.13)

称$\left(G_1,g,J\right)$ 是与Canonical联络${\nabla }^0$ 有关的第一类(第二类)代数Ricci孤立子。

设$\stackrel{~1}{\rho }\left(X,Y\right)=\frac{{\rho }^1\left(X,Y\right)+{\rho }^1\left(Y,X\right)}{2}$ 和$\stackrel{~1}{\rho }\left(X,Y\right)=g\left(\stackrel{~1}{Ric}\left(X\right),Y\right)$ ，如果满足

$Ri{c}^{\text{1}}=c\cdot Id+D,\left(\stackrel{~\text{1}}{Ric}=c\cdot Id+D\right)$ (2.14)

称$\left(G_1,g,J\right)$ 是与Kobayashi-Nomizu联络${\nabla }^1$ 有关的第一类(第二类)代数Ricci孤立子。

其中c是实数，D是g的李导数，即对任意的$X,Y\in g$ ，都有

$D\left[X,Y\right]=\left[DX,Y\right]+\left[X,DY\right]$ (2.15)

3. 李群G₁与Levi-Civita联络相关的代数Ricci孤立子存在定理

代数Ricci孤立子与Levi-Civita联络之间的关系，主要体现在几何学研究黎曼流形的度量结构当中。Levi-Civita联络是描述流形上度量的一种方式，用于研究流形上的平行移动；而代数Ricci孤立子则是描述流形上的一种特殊曲率性质，与流形的Ricci曲率有关。关于三维非单模左不变洛伦兹度量李群G₁与Levi-Civita联络相关的代数Ricci孤立子存在情况，我们有如下结论：

定理3.1 $\left(G_1,g,J\right)$ 是与Levi-Civita联络$\nabla$ 有关的第一类代数Ricci孤立子当且仅当$-\frac{2}{\mu }+2c-1=0$ ，特别地，

$Ric\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right),D\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}c& 0& 0\\ 0& c& 0\\ 0& 0& c+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$ (3.1)

证明：设$\nabla$ 是G₁的Levi-Civita联络，经过计算知G₁的Levi-Civita联络$\nabla$ 如下

$\begin{array}{lll}{\nabla }_{y_1}{y}_1=\frac{1}{\sqrt{\mu }}{y}_3\hfill & {\nabla }_{y_1}{y}_2=0\hfill & {\nabla }_{y_1}{y}_3=-\frac{1}{\sqrt{\mu }}{y}_1\hfill \\ {\nabla }_{y_2}{y}_1=0\hfill & {\nabla }_{y_2}{y}_2=\frac{1}{\sqrt{\mu }}{y}_3\hfill & {\nabla }_{y_2}{y}_3=-\frac{1}{\sqrt{\mu }}{y}_2\hfill \\ {\nabla }_{y_3}{y}_1=0\hfill & {\nabla }_{y_3}{y}_2=0\hfill & \nabla {}_{y_3}y{}_3=0\hfill \end{array}$

由Levi-Civita联络$\nabla$ 的曲率[10]张量公式$R\left(X,Y\right)Z={\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{\left[X,Y\right]}Z$ ，知$\left(G_1,J\right)$ 与Levi-Civita联络$\nabla$ 的曲率R如下

$\begin{array}{lll}R\left(y_1,y_2\right)y_1=\frac{1}{\mu }{y}_2\hfill & R\left(y_1,y_2\right)y_2=-\frac{1}{\mu }{y}_1\hfill & R\left(y_1,y_2\right)y_3=0\hfill \\ R\left(y_1,y_3\right)y_1=\frac{1}{\mu }{y}_3\hfill & R\left(y_1,y_3\right)y_2=0\hfill & R\left(y_1,y_3\right)y_3=-\frac{1}{\mu }{y}_1\hfill \\ R\left(y_2,y_3\right)y_1=0\hfill & R\left(y_2,y_3\right)y_2=\frac{1}{\mu }{y}_3\hfill & R\left(y_2,y_3\right)y_3=-\frac{1}{\mu }{y}_2\hfill \end{array}$

根据$\left\{y_1,y_2,y_3\right\}$ 是伪标准正交基，$y_3$ 是类时向量，由$\left(G_1,g\right)$ 的Ricci张量公式

$\rho \left(X,Y\right)=-g\left(R\left(X,y_1\right)Y,y_1\right)-g\left(R\left(X,y_2\right)Y,y_2\right)+g\left(R\left(X,y_3\right)Y,y_3\right)$

知$\left(G_1,J\right)$ 的Levi-Civita联络$\nabla$ 左不变洛伦兹度量$\rho$ 如下

$\begin{array}{lll}\rho \left(y_1,y_1\right)=0\hfill & \rho \left(y_1,y_2\right)=0\hfill & \rho \left(y_1,y_3\right)=0\hfill \\ \rho \left(y_2,y_1\right)=0\hfill & \rho \left(y_2,y_2\right)=0\hfill & \rho \left(y_2,y_3\right)=0\hfill \\ \rho \left(y_3,y_1\right)=0\hfill & \rho \left(y_3,y_2\right)=0\hfill & \rho \left(y_3,y_3\right)=-\frac{2}{\mu }\hfill \end{array}$

用$\rho \left(X,Y\right)=g\left(Ric\left(X\right),Y\right)$ 表示Ricci算子Ric，则有

$Ric\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{2}{\mu }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$

根据第一类代数Ricci孤立子的定义$Ric=c\cdot Id+D$ ，有

$\{\begin{array}{l}D{y}_1=c{y}_1\\ D{y}_2=c{y}_2\\ D{y}_3=\left(-\frac{2}{\mu }+c\right)y_3\end{array}$

通过公式(2.15)，计算得到$-\frac{2}{\mu }+2c-1=0$ ，正是与$\nabla$ 有关的第一类代数Ricci孤立子存在的条件。

4. 李群G₁与Canonical联络相关的代数Ricci孤立子存在定理

Canonical联络与Kahler流形的Hodge-de Rham复有关，代数Ricci孤立子和Canonical联络的结合通常用于研究Kahler几何或者复几何。关于三维非单模左不变洛伦兹度量李群G₁与Canonical联络相关的代数Ricci孤立子存在情况，我们有如下结论：

定理4.1 $\left(G_1,g,J\right)$ 与Canonical联络${\nabla }^0$ 有关的第一类代数Ricci孤立子当且仅当$-\frac{3}{4\mu }+2c-1=0$ ，特别地，

$Ri{c}^0\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3}& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{3}& 0\\ 0& 0& \frac{4}{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right),D\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3}+c& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{3}+c& 0\\ 0& 0& \frac{4}{3}+c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$ (4.1)

证明：设${\nabla }_X^{0}Y={\nabla }_{X}Y-\frac{1}{2}\left({\nabla }_{X}J\right)JY$ 表示$\left(G_1,g,J\right)$ 的Canonical联络，计算得到${\nabla }^0$ 联络如下

$\begin{array}{lll}{\nabla }_{y_1}^0{y}_1=\frac{1}{2\sqrt{\mu }}{y}_3\hfill & {\nabla }_{y_1}^0{y}_2=0\hfill & {\nabla }_{y_1}^0{y}_3=-\frac{1}{2\sqrt{\mu }}{y}_1\hfill \\ {\nabla }_{y_2}^0{y}_1=0\hfill & {\nabla }_{y_2}^0{y}_2=\frac{1}{2\sqrt{\mu }}{y}_3\hfill & {\nabla }_{y_2}^0{y}_3=-\frac{1}{2\sqrt{\mu }}{y}_2\hfill \\ {\nabla }_{y_3}^0{y}_1=0\hfill & {\nabla }_{y_3}^0{y}_2=0\hfill & {\nabla }_{y_3}^0{y}_3=0\hfill \end{array}$

由$\left(G_1,g,J\right)$ 的Canonical联络${\nabla }^0$ 曲率公式$R^0\left(X,Y\right)Z={\nabla }_X^0{\nabla }_Y^{0}Z-{\nabla }_Y^0{\nabla }_X^{0}Z-{\nabla }_{\left[X,Y\right]}^{0}Z$ ，知

$\begin{array}{lll}{R}^0\left(y_1,y_2\right)y_1=\frac{1}{4\mu }{y}_2\hfill & R^0\left(y_1,y_2\right)y_2=-\frac{1}{4\mu }{y}_1\hfill & R^0\left(y_1,y_2\right)y_3=0\hfill \\ R^0\left(y_1,y_3\right)y_1=\frac{1}{2\mu }{y}_3\hfill & R^0\left(y_1,y_3\right)y_2=0\hfill & R^0\left(y_1,y_3\right)y_3=-\frac{1}{2\mu }{y}_1\hfill \\ R^0\left(y_2,y_3\right)y_1=0\hfill & R^0\left(y_2,y_3\right)y_2=\frac{1}{2\mu }{y}_3\hfill & R^0\left(y_2,y_3\right)y_3=-\frac{1}{2\mu }{y}_2\hfill \end{array}$

根据$\left\{y_1,y_2,y_3\right\}$ 是伪标准正交基，y₃是类时向量，通过$\left(G_1,g,J\right)$ 的Ricci张量公式

${\rho }^0\left(X,Y\right)=-g^0\left(R\left(X,y_1\right)Y,y_1\right)-g^0\left(R\left(X,y_2\right)Y,y_2\right)+g^0\left(R\left(X,y_3\right)Y,y_3\right)$

计算可知$\left(G_1,g,J\right)$ 的Canonical联络${\nabla }^0$ 左不变洛伦兹度量${\rho }^0$ 如下

$\begin{array}{lll}{\rho }^0\left(y_1,y_1\right)=\frac{1}{4\mu }\hfill & {\rho }^0\left(y_1,y_2\right)=0\hfill & {\rho }^0\left(y_1,y_3\right)=0\hfill \\ {\rho }^0\left(y_2,y_1\right)=0\hfill & {\rho }^0\left(y_2,y_2\right)=\frac{1}{4\mu }\hfill & {\rho }^0\left(y_2,y_3\right)=0\hfill \\ {\rho }^0\left(y_3,y_1\right)=0\hfill & {\rho }^0\left(y_3,y_2\right)=0\hfill & {\rho }^0\left(y_3,y_3\right)=-\frac{1}{\mu }\hfill \end{array}$

设${\rho }^0\left(X,Y\right)=g^0\left(Ric\left(X\right),Y\right)$ 表示Ricci算子Ric⁰，则有

$Ri{c}^0\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{4\mu }& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4\mu }& 0\\ 0& 0& -\frac{1}{\mu }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$

根据第一类代数Ricci孤立子的定义$Ri{c}^0=c\cdot Id+D$ ，有

$\{\begin{array}{l}D{y}_1=\left(\frac{1}{4\mu }+c\right)y_1\\ D{y}_2=\left(\frac{1}{4\mu }+c\right)y_2\\ D{y}_3=\left(-\frac{1}{\mu }+c\right)y_3\end{array}$

通过公式(2.15)，计算得到$-\frac{3}{4\mu }+2c-1=0$ ，正是与${\nabla }^0$ 有关的第一类代数Ricci孤立子存在的条件。

5. 李群G₁与Kobayashi-Nomizu联络相关的代数Ricci孤立子存在定理

Kobayashi-Nomizu联络是一种特殊的非退化二次曲率联络，是由Kobayashi和Nomizu在20世纪中叶提出的，对研究复流形的几何性质起着关键作用。关于三维非单模左不变洛伦兹度量李群G₁与Kobayashi-Nomizu联络相关的代数Ricci孤立子存在情况，我们有如下结论：

定理5.1 如果$\left(G_1,g,J\right)$ 是与Kobayashi-Nomizu联络${\nabla }^1$ 有关的第一类代数Ricci孤立子，则$Ri{c}^1=c\cdot Id+D$ ，此时$\mu$ 可取任意值。

证明：设${\nabla }_X^{1}Y={\nabla }_X^{0}Y-\frac{1}{4}\left[\left({\nabla }_{Y}J\right)JX-\left({\nabla }_{JY}J\right)X\right]$ 来表示$\left(G_1,g,J\right)$ 的Kobayashi-Nomizu联络，根据$\left\{y_1,y_2,y_3\right\}$ 是伪标准正交基，y₃是类时向量，计算$\left(G_1,g,J\right)$ 的${\nabla }^1$ 联络如下

$\begin{array}{lll}{\nabla }_{y_1}^{\text{1}}{y}_1=\frac{1}{2\sqrt{\mu }}{y}_3\hfill & {\nabla }_{y_1}^{\text{1}}{y}_2=0\hfill & {\nabla }_{y_1}^{\text{1}}{y}_3=-\frac{1}{2\sqrt{\mu }}{y}_1\hfill \\ {\nabla }_{y_2}^{\text{1}}{y}_1=0\hfill & {\nabla }_{y_2}^{\text{1}}{y}_2=\frac{1}{2\sqrt{\mu }}{y}_3\hfill & {\nabla }_{y_2}^{\text{1}}{y}_3=-\frac{1}{2\sqrt{\mu }}{y}_2\hfill \\ {\nabla }_{y_3}^{\text{1}}{y}_1=\frac{\text{1}}{\text{2}\sqrt{\mu }}{y}_1\hfill & {\nabla }_{y_3}^{\text{1}}{y}_2=\frac{1}{2\sqrt{\mu }}{y}_2\hfill & {\nabla }_{y_3}^{\text{1}}{y}_3=0\hfill \end{array}$

由${\nabla }^1$ 联络的曲率张量公式$R^1\left(X,Y\right)Z={\nabla }_X^1{\nabla }_Y^{1}Z-{\nabla }_Y^1{\nabla }_X^{1}Z-{\nabla }_{\left[X,Y\right]}^{1}Z$ ，知$\left(G_1,J\right)$ 的${\nabla }^1$ 联络曲率张量$R^1$ 如下

$\begin{array}{lll}{R}^1\left(y_1,y_2\right)y_1=\frac{1}{4\mu }{y}_2\hfill & R^1\left(y_1,y_2\right)y_2=-\frac{1}{4\mu }{y}_1\hfill & R^1\left(y_1,y_2\right)y_3=0\hfill \\ R^1\left(y_1,y_3\right)y_1=\frac{3}{4\mu }{y}_3\hfill & R^1\left(y_1,y_3\right)y_2=0\hfill & R^1\left(y_1,y_3\right)y_3=-\frac{1}{4\mu }{y}_1\hfill \\ R^1\left(y_2,y_3\right)y_1=0\hfill & R^1\left(y_2,y_3\right)y_2=\frac{3}{4\mu }{y}_3\hfill & R^1\left(y_2,y_3\right)y_3=-\frac{1}{4\mu }{y}_2\hfill \end{array}$

通过$\left(G_1,g,J\right)$ 与Kobayashi-Nomizu联络${\nabla }^1$ 有关的Ricci张量公式

${\rho }^1\left(X,Y\right)=-g^1\left(R\left(X,y_1\right)Y,y_1\right)-g^1\left(R\left(X,y_2\right)Y,y_2\right)+g^1\left(R\left(X,y_3\right)Y,y_3\right)$

计算可知，$\left(G_1,g,J\right)$ 的Kobayashi-Nomizu联络${\nabla }^1$ 左不变洛伦兹度量${\rho }^1$ 如下

$\begin{array}{lll}{\rho }^1\left(y_1,y_1\right)=\frac{1}{2\mu }\hfill & {\rho }^1\left(y_1,y_2\right)=0\hfill & {\rho }^1\left(y_1,y_3\right)=0\hfill \\ {\rho }^1\left(y_2,y_1\right)=0\hfill & {\rho }^1\left(y_2,y_2\right)=\frac{1}{2\mu }\hfill & {\rho }^1\left(y_2,y_3\right)=0\hfill \\ {\rho }^1\left(y_3,y_1\right)=0\hfill & {\rho }^1\left(y_3,y_2\right)=0\hfill & {\rho }^1\left(y_3,y_3\right)=-\frac{1}{2\mu }\hfill \end{array}$

用${\rho }^1\left(X,Y\right)=g\left(Ri{c}^1\left(X\right),Y\right)$ 表示Ricci算子Ric¹，继而有

$Ri{c}^1\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\mu }& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2\mu }& 0\\ 0& 0& -\frac{1}{2\mu }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$

根据第一类代数Ricci孤立子的定义$Ri{c}^1=c\cdot Id+D$ ，有

$\{\begin{array}{l}D{y}_1=\left(\frac{1}{2\mu }+c\right)y_1\\ D{y}_2=\left(\frac{1}{2\mu }+c\right)y_2\\ D{y}_3=\left(-\frac{1}{2\mu }+c\right)y_3\end{array}$

通过公式(2.15)计算知，此时$\mu$ 可取任意值.这意味着李群G₁与Kobayashi-Nomizu联络相关的第一类代数Ricci孤立子的存在不依赖于特定的度量或其他背景结构条件，表明第一类代数Ricci孤立子具有很强的普遍性和独立性。

6. 研究结论

3~5节给出了具有左不变洛伦兹度量g和李代数g₁的三维非单模洛伦兹李群G₁，与三种联络有关的第一类代数Ricci孤立子存在情况。有关第二类代数Ricci孤立子存在情况，之所以没有单独给出，是因为左不变洛伦兹度量矩阵是对称、非退化的实矩阵。由第二类代数Ricci孤立子的定义可知，与三种联络有关的第二类代数Ricci孤立子存在情况，其实和第一类代数Ricci孤立子存在情况完全一致。本文主要讨论的是李群G₁上的左不变洛伦兹度量等价于公式(2.2)这种类型矩阵度量的自同构群，由该矩阵的特点知伪标准正交基y₃是类时向量。在后续工作中，可以从改变Ricci张量公式入手，考虑伪标准正交基y₂是类时向量的情形，并求其孤立子情况。

基金项目

黑龙江省教育厅省属高校基本科研业务费项目，项目编号：1453ZD029。

NOTES

^*通讯作者。