具有双边状态反馈脉冲控制的食饵–捕食者模型的动力分析

Dynamic Analysis of Prey-Predator Model with Two State-Feedback Impulse Controls

摘要: 为进行害虫的防治，本文在具有Smith增长且具有Beddington-DeAngelis型功能反应的食饵–捕食者系统的基础上加入双边状态反馈脉冲控制，从而得到新的模型，并证明了其双边阶一周期解的存在性。同时，也对所得的理论结果通过数值模拟进行验证。

Abstract: In order to control insect pests, a model with two state-feedback impulse controls is applied to the predator-predator system with Smith growth function and Beddington-DeAngelis type functional response. We also prove the existence of order-1 periodic solution. At the same time, the theoretical results are verified by numerical simulation.

1. 引言

食饵与捕食者之间的关系是自然界中物种间最常见的一种关系[1]，因此研究食饵–捕食者模型能够帮助我们了解种群，了解大自然，从而更好地保护和利用自然。害虫与其天敌就是一对食饵与捕食者关系[2] [3]，人们通过引入天敌来对害虫进行生物防治，本文通过对食饵捕食者模型加入双边脉冲控制来使得两种群可以动态平衡发展，避免因一方占优势而使另一方灭绝，此时既能保证害虫不会泛滥成灾，又能节省经济成本。

为了保护农作物免受害虫的危害，许多学者通过固定时刻脉冲来进行控制[4]-[7]，但固定时刻脉冲在实际生活中有一些不足之处，比如害虫的生长并不一定符合周期规律[8]，因此通过固定时间来进行农药的喷洒在除虫效果上并不显著，同时也造成了资源的浪费，而状态反馈脉冲控制则是通过设置阈值，害虫满足某一阈值再采取相应措施[9]-[12]，这大大节省了物力和人力，同时也能够有效地进行害虫的防治。陈提出了“半连续动力系统”的基本概念[13]，通过对模型加入单边或双边状态反馈脉冲控制来达到防治害虫的目的。

2. 状态反馈脉冲模型的动力分析

2.1. 无脉冲模型

本文考虑食饵种群的增长为Smith增长，食饵与捕食者之间的相互作用关系为更加依赖捕食者的Beddington-DeAngelis型功能反应。

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(a-bx\right)}{1\text{+}cx}-\frac{mxy}{\alpha +\beta x+\gamma y},\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{kmxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}-dy.\end{array}$ (1)

其中m表示消耗率，$\alpha$ 为食饵的饱和常数，$\beta$ 捕食者的干扰，$\gamma$ 另一个饱和常数，k转化率，这里所有的参数均为正。

该系统的平衡点有$E_0\left(0,0\right)$ ，$E_1\left(\frac{a}{b},0\right)$ ，$E_2\left(x^{*},y^{*}\right)$ ，这里$x^{*},y^{*}$ 分别为

$x^{*}=\frac{-\left(km-d\beta -cd\alpha -ak\gamma \right)+\sqrt{{\left(km-d\beta -cd\alpha -ak\gamma \right)}^2+4d\alpha \left(bk\gamma +ckm-cd\beta \right)}}{2\left(bk\gamma +ckm-cd\beta \right)},$

$y^{*}=\frac{1}{\gamma }\left[\left(\frac{km}{d}-\beta \right)x^{*}-\alpha \right].$

2.2. 双边状态反馈脉冲系统

当害虫数量减小到h₁，其对农作物的影响很小，可以忽略不计，因此为了经济效应或综合考虑，我们收走一部分天敌；当害虫的数量增长到h₂时，释放其天敌以免对害虫成灾对农作物造成损害，于是得到

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(a-bx\right)}{1+cx}-\frac{mxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{kmxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}-dy\end{array}\}{h}_1<x<h_2,\\ \begin{array}{l}\Delta x=p{x}^{*}\\ \Delta y=-{\delta }_{1}y\end{array}\}x=h_1,\\ \begin{array}{l}\Delta x=-q{x}^{*}\\ \Delta y={\delta }_{2}y\end{array}\}x=h_2.\end{array}$ (2)

其中$p,q>0$ ，$0<{\delta }_1,{\delta }_2<1$ 。

垂直等倾线与脉冲集M₁，M₂的交点分别为F₁，F₂，过其的轨线交相集N分别于点${F^{\prime }}_1$ ，${F^{\prime }}_2$ ；脉冲映射${\phi }_1$ 将F₁映射到$F_1^{+}$ ，M₁上存在一点F₃可被${\phi }_1$ 映射到${F^{\prime }}_2$ ；${\phi }_2$ 将F₂映射到$F_2^{+}$ ，M₂上存在一点F₄可被${\phi }_2$ 映射到${F^{\prime }}_1$ 。

1) 当$p=1-\frac{h_1}{x^{*}}$ ，$q=\frac{h_2}{x^{*}}-1$ 时

定理1 当$1-\frac{y_{{F^{\prime }}_2}}{y_{F_1}}\ll {\delta }_1<1$ ，${\delta }_2\gg \frac{y_{{F^{\prime }}_1}}{y_{F_2}}-1$ 时，系统(2)有阶一周期解。

证明 在N上取一点B₁满足$0<y_{{F^{\prime }}_2}-y_{B_1}<\epsilon$ $\left(\forall \epsilon >0\right)$ ，过其轨线交M₂于点B₂，此外由轨线的性质知B₂在F₂下方且无限靠近F₂，${\phi }_2$ 将B₂映射到N上B₃处，显然B₃在$F_2^{+}$ 下方，过B₃的轨线交M₁于B₄处，根据${\delta }_2\gg \frac{y_{{F^{\prime }}_1}}{y_{F_2}}-1$ 及轨线的性质知B₄在F₃上方，接着被${\phi }_1$ 映射到B₅处，显然B₅在${F^{\prime }}_2$ 的上方，于是B₁的后继函数$f\left(B_1\right)=y_{B_5}-y_{B_1}>0$ 。

Figure 1. System (2) exists a bilateral order-1 periodic solution with $p=1-\frac{h_1}{x^{*}}$ , $q=\frac{h_2}{x^{*}}-1$

图1. 当$p=1-\frac{h_1}{x^{*}}$ ，$q=\frac{h_2}{x^{*}}-1$ 时，系统(2)存在阶一周期解

在N上取一点C₁，过其轨线交M₂于点C₂，满足$0<y_{C_2}-y_{F_4}<\epsilon$ $\left(\forall \epsilon >0\right)$ ，接着${\phi }_2$ 将C₂映射到N上C₃处，显然C₃在${F^{\prime }}_1$ 上方且靠近${F^{\prime }}_1$ ，过C₃的轨线交M₁于C₄处，由轨线的性质知C₄在F₁上方且靠近F₁，接着${\phi }_1$ 将C₄映射到C₅，其在$F_1^{+}$ 上方并靠近$F_1^{+}$ ，由$1-\frac{y_{{F^{\prime }}_2}}{y_{F_1}}\ll {\delta }_1<1$ 知C₅在C₁的下方，于是C₁的后继函数$f\left(C_1\right)=y_{C_5}-y_{C_1}<0$ 。

根据后继函数的连续性，知存在一点D使得其后继函数$f\left(D\right)=0$ ，即系统(2)存在阶一周期解(如图1所示)。

2) 当$p<\frac{h_2-h_1}{x^{*}}-q$ 时

定理12 当$1-\frac{y_{{F^{\prime }}_2}}{y_{F_1}}\ll {\delta }_1<1$ ，${\delta }_2\gg \frac{y_{{F^{\prime }}_1}}{y_{F_2}}-1$ 时，系统(2)有阶一周期解。

证明 在N₁上取一点B₁满足$0<y_{{F^{\prime }}_2}-y_{B_1}<\epsilon$ $\left(\forall \epsilon >0\right)$ ，过其轨线交M₂于点B₂，由系统(2)轨线的性质知B₂在F₂下方且无限靠近F₂，${\phi }_2$ 将B₂映射到N₂上B₃处，显然B₃在$F_2^{+}$ 下方，过B₃的轨线交M₁于点B₄，根据${\delta }_2\gg \frac{y_{{F^{\prime }}_1}}{y_{F_2}}-1$ 及轨线的性质知B₄在F₃上方，${\phi }_1$ 将其映射到B₅处，显然B₅在${F^{\prime }}_2$ 的上方，于是B₁的后继函数$f\left(B_1\right)=y_{B_5}-y_{B_1}>0$ 。

在N₁上取一点C₁，使得过其轨线交M₂于C₂满足$0<y_{C_2}-y_{F_4}<\epsilon$ $\left(\forall \epsilon >0\right)$ ，接着${\phi }_2$ 将C₂映射到N₂上C₃处，显然C₃在${F^{\prime }}_1$ 上方且靠近${F^{\prime }}_1$ ，过C₃的轨线交M₁于C₄处，由轨线的性质知C₄在F₁上方且靠

近F₁，接着${\phi }_1$ 将C₄映射到靠近$F_1^{+}$ 的C₅处，由$1-\frac{y_{{F^{\prime }}_2}}{y_{F_1}}\ll {\delta }_1<1$ 知C₅在C₁的下方，于是C₁的后继函数$f\left(C_1\right)=y_{C_5}-y_{C_1}<0$ 。

根据后继函数的连续性知存在一点D使得其后继函数$f\left(D\right)=0$ ，即系统(2)存在双边的阶一周期解(如图2所示)。

Figure 2. System (2) exists a bilateral order-1 periodic solution with $p<\frac{h_2-h_1}{x^{*}}-q$

图2. 当$p<\frac{h_2-h_1}{x^{*}}-q$ 时，系统(2)存在阶一周期解

3. 数值模拟

3.1. 单边状态反馈脉冲

根据模型(2)中加入的脉冲，我们分别对食饵在满足h₁和h₂时的单边状态反馈脉冲(3)和(4)进行数值模拟。

$x=h_1$ 时，加入脉冲得到

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(a-bx\right)}{1+cx}-\frac{mxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{kmxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}-dy\end{array}\}x>h_1,\\ \begin{array}{l}\Delta x=p{x}^{*}\\ \Delta y=-{\delta }_{1}y\end{array}\}x=h_1,0<y<\frac{m{h}_1\left(1+c{h}_1\right)-\left(a-b{h}_1\right)\left(\alpha +\beta h_1\right)}{\left(a-b{h}_1\right)\gamma }.\end{array}$ (3)

$x=h_2$ 时，加入脉冲得到

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(a-bx\right)}{1+cx}-\frac{mxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{kmxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}-dy\end{array}\}x<h_2,\\ \begin{array}{l}\Delta x=-q{x}^{*}\\ \Delta y={\delta }_{2}y\end{array}\}x=h_2,y>\frac{m{h}_1\left(1+c{h}_1\right)-\left(a-b{h}_1\right)\left(\alpha +\beta h_1\right)}{\left(a-b{h}_1\right)\gamma }.\end{array}$ (4)

我们让脉冲集M₁为$h_1=0.7$ ，其他参数为$a=0.8$ ，$b=0.7$ ，$c=0.05$ ，$d=0.5$ ，$k=0.8$ ，$\alpha =0.1$ ，$\beta =0.6$ ，$\gamma =0.9$ ，$p=0.1$ ，${\delta }_1=0.0034$ ．于是脉冲集M₁和相集N₁都在平衡点E₂的右侧，此时模型为

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(0.8-0.7x\right)}{1+0.05x}-\frac{0.8xy}{0.1+0.6x+0.9y}\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{0.64xy}{0.1+0.6x+0.9y}-0.5y\end{array}\}x>0.7,\\ \begin{array}{l}\Delta x=0.06141\\ \Delta y=-0.0034y\end{array}\}x=0.7,0<y<\frac{2092}{1395}.\end{array}$ (5)

通过Matlab进行数值模拟，得到系统(5)在初值为$x_0=0.77$ ，$y_0=0.43$ 时存在单边的阶一周期解且位于平衡点E₂的右侧(如图3所示)。

对模型(4)中的参数，我们让脉冲集M₂为$h_2=0.5$ ，相关参数为$q=0.3$ ，${\delta }_2=0.14$ ，其他参数与模型(5)相同，得到模型(6)

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(0.8-0.7x\right)}{1+0.05x}-\frac{0.8xy}{0.1+0.6x+0.9y}\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{0.64xy}{0.1+0.6x+0.9y}-0.5y\end{array}\}x<0.5,\\ \begin{array}{l}\Delta x=-0.18423\\ \Delta y=0.14y\end{array}\}x=0.5,y>\frac{2092}{1395}.\end{array}$ (6)

通过Matlab进行数值模拟，得到系统(6)在初值为$x_0=0.25$ ，$y_0=0.36$ 时存在单边的阶一周期解且位于平衡点E₂的左侧(如图4所示)。

(a) (b)

(c)

Figure 3. The unilateral order-1 periodic solution of system (5) and time series of x and y

图3. 模型(5)的单边阶一周期解和关于x和y的时间序列图

(a) (b)

(c)

Figure 4. The unilateral order-1 periodic solution of system (6) and time series of x and y

图4. 模型(6)的单边阶一周期解和关于x和y的时间序列图

3.2. 双边状态反馈脉冲

对模型(2)中的参数，我们让脉冲集M₁，M₂分别为$h_1=0.4$ ，$h_2=0.8$ ，相关参数为${\delta }_1=0.925$ ，${\delta }_2=16.4$ ，其他参数与模型(5)相同，得到模型(7)

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(0.8-0.7x\right)}{1+0.05x}-\frac{0.8xy}{0.1+0.6x+0.9y}\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{0.64xy}{0.1+0.6x+0.9y}-0.5y\end{array}\}0.4<x<0.8,\\ \begin{array}{l}\Delta x=\frac{2141}{6141}\\ \Delta y=-0.925y\end{array}\}x=0.4,\\ \begin{array}{l}\Delta x=-\frac{1859}{6141}\\ \Delta y=16.4y\end{array}\}x=\mathrm{0.8.}\end{array}$ (7)

通过Matlab进行数值模拟，得到系统(7)在初值为$x_0=0.7$ ，$y_0=0.07$ 时存在双边的阶一周期解(如图5所示)。

对模型(2)中的参数，我们让两个脉冲集M₁，M₂的值分别为$h_1=0.3$ ，$h_2=0.9$ ，两个脉冲的相关参数为$p=0.5$ ，$q=0.2$ ，${\delta }_1=0.927$ ，${\delta }_2=29$ ，其他参数与模型(5)相同，于是得到模型(8)

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(0.8-0.7x\right)}{1+0.05x}-\frac{0.8xy}{0.1+0.6x+0.9y}\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{0.64xy}{0.1+0.6x+0.9y}-0.5y\end{array}\}0.3<x<0.9,\\ \begin{array}{l}\Delta x=0.30705\\ \Delta y=-0.927y\end{array}\}x=0.3,\\ \begin{array}{l}\Delta x=-0.12282\\ \Delta y=29y\end{array}\}x=\mathrm{0.9.}\end{array}$ (8)

通过Matlab进行数值模拟，得到系统(8)在初值为$x_0=0.7$ ，$y_0=0.06$ 时存在双边的阶一周期解(如图6所示)。

Figure 5. There exists an unilateral order-1 periodic solution of system (7)

图5. 模型(7)存在双边阶一周期解

Figure 6. There exists an unilateral order-1 periodic solution of system (8)

图6. 模型(8)存在双边阶一周期解

4. 结论

害虫不仅危害农作物的生长，给人们造成经济损失，而且一些害虫也会有传播疾病的风险，这大大威胁了人们的身体健康和财产安全，因此对害虫进行防治是十分有意义的。本文通过对叶螨和其天敌捕植螨之间的关系构建的模型加入脉冲控制，当食饵的规模减少到阈值h₁时，此时害虫的数量对农作物产生的影响很小，为了节省成本同时也避免其天敌会由于食物不足以维持其生长和繁殖从而危害其他动物，造成不必要的影响，因此收走一部分天敌；当食饵的规模增加到阈值h₂时，此时天敌的数量已不足以控制叶螨，此时投放一定数量的捕植螨来对叶螨进行捕杀，通过建立双边状态反馈脉冲模型来保证叶螨与捕植螨能够在一定范围内达到平衡状态，既防治了害虫又可以节省人力物力财力。同时也通过用Matlab进行数值模拟得到针对两组不同的脉冲系数，系统(7)分别在$x_0=0.7$ ，$y_0=0.07$ 和$x_0=0.7$ ，$y_0=0.06$ 时存在阶一周期解，从而更好地将这个想法进行了验证。

NOTES

^*通讯作者。