n-倾斜余模的局部化

Localization in n-Tilting Comodules

摘要: 局部化理论和倾斜理论在余代数理论中都有非常重要的作用。Simson提出要发展余代数上的(余)倾斜理论的公开问题。为部分解决这个公开问题，本文利用局部化技术来给出n-倾斜余模的局部化。

Abstract: Localization theory and tilting theory both play very important roles in the theory of coalgebra. Simson proposed an open question on the development of (co)tilting theory on coalgebras. To partially address this public issue, this article utilizes localization techniques to provide localization of n-tilting comodules.

1. 预备知识

局部化是一个古老的理论，很多作者都对其进行了不同的研究，其中最著名的研究是在环中的局部化。Gabriel在[1]中描述了阿贝尔范畴和Grothendieck范畴的局部化。在[2]中，Garulo在余模范畴中进一步研究了Gabriel的思想，这个理论主要是把商范畴想方法弄成余模范畴，之后再进行研究就更容易让人理解。Jara，Merino，Gavarro在[3]中利用局部化范畴和对偶代数$C^{\ast }$ 中的幂等元的等价类之间的对应关系，解决了余代数$C^{\ast }$ 上的余模范畴的局部化问题，使得局部化的理论进一步完善。

倾斜理论是余代数中的比较重要的一部分。在早期的八十年代，著名的英国数学家S. Brenner和M. Butler就提出了倾斜理论。后来，因为代数学者们对倾斜理论很感兴趣，所以很多人对倾斜理论进行了研究，进而对它进行了大力发展。1999年，汪明义在[3]中给出了偏倾斜余模和倾斜余模的定义和性质。2001年，D. Simson在[4]中开发了一项研究域K上的余代数及其表示型的技术，并提出了九个公开问题，其中一个就是要研究余代数上的(余)倾斜理论。2008年，D. Simson在[5]中介绍了余倾斜余模的定义和域K上的余代数余倾斜化的过程。虽然，一些学者们从不同方面进行了研究，见[5]-[21]，但余代数表示理论目前发展的还不完善，仍然还有一些问题可以解决，特别是在余代数上的倾斜理论方面的一些问题。因此，本文进一步地研究余代数上的倾斜理论，进而丰富余代数表示理论。

令C是域K上的余代数，余乘为$\Delta :C\to C\otimes C$ ，余单位为$\epsilon :C\to K$ 。记${ℳ}^C$ 为右C-余模范畴。用$\text{Prod}ℳ$ 表示直积的直和项所组成的一类余模。见文献[3]，如果对${ℳ}^C$ 中的每一个正合列$0\to M^{\prime }\to M\to M^{″}\to 0$ ，余模$M\in \mathcal{T}$ 当且仅当余模$M^{\prime }\in \mathcal{T}$ 和$M^{″}\in \mathcal{T}$ ，并说${ℳ}^C$ 的满子范畴$\mathcal{T}$ 是稠密的，即$\mathcal{T}$ 在${ℳ}^C$ 中是扩张封闭的。对${ℳ}^C$ 中的任意稠密子范畴，存在阿贝尔范畴${ℳ}^C/\mathcal{T}$ 和正合函子$T:{ℳ}^C\to {ℳ}^C/\mathcal{T}$ 使得对任意的$M\in \mathcal{T}$ 有$T\left(M\right)=0$ 满足下面的泛性质：对每一个正合函子$F:{ℳ}^C\to \mathcal{C}$ 和任意的Abel范畴$\mathcal{C}$ ，满足$F\left(M\right)=0\left(M\in \mathcal{T}\right)$ ，有唯一的函子$\overline{F}:{ℳ}^C/\mathcal{T}\to \mathcal{C}$ ，使得$F=\overline{F}T$ ，则称范畴${ℳ}^C/\mathcal{T}$ 是与$\mathcal{T}$ 有关的${ℳ}^C$ 的商范畴，并且称$\mathcal{T}$ 为商函子。如果商函子$T:{ℳ}^C\to {ℳ}^C/\mathcal{T}$ 有一个右伴随函子$S:{ℳ}^C/\mathcal{T}\to {ℳ}^C$ ，这里S是截面函子，则称$\mathcal{T}$ (${ℳ}^C$ 的稠密子范畴)是局部化的。若截面函子S是正合的，则称局部化子范畴$\mathcal{T}$ 是完备局部化的。

引理1和引理2给出了局部化函子的性质，见[1] [3]和[7]。

引理1 设$\mathcal{T}$ 为余代数C上右C-余模范畴${ℳ}^C$ 的一个稠密子范畴，则有：

1) 商函子$\mathcal{T}$ 是正合的。

2) 若$\mathcal{T}$ 是局部化的子范畴，则截面函子S是右正合的且有$TS\simeq 1_{{ℳ}^C/\mathcal{T}}$ 成立。

3) 若$\mathcal{T}$ 是余局部化的子范畴，则余局部化函子H是右正合的且有$TH\simeq 1_{{ℳ}^C/\mathcal{T}}$ 成立。

引理2 设C是一个余代数，e是$C^{\ast }$ 中的一个幂等元，则有：

1) 商函子$T:{ℳ}^C\to {ℳ}^{eCe}$ 自然等价于函子$e(-)$ ，T也等价于余张量函子$-{\square }_{C}eC$ 。

2) 截面函子$S:{ℳ}^{eCe}\to {ℳ}^C$ 自然等价于余张量函子$-{\square }_{eCe}Ce$ 。

3) 如果$\mathcal{T}$ 是${ℳ}^C$ 中的一个余局部化子范畴，则余局部化函子$H:{ℳ}^{eCe}\to {ℳ}^C$ 自然等价于函子${\text{Cohom}}_{eCe}\left(eC,-\right)$ 。

2. 主要结果

在这一部分里，我们首先引入n-倾斜余模，然后再用局部化理论研究它们。

定义1 称右C-余模M为n-倾斜余模，若右C余模M满足下面的三个条件：

1) 对于$1\le i\le n$ ，有$\text{inj}.\text{dim}\left(M\right)\le n$ ；

2) 对任意的基数X和$1\le i\le n$ ，有${\text{Ext}}_C^i\left(M^X,M\right)=0$ ；

3) 存在如下正合列$0\to M_n\to \cdots \to M_1\to M_0\to C\to 0$ ，其中$M_i\in \text{Prod}M$ ，$1\le i\le n$ 。

命题1 设C是K-余代数且$e\in C^{\ast }$ 是一个幂等元。若M是左C-余模范畴中的一个n-倾斜余模且$X\cong Ce$ 是一个拟有限内射余生成子，则T(M)是左eCe-余模范畴中的一个n-倾斜余模。

证明 根据[8，定理1.13]有以下结论，$X\cong Ce$ 是一个拟有限的内射余生成子和函子T是等价的互为充要条件。

1) 由题设条件可知，$\text{inj}.\text{dim}\left(M\right)\le n$ ，也就是说有$M^C$ 中的正合列$0\to M\to E_0\to E_1\to \cdots \to E_n\to 0$ ，其中$E_i$ ，$1\le i\le n$ ，是内射C-余模。根据T是等价函子的条件，则有正合列$0\to T\left(M\right)\to T\left(E_0\right)\to T\left(E_1\right)\to \cdots \to T\left(E_n\right)\to 0$ ，其中$T\left(E_i\right)$ ，$1\le i\le n$ ，是内射eCe-余模。因此，我们有$\text{inj}.\text{dim}\left(T\left(M\right)\right)\le n$ 。

2) 取${ℳ}^C$ 中的正合列$0\to M\to E\to E/M\to 0$ ，其中E是内射C-余模。由假设可知，${\text{Ext}}_C^i\left(M^X,M\right)=0$ ，$1\le i\le n$ 。因为T是等价函子，则有T-交换图(图1) (为方便记$T(\cdot )$ 为$T\cdot$ )：

Figure 1. T-exchange diagram

图1. T-交换图

其中$T\left(M^X\right)={\left(TM\right)}^X$ 。因此，我们有${\text{Ext}}_{eCe}^i\left({\left(TM\right)}^X,TM\right)=0$ ，其中$1\le i\le n$ 。

3) 由题设条件可知，在${ℳ}^C$ 中有正合列$0\to M_n\to \cdots \to M_1\to M_0\to C\to 0$ ，其中$M_i\in \text{Prod}M$ 。因为T是等价函子，故在${ℳ}^{eCe}$ 中我们有短正合列$0\to T\left(M_n\right)\to \cdots \to T\left(M_1\right)\to T\left(M_0\right)\to eCe\to 0$ ，其中$T\left(M_i\right)\in \text{Prod}T\left(M\right)$ 。

命题2 设C是K-余代数且幂等元$e\in C^{\ast }$ 定义了一个完备局部化。如果M是n-倾斜eCe-余模，则S(M)是n-倾斜C-余模。

证明 1) 由题设条件可知，$\text{inj}.\text{dim}\left(M\right)\le n$ ，也就是说在${ℳ}^{eCe}$ 中有如下的短正合列$0\to M\to E_0\to E_1\to \cdots \to E_n\to 0$ ，其中$E_i$ ，$1\le i\le n$ ，是内射eCe-余模。根据S是正合函子和它保持内射余模的特性，则可得在${ℳ}^C$ 中如下结论：$0\to S\left(M\right)\to S\left(E_0\right)\to S\left(E_1\right)\to \cdots \to S\left(E_n\right)\to 0$ ，其中$S\left(E_i\right)$ ，$1\le i\le n$ ，是内射右C-余模。故有$\text{inj}.\dim \left(S\left(M\right)\right)\le n$ 。

2) 在${ℳ}^{eCe}$ 中取正合列$0\to M\to E\to E/M\to 0$ ，其中E是一个内射eCe-余模。由题设条件可知，${\text{Ext}}_{eCe}^i\left(M^X,M\right)=0$ ，$1\le i\le n$ 。因为S是满忠实的，所以有S-交换图(图2) (为方便记$S(\cdot )$ 为$S\cdot$ )

Figure 2. S-exchange diagram

图2. S-交换图

其中$S\left(M^X\right)={\left(SM\right)}^X$ 因为S保持余模的直积。因此，${\text{Ext}}_C^i\left({\left(SM\right)}^X,SM\right)=0$ ，其中$1\le i\le n$ 。

3) 由假设可知，在${ℳ}^{eCe}$ 中有正合列$0\to M_n\to \cdots \to M_1\to M_0\to C\to 0$ ，其中$M_i\in \text{Prod}M$ 。由于S是正合的，并且保持余模的直积，则在${ℳ}^C$ 中有$0\to S\left(M_n\right)\to \cdots \to S\left(M_1\right)\to S\left(M_0\right)\to C\to 0$ ，其中$S\left(M_i\right)\in \text{Prod}S\left(M\right)$ 。

定理1 令C是K-余代数且$C^{\text{*}}={\text{Com}}_K\left(C,K\right)$ 是它的K-对偶K-代数，它的乘法可以根据卷积公式得出，并且幂等元$e\in C^{\text{*}}$ 给出了一个完备局部化的定义。若$X\cong Ce$ 是拟有限的内射余生成子，则M是n-倾斜eCe-余模的充分必要条件是S(M)是n-倾斜C-余模。

证明 必要性由命题2可得。

充分性。从[8，定理1.13]可以得出如下结论：函子T是等价与$X\cong Ce$ 是拟有限内射余生成子互为充分必要条件。

1) 由题设条件可知，$\text{inj}.\dim S\left(M\right)\le n$ ，即在${ℳ}^C$ 中有短正合列$0\to S\left(M\right)\to S\left(E_0\right)\to S\left(E_1\right)\to \cdots \to S\left(E_n\right)\to 0$ ，其中$S\left(E_i\right)$ ，$1\le i\le n$ ，是内射C-余模。因为T是等价函子，则在${ℳ}^{eCe}$ 中有短正合列$0\to T\left(S\left(M\right)\right)\to T\left(S\left(E_0\right)\right)\to T\left(S\left(E_1\right)\right)\to \cdots \to T\left(S\left(E_n\right)\right)\to 0$ ，其中$T\left(S\left(E_i\right)\right)$ ，$1\le i\le n$ ，是内射右eCe-余模。由引理2(2) $TS=1_{ℳ/\mathcal{T}}$ 可知，在${ℳ}^{eCe}$ 中有短正合列$0\to M\to E_0\to E_1\to \cdots \to E_n\to 0$ ，其中$E_i$ ，$1\le i\le n$ ，是内射eCe-余模。因此，有$\text{inj}.\dim \left(M\right)\le n$ 。

2) 在${ℳ}^C$ 中取正合列$0\to S\left(M\right)\to S\left(E\right)\to S\left(E\right)/S\left(M\right)\to 0$ ，其中$S\left(E\right)$ 是内射C-余模。由题设条件可知，${\text{Ext}}_C^i\left({\left(SM\right)}^X,S\left(M\right)\right)=0$ ，$1\le i\le n$ 。由于T是等价函子，则有TS-交换图(图3) (为方便记$S(\cdot )$ 为$S\cdot$ )

Figure 3. TS-exchange diagram

图3. TS-交换图

其中$T\left({\left(SM\right)}^X\right)={\left(TSM\right)}^X$ 。因此，${\text{Ext}}_{eCe}^i\left(M^X,M\right)=0$ ，$1\le i\le n$ 。

由题设条件可知，在${ℳ}^C$ 中有短正合列$0\to S\left(M_n\right)\to \cdots \to S\left(M_1\right)\to S\left(M_0\right)\to C\to 0$ ，其中$S\left(M_i\right)\in \text{Prod}S\left(M\right)$ ，$1\le i\le n$ 。因为T是等价函子，则在${ℳ}^{eCe}$ 中有正合列$0\to T\left(S\left(M_n\right)\right)\to \cdots \to T\left(S\left(M_1\right)\right)\to T\left(S\left(M_0\right)\right)\to eCe\to 0$ ，其中$T\left(S\left(M_i\right)\right)\in \text{Prod}T\left(S\left(M\right)\right)$ ，$1\le i\le n$ 。由引理1(2) $TS\simeq 1_{{ℳ}^C/\mathcal{T}}$ 可知，在${ℳ}^{eCe}$ 中有短正合列$0\to M_n\to \cdots \to M_1\to M_0\to eCe\to 0$ ，其中$M_i\in \text{Prod}M$ ，$1\le i\le n$ 。

3. 总结

本文主要利用局部化技术给出n-倾斜余模的局部化，进而给出重要的定理。本文中局部化技术的应用对发展余代数理论中的倾斜理论有很大意义。今后将在现有的理论基础上进一步地研究余代数中的倾斜理论。