关于反应扩散方程的行波解的存在唯一性与稳定性以及渐近行为的综述

A Review of the Existence, Uniqueness, Stability, and Asymptotic Behavior of Traveling Wave Solutions in Reaction Diffusion Equations

摘要: 反应扩散方程是研究众多学科领域中动态模型的核心数学模型，可以广泛的应用于生态学、生物学和物理学。关于这类方程解的存在性、唯一性、稳定性以及渐近行为的研究，对于深入理解复杂现象至关重要。为了更好探索的对反应扩散方程解的这些特性，研究人员发展了一系列的理论方法，比如能量方法、上、下解方法、渐近方法以及分支理论等。本文综述了这些方法在处理不同类型的反应扩散方程中的应用，并深入分析了它们的理论基础和实际效果，同时总结了各种方法在研究过程中的适用性和局限性。

Abstract: Reaction-diffusion equations are central mathematical models for studying dynamic patterns across multiple disciplinary fields and are extensively applied in ecology, biology, and physics. Research on the existence, uniqueness, stability, and asymptotic behavior of solutions to these equations is crucial for a deep understanding of complex phenomena. To better explore these characteristics of reaction-diffusion equation solutions, researchers have developed a variety of theoretical methods, including energy methods, upper and lower solutions methods, asymptotic techniques, and numerical simulations. This review article comprehensively discusses the application of these methods to different types of reaction-diffusion equations, delves into their theoretical foundations and practical outcomes, and summarizes the applicability and limitations of each method in the research process.

1. 引言

反应扩散方程是一类重要的数学模型，被广泛应用于描述自然界中的各种物理、化学和生物过程。这些方程描述了物质在空间中的扩散和在物质之间发生的反应，从而捕捉了许多实际系统的动态行为。其中，行波解是一类特殊而重要的解，展示了在空间中持续传播的波动。研究反应扩散方程行波解不仅有助于理解自然界中的模式形成和动态行为，还在多个学科领域具有广泛的应用价值。

行波解的研究涉及到多个方面，包括解的存在性、唯一性、稳定性、动力学行为以及在不同领域中的应用。通过对行波解的研究，我们可以更深入地理解自然现象中的波动现象，以及这些现象对于生态系统、生物多样性、物种传播等方面的影响。此外，行波解的稳定性研究不仅对于理论数学的发展具有重要意义，还为预测和控制复杂系统的行为提供了基础。

反应扩散方程行波解是反应扩散方程中一种特殊的解析解，展示了在空间中持续传播的波动性质。行波解在自然界的各种动态过程中起着关键作用，例如在生态学、化学和物理学领域等。这些解具有一定的空间和时间结构，在空间中以恒定速度传播。行波解的形式通常是$u\left(t,x\right)=\varphi \left(x-ct\right)$ ，其中$\varphi \left(\xi \right)$ 是关于$\xi =x-ct$ 的特定函数，而c则代表波速。行波解的特殊性质使其在方程中具有重要的意义，因为它们展示了物质传播的稳定性和动态行为。

本文主要研究如下形式的反应扩散方程的行波解问题

$u_t=\Delta u+f\left(u\right),x\in R^n,t\in R.$

根据反应项$f\left(u\right)$ 的不同性质，可以将上述反应扩散方程分为以下三种类型：

1) 单稳型：$f\left(u\right)$ 满足

$\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=f\left(1\right)=0,\\ f^{\prime }\left(0\right)>0,f^{\prime }\left(1\right)<0.\end{array}$

其典型例子是：$f\left(u\right)=u\left(1-u\right)$ 。$f\left(u\right)$ 是一个非线性函数，也就是说，当u接近于0时，$f\left(u\right)$ 接近0，表示反应速率较慢；当u接近于1时，$f\left(u\right)$ 也接近0，表示反应速率同样较慢。而在中间浓度范围内，$f\left(u\right)$ 达到最大值，表示在这个范围内反应速率较快，有利于物质的扩散和反应。这个反应项通常用于描述一个状态稳定传播的情况，例如，生物种群的扩散和反应过程、疾病传播等，在数学生态学中有着广泛的应用。在单稳方程中，只有一个稳定状态，也就是说，一旦系统达到这个状态，将会保持不变。

2) 双稳型：即存在常数$\mu \in \left(0,1\right)$ ，使得

$\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=f\left(1\right)=f\left(\mu \right)=0,\\ f^{\prime }\left(0\right)<0,f^{\prime }\left(1\right)<0,f\left(\mu \right)>0.\end{array}$

并且，$f\left(u\right)$ 满足，当$u\in \left(0,\mu \right)\cup \left(1,+\infty \right)$ 时，$f<0$ ；当$u\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\mu ,1\right)$ 时，$f>0$ 。其典型例子为：

$f\left(u\right)=u\left(1-u\right)\left(u-\mu \right),$

其中，常数$\mu$ 满足$0<\mu <1$ 。这个反应项具有两个零点：$u=0$ 和$u=1$ ，在这两个点处，$f\left(u\right)$ 的导数值小于0，这就表明这两个点是稳定的。在$0<u<\mu$ 区间内，$f\left(u\right)<0$ ，表示物质的产生速率超过消耗速率，系统的浓度u将增加；在$\mu <u<1$ 区间内，$f\left(u\right)>0$ ，表示物质的产生速率小于消耗速率，系统的浓度u将减少；在$u=\mu$ 处，$f\left(u\right)=0$ ，表示在这个浓度值处物质的产生速率与消耗速率达到平衡，但是$u=\mu$ 是一个不稳定的平衡点。由此可以看出，这与单稳型不同，系统有两个稳定点，因此允许系统在这两个稳定状态中进行切换，从而产生复杂的动态行为。

3) 点火型：f满足存在$0<\alpha <1$ ，当$u\in \left[0,\alpha \right]$ 时，有$f\equiv 0$ ；当$u\in \left[\alpha ,1\right]$ 时，$f>0$ ；$f^{\prime }\left(1\right)<0$ ，且满足在$\left[0,1\right]$ 上，f是Lipschits连续，并且在$u=1$ 处可微。点火型的反应项$f\left(u\right)$ 是一种非线性反应项，其典型形式如下：

$f\left(u\right)=u\left(1-u\right)\left(u-a\right),$

其中，常数a满足$0<a<1$ 。点火型反应扩散方程用于描述那些只有在局部条件超过某个阈值后，开始反应的系统，也就是说，是一种在某个临界浓度a以上才会发生的化学反应过程，例如森林火灾。

这种点火型的反应项常用于描述化学反应等中的点火现象。在点火型反应中，存在一个临界浓度a，当浓度小于这个临界值时，反应速率较低，反应往往不会发生；而当浓度达到或超过这个临界值时，反应速率突然增加，反应开始迅速进行。这种反应型态在燃烧、化学动力学和生物反应等领域都有广泛的应用。这三种类型的方程都有着各自的动态以及特殊性质，因此使它们成为研究和解决现实问题的有力工具。

2. 反应扩散方程行波解的存在唯一性

Kolmogorov，Petrovskiy和Piskunov [1]与Fisher [2]研究了更一般的反应扩散方程

$u_t\left(t,x\right)=u_{xx}+f\left(u\left(t,x\right)\right),x\in R,t\in R.$ (2.1)

其中，非线性项f满足

$f\left(0\right)=f\left(1\right)=0<f\left(u\right)<f^{\prime }\left(0\right)u,f^{\prime }\left(1\right)<0,\forall u\in \left(0,1\right).$

他们研究了方程(2.1)的行波解的存在性与唯一性以及在一定条件下其对应的初值问题的解趋向于某个波前解的渐近性结果，此类方程被称为KPP型方程，根据定义可知，KPP型方程中的反应项f满足单稳型条件，是单稳型的一种特殊形式。在此之后，研究行波解问题逐渐成为数学研究的热点，并且其理论与方法在众多学者的研究中逐步完善。近年来，许多学者对KPP型方程行波解的存在性展开了深入的研究，取得了一系列重要成果。研究行波解的存在性主要是通过使用相平面分析、上、下解方法、拓扑度理论、固定点定理等数学工具，研究者们证明了在适当的条件下，KPP型方程至少存在一个行波解，并且在某些情况下还证明了其唯一性。

下面将简要介绍几个有关于存在唯一性证明的典型的研究案例。针对抛物方程的特殊形式，通常可以应用比较原理以及常微分方程的相平面分析法来解决，例如Schaaf [3]应用相平面技术、最大值原理等方法，研究了具有单个离散时滞反应扩散方程行波解的存在性与稳定性。在Vol’pert [4]与王明新[5]中，他们通过相平面方法来研究行波解的存在性。然而，对于更一般的反应扩散方程组来讲，比较原理以及相平面法并不适用，例如在捕食者–猎物反应扩散系统中，使用比较原理就比较复杂且很难使用。因此，需要一些新的方法来解决捕食者–猎物反应扩散系统的行波解的存在性，例如，Dunbar [6]通过建立一种数学模型来研究神经生理学中的行为现象，他们通过使用打靶法结合LaSalle的不变性原理以及Lyapunov函数证明了具有生物学意义的行波解的存在性，他的方法揭示了在特定条件下，行波解如何在生态系统中传播，这对生态模型的建立和种群动态的预测具有重要的应用价值。Berestycki和Nirenberg [7]研究了在无穷柱状区域中单稳型、燃烧型和双稳型反应扩散方程的行波解，并且得到了行波解的存在唯一性。Huang等人[8]通过运用打靶法以及Hopf分支原理，研究了一个具有Holling II型功能响应的捕食者–猎物反应扩散系统中行波解的存在性。Chen [9]通过采用Lyapunov函数以及Krasnoselaskii不动点定理来证明解的存在性以及渐近行为，并且通过构造合适的Lyapunov函数，证明了系统解随着时间趋于稳定状态。Zou和Wu [10]研究了具有单个时滞和具有拟单调性的方程组，通过截断无界区域以及取极限等方法，证明了时滞反应扩散方程组波前解的存在性。Wu和Zou [11]研究了具有一般有限时滞的反应扩散方程组波前解的存在性。Hamel和Omrani [12]运用上、下解等方法研究了在高维无穷柱状区域上的多稳型反应扩散方程行波解的存在性。

近年来，学者们也开始探讨不同类型的反应扩散模型，如具有空间周期性或者时间周期性的模型，在这些模型中，行波解的波速以及波形可能依赖于空间位置或者时间。这些研究不仅丰富了对反应扩散方程行波解的理论研究，还推动了相关数学理论的发展。越来越多的学者开始研究时间周期反应扩散方程的行波解问题，但是我们知道，引入时间周期后，会使得原先问题变得更为复杂。对于时间周期反应扩散方程

$\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u+f\left(t,u\left(x,y,t\right)\right),\left(x,y\right)\in R^n,t>0,$ (2.2)

当维度$n=1$ 时，Alikakos等人[13]研究了在一维空间中方程(2.2)时间周期平面波的存在唯一性。Li [14]研究了反应扩散系统中围绕障碍物的时间周期平面波解的存在性以及波在遇到障碍物时的行为。她研究了解在遇到不同形状障碍物时的行为，要么这些障碍物允许解完全传播，要么会部分阻挡解的传播，最终会影响解的状态。

对于方程

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u-\alpha \left(y\right){\partial }_{1}u+f\left(u\right),\left(x_1,y\right)\in \Sigma \\ a\frac{\partial u}{\partial v}+b\left(x_1\right)u=0,\left(x_1,y\right)\in \partial \Sigma \end{array}$ (2.3)

其中$\Sigma =R\times \omega =\left\{\left(x_1,y\right)\in R^n,x_1\in R,y\in \omega \right\}$ ，$\omega \subseteq R^{n-1}$ 是一个有界凸区域，那么将方程(2.3)的行波解是$u\left(x_1,y,t\right)=U\left(x_1+ct,y\right)$ 的一种特解，可以让$\beta \left(y\right)=c+\alpha \left(y\right)$ ，那么就可以得到方程(2.3)的行波方程

$\{\begin{array}{l}\Delta U-\beta \left(y\right){\partial }_{1}U+f\left(U\right)=0,\left(x_1,y\right)\in \Sigma ,\\ a\frac{\partial U}{\partial v}+b\left(x_1\right)U=0,\left(x_1,y\right)\in \partial \Sigma .\end{array}$ (2.4)

当方程(2.4)中的$a=1$ 时，也就是说边界条件是Dirichlet边界条件时，Gardner [15]通过conley指标法证明了在二维空间中方程(2.4)的双稳型行波解的存在性以及稳定性。Berestycki和Nirenberg [7] [16]证明了在Neumann边界条件时，方程(2.4)在一定条件下的行波解的存在唯一性。

3. 反应扩散方程行波解的稳定性以及渐近行为

当行波解存在时，那么就可以进一步的研究行波解稳定性以及渐近行为等性质。研究行波解的稳定性问题主要有三种方法，第一种方法是谱分析法[17] [18]，第二种方法是使用比较原理或者加权能量法，第三种方法是使用挤压技术和上、下解方法，这种方法通常用于证明双稳型方程和单稳型方程的行波解的稳定性。例如Uciyama [19]通过运用上、下解方法，结合边界条件和初始条件，建立了行波解的局部指数渐近稳定性，并在此基础上，利用了能量方法，通常通过构造一个Lyapunov函数，这个函数随着时间的推移不增加，从而表明系统趋向于一个稳定的状态。

在研究具有退化Fisher-KPP单稳态反应扩散方程时，Wu和Bu [20]对三维金字塔形行波解在多维空间的稳定性进行了系统的研究。通过构造上、下解，并应用比较原理，他们证明了即使在较大的初始扰动下，这些复杂结构的行波解也能在多维空间中显示出渐近稳定性。特别地，在加权的无穷大范数空间中，对于维度$n\ge 4$ 的情况，这种稳定性得到了数学上的严格证明。然而，他们也发现在一定条件下，这些行波解可能会表现出不稳定性，例如在一些特定的小扰动影响下，解可能在不同的行波解之间振荡，从而挑战了传统稳定性理论的边界。

Wang和Li [21]通过运用上、下解的方法证明了一些整体解在双稳态反应扩散方程种的局部指数渐近稳定性。他们主要得到了与Yagisita [22]发现的类似的渐近稳定性结果，并且简化了其证明过程。并且在

Yagisita [22]的基础上还研究了${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(u\right)\text{d}u}<0$ 的情况，并且得到了相应的渐近稳定性结果，之后，文章继

续研究了整体解随着时间t趋向于正无穷的渐近行为，即整体解趋近于稳定状态。在最后，他们证明了在特定的双稳型$f\left(u\right)=u\left(1-u\right)\left(u-\alpha \right)$ ，其中$\alpha \in \left(0,1\right)$ ，他们证明了整体解连续依赖于参数$\alpha$ 。Shen和Han [23]通过将经典反应扩散方程的稳定性理论应用并拓展到包含对流项的情形，开拓了研究的新领域，其中，他们采用了强极大值原理和上下解方法。特别是，他们通过构建柯西问题和使用上下解方法，不仅展示了对流项如何影响系统的稳定性，还提出了一种新的分析方法来处理这类复杂系统。为理解和预测具有对流效应的生物和化学扩散系统中的动态行为提供了新的理论工具。

Hamel和Zhang [24]考虑了由直线部分和具有正开口角的圆锥部分组成的$R^N$ 中的漏斗区域的双稳型反应扩散方程，方程形式为

$u_t=\Delta u+f\left(u\right)$

其中$f\left(u\right)$ 是非线性反应项且满足双稳型条件。他们在文章中研究了从直部的平面波开始，在漏斗的圆锥部分移动的整体解的长时间行为，展示了阻碍与传播之间的二分法，并且得到了涉及到全空间$R^N$ 中的半线性椭圆方程的稳定解。文章中，对于稳定性的分析，主要是使用了一种量化传播和阻塞现象的技术，通过不断对直部大小R的调整以及对圆锥部分开口角度$\alpha$ 的分析，确定了完全传播的条件。这些研究丰富了数学理论，并且为生态系统中的种群扩散提供了数学工具。

4. 总结

反应扩散方程的行波解，特别是在生态学、流行病学和物理学中的应用，已经被广泛研究。行波解描述了如何通过介质传播波动或扩散现象。关于这些解的存在性和唯一性，早期的研究由Fisher和Kolmogorov等人开创，他们探讨了具有特定生长函数的一维方程，并提出了著名的Fisher-KPP方程。

在存在性和唯一性方面，研究主要集中在证明在给定的参数和初值条件下，是否存在解，以及这些解是否唯一。对于证明存在性的方法，各有优劣，例如上、下解方法依赖于构造一对适合所研究方程的上解与下解，可以保证解是真实存在的。由于上、下解方法可以处理解的非线性界限，所以更适用于研究非线性问题。但是，上、下解的具体形式，需要学者自己来构造，所以，在有些时候很难找到合适的上下解进行研究。分支理论方法，可以从已知解分支出新解的存在性与唯一性，并且可以通过结合奇点理论，通过探索解随参数变化的行为，可以揭示解的动态行为，也可研究解分支结构以及稳定性，但是这通常只是适用于参数化的问题，并且需要用到高深的数学知识，例如微分拓扑等。在证明解的存在唯一性时，也可以使用拓扑度方法，通过这种方法，可以通过分析非线性映射的度数来确保方程至少存在一个解，但是这种方法不提供解的具体形式，只能证明解的存在。

稳定性分析涉及到解随时间的演化，以及它们如何响应初始扰动。在动力学系统理论中，稳定性通常通过线性化方程和分析特征值来研究。还可通过能量方法进行研究，利用系统的能量守恒来研究解的稳定性，可以有力的证明解的全局稳定性，但是这需要构造合适的能量泛函。上、下解方法以及挤压技巧，可以通过构造合适的上、下解，可以证明解在无穷远处是趋近于稳定的。

渐近行为是研究行波解在时间趋于无穷时的行为。这包括波速的确定以及波形的最终稳定模式。在许多情况下，行波解最终会趋向于一个稳定的行进波，其形状和速度不再随时间改变。综上所述，反应扩散方程的行波解在数学和应用科学中有着重要的地位。通过对这些解的存在性、唯一性、稳定性和渐近行为的研究，学者们能够更好地理解和预测在复杂系统中波动现象的动态。这些研究不仅推动了理论的发展，也为实际应用提供了重要的数学基础。