具有状态反馈脉冲控制的叶螨–捕植螨系统的动力分析

The Dynamic Analysis of the Spider Mite-Phytoseiid Mite System with State-Feedback Impulse Control

摘要: 叶螨取食重要农业植物的叶和果实，是田间农作物的一大害虫，人们利用捕植螨对其进行控制。本文建立了Smith增长且具有Beddington-DeAngelis型功能反应的叶螨–捕植螨系统，并对该系统的有界性，极限环不存在以及平衡点的类型和其稳定性进行了分析。同时，基于这个模型又建立了具有脉冲控制的状态反馈脉冲模型，证明了其阶一周期解的存在性。

Abstract: The spider mites feed on leaves and fruits of important agricultural plants and are a major pest to crops in the field. People use phytoseiidae mites to control them. In this paper, a Smith increased spider mite-phytoseiidae mites system with Beddington-Deangelis functional response is established. The boundedness, the existence of the limit cycle, the types of equilibrium points and their stability of the system are analyzed. At the same time, based on the model, a state feedback impulse model is established to prove the existence of its order-1 periodic solution.

1. 引言

叶螨是一类植食性螨，主要取食重要农业植物(包括果树)的叶和果实，具有发育快，适应性强，抗药性强等特点，是世界五大害虫之一。1971年，在加利福尼亚的果园里发现植绥螨是叶螨的有效捕食者[1]；[2]中也证明了一种捕食性螨可以控制欧洲的红叶螨。

很多研究者认为在更大的时间和空间尺度上，功能反应更加依赖于捕食者，比率依赖功能反应作为捕食者功能反应的一个重要形式[3]，很好地描述了捕食者之间相互干扰的影响。但它存在“低密度问题”[4]，1975年，Beddington和DeAngelis各自独立提出了一个新的捕食者依赖的功能反应[5] [6]，后世称为Beddington-DeAngelis功能反应。该功能反应在保持了比率依赖功能反应的某些特性的同时避免了“低密度问题”[7]。此外，由于Smith增长比常用的Logistic增长更能描述真实的生物生长[8] [9]，因此本文建立了一个食饵具有Smith增长且与捕食者之间的相互作用为Beddington-DeAngelis功能反应的食饵–捕食者模型。

陈等人提出了关于“半连续动力系统”的基本概念[10]；Meng和Jiao等人研究了具有状态反馈脉冲的SI传染病模型[11] [12]。

我们建立了一个具有Smith增长且食饵与捕食者之间的相互作用为Beddington-DeAngelis功能反应的食饵–捕食者模型，并对其进行了动力学分析；在第三部分，在原模型的基础上加入单边脉冲构成新的模型，进而证明新模型阶一周期解的存在性。

2. 无脉冲分析

以Smith增长为食饵叶螨的内禀增长函数，其与捕食者之间相互作用为Beddington-DeAngelis型功能反应建立如下模型

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(a-bx\right)}{1\text{+}cx}-\frac{mxy}{\alpha +\beta x+\gamma y},\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{kmxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}-dy.\end{array}$ (1)

其中m表示消耗率，$\alpha$ 为食饵的饱和常数，$\beta$ 捕食者的干扰，$\gamma$ 另一个饱和常数，k转化率，这里所有的参数都是正的。

垂直等倾线：

$x=0;y=\frac{\left(a-bx\right)\left(\alpha +\beta x\right)}{\left(1+cx\right)m-\left(a-bx\right)\gamma }.$

水平等倾线：

$y=0;y=\frac{\left(km-d\beta \right)x-d\alpha }{d\gamma }.$

因此边界平衡点有$E_0\left(0,0\right)$ ，$E_1\left(\frac{a}{b},0\right)$ 。

定理1 当参数满足条件H1时，系统有唯一的正平衡点$E_2\left(x^{*},y^{*}\right)$ ，其中$x^{*},y^{*}$ 满足

$\{\begin{array}{l}\frac{a-b{x}^{*}}{1+c{x}^{*}}-\frac{m{y}^{*}}{\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}}=0,\\ \frac{km{x}^{*}}{\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}}-d=0.\end{array}$ (2)

于是$y^{*}=\frac{1}{\gamma }\left[\left(\frac{km}{d}-\beta \right)x^{*}-\alpha \right]$ ，这里满足$km-d\beta >0$ 才有可能存在正平衡点，因此下述讨论均在条件$km-d\beta >0$ 下进行。

$x^{*}$ 为方程$\left(ckm-c\beta d+kb\gamma \right)x+\left(km-\beta d-c\alpha d-ka\gamma \right)x-\alpha d=0$ 的根。

令$A_1=bk\gamma +c\left(km-d\beta \right)$ ，$A_2=km-d\beta -cd\alpha -ak\gamma$ ，$A_3=-d\alpha$ ，显然$A_1>0$ ，$A_3<0$ 。

于是有$A_2^2-4A_1{A}_2>0$ ，此时方程有两个根，其中有一个正根$x^{*}=\frac{-A_2+\sqrt{A_2^2-4A_1{A}_3}}{2A_1}$ ，因此当$\left(\frac{km}{d}-\beta \right)\frac{A_2-\sqrt{A_2^2-4A_1{A}_3}}{2A_1}+\alpha <0$ (H1)时，系统有唯一的正平衡点$E_2\left(x^{*},y^{*}\right)$ 。

定理2 平衡点E₀为鞍点；当$\frac{akm}{b\alpha +a\beta }>d$ 时，平衡点E₁是鞍点，当$\frac{akm}{b\alpha +a\beta }<d$ 时，平衡点E₁是稳定的结点。

证明 系统的Jacobi矩阵为

$\left(\begin{array}{cc}\frac{a-bx}{1+cx}-\frac{my}{\alpha +\beta x+\gamma y}+x\left[-\frac{b+ac}{{\left(1+cx\right)}^2}+\frac{\beta my}{{\left(\alpha +\beta x+\gamma y\right)}^2}\right]& -\frac{\left(\alpha +\beta x\right)mx}{{\left(\alpha +\beta x+\gamma y\right)}^2}\\ \frac{\left(\alpha +\gamma y\right)kmy}{{\left(\alpha +\beta x+\gamma y\right)}^2}& \frac{\left(\alpha +\beta x\right)kmx}{{\left(\alpha +\beta x+\gamma y\right)}^2}-d\end{array}\right)$

对于边界平衡点$E_0\left(0,0\right)$ ，

$J\left(E_0\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& -d\end{array}\right)$ ，

于是平衡点E₀为鞍点。

对于边界平衡点$E_1\left(\frac{a}{b},0\right)$ ，

$J\left(E_1\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\left(b+ac\right)\frac{a}{b}}{{\left(1+\frac{ac}{b}\right)}^2}& -\frac{m\frac{a}{b}}{\alpha +\beta \frac{a}{b}}\\ 0& \frac{km\frac{a}{b}}{\alpha +\beta \frac{a}{b}}-d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{ab}{b+ac}& -\frac{am}{b\alpha +a\beta }\\ 0& \frac{akm}{b\alpha +a\beta }-d\end{array}\right)$ ，

$D=-\frac{ab}{b+ac}\left(\frac{akm}{\alpha b+a\beta }-d\right)$ ，$T=-\frac{ab}{b+ac}+\frac{akm}{\alpha b+a\beta }-d$ 。

$\begin{array}{c}{T}^2-4D={\left(-\frac{ab}{b+ac}+\frac{akm}{\alpha b+a\beta }-d\right)}^2-4-\frac{ab}{b+ac}\left(\frac{akm}{\alpha b+a\beta }-d\right)\\ ={\left(\frac{ab}{b+ac}+\frac{akm}{\alpha b+a\beta }-d\right)}^2\end{array}$

于是有当$\frac{akm}{b\alpha +a\beta }>d$ 时，平衡点E₁是鞍点；当$\frac{akm}{b\alpha +a\beta }<d$ 时，平衡点E₁是稳定的结点。

定理3 当$\frac{\left(b+ac\right)x^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}-\frac{m\left(\beta -k\gamma \right)x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}>0$ 时，E₂是稳定的结点或焦点；当$\frac{\left(b+ac\right)x^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}-\frac{m\left(\beta -k\gamma \right)x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}<0$ 时，E₂是不稳定的结点或焦点。

证明 $E_2\left(x^{*},y^{*}\right)$ 的Jacobi矩阵为

$J\left(E_2\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}^{*}\left[-\frac{b+ac}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}+\frac{\beta m{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}\right]& -\frac{m\left(\alpha +\beta x^{*}\right)x^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}\\ \frac{km\left(\alpha +\gamma y^{*}\right)y^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}& -\frac{km\gamma x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}\end{array}\right)$ ，

于是

$D=\frac{km{x}^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}\left[\frac{\left(b+ac\right)\gamma x^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}+\frac{m\alpha }{\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}}\right]$ ，

$T=-\frac{\left(b+ac\right)x^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}+\frac{m\left(\beta -k\gamma \right)x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}$ ，

$\begin{array}{c}{T}^2-4D=\frac{{\left(b+ac\right)}^2{x}^{*}{}^2}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^4}+\frac{m^2{\left(\beta -k\gamma \right)}^2{x}^{*}{}^2{y}^{*}{}^2}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^4}-\frac{4k{m}^2\alpha x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^3}\\ -\frac{2m\left(b+ac\right)\left(\beta +k\gamma \right)x^{*}{}^2{y}^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}.\end{array}$

因此有

当$\frac{\left(b+ac\right)x^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}-\frac{m\left(\beta -k\gamma \right)x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}>0$ 时，E₂是稳定的结点或焦点；

当$\frac{\left(b+ac\right)x^{*}}{{\left(1+c{x}^{*}\right)}^2}-\frac{m\left(\beta -k\gamma \right)x^{*}{y}^{*}}{{\left(\alpha +\beta x^{*}+\gamma y^{*}\right)}^2}<0$ 时，E₂是不稳定的结点或焦点。

接下来，我们只考虑$k\gamma -\beta >0$ 的情况，此时E₂是稳定的结点或焦点(系统(1)的轨线图如图1所示)。

Figure 1. The trajectory diagram of system (1)

图1. 系统(1)的轨线图

定理4 系统(1)是一致有界的。

证明 过$E_1\left(\frac{a}{b},0\right)$ 点垂直于x-轴作直线$l_1:x=x_1=\frac{a}{b}$ ，其交水平等倾线$y=\frac{\left(km-d\beta \right)x-d\alpha }{d\gamma }$ 于点$Q\left(\frac{a}{b},\frac{akm}{bd\gamma }-\frac{a\beta }{b\gamma }-\frac{\alpha }{\gamma }\right)$ ，过点Q作垂直于y-轴的直线$l_2:y=y_1=\frac{akm}{bd\gamma }-\frac{a\beta }{b\gamma }-\frac{\alpha }{\gamma }$ ，与y-轴相交于点P，于是$OPQ{E}_1$ 构成一个Bendixson环(如图2所示)。

Figure 2. Region Ω

图2. 有界域Ω

对$y>0$ ，有${\frac{\text{d}x}{\text{d}t}|}_{x=x_1}=-\frac{m{x}_{1}y}{\alpha +\beta x_1+\gamma y}<0$ ，于是轨线从$l_1$ 的右端穿向$l_1$ 的左端；

对$0<x<\frac{a}{b}$ ，有

$\begin{array}{c}{\frac{\text{d}y}{\text{d}t}|}_{y=y_1}=y_1\left(\frac{kmx}{\alpha +\beta x+\gamma y_1}-d\right)\\ =y_1\frac{\left(km-d\beta \right)x-d\gamma y_1-d\alpha }{\alpha +\beta x+\gamma y_1}\\ \le \frac{y_1}{\alpha +\beta x+\gamma y_1}\left[\left(km-d\beta \right)\frac{a}{b}-d\gamma \left(\frac{akm}{bd\gamma }-\frac{a\beta }{b\gamma }-\frac{\alpha }{\gamma }\right)-d\alpha \right]\\ =0,\end{array}$

此时轨线从$l_2$ 的上方穿到$l_2$ 的下方。

此外$x=0$ ，$y=0$ 是系统的轨线，因此系统在第一象限的一致有界性得证。

定理5 系统(1)的极限环不存在。

证明 定义Dulac函数$D=\frac{1}{xy}$ ，则

$PD=\frac{a-bx}{\left(1+cx\right)y}-\frac{m}{\alpha +\beta x+\gamma y}$ ，$QD=\frac{km}{\alpha +\beta x+\gamma y}-\frac{d}{x}$ ，

于是有$\frac{\partial \left(PD\right)}{\partial x}+\frac{\partial \left(QD\right)}{\partial y}=-\frac{b+ac}{{\left(1+cx\right)}^{2}y}-\frac{m\left(k\gamma -\beta \right)}{{\left(\alpha +\beta x+\gamma y\right)}^2}<0$ ，

根据BendixsonDulac定理知，系统(1)无极限环。

3. 状态脉冲分析

在系统(1)中，当$x=h_1$ 时加入状态反馈脉冲控制，得到如下模型(3)

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(a-bx\right)}{1+cx}-\frac{mxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{kmxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}-dy\end{array}\}x>h_1,\\ \begin{array}{l}\Delta x=p{x}^{*}\\ \Delta y=-{\delta }_{1}y\end{array}\}x=h_1,0<y<\frac{m{h}_1\left(1+c{h}_1\right)-\left(a-b{h}_1\right)\left(\alpha +\beta h_1\right)}{\left(a-b{h}_1\right)\gamma }.\end{array}$ (3)

水平等倾线交x-轴于点A，脉冲集M₁与垂直等倾线的交点为B，过B的轨线与相集N₁的第一个交点为C，第二个交点为D；相集N₁与水平等倾线远离x-轴的交点为F。脉冲映射${\phi }_1$ 将B映射到N₁上的B⁺处，若B⁺与C重合，则显然$CDB{B}^{+}$ 构成一个阶一周期解，下面讨论两点不重合的情况。

定理6 当$y_{B^{+}}>y_C$ 时，系统(3)存在阶一周期解。

证明 此时C点的后继函数为$f\left(C\right)=y_{B^{+}}-y_C>0$ ；在N₁上F的上方取一点F₁，过F₁的轨线交M₁于点F₂，根据系统轨线的走势知$y_{F_2}<y_{F_1}$ ，${\phi }_1$ 将F₂映射到$F_2^{+}$ 处，且有$y_{F_2^{\text{+}}}=\left(1-{\delta }_1\right)y_{F_2}$ ，于是有$y_{F_2^{+}}<y_{F_1}$ ，即F₁的后继函数$f\left(F_1\right)=y_{F_2^{+}}-y_{F_1}<0$ ；因此根据后继函数的连续性得到在点C与F₁之间存在一点F₃使得其后继函数为零，阶一周期解的存在性得证(如图3所示)。

定理7 当$y_{B^{+}}<y_C$ 时，系统(3)存在阶一周期解。

证明 过B⁺的轨线交M₁于B₁，由轨线的性质知B₁一定在B的上方，脉冲映射${\phi }_1$ 将B₁映射到$B_1^{+}$ ，且有$y_{B_1^{+}}=\left(1-{\delta }_1\right)y_{B_1}$ ，又因$y_{B^{+}}=\left(1-{\delta }_1\right)y_B$ ，于是得到$y_{B_1^{+}}>y_{B^{+}}$ ，即B⁺的后继函数$f\left(B^{+}\right)=y_{B_1^{+}}-y_{B^{+}}>0$ ；后面的步骤与上述定理相同，因此系统存在阶一周期解(如图4所示)。

Figure 3. System (3) exists an unilateral order-1 solution for the case $y_{B^{+}}>y_C$

图3. $y_{B^{+}}>y_C$ 时，系统(3)存在阶一周期解

Figure 4. System (3) exists an unilateral order-1 solution for the case $y_{B^{+}}<y_C$

图4. $y_{B^{+}}<y_C$ 时，系统(3)存在阶一周期解

在系统(1)中，当$x=h_2$ 时加入状态反馈脉冲控制，得到如下模型(4)

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{x\left(a-bx\right)}{1+cx}-\frac{mxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}=\frac{kmxy}{\alpha +\beta x+\gamma y}-dy\end{array}\}x<h_2,\\ \begin{array}{l}\Delta x=-q{x}^{*}\\ \Delta y={\delta }_{2}y\end{array}\}x=h_2,y>\frac{m{h}_1\left(1+c{h}_1\right)-\left(a-b{h}_1\right)\left(\alpha +\beta h_1\right)}{\left(a-b{h}_1\right)\gamma }.\end{array}$ (4)

$y=\frac{\left(km-d\beta \right)x-d\alpha }{d\gamma }$ 交x-轴于点A，B为脉冲集M₂与$y=\frac{\left(km-d\beta \right)x-d\alpha }{d\gamma }$ 的交点，过B的轨线与相

集N₂的第一个交点为C，第二个交点为D，脉冲函数${\phi }_2$ 将B映射到点B⁺。若$y_{B^{+}}=y_D$ 或$y_{B^{+}}=y_C$ 时，显然系统(4)存在阶一周期解，下面说明$y_{B^{+}}<y_D$ ，$y_D<y_{B^{+}}<y_C$ 和$y_{B^{+}}>y_C$ 三种情况。

定理8 当$y_{B^{+}}<y_D$ 时，系统(4)存在周期解。

证明 过B⁺的轨线交脉冲集M₂于点B₁，由系统轨线的性质知B₁在的下方B，脉冲映射${\phi }_2$ 将其映射到相集N₂上的$B_1^{+}$ ，显然$B_1^{+}$ 也在B⁺的下方，于是有后继函数$f\left(B^{+}\right)=y_{B_1^{+}}-y_{B^{+}}<0$ ；在N₂上取一点B₂满足$0<y_{B_2}<\epsilon \left(\forall \epsilon >0\right)$ ，过B₂的轨线交M₂于点B₃且有$y_{B_3}>y_{B_2}$ ，${\phi }_2$ 将其映射到N₂上的点$B_3^{+}$ 处，显然$y_{B_3^{+}}>y_{B_2}$ ，于是有后继函数$f\left(B_2\right)=y_{B_3^{+}}-y_{B_2}>0$ ；因此根据后继函数的连续性，在B⁺与B₂之间一定存在一点使得在该点处的后继函数为零，阶一周期解的存在行得证(如图5所示)。

Figure 5. System (4) exists an unilateral order-1 solution for the case $y_D>y_{B^{+}}$

图5. $y_D>y_{B^{+}}$ 时，系统(4)存在阶一周期解

定理9 当$y_D<y_{B^{+}}<y_C$ 时，以C为研究点，与上述证明类似可以同样可以得到系统(4)存在阶一周期解。

定理10 当$y_{B^{+}}>y_C$ 时，系统(4)存在阶一周期解。

证明 过B⁺的轨线与脉冲集M₂相交于点B₁，根据系统(4)的轨线走势知$y_{B_1}<y_B$ ，接着脉冲映射${\phi }_2$ 将其映射到N₂上的$B_1^{+}$ ，有$y_{B_1^{+}}=\left(1+{\delta }_2\right)y_{B_1}$ ，而$y_{B^{+}}=\left(1+{\delta }_2\right)y_B$ ，因此有$f\left(B^{+}\right)=y_{B_1^{+}}-y_{B^{+}}<0$ ；在N₂上取一点B₂满足$0<y_{B_2}<\epsilon \left(\forall \epsilon >0\right)$ ，过B₂的轨线交M₂于点B₃且有$y_{B_3}>y_{B_2}$ ，${\phi }_2$ 将其映射到N₂上的点$B_3^{+}$ 处，显然$y_{B_3^{+}}>y_{B_2}$ ，于是B₂的后继函数$f\left(B_2\right)=y_{B_3^{+}}-y_{B_2}>0$ 。

因此由后继函数的连续性得到，在B⁺与B₂之间一定存在一点B₄，满足$f\left(B_4\right)=0$ ，于是系统(4)阶一周期解的存在性得证(如图6所示)。

Figure 6. System (4) exists an unilateral order-1 solution for the case $y_{B^{+}}>y_C$

图6. $y_{B^{+}}>y_C$ 时，系统(4)存在阶一周期解

4. 结论

本文构建了一个食饵具有Smith增长且与捕食者之间的相互作用为Beddington-DeAngelis功能反应的模型来描述叶螨和捕植螨的这对食饵–捕食者关系，同时也通过加入状态反馈脉冲控制来人为干预它们，并证明了状态反馈脉冲控制系统阶一周期解的存在性，于是得到当食饵增加到一定规模时，捕杀叶螨，当食饵减小到一定规模时，收获捕植螨，以此使系统达到平衡状态。

NOTES

^*通讯作者。