倾斜毛细裂缝中油水分层流的相对渗透率研究

Research on the Relative Permeabilities of Laminar Oil-Water Flow in Inclined Capillary Fractures

摘要: 在裂缝性油藏渗流的研究中，毛细裂缝渗流是多孔介质渗流的微观基础。基于分层流模型和达西渗流理论，建立了考虑油水界面滑移的油水分层流相对渗透率模型。该模型表明油水相对渗透率是饱和度、湿周以及提出的界面滑移系数的函数。实验以白油与水作为工作流体，采用微流控技术加工了毛细裂缝，研究了不同倾斜角度的毛细裂缝中油水分层流的相对渗透率，与提出的相对渗透率模型的计算结果进行了对比分析。研究发现，计算结果与实验数据符合较好。当含油饱和度一定，毛细裂缝的倾斜角度对毛细裂缝中的油水相对渗透率影响很小。油相的界面滑移系数值在0.98至1.18之间，水相的界面滑移系数值在0.58至0.90之间，对于同一倾斜裂缝，随着含油饱和度的增大，油水界面滑移对油相的相对渗透率的影响逐渐减小，对水相的相对渗透率的影响逐渐增大，且对水相的相对渗透率的影响大于对油相的相对渗透率的影响。

Abstract: In the study of fractured reservoir seepage flow, capillary fracture seepage flow is the microscopic basis of porous media seepage. A relative permeability model for stratified oil-water flow considering oil-water interface slip was established based on the stratified flow model and Darcy flow theory. This model indicates that the relative permeabilities of oil-water flow are a function of saturation, wetted perimeter, and the proposed interfacial slip coefficient. The experiment used white oil and water as working fluids and employed microfluidic technology to process a capillary fracture. The relative permeabilities of laminar oil-water flow in capillary fractures with different inclination angles were studied, and the calculated results were compared and analyzed with the proposed relative permeability model. The calculated results are in good agreement with the experimental data. When the oil saturation is constant, the inclination angle of the capillary fracture has little effect on the relative permeabilities of oil-water flow in the capillary fracture. The interface slip coefficient values of oil are between 0.98 and 1.18, and the interface slip coefficient values of water are between 0.58 and 0.90. For the same inclined fracture, as oil saturation increases, the influence of oil-water interface slip on the relative permeability of oil gradually decreases, and the impact on the relative permeability of water gradually increases. The effect of oil-water interface slip on the relative permeability of water is greater than that on the relative permeability of oil.

1. 引言

裂缝性油藏的储渗空间通常由大小及分布规则不同的毛细裂缝组成，使得这类油藏的流动规律较为复杂 [1] [2] ，故研究毛细裂缝中流体的流动特性有利于揭示和描述裂缝性油藏中流体的流动状况。油水相对渗透率是描述油水两相在毛细裂缝中流动的重要参数 [3] ，其曲线是研究裂缝性油藏中油水渗流规律的基础。但相对渗透率又是一个不确定的参数 [4] 。为了进一步理解裂缝中的油水相对渗透率机制，就需要建立相对渗透率理论模型。Yiotis等 [5] 将流体划分为润湿体相和非润湿体相，提出了一种基于格子玻尔兹曼方法的相对渗透率新模型。Xu等 [6] 基于天然多孔介质孔隙尺度几何结构的分形特征，建立了非饱和多孔介质中两相相对渗透率的预测模型。Wang等 [7] 将流体划分为4个区域：油区、水区、吸附水区、油水过渡区，提出了基于无滑移Hagen-Poiseuille (HP)方程的水润湿多孔介质的相对渗透率预测模型。Su等 [3] 也将孔隙和微裂缝中的流动空间划分为4个区域，提出了一种基于改进的Hagen-Poiseuille (HP)方程和页岩重建算法的相对渗透率模型。上述的相对渗透率模型也只是被针对特定的油水分布提出的。相对渗透率又与裂缝中的液液流动的流型有关 [4] 。在层流下，油水分层流是毛细裂缝中常见的油水两相流流型 [8] 。鉴于此，本文基于考虑壁面剪切应力、油水界面滑移、重力的油水分层流模型和达西渗流理论，得到了适用于毛细裂缝中油水分层流的相对渗透率模型。并与倾斜裂缝中的油水分层流的实验结果进行了对比，验证相对渗透率模型的适用性。这将对裂缝性油藏开发中的参数计算和油藏数值模拟等方面有着重要意义。

2. 油水相对渗透率理论

绝对渗透率

基于李敏等 [9] 对油水相对渗透率特性研究，裂缝的绝对渗透率如下：

$k=\frac{32}{Po}\cdot \frac{A}{B}$ (1)

其中，k是绝对渗透率，m²；Po是泊肃叶数。

在公式(1)中，矩形裂缝的泊肃叶数 [10] 计算公式为：

$Po=96\left(1-1.3553\alpha +1.9467{\alpha }^2-1.7013{\alpha }^3+0.9564{\alpha }^4-0.2537{\alpha }^5\right)$ (2)

其中，α是矩形通道截面的短边和长边的比值( $0<\alpha <\text{1}$ )。

d_h是裂缝的水力直径 [11] ，可以表示为：

$d_{\text{h}}=\frac{4A}{B}$ (3)

其中，A是裂缝的横截面积，m²；B是裂缝的湿周，m。

将公式(3)代入公式(1)，得到公式(4)。可以看出，绝对渗透率仅取决于裂缝的几何参数。

$k=\frac{2d_{\text{h}}^2}{Po}$ (4)

油水两相在裂缝中的渗流速度可由以下公式 [12] 计算：

$J_{\text{w}}=\frac{k_{\text{rw}}k}{{\mu }_{\text{w}}}\cdot \left(\frac{\Delta p}{L}-{\rho }_{\text{w}}g\sin \theta \right)$ (5)

$J_{\text{o}}=\frac{k_{\text{ro}}k}{{\mu }_{\text{o}}}\cdot \left(\frac{\Delta p}{L}-{\rho }_{\text{o}}g\sin \theta \right)$ (6)

其中，J_w、J_o分别为水相渗流速度以及油相渗流速度，m‧s⁻¹；k_rw、k_ro分别为水相相对渗透率和油相相对渗透率； $\theta$ 为裂缝通道中流体流动的方向与水平面的夹角，流体向上流动时角度为正，反之为负；m_w、m_o分别为水相粘度和油相粘度，Pa‧s；ρ_w、ρ_o分别表示水相密度和油相的密度，kg‧m⁻³；Dp分别为油水两相的压差，Pa；L为裂缝试验段的长度，m；g表示重力加速度。

由公式(5)、(6)可知，当裂缝、流体的参数一定，只要得知油水两相的压降值，便可得到油水相对渗透率，故裂缝中油水两相流的压降是研究油水两相渗流的关键。假设油水两相完全分开流动，油水流动为一元流动，任一流道截面上，压力分布均匀，不考虑流速以及流体物性参数沿管道径向方向的变化，考虑壁面切应力、油水界面滑移、重力的分层流模型可以表示为 [11] ：

$-A_{\text{w}}\frac{\text{d}p}{\text{d}x}-{\tau }_{\text{w}}{B}_{\text{w}}-{\tau }_{\text{i}}{B}_{\text{i}}-A_{\text{w}}{\rho }_{\text{w}}g\sin \theta =0$ (7)

$-A_{\text{o}}\frac{\text{d}p}{\text{d}x}-{\tau }_{\text{o}}{B}_{\text{o}}+{\tau }_{\text{i}}{B}_{\text{i}}-A_{\text{o}}{\rho }_{\text{o}}g\sin \theta =0$ (8)

其中，A_w、A_o分别表示水相和油相的横截面积，m²；τ_w、τ_o、τ_i表分别表示油相的壁面切应力、水相的壁面切应力，油水两相界面切应力，Pa；B_w、B_o分别表示水相和油相的湿周，m；B_i表示油水两相的界面湿周，m；Re_w，Re_o分别表示水相和油相的雷诺数。

在公式(7)、(8)涉及的油水分层流基本关系式 [11] 如表1所示。

在表1中，S_w、S_o分别为含水饱和度和含油饱和度；Q_w、Q_o分别为水流量和油流量，m³‧s⁻¹；f_w，f_o分别为体积含水率和体积含油率；u_w，u_o分别为水相与油相在裂缝中的平均流速，m‧s⁻¹；λ_w，λ_o为水相和油相在裂缝中的达西摩擦系数；λ_i为油水界面的达西摩擦系数；d_w，d_o分别为水相和油相在裂缝中的水力直径，m。

Table 1. Basic relations for stratified oil-water flow

表1. 油水分层流基本关系式

将表1中的物理量代入公式(7)、(8)中，得到以下公式：

$J_{\text{w}}=S_{\text{w}}^3{\left(\frac{B}{B_{\text{w}}}\right)}^2{C}_{\text{w}}\frac{k}{{\mu }_{\text{w}}}\left(\frac{\Delta p}{L}-{\rho }_{\text{w}}g\sin \theta \right)$ (9)

$J_{\text{w}}=S_{\text{w}}^3{\left(\frac{B}{B_{\text{w}}}\right)}^2{C}_{\text{w}}\frac{k}{{\mu }_{\text{w}}}\left(\frac{\Delta p}{L}-{\rho }_{\text{w}}g\sin \theta \right)$ (10)

其中，C_w、C_o为本文提出的界面滑移系数，分别代表水相的界面滑移系数和油相的界面滑移系数，利用这两个界面滑移系数研究油水界面滑移对油水渗流的影响，其表达式如表2所示。

对比公式(5)、(6)以及公式(9)、(10)，得到考虑油水界面滑移的油水相对渗透率模型，如下所示：

$k_{\text{rw}}=S_{\text{w}}^3{\left(\frac{B}{B_{\text{w}}}\right)}^2{C}_{\text{w}}$ (11)

$k_{\text{ro}}=S_{\text{o}}^3{\left(\frac{B}{B_{\text{o}}}\right)}^2{C}_{\text{o}}$ (12)

由公式(11)、(12)看出，油水相对渗透率是饱和度、湿周以及界面滑移系数的函数。

Table 2. Interfacial slip coefficients.

表2. 界面滑移系数

3. 油水两相流动实验

实验以水(ρ_w = 1000 kg‧m⁻³, μ_w = 0.000987 Pa‧s)和白油(ρ_o = 810 kg/m³, μ_o = 0.0098 Pa‧s, m_o/m_w = 9.9)作为实验的工作流体，采用微流控技术在透明的有机玻璃板上加工得到矩形截面的毛细裂缝，矩形毛细裂缝截面的高度H为10 mm，宽W为1.15 mm，毛细裂缝长度为1250 mm，在毛细裂缝上加工有距离为790 mm的测压孔，与差压变送器相连，裂缝进口/出口到测压孔的距离为230 mm。毛细裂缝的尺寸符合裂缝性储层尺度特征 [13] 。设计了油水流动实验装置，如图1所示。实验系统按功能划分为两个个系统：动力系统、计量观测系统。所有实验都是在室温23℃、大气压为0.101 Mpa的条件下进行实验的。实验中油水流量之和为10 L·h⁻¹，雷诺数的范围在2到1000之间。

Figure 1. Schematic diagram of experimental setup

图1. 实验装置示意图

准确测量实验数据是研究裂缝中油水两相渗流的关键。利用压差变送器测量油水两相的压差，变送器的精度等级为0.1级，压差变送器的最小压力测量值约为10 kPa，因此压力测量的最大相对不确定度为1%。流量用转子粘度计进行测量，最小测量精度为0.01 L·h⁻¹，最小测量值约为1 L·h⁻¹，所以最大测量相对不确定度为0.1%。流体密度利用量筒进行测量，用的分度值为1 mL，最小测量体积为80 mL，而天平的测量精度为0.01 g，最小测量质量为30 g，所以密度测量的最大相对不确定度为1.3%。裂缝长度值使用游标卡尺测量，最大测量相对不确定度为0.1%。粘度用体积式黏度计进行测量，测量的不确定度为0.2%。泊肃叶数Po通过公式(2)计算，绝对渗透率k通过公式(1)计算，实验的油水相对渗透率k_ro和k_rw根据公式(5)、(6)计算。根据不确定性传播定律 [14] ，得到Po、k、k_ro和k_rw的相对合成标准不确定度分别为0.1%、0.9%、1.4%、1.4%，故实验测量是可靠的。

4. 实验结果与分析

油水分层流相对渗透理论模型指出，相对渗透率率是饱和度、湿周、油水流量比、粘度比的函数，与通道的放置形式无关。经典的油水渗流公式(5)、(6)指出，通道的倾斜会影响油水相对渗透率。接下来研究油水两相在不同倾斜角度裂缝中的油水相对渗透率。根据油水相对渗透率理论模型可知，油水流量比(即相含率)、饱和度和油水界面滑移系数会影响油水相对渗透率，故接下来主要研究这些因素对不同倾斜裂缝中油水相对渗透率的影响。

4.1. 相含率的影响

白油与水在矩形裂缝倾斜−60˚、−45˚、−30˚、30˚、45˚、60˚放置时，均出现分层流。流型如图2所示。根据油水分层流相对渗透率模型，得到毛细裂缝在不同倾斜角度下，相含率与油水相对渗透率的关系，结果如图3所示。

Figure 2. Flow pattern of oil-water two-phase flow in inclined capillary fractures

图2. 油水两相在倾斜毛细裂缝中的流型

由图3可知，油水分层流相对渗透率模型的计算值与实验数据吻合度较高。对于倾斜角度一定的毛细裂缝，随着含油率的增大，油相的相对渗透率逐渐增大，水相的相对渗透率逐渐减小。当含油率大于0.7时，同一含油率下，不同倾斜角度的毛细裂缝中的油水相对渗透率的变化很小。当毛细裂缝向上倾斜时，随着倾斜角度的增大，油水相对渗透率逐渐减小；当毛细裂缝向下倾斜时，随着倾斜角度的增大，油水相对渗透率逐渐增大。这是因为倾角向上倾斜时，由于重力分异作用 [15] ，通道管壁上会黏附少量的白油，减弱了流体的流通能力，油水相对渗透率减小。倾角向下倾斜时，由于重力的作用减弱了流体在管壁的黏附，从而加强了流体的流通能力，油水相对渗透率增大。由油水分层流相对渗透率理论模型可知，油水相对渗透率是饱和度、湿周、油水流量比、粘度比等的函数，与毛细裂缝通道的放置形式无关，故可以推测在毛细裂缝通道、油水流量比、流体粘度一定的情况下，通道的倾斜放置只是改变了油水两相在倾斜毛细裂缝中的油水分布，从而导致了不同倾斜毛细裂缝中油水相对渗透率的差异。

(a) (b) (c)

Figure 3. Relationship between phase content and relative permeabilities of oil-water flow in capillary fractures with different inclination angles

图3. 毛细裂缝在不同倾斜角度下，相含率与油水相对渗透率的关系

4.2. 饱和度的影响

实验中也测量了不同含油率下，倾斜毛细裂缝中的油相饱和度。基于公式(7)、(8)可计算出不同含油率下对应的计算含油饱和度。由含油率与饱和度的关系，进一步得到毛细裂缝在不同倾斜角度下，饱和度与含油率的关系以及饱和度与油水相对渗透率的关系，结果如图4所示。

(a) (b) (c) (d)

Figure 4. Relationship between phase saturation and relative permeabilities of oil-water flow in capillary fractures with different inclination angles

图4. 毛细裂缝在不同倾斜角度下，饱和度与油水相对渗透率的关系

由图4(a)可以看出，实验饱和度与计算饱和度几乎一致。在含油率小于0.7时，同一含油率下，不同倾斜裂缝中对应不同的油饱和度，即具有不同的油水分布。当含油率大于0.7时，同一含油率下，不同倾斜裂缝中几乎对应相同的油饱和度，即具有相似的油水分布。由图4(b)~(d)可以看出，对于倾斜角度一定的毛细裂缝，随着油饱和度的增大，油相的相对渗透率逐渐增大，水相的相对渗透逐渐减小。这与李爱芬等 [16] 利用稳态法测定倾斜圆形缝洞中的油水渗流规律一致。另外，由图4(b)~(d)还可以看出，饱和度一定时，毛细裂缝的倾斜角度对矩形毛细裂缝中油水相对渗透率影响不大。

4.3. 油水界面滑移的影响

根据以上倾斜毛细裂缝中油水相对渗透率的实验数据，由表2计算得到油水界面滑移系数C_o，C_w，如图5所示。基于油水界面滑移系数进一步分析油水界面滑移对倾斜毛细裂缝中油水渗流的影响。

(a) (b)

Figure 5. Relationship interfacial slip coefficient between and relative permeabilities of oil-water flow in capillary fractures with different inclination angles

图5. 毛细裂缝在不同倾斜角度下，界面滑移系数与油水相对渗透率的关系

由图5可知，C_o的值在0.98至1.18之间，C_w的值在0.58至0.90之间。可以看出，油水界面滑移对水相的相对渗透率的影响大于对油相的相对渗透率的影响。对于同一倾斜毛细裂缝，随着含油饱和度的增大，油相的界面滑移系数逐渐减小并靠近1，水相的界面滑移系数逐渐增大并远离1。由油水分层流相对渗透率理论模型可知，油水相对渗透率是饱和度、湿周以及界面滑移系数的乘积。故对于同一倾斜毛细裂缝，随着含油饱和度的增大，油水界面滑移对油相的相对渗透率的影响逐渐减小，对水相的相对渗透率的影响逐渐增大。

5. 结论

油水相对渗透率是描述油水两相在毛细裂缝中流动的重要参数，其曲线是研究裂缝性油藏中油水渗流规律的基础。但相对渗透率又是一个不确定的参数，且与裂缝中的油水流动的流型有关。油水分层流是毛细裂缝中常见的油水两相流流型。故本文基于考虑壁面剪切应力、油水界面滑移、重力的分层流模型，建立了考虑油水界面滑移的油水分层流相对渗透率模型，通过实验验证了不同倾斜毛细裂缝中油水分层流的相对渗透率。得到以下主要结论：

(1) 油水相对渗透率是饱和度、湿周以及提出的界面滑移系数的函数。

(2) 基于分层流模型提出的油水分层流相对渗透率模型可以很好地预测倾斜毛细裂缝中油水分层流的相对渗透率。

(3) 含油饱和度一定时，毛细裂缝的倾斜角度对毛细裂缝中的油水相对渗透率的影响很小。

(4) 提出了油水界面滑移系数，研究了油水滑移对毛细裂缝中油水渗流的影响。油相的界面滑移系数C_o的值在0.98至1.18之间，水相的界面滑移系数C_w的值在0.58至0.90之间，油水界面滑移对水相相对渗透率的影响大于对油相相对渗透率的影响。对于同一倾斜毛细裂缝，随着含油饱和度的增大，油水界面滑移对油相的相对渗透率的影响逐渐减小，对水相的相对渗透率的影响逐渐增大。

致谢

感谢老师的指导以及同学们的帮助。

基金项目

本研究由国家自然科学基金资助：11572241。

NOTES

^*通讯作者。