单位球丛上L(g)泛函变分问题

The Variational Problem of L(g) on Unit Tangent Sphere Bundles

摘要: 本文研究了紧切触度量流形(M,η,g)上的L(g)泛函，该泛函是对Reeb向量场方向的里奇曲率在切触度量流形上的积分。特别地，我们考虑了紧黎曼流形的单位球丛这一特殊的切触度量流形。首先计算了L(g)泛函在球丛的底流形上的泛函形式。然后通过计算L泛函在底流形上的变分，我们发现当底流形是二维时，具有平坦性的黎曼度量是L泛函在底流形上的临界点。

Abstract: This paper investigates theL(g)functional on contact metric manifold(M,η,g), which is the integral of the Ricci curvature along the Reeb vector field direction on the contact metric manifold. In particular, we consider the special case of the unit Tangent Sphere Bundles of a Riemannian manifold as a contact metric manifold. Firstly, we compute the functional form ofL(g)functional on the base manifold of the Tangent Sphere Bundles. Then, by computing the variation of the L functional on the base manifold, we find that Riemannian metrics with flatness are critical points of the L functional on the base manifold when the base manifold is two-dimensional.

1. 引言

切触几何，作为微分几何的重要分支，逐渐发展成为了现代数学的前沿学科之一。黎曼流形 $\left(M,g\right)$ 的单位球丛 $T_{1}M$ 作为特殊的切触流形，可以由其底流形的黎曼度量g自然诱导出标准的切触度量结构 [1] [2] [3] [4] [5] 。因此，通过研究黎曼流形的球丛来揭示底流形几何特性是黎曼几何中一个重要的领域。例如，底流形M上的正则测地线在球丛 $T_{1}M$ 上的提升也是球丛的测地线 [6] 。

切触度量流形 $\left(M,\eta ,g\right)$ 具有一个切触结构 $\eta$ 以及与切触结构相容的黎曼度量，我们也将这个相容的黎曼度量称之为关联度量 [1] 。一方面，如果 $\eta$ 是给定的切触结构，那么切触度量流形具有唯一的Reeb向量场 $\xi$ 。并且，如果Reeb向量场 $\xi$ 是Killing向量场的话，则我们称这个切触度量是K-contact的 [1] 。另一方面，关联度量g在切触度量流形中并非唯一确定的，这意味着不同关联度量所给定的曲率也各不相同。因此，Reeb向量场方向的里奇曲率 $Ric\left(\xi ,\xi \right)$ 实际上是一个关于关联度量g的泛函。那么，里奇曲率 $Ric\left(\xi ,\xi \right)$ 在切触度量流形上的积分

$L\left(g\right)={\displaystyle {\int }_{M}Ric\left(\xi ,\xi \right)\text{d}V}$

是一个关于关联度量g的泛函，其中， $\text{d}V=\left(1/2^{n}n!\right)\eta \wedge {\left(\text{d}\eta \right)}^n$ 。

在文献 [4] 中，Blair对 $L\left(g\right)$ 积分泛函进行了研究。他指出在紧正则切触度量流形上， $L\left(g\right)$ 泛函在其全体关联度量所构成的集合上的临界点是K-contact的。对此问题，我们不禁要进一步探讨：当流形不具有正则性，或者我们考虑的是其他特殊的切触度量流形时， $L\left(g\right)$ 泛函的临界点会展现出怎样的性质呢？我们知道，黎曼流形的单位球丛 $T_{1}M$ 上的关联度量是由其底流形M的黎曼度量所诱导的，作为一类特殊的切触度量流形，该泛函在球丛上的临界点会受到底流形性质的影响。因此，本文首先计算了 $L\left(g\right)$ 泛函在球丛的底流形上的具体形式(详见公式(8))。然后，通过计算这一泛函形式的梯度公式，我们进一步探究该泛函在底流形上临界点的几何性质。经过这一系列的计算和分析，我们得到了下面结果：

定理 设底流形M是2维光滑紧流形， $T_{1}M$ 是底流形M诱导出的紧球丛。如果底流形上的度量是曲率平坦的，那么它是L泛函在底流形上的临界点。

2. 预备知识

定义2.1 [1] ：一个维数为 $2n+1$ 的光滑流形M被称为切触流形(Contact Manifold)，那么，它具有一个全局的1-形式 $\eta$ ，满足 $\eta \wedge {\left(d\eta \right)}^n\ne 0$ 。特别的，存在一个全局向量场 $\xi$ ，对任意向量场X，满足

$d\eta \left(\xi ,X\right)=0,\eta \left(\xi \right)=1$

在这里， $\xi$ 被称为关于切触结构 $\eta$ 的特征向量场或者Reeb向量场。

考虑一个切触流形 $\left(M,\eta \right)$ 具有一个近切触结构 $\left(\varphi ,\xi ,\eta \right)$ 。其中， $\varphi$ 是一个 $\left(1,1\right)$ 型张量场，满足

${\varphi }^2=-Id+\eta \otimes \xi ,\varphi \xi =0,\eta \circ \varphi =0$

如果具有近切触结构的切触流形容许一个黎曼度量g，对上述的 $\left(1,1\right)$ 型张量场 $\varphi$ ，满足

$g\left(\varphi X,\varphi Y\right)=g\left(X,Y\right)-\eta \left(X\right)\eta (\; Y\; )$

那么，我们称流形 $\left(M,\eta ,g\right)$ 为切触度量流形，并且 $\left(\eta ,g,\varphi ,\xi \right)$ 称为切触度量流形上的切触度量结构。特别的，我们还有 $d\eta \left(X,Y\right)=g\left(X,\varphi Y\right)$ ，在这里黎曼度量g也被称为流形的关联度量(Associated Metric)。

定义2.2 [1] ：在切触度量流形上，我们定义一个算子h

$h=\frac{1}{2}{\mathcal{L}}_{\xi }\varphi$ (1)

显然，这里的算子h是一个张量场。下面，我们将给出关于算子h的一些重要性质。

命题2.3 [1] ：在切触度量流形上，对于Reeb向量场 $\xi$ ，有 $h\xi =0$ 。

命题2.4 [1] ：在切触度量流形上，有 $\eta \circ h=0$ 。

命题2.5 [1] ：在切触度量流形上，h是一个对称算子，并且有

1) ${\nabla }_X\xi =-\varphi X-\varphi hX$ ；

2) h和 $\varphi$ 具有反交换性，即 $h\varphi =-\varphi h$ ；

3) $\mathrm{tr}h=0$ 。

命题2.6 [1] ：在切触度量流形上，有下面两个公式

$\left({\nabla }_{\xi }h\right)X=\varphi X-h^2\varphi X-\varphi R_{X\xi }\xi$ (2)

$\frac{1}{2}\left(R_{\xi X}\xi -\varphi R_{\xi \varphi X}\xi \right)=h^{2}X+{\varphi }^{2}X$ (3)

引理2.7 [1] ：在切触度量流形 $M^{2n+1}$ 上，Reeb向量场 $\xi$ 方向的里奇曲率为

$Ric\left(\xi \right)=2n-\text{tr}{h}^2$ (4)

证明：由公式(3)可知，

$\frac{1}{2}\left(R_{\xi X}\xi -\varphi R_{\xi \varphi X}\xi \right)=h^{2}X+{\varphi }^{2}X$

于是，令X是与 $\xi$ 正交的单位向量，我们取X与上述等式的内积，有

$K\left(\xi ,X\right)+K\left(\xi ,\varphi X\right)=2\left(1-g\left(h^{2}X,X\right)\right)$

这里的K是指的截面曲率。因此，如果 $\left\{X_1,\cdots ,X_n,\varphi X_1,\cdots ,\varphi X_n,\xi \right\}$ 是流形 $M^{2n+1}$ 上的一组 $\varphi$ -basis，那么通过取 $\left\{X_1,\cdots ,X_n\right\}$ 然后求和，结论成立。

□

定理2.8 [1] ：切触度量流形 $M^{2n+1}$ 是K-contact当且仅当 $Ric\left(\xi \right)=2n$ 。

证明：由于 $M^{2n+1}$ 是K-contact的一个充要条件是 $h=0$ [1] ，因此上述定理显然成立。

□

3. L(g)泛函在球丛上沿球面纤维的积分

定义3.1 [1] 假设M是一个n维的光滑流形， $\pi :TM\to M$ 是底流形的切丛，其中G是流形M上的黎曼度量，D是流形M上的Levi-Civita联络 [1] 。

如果X是M上的向量场，那么它在切丛TM上的垂直上升 $X^V$ 和水平上升 $X^H$ 分别被定义为

$X^V\omega =\omega \left(X\right)\circ \pi ,X^H\omega =D_X\omega .$

其中， $\omega$ 是流形M上的1-形式 [1] 。

假如 $\left(x^1,\cdots ,x^n\right)$ 是流形M上的一组局部坐标，设 $q^i=x^i\circ \pi$ ；那么 $\left(q^1,\cdots ,q^n\right)$ 和纤维坐标 $\left(v^1,\cdots ,v^n\right)$ 构成TM的一组局部坐标。显然，切丛TM垂直上升 $X^V$ 的局部表达式为

$X^V=X^i\frac{\partial }{\partial v^i}$

又因为流形M上的协变导数 $D_X\omega$ 的局部表达式可以写成 $\left(X^i\frac{\partial {\omega }_j}{\partial x^i}-X^i{\omega }_k{\Gamma }_{ij}^k\right)d{x}^j$ ，这里 ${\Gamma }_{ij}^k$ 是联络系数。如果我们取 $D_X\omega$ 在点 $t=v^l\frac{\partial }{\partial x^l}$ 处的值，易得

$\begin{array}{c}\left(D_X\omega \right)\left(t\right)=\left(\left(X^i\frac{\partial {\omega }_j}{\partial x^i}-X^i{\omega }_k{\Gamma }_{ij}^k\right)d{x}^j\right)\left(v^l\frac{\partial }{\partial x^l}\right)\\ =v^j{X}^i\frac{\partial {\omega }_j}{\partial x^i}-X^i{v}^j{\Gamma }_{ij}^k{\omega }_k\\ =\left(X^i\frac{\partial }{\partial q^i}-X^i{v}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial v^k}\right){\omega }_l{v}^l\end{array}$

因此， $X^H$ 的局部表达式为

$X^H=X^i\frac{\partial }{\partial q^i}-X^i{v}^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial v^k}=X^i\left(\frac{\partial }{\partial q^i}-v^j{\Gamma }_{ij}^k\frac{\partial }{\partial v^k}\right)=X^i\frac{\delta }{\delta q^i}$

综上，我们可以确定切丛在 $t\in TM$ 处的切空间 $T_{t}TM$ 上的一组基为 $\left(\frac{\delta }{\delta q^1},\cdots ,\frac{\delta }{\delta q^n},\frac{\partial }{\partial v^1},\cdots ,\frac{\partial }{\partial v^n}\right)$ 。

定义联络映射 $K:TTM\to TM$ 为

$K{X}^H=0,K{X}_t^V=X_{\pi \left(t\right)},t\in TM$

TM容许一个近复结构J，定义为

$J{X}^H=X^V,J{X}^V=-X^H$

如果，TM上的黎曼度量 $\bar{g}$ 被称作为Sasaki度量，那么

$\bar{g}\left(X,Y\right)=\left(G\left({\pi }_{*}X,{\pi }_{*}Y\right)+G\left(KX,KY\right)\right)\circ \pi ,$

这里，X和Y是TM上的向量场。由于， ${\pi }_{*}\circ J=-K$ 和 $K\circ J={\pi }_{*}$ ，则 $\bar{g}$ 是关于近复结构J的Hermitian度量 [1] 。

命题3.2 [1] 在黎曼流形 $\left(M,G\right)$ 上，R是黎曼度量G关于Levi-Civita联络D的曲率张量。那么，对于切丛TM上的黎曼度量 $\bar{g}$ 的Levi-Civita联络 $\bar{\nabla }$ ，我们有

$\begin{array}{l}{\left({\bar{\nabla }}_{X^H}{Y}^H\right)}_t={\left(D_{X}Y\right)}_t^H-\frac{1}{2}{\left(R_{XY}t\right)}_t^V\\ {\left({\bar{\nabla }}_{X^H}{Y}^V\right)}_t=\frac{1}{2}{\left(R_{tY}X\right)}_t^H+{\left(D_{X}Y\right)}_t^V\\ {\left({\bar{\nabla }}_{X^V}{Y}^H\right)}_t=\frac{1}{2}{\left(R_{tX}Y\right)}_t^H\\ {\bar{\nabla }}_{X^V}{Y}^V=0\end{array}$

定义3.3 [1] [2] ：球丛， $\pi :T_{1}M\to M$ ，是切丛TM上满足条件 ${\displaystyle \sum G_{ij}}{v}^i{v}^j=1$ 的超曲面。在这里， $\nu =v^i\frac{\partial }{\partial v^i}$ 是任意一点 $\left(m,t\right)\in T_{1}M$ 处的单位法向量。度量 $g^{\prime }$ 是 $T_{1}M$ 上的被切丛TM上的Sasaki度量 $\bar{g}$ 所诱导的黎曼度量，并且 $\nabla$ 是关于 $g^{\prime }$ 的Levi-Civita联络。

由于在切丛上定义的垂直上升与球丛 $T_{1}M$ 的纤维并不相切。于是，对于 $X\in T_{m}M$ ，我们重新定义其切上升 $X^T$ 为

$X^T=X^V-G\left(X,t\right)\nu$

那么，度量 $g^{\prime }$ 在任意一点 $T_{1}M$ 上任意一点 $\left(m,t\right)$ 定义为

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }\left(X^H,Y^H\right)=\bar{g}\left(X^H,Y^H\right)=G\left(X,Y\right),g^{\prime }\left(X^H,Y^T\right)=0,\\ g^{\prime }\left(X^T,Y^T\right)=\bar{g}\left(X^T,Y^T\right)=G\left(X,Y\right)-G\left(X,t\right)G\left(Y,t\right)\end{array}$

由命题3.2我们可以得到度量 $g^{\prime }$ 的Levi-Civita联络为

$\begin{array}{l}{\nabla }_{X^T}{Y}^T=-G\left(Y,t\right)X^T;\\ {\nabla }_{X^T}{Y}^H=\frac{1}{2}{\left(R_{tX}Y\right)}^H;\\ {\nabla }_{X^H}{Y}^T=\frac{1}{2}{\left(R_{tY}X\right)}^H+{\left(D_{X}Y\right)}^T;\\ {\nabla }_{X^H}{Y}^H={\left(D_{X}Y\right)}^H-\frac{1}{2}{\left(R_{XY}t\right)}^T\end{array}$

由切丛的近复结构J，我们定义 $T_{1}M$ 上的近切触结构 $\left({\varphi }^{\prime },{\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime }\right)$ 为

${\xi }^{\prime }=-J\nu =-v^{i}J{\left(\frac{\partial }{\partial x^i}\right)}^V=v^i{\left(\frac{\partial }{\partial x^i}\right)}^H,JX={\varphi }^{\prime }X+{\eta }^{\prime }\left(X\right)\nu$

在这里， ${\eta }^{\prime }$ 定义为 ${\xi }^{\prime }$ 的对偶，即 ${\eta }^{\prime }\left({\xi }^{\prime }\right)=1$ 。

然而，由于 $g^{\prime }\left(X,{\varphi }^{\prime }Y\right)=2d{\eta }^{\prime }\left(X,Y\right)$ ，故 $\left({\varphi }^{\prime },{\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },g^{\prime }\right)$ 不是标准切触度量结构。为此，我们对上述的结构进行修正，得到球丛的标准切触度量结构为

$\left(\varphi ,\xi ,\eta ,g\right)=\left({\varphi }^{\prime },2{\xi }^{\prime },\frac{1}{2}{\eta }^{\prime },\frac{1}{4}{g}^{\prime }\right)$

下面，我们通过切丛上的联络计算公式得出Reeb向量场 $\xi$ 的协变导数；

$\begin{array}{l}{\nabla }_{X^H}\xi =-{\left(R_{Xt}t\right)}^V=-{\left(R_{Xt}t\right)}^T\\ {\nabla }_{X^T}\xi =-2\varphi X^T-{\left(R_{Xt}t\right)}^H\end{array}$

对比公式(1)，我们可以得到水平上升和切上升关于算子h的计算公式

$h{X}^H=-X^H+{\left(R_{Xt}t\right)}^H,$ (5)

$h{X}^T=X^T-{\left(R_{Xt}t\right)}^T.$ (6)

引理3.4 [7] ：设 $P\left(x\right)=x^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\cdots x_n^{{\alpha }_n}$ 是一个单项式，其中 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\in \left\{0,1,2,\cdots \right\}$ ，并且设

${\beta }_j=\frac{1}{2}\left({\alpha }_j+1\right)$ 。那么

${\displaystyle {\int }_{S_n}P\text{d}\sigma }=\{\begin{array}{ll}0\hfill & 如果存在{\alpha }_j是奇数\hfill \\ \frac{2\Gamma \left({\beta }_1\right)\Gamma \left({\beta }_2\right)\cdots \Gamma \left({\beta }_n\right)}{\Gamma \left({\beta }_1+{\beta }_2+\cdots +{\beta }_n\right)}\hfill & 如果所有{\alpha }_j是偶数\hfill \end{array}$

在这里， $S_n$ 是n维球面， $\text{d}\sigma$ 是球面上的体积微元， $\Gamma \left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{s}^{t-1}}{e}^{-s}\text{d}s$ 是 $\Gamma$ 函数。

为了方便接下来的讨论，我们约定球丛上的里奇曲率张量记为 $\overline{Ric}$ ，而底流形上的里奇曲率张量则记为 $Ric$ 。

设底流形 $M^n$ 是n维紧光滑流形， $T_{1}M$ 是底流形 $M^n$ 诱导出来 $2n-1$ 维球丛。考虑M上任意一点x，设 $T_{x}M$ 的一组正交标架场为 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n=t\right\}$ ，那么 $\left\{2e_1^T,\cdots ,2e_{n-1}^T,2e_1^H,\cdots ,2e_{n-1}^H,2t^H=\xi \right\}$ 是 $T_z{T}_{1}M$ 的一组正交标架场，并且 $z=\left(x,t\right)$ 。

由公式(4)和公式(5)可知，

$\begin{array}{l}h{X}^H=-X^H+{\left(R_{Xt}t\right)}^H\\ h{X}^T=X^T-{\left(R_{Xt}t\right)}^T\end{array}$

于是，我们可以得到

$\begin{array}{l}{h}^2\left(2e_i^T\right)=2e_i^T-4{\left({\text{R}}_{e_{i}t}t\right)}^T+2{\left({\text{R}}_{{\text{(R}}_{e_{i}t}t)t}t\right)}^T\\ h^2\left(2e_i^H\right)=2e_i^H-4{\left({\text{R}}_{e_{i}t}t\right)}^H+2{\left({\text{R}}_{{\text{(R}}_{e_{i}t}t)t}t\right)}^H\end{array}$

根据上式，由引理2可知，

$\overline{Ric}\left(\xi ,\xi \right)=4Ric\left(t,t\right)-2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}\langle {\text{R}}_{e_{i}t}t,{\text{R}}_{e_{i}t}t\rangle }$ (7)

在这里， $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 表示底流形上关于黎曼度量G的内积。

因此， $L\left(g\right)$ 泛函可以计算为

$\begin{array}{c}L={\displaystyle {\int }_{T_{1}M}\overline{Ric}\left(\xi ,\xi \right)\text{d}{V}_{T_{1}M}}\\ ={\displaystyle {\int }_M{\displaystyle {\int }_{S_{x}M}4}}Ric\left(t,t\right)-2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}\langle R_{e_{i}t}t,R_{e_{i}t}t\rangle }\text{d}{V}_{S_{x}M}\text{d}{V}_M\\ ={\displaystyle {\int }_M{\displaystyle {\int }_{S_{x}M}4}}Ric\left(t,t\right)-2\kappa \left(t,t,t,t\right)\text{d}{V}_{S_{x}M}\text{d}{V}_M\end{array}$

其中， $S_{x}M$ 表示在底流形上任意一点x处的球形纤维， $\text{d}{V}_M$ 以及 $\text{d}{V}_{S_{x}M}$ 分别表示底流形和球形纤维的体积形式。

在这里，设 ${\kappa }_{ijkl}=G^{pq}{G}^{st}{R}_{jspi}{R}_{ltqk}$ 是一个 $\left(0,4\right)$ 型张量。若将原积分泛函看作是在底流形的积分，那么其被积函数就是 $x\in M$ 处的球形纤维上关于t的积分泛函，不妨记作

$\tau ={\displaystyle {\int }_{S_{x}M}4}Ric\left(t,t\right)-2\kappa \left(t,t,t,t\right)\text{d}{V}_{S_{x}M}$ .

显然， $S_{x}M$ 是底流形M在点x处切空间的 $T_{x}M$ 上的n维球面。为此，我们不妨设 $T_{x}M$ 上一组正交标架为 $\left\{{\tilde{e}}_1,{\tilde{e}}_2,\cdots ,{\tilde{e}}_n\right\}$ ，那么 $S_{x}M$ 上任意一点 $t={\displaystyle \sum a_i{\tilde{e}}_i}$ ，我们默认使用爱因斯坦求和约定。由引理3.4可知，积分 $\tau$ 可以表示为

$\begin{array}{c}\tau ={\displaystyle {\int }_{S_{x}M}4}Ric\left(t,t\right)-2\kappa \left(t,t,t,t\right)\text{d}{V}_{S_{x}M}\\ ={\displaystyle {\int }_{S_{x}M}4}Ric\left(t,t\right)\text{d}{V}_{S_{x}M}-{\displaystyle {\int }_{S_{x}M}2}\kappa \left(t,t,t,t\right)\text{d}{V}_{S_{x}M}\\ ={\displaystyle {\int }_{S_{x}M}4}{a}_i{a}_j{R}_{ij}\text{d}{V}_{S_{x}M}-{\displaystyle {\int }_{S_{x}M}2}{a}_i{a}_j{a}_k{a}_l{\kappa }_{ijkl}\text{d}{V}_{S_{x}M}\\ =8R-\left(2-\frac{3\pi }{4}\right){\displaystyle \underset{j}{\sum }{\left|R_{ijjl}\right|}^2}+\frac{\pi }{4}\left({\left|R_{il}\right|}^2+{\left|R_{ijkl}\right|}^2+R_{ijkl}{R}_{ikjl}\right)\end{array}$

在这里， $R=G^{ij}{R}_{ij}$ 是数量曲率。

于是，我们可以得到L泛函在底流形上的积分泛函的形式为

$L\left(G\right)={\displaystyle {\int }_{M}8}R-\left(2-\frac{3\pi }{4}\right){\displaystyle \underset{j}{\sum }{\left|R_{ijjl}\right|}^2}+\frac{\pi }{4}\left({\left|R_{il}\right|}^2+{\left|R_{ijkl}\right|}^2+R_{ijkl}{R}_{ikjl}\right)\text{d}{V}_M$ (8)

在这里，G表示底流形上的黎曼度量，而 $R_{ijkl}$ 、 $R_{ij}$ 以及R分别是底流形上的黎曼曲率张量、里奇曲率张量以及数量曲率。

4. 底流形维数为2时，L(g)积分泛函在底流形上的变分

定义4.1 [8] ：若M是一个光滑黎曼流形，那么 $\mathcal{M}$ 是流形M上所有黎曼度量的集合， $g\in \mathcal{M}$ ，而 $Q=Q\left(g\right)$ 是一个依赖于g的几何量。假设s是流形上的对称(0, 2)型张量，那么，沿着s的方向Q的变分 $\delta Q\left[s\right]$ 是：

$\delta Q\left[s\right]=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{Q\left(g+ts\right)-Q\left(g\right)}{t}={\frac{\text{d}\bar{Q}}{\text{d}t}|}_{t=0}$

在这里， $\bar{Q}\left(t\right):=Q\left(\bar{g}\right)=Q\left(g+ts\right)$ 。显然， $\delta g\left[s\right]=s$ 。

引理4.2 [1] ：M是光滑紧流形，设T是流形M上的二阶对称张量场。那么 ${\displaystyle {\int }_M\text{tr}}TD\text{d}{V}_g=0$ 对于所有的对称张量场D满足 ${\displaystyle {\int }_M\text{tr}}D\text{d}{V}_g=0$ 当且仅当 $T=cg$ ，这里c是常数。

在引理4.2中，我们可以将 ${\displaystyle {\int }_M\text{tr}}TD\text{d}{V}_g=0$ 改写 ${\displaystyle {\int }_M{T}^{ij}}{D}_{ij}\text{d}{V}_g={\displaystyle {\int }_M\langle T_{ij},D_{ij}\rangle \text{d}{V}_g}=0$ 的形式。于是，对任意的泛函 $\mathcal{G}$ 的变分有

${\frac{\text{d}}{\text{d}t}\mathcal{G}\left(g+ts\right)|}_{t=0}={\displaystyle {\int }_M\langle \nabla \mathcal{G},s\rangle \text{d}{V}_g}$

在这里， $\nabla \mathcal{G}$ 是一个对称张量，并且当g是临界点时，当且仅当 $\nabla \mathcal{G}=cg$ 。此时， ${\left(\nabla \mathcal{G}\right)}_{ij}$ 也被称为积分泛函 $\mathcal{G}$ 的梯度。

引理4.3：M是光滑紧流形， $\mathcal{M}$ 是流形M上所有黎曼度量的集合，二次数量曲率泛函 $A={\displaystyle \int R^2}\text{d}V$ 的梯度公式为

${\left(\nabla A\right)}_{ij}=2{\nabla }_{ij}^{2}R-2\left(\Delta R\right)g_{ij}-2R{R}_{ij}+\frac{1}{2}{R}^2{g}_{ij}$ (9)

证明：由文献 [9] 可知，数量曲率的变分公式为：

$\delta R\left[s\right]=-\Delta S+s_{ij,ij}-R_{ij}{s}_{ij}$

在这里，S是s的迹，即 $S=g^{ij}{s}_{ij}$ 。

那么，对于二次数量曲率泛函 $A={\displaystyle \int R^2}\text{d}V$ ，我们有

$\begin{array}{c}\delta A\left[s\right]=\delta {\displaystyle {\int }_M{R}^2}\text{d}V\\ ={\displaystyle {\int }_{M}2}R\left(\delta R\left[s\right]\right)+\frac{1}{2}{R}^{2}S\text{d}V\\ ={\displaystyle {\int }_{M}2}R\left(-\Delta S+s_{ij,ij}-R_{ij}{s}_{ij}\right)+\frac{1}{2}{R}^{2}S\text{d}V\\ ={\displaystyle {\int }_M-}2R\Delta S+2R{s}_{ij,ij}-2R{R}_{ij}{s}_{ij}+\frac{1}{2}{R}^{2}S\text{d}V\\ ={\displaystyle {\int }_M-}2\Delta RS+2{\nabla }_{ij}^{2}R{s}_{ij}-2R{R}_{ij}{s}_{ij}+\frac{1}{2}{R}^{2}S\text{d}V\\ ={\displaystyle {\int }_M\langle -2\left(\Delta R\right)g_{ij}+2{\nabla }_{ij}^{2}R-2R{R}_{ij}+\frac{1}{2}{R}^2{g}_{ij},s_{ij}\rangle \text{d}V}\end{array}$

由引理4.2可知， ${\left(\nabla A\right)}_{ij}=2{\nabla }_{ij}^{2}R-2\left(\Delta R\right)g_{ij}-2R{R}_{ij}+\frac{1}{2}{R}^2{g}_{ij}$ 。

□

假设底流形M的维数为2，在这种情形，黎曼曲率，里奇曲率以及数量曲率总是可以表示为

$K=R_{1212}=R_{11}=R_{22}=\frac{1}{2}R$

由公式(8)可以知道，在2维底流形的情形下， $L\left(G\right)$ 泛函在底流形上表示为

$L\left(G\right)={\displaystyle {\int }_{M}8}R-4K^2\text{d}{V}_M$

定理4.4：设底流形 $\left(M,G\right)$ 是2维光滑紧流形， $T_{1}M$ 是底流形M诱导出的紧球丛。如果底流形上的度量是平坦的，那么它是 $L\left(G\right)$ 泛函在底流形上的临界点。

证明：因为在2维底流形的情形下，球丛上的 $L\left(G\right)$ 泛函在底流形上表示为

$L\left(G\right)={\displaystyle {\int }_{M}8}R-4K^2\text{d}{V}_M$

那么，对 $L\left(G\right)$ 泛函做变分为

$\begin{array}{c}{\frac{\text{d}L\left(G\right)}{\text{d}t}|}_{t=0}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}{{\displaystyle {\int }_{M}8}R-4K^2\text{d}{V}_M|}_{t=0}\\ ={\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{M}16K}\text{d}{V}_M|}_{t=0}-{\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_M{R}^{\text{2}}}\text{d}{V}_M|}_{t=0}\\ \text{=}-{\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_M{R}^{\text{2}}}\text{d}{V}_M|}_{t=0}\\ ={-\frac{\text{d}A}{\text{d}t}|}_{t=0}\end{array}$

由引理4.3可知， ${\left(\nabla L\right)}_{ij}=-2{\nabla }_{ij}^{2}R+2\left(\Delta R\right)G_{ij}+2R{R}_{ij}-\frac{1}{2}{R}^2{G}_{ij}$ 。那么 $G\in \mathcal{M}$ 是泛函 $L\left(G\right)$ 的临界点的充要条件是 ${\left(\nabla L\right)}_{ij}=c{G}_{ij}$ ，c为常数。

接下来，我们对等式 ${\left(\nabla L\right)}_{ij}=c{G}_{ij}$ 取迹，得到

$\Delta R+\frac{R^2}{2}=c$

将其代入 ${\left(\nabla L\right)}_{ij}=c{G}_{ij}$ 得，

$2R{R}_{ij}-2{\nabla }_{ij}^{2}R=R^2{g}_{ij}-\Delta R{g}_{ij}$ (10)

因此，底流形上的度量是平坦的，那么该度量是 $L\left(G\right)$ 的临界点。

□