模糊Riesz空间中的模糊序基和模糊不交系统的性质

The Properties of Fuzzy Order Bases and Fuzzy Disjoint Systems in Fuzzy Riesz Spaces

摘要: 本文主要讨论了在模糊Riesz空间中的模糊序基和模糊不交系统的基本性质。首先讨论了由可数集{vn:n=1,2,⋯}生成的模糊带中元素的刻画。其次讨论了若Archimedean Riesz空间中模糊序稠理想是模糊super序稠的，则不交系统具有的一些基本性质。最后给出了模糊Archimedean Riesz空间中模糊理想具有可数或有限的模糊序基的条件，给出了模糊Archimedean Riesz空间模糊序可分的条件。

Abstract: This paper discusses the fundamental properties of fuzzy order bases and fuzzy disjoint systems in fuzzy Riesz spaces. Firstly, it examines the characterization of elements in fuzzy bands generated by countable set{vn:n=1,2,⋯}. Then, it discusses some basic properties of non-intersecting systems if fuzzy order-dense ideals are fuzzy superorder dense in Archimedean Riesz spaces. Finally, it gives conditions for fuzzy ideals to have countable or finite fuzzy order bases in fuzzy Archimedean Riesz spaces and conditions for fuzzy order separability in fuzzy Archimedean Riesz spaces.

1. 引言

二十世纪六十年代Zadeh发表了名为《Fuzzy Sets》 [1] 的论文，从而宣告模糊数学的诞生，提出了模糊集的概念，创造了研究模糊性或不确定性问题的理论方法。随后他在文献 [2] 中，通过自反性、反对称性和传递性提出了模糊序关系的概念。1992年，P. Venugopalan [3] 开始对模糊序集进行系统研究。随后，Beg和Islam [4] [5] [6] [7] 研究了模糊Riesz空间、模糊序线性空间、s-完备模糊Riesz空间和模糊Archimedean空间。之后越来越的学者开始对模糊Riesz空间中的性质进行探索和研究。2015年，Liang [8] 在参考文献 [4] [5] [6] 的基础上进一步定义了模糊理想、模糊带、模糊 Riesz子空间、模糊投影带等概念。随后Iqbal [9] 等人定义并研究了无界模糊序收敛及一些应用并证明了模糊Dedekind完备的存在性。2021年，Cheng和Chen [10] 研究了模糊Riesz空间中的模糊Riesz同态，给出模糊Riesz同态与模糊商空间之间的关系。Cheng等 [11] 给出当值域空间为模糊Dedekind完备Riesz空间时Hahn-Banach定理的推广。2022年，J.J. Zhao [12] 讨论了模糊投影带，并给出模糊序基的定义。2023年，Shailendra [13] 讨论了一般模糊算子的刻画，引入基于t-范数、t-余范数和蕴含算子的L-模糊算子，并建立它们的联系。模糊序基和模糊不交系统是在模糊序稠密性质的基础上在模糊Riesz空间中非常重要的性质，它们更好地刻画了模糊Riesz空间的结构，同时也是对模糊序稠密性质的拓展。通过对模糊序基和模糊不交系统的研究，总结出了特定条件下的模糊Riesz空间所具有的某些性质。如若L是模糊Archimedean Riesz空间，则L中的模糊极大不交系统都是模糊不交序基。若L中存在有限或可数的模糊序基，则L中的每个模糊投影带都有有限或可数的模糊序基。使得模糊Riesz空间中模糊Dedekind完备、模糊序可分、模糊投影等性质间的联系更加紧密。

2. 预备知识

定义2.1 [3] 设X是论域，模糊关系 $\mu :X\times X\to \left[0,1\right]$ 满足如下条件时：

(1) 假设 $x\in X$ ，则 $\mu \left(x,x\right)=1$ ；(自反性)

(2) 假设 $x,y\in X$ ，当 $\mu \left(x,y\right)+\mu \left(y,x\right)>1$ ，则 $x=y$ ；(反对称性)

(3) 假设 $x,z\in X$ ，则 $\mu \left(x,z\right)\ge \vee \left(\mu \left(x,y\right)\wedge \mu \left(y,z\right)\right)$ 。(传递性)

则称 $\mu$ 是模糊偏序关系，其中 $\mu$ 是 $X\times X$ 中模糊子集的隶属函数。若集合X中存在模糊偏序关系 $\mu$ ，则称X是模糊偏序集，记为 $\left(X,\mu \right)$ 。

定义2.2 [5] 设 $\left(X,\mu \right)$ 是模糊偏序集。若X的所有有限子集都有上确界和下确界，则称X是模糊格。若X的任意子集都有上确界和下确界，则X称为完备的模糊格。

定义2.3 [5] 若X是线性空间，且X中存在模糊偏序关系 $\mu$ 满足以下两个条件：

(1) 若 $x_1,x_2\in X$ 且 $\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$ ，对 $x\in X$ ，有 $\mu \left(x_1,x_2\right)\le \mu \left(x_1+x,x_2+x\right)$ ；

(2) 若 $x_1,x_2\in X$ 且 $\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$ ，对 $0<\alpha \in R$ ，有 $\mu \left(x_1,x_2\right)\le \mu \left(\alpha x_1,\alpha x_2\right)$ 。

则称X是模糊序线性空间，记为 $\left(X,\mu \right)$ 。

定义2.4 [4] 如果模糊序向量空间 $\left(X,\mu \right)$ 是模糊格，则称其为模糊Riesz空间。

定义2.5 [4] $\left(E,\mu \right)$ 假设是模糊Riesz空间，D是E的向量子空间，若 $x_1,x_2\in D$ ，有 $x_1\vee x_2\in D$ 且 $x_1\wedge x_2\in D$ ，称D是E的模糊Riesz子空间。

定义2.6 [7] 假设 $\left(X,\mu \right)$ 是有向模糊序向量空间。如果对于任意非负元素 $x\in X$ ，集合 $\left\{\alpha x:0<\alpha \in R\right\}$ 是无上界的，则称X是模糊Archimedean空间。

定义2.7 [8] 假设 $\left(X,\mu \right)$ 是模糊偏序集，序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 属于X。若当时，有 $\mu \left(x_n,x_m\right)>\frac{1}{2}$ ，则称

序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 是递增的，记作 $x_n\uparrow$ 。特别地，如果 $x={\sup }_{n\in N}\left\{x_n\right\}$ 存在，就记作 $x_n\uparrow x$ 。同样的，若当 $n\le m$

时，有 $\mu \left(x_m,x_n\right)>\frac{1}{2}$ ，则称序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 是递减的，记作 $x_n\downarrow$ 。特别地，如果 $x={\inf }_{n\in N}\left\{x_n\right\}$ 存在，就

记作 $x_n\downarrow x$ 。

定义2.8 [8] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，D是E的子空间，如果它满足以下两个条件：

(1) $u\in D$ 当且仅当 $\left|u\right|\in D$ ； $\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}$

(2) 对任意 $v\in D$ ，且 $\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}$ ，有 $u\in D$ 。

则称D是E的模糊理想。

定义2.9 [8] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，D是E的子集，若E中存在包含D的最小模糊理想，即为由D生成的模糊理想，可记作A_D。

定义2.10 [8] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间， $\left\{x_n\right\}\in \left(E,\mu \right)$ ，当 $\left(E,\mu \right)$ 中存在另一序列 ${\left\{r_n\right\}}_{n\in N}$ 满足

$\mu \left(\left|x_n-x\right|,r_n\right)>\frac{1}{2}$ 且 $r_n\downarrow 0$ ，则称 ${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 模糊序收敛于x，且 $x\in X$ ，记做 $x_n\stackrel{fo}{\to }x$ ，同时也称x是序列

${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 的模糊序极限。

定义2.11 [8] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，S是E的子集。

(1) 如果所有 $x_n\stackrel{fo}{\to }x$ ( $\left\{x_n\right\}\subseteq S$ )都有 $x\in S$ ，则称S是模糊序闭的。

(2) 如果所有 $x_n\stackrel{fo}{\to }x$ ( ${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}\subseteq S$ )都有 $x\in S$ ，则称S是模糊 $\sigma$ -序闭的。

定义2.12 [8] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，I是E中的模糊理想。

(1) 如果I是模糊序闭的，则称I是E中的模糊带。

(2) 如果I是模糊 $\sigma$ -序闭的，则称I是E中的模糊 $\sigma$ -理想。 $I_{\sigma }$ 表示包含I的最小的模糊 $\sigma$ -理想。

定义2.13 [8] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，则：

(1) 如果任意元素 $f,g\in E$ 满足 $\left|f\right|\wedge \left|g\right|=0$ ，则称f与g不交，记作 $f\perp g$ ；

(2) 假设S是E的子集，如果任意 $f\in E$ ，存在 $g\in S$ 使得 $f\perp g$ ，则称f与S不交，记作 $f\perp S$ ；

(3) 假设 $S_1,S_2$ 是E的子集，如果任意 $f_1\in S_1,f_2\in S_2$ 满足 $f_1\perp f_2$ ，则称两个集合不交，记作 $S_1\perp S_2$ 。

定义2.14 [4] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间， $x\in E$ 。如果 $x^{+}=x\vee 0$ ，则称 $x^{+}$ 是x的正部；如果 $x^{-}=\left(-x\right)\vee 0$ ，则称 $x^{-}$ 是x的负部；如果 $\left|x\right|=x\vee \left(-x\right)$ ，则称 $\left|x\right|$ 是x的绝对值。

定义2.15 [4] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，且 $D\subseteq E$ ，则称 $D^d=\left\{x\in E|x\perp y,y\in D\right\}$ 是D的模糊不交补， $D^{dd}$ 是 $D^d$ 的模糊不交补，且 $D^{dd}={\left(D^d\right)}^d$ 。如果 $D_1\subseteq D_2$ ，则 $D_2^d\subseteq D_1^d$ 。

性质2.16 [4] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，D是E的子集，则下式成立：

(1) $D\subseteq D^{dd}$ ；

(2) $D^d=D^{ddd}$ ；

(3) $D^d\cap D^{dd}=\left\{0\right\}$ ；

(4) 如果 $D^d=\left\{0\right\}$ ，则 $D^{dd}=E$ ；

(5) $D^d$ 是E的模糊理想；

(6) 如果D是E的模糊理想，则对任意非零 $x\in D^{dd}$ 存在非零元素 $y\in D$ 使得 $\mu \left(\left|y\right|,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$ 。

定义2.17 [8] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间且 $f\in E$ 。若

$I=\left\{g|g\in E:\mu \left(\left|g\right|,\left|\alpha f\right|\right)>\frac{1}{2},\alpha \in ℝ\right\}$ ，

则称I是由f生成的正则模糊理想，记为 $I_f$ 。若模糊带B是由I生成的模糊带，则称B是由f生成的正则模糊带，记为 $B_{\left(f\right)}$ 。

定义2.18 [8] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，则：

(1) 如果E中每个具有上界的非空子集都拥有上确界，则称E是模糊Dedekind完备的。

(2) 如果E中每个具有上界的可数非空子集都拥有上确界，则称E是模糊Dedekind $\sigma$ -完备的。

定义2.19 [8] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，则：

(1) 若E中的模糊带B满足 $B\oplus B^d=E$ ，则称B为模糊投影带；

(2) 若E中的任意模糊带B均满足 $B\oplus B^d=E$ ，则称E具有模糊投影性质；

(3) 若只有当B是正则模糊带时才满足 $B\oplus B^d=E$ ，则称E具有模糊正则投影性质。

定义2.20 [8] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，若E中每个拥有上确界的集合都包含一个拥有相同上确界的有限或可数子集，则称E是模糊序可分的。

3. 模糊Riesz空间中的模糊序基和模糊不交系统的性质

定义3.1假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A是E中的模糊理想， $\left\{f_{\sigma }:\sigma \in \left\{\sigma \right\}\right\}$ ( $\left\{\sigma \right\}$ 是指标集)是由A中的元素组成的集合。

(1) 当 $\left\{f_{\sigma }:\sigma \in \left\{\sigma \right\}\right\}$ 生成的模糊理想在A中是模糊序稠密的，则称该集合为A的模糊序基。

(2) 当 $\left\{f_{\sigma }:\sigma \in \left\{\sigma \right\}\right\}$ 生成的模糊理想在A中是模糊quasi序稠密的，则称该集合为A的模糊quasi序基。

性质3.2 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间。

(1) A是由E中的元素f生成的正则模糊理想或正则模糊带，则只包含f的集合是A的模糊序基。

(2) 模糊理想A的任意模糊序基是A的模糊quasi序基。

(3) 若模糊理想A的每个模糊quasi序基都是A的模糊序基，则E是模糊Archimedean Riesz空间。

性质3.3 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A是E中的模糊理想，B_A是由A生成的模糊带。则A的任意模糊quasi序基也是 $A^{dd}$ 的模糊quasi序基，因此也是B_A的模糊quasi序基。A的任意模糊序基都是B_A的模糊序基。

性质3.4 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A是E中的模糊理想。如果模糊理想A有一个可数模糊序基 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ ，则 $\left(\left|f_n\right|:n=1,2,\cdots \right)$ 也是A的模糊序基。因此 $\left(v_n:v_n=\sup \left(\left|f_1\right|,\left|f_2\right|,\cdots ,\left|f_n\right|\right),n=1,2,\cdots \right)$ 是

A的模糊序基，且 $\mu \left(0,v_n\uparrow \right)>\frac{1}{2}$ 。

性质3.5 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间。如果 $u,v\in E^{+}$ ，且u是由v生成的正则模糊带中的元素，则 $u=\sup \left(\inf \left(u,nv\right):n=1,2,\cdots \right)$ 。

性质3.6 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，则在E中由可数集生成的模糊 $\sigma$ -理想等同于其生成的模糊带。每个拥有有限或可数序基的模糊 $\sigma$ -理想是一个模糊带。

定理3.7 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间。如果E中的某个有限或可数的集合 $\left(v_n;n=1,2,\cdots \right)$ 满足 $v_n\uparrow$ 且

$\mu \left(0,v_n\right)>\frac{1}{2}$ ， $B_{\left(v_n\right)}$ 是由这个集合生成的模糊带，则任意 $u\in B_{\left(v_n\right)}^{+}$ ，都满足：

$u=\sup \left(\inf \left(u,n{v}_m\right):m,n=1,2,\cdots \right)=\sup \left(\inf \left(u,n{v}_n\right):n=1,2,\cdots \right)$ 。

证明：设 $I_{\left(v_n\right)}$ 是由集合 $\left(v_n;n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊理想。根据模糊带的定义，任意 $u\in B_{\left(v_n\right)}^{+}$ 满足：

$u=\sup W\left(W=\left\{w|w\in I_{\left(v_n\right)}^{+}:\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}\right\}\right)$ 。

假设

$W_1=\left(\inf \left(u,n{v}_m\right):m,n=1,2,\cdots \right)$ ， $W_2=\left(\inf \left(u,n{v}_n\right):n=1,2,\cdots \right)$ ，

显然， $W_2\subseteq W_1\subseteq W$ 。为了证明u也是W₁和W₂的上确界，只用证明W₂的上界是W的上界。对于任意

的 $w\in W$ ，满足 $w\in I_{\left(v\right)}$ 。由模糊理想的定义知，存在某个自然数k和v_m使得 $\mu \left(0,w\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(w,k{v}_m\right)>\frac{1}{2}$ 。

因此

$\mu \left(w,n{v}_n\right)>\frac{1}{2}$ $\left(n=\max \left(k,m\right)\right)$，

进一步可得

$\mu \left(w,\inf \left(u,n{v}_n\right)\right)>\frac{1}{2}$ ，

所以W₁的上界也是W的上界，证毕。

定义3.8 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，且具有模糊投影性质，B是E中的模糊投影带。若 $f\in E$ ，且 $f=f_1+f_2$ ，有 $f_1\in B$ ， $f_2\in B^d$ ，则称f₁是f在B中的component，f₂是f在 $B^d$ 中的component。

定理3.9 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，且E是模糊Dedekind $\sigma$ -完备的或者是具有模糊投影性质的。

再假设L中有集合 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 满足 $v_n\uparrow$ 且 $\mu \left(0,v_n\right)>\frac{1}{2}$ ，令 $B_{\left(v_n\right)}$ 是由这个集合生成的模糊带。则 $B_{(\; v\; n\; )}$

是模糊投影带，并且对于任意的 $u\in L^{+}$ ，在 $B_{\left(v_n\right)}$ 中的component u₁满足：

$u_1=\sup \left(\inf \left(u,n{v}_m\right):m,n=1,2,\cdots \right)=\sup \left(\inf \left(u,n{v}_n\right):n=1,2,\cdots \right)$ 。

证明：设 $I_{\left(v_n\right)}$ 是 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊理想，令 $W=\left(w:w\in I_{\left(v_n\right)}^{+},\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}\right)$ ， $W_1=\left(\inf \left(u,n{v}_m\right):m,n=1,2,\cdots \right)$ ， $W_2=\left(\inf \left(u,n{v}_n\right):n=1,2,\cdots \right)$ 。定理4.1.7已经证明W、W₁、W₂有相同的上界。再设 $W_{\text{3}}=\left(w:w\in B_{\left(v_n\right)}^{+},\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}\right)$ ，很明显 $W\subseteq W_3$ ，因此W₃的上界也是W的上界。又因为W₃中

的元素是W中的元素集合的上确界，所以W的上界同时也是W₃的上界，故W、W₁、W₂、W₃有相同的上界。

假设L具有模糊投影性质，则 $B_{\left(v_n\right)}$ 是一个模糊投影带。由性质4.1.5知， $u_1=\sup W_1=\sup W_2$ 。若L是模糊Dedekind $\sigma$ -完备的，则 $\sup W_2$ 存在，且 $\sup W_3$ 也存在。因此 $B_{\left(v_n\right)}$ 是一个模糊投影带且 $u_1=\sup W_3$ ，故 $u_1=\sup W_1=\sup W_2$ ，证毕。

定义3.10 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，若集合 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是由E中互不相交的非零元组成的，则此集合称作E中的一个模糊不交系统。若集合 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 同时还是E的模糊quasi序基，则其称作E的模糊极大不交系统。

定义3.12 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，若集合 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是E中的一个模糊不交系统，且此集合还是E的模糊序基，则其被称作E的模糊不交序基。

定理3.13 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，则E中的每个模糊不交序基都是模糊极大不交系统。若E是模糊Archimedean Riesz空间，则E中的模糊极大不交系统都是模糊不交序基。

证明：假设模糊Riesz空间E中E存在模糊不交序基 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ ，则 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是E的模糊序基，故 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是的模糊quasi序基。因此 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是E的模糊极大不交系统。若E是模糊Archimedean的，且设 $I_{\left(f_n\right)}$ 是 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊理想， $B_{\left(f_n\right)}$ 是 $I_{\left(f_n\right)}$ 生成的模糊带。因 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是E的模糊quasi序基，则 $I_{\left(f_n\right)}$ 在E中是模糊quasi序稠密的，故 $B_{\left(f_n\right)}^{dd}\subseteq E$ 。由于E是模糊Archimedean的，则 $B_{\left(f_n\right)}=B_{\left(f_n\right)}^{dd}$ [9] ，故有 $B_{\left(f_n\right)}\subseteq E$ 。从而 $I_{\left(f_n\right)}$ 在E中是模糊序稠密的， $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是E中的模糊不交序基。由此证得E中的模糊极大不交系统同时也是模糊不交序基。

定理3.14 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，且E具有模糊正则投影性， $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是E中的一个有

限或可数的模糊序基，满足 $v_n\uparrow$ 且 $\mu \left(0,v_n\right)>\frac{1}{2}$ ，则E中存在某个有限或可数的模糊不交序基

$\left(w_n:n=1,2,\cdots \right)$ ，使得对于每个n，都存在 $w_1,w_2,\cdots ,w_m$ ( $m\le n$ )生成的模糊带和v_n生成的模糊带是相同的。

证明：当 $n\ge 2$ 时，假设 ${v^{\prime }}_n$ 是v_n在由 $v_{n-1}$ 产生的带上的component，且令 $u_1=v_1$ ， $u_n=v_n-{v^{\prime }}_n$ ( $n\ge 2$ )。由于E具有模糊正则投影性，则 $v_{n-1}$ 生成的带都是模糊正则投影带，故 $u_{n-1}$ 与u_n是不交的。因此 $\left(u_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是E中的一个模糊不交序基，且生成的模糊带与v_n生成的模糊带相同。由于 $\left(u_n:n=1,2,\cdots \right)$ 中可能会存在零元，去掉零元再重新排序后得到满足条件的新集合 $\left(w_n:n=1,2,\cdots \right)$ ，证毕。

定理3.15 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，若E中存在有限或可数的模糊序基，则E中的每个模糊投影带都有有限或可数的模糊序基。

证明：设 $\left(u_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是E中的模糊序基，且 $u_n\uparrow \in E^{+}$ ，A是E中的模糊投影带。令 $u_n=v_n+w_n$ ( $v_n\in A$ ， $w_n\in A^d$ )，接下来证明 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是A的一个模糊序基：

由定理4.1.7知，任意的 $z\in L^{+}$ 均满足：

$z=\sup \left(\inf \left(z,n{u}_n\right):n=1,2,\cdots \right)=\sup \left(\inf \left(z,n{v}_n+n{w}_n\right):n=1,2,\cdots \right)$ 。

如果 $z\in A^{+}=A\cap L^{+}$ ，则 $z\perp w_n$ 。因此

$\inf \left(z,n{v}_n+n{w}_n\right)=\inf \left(z,n{v}_n\right)$ ，

故可得

$z=\sup \left(\inf \left(z,n{v}_n\right):n=1,2,\cdots \right)$ 。

这便证明了每个 $z\in A^{+}$ 都是 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 所生成的模糊带中的元素，从而 $u_t\uparrow u$ 且 $\mu \left(0,u_t\right)>\frac{1}{2}$ 包含

在这个模糊带中。很明显 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊带是包含在A中的，因此A就是由 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊带。故 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是A的模糊序基，证毕。

定理3.16 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间，A是E中的模糊正则理想。若A中的模糊理想都有可数的

模糊quasi序基，则E具有如下性质：对于任意满足 $u_t\uparrow u$ 且 $\mu \left(0,u_t\right)>\frac{1}{2}$ 的有向集 $\left(u_t:t=1,2,\cdots \right)$ 和满足 $\mu \left(0,\epsilon \right)>\frac{1}{2},\mu \left(\epsilon ,1\right)>\frac{1}{2}$ 的任意 $\epsilon$ ，在 $\left(u_t:t=1,2,\cdots \right)$ 中存在递增的子列 $\left(u_{t_n}:n=1,2,\cdots \right)$ 满足 ${\left(u_{t_n}-\epsilon u\right)}^{-}\downarrow 0$ 且 $\inf \left(u_{t_n},\epsilon u\right)\uparrow \epsilon u$ 。

证明：假设 $u_t\uparrow u$ 且 $\mu \left(0,u_t\right)>\frac{1}{2}$ ，存在 $\epsilon$ 满足 $\mu \left(0,\epsilon \right)>\frac{1}{2},\mu \left(\epsilon ,1\right)>\frac{1}{2}$ 。令 $v_t={\left(u_t-\epsilon u\right)}^{+}\left(t=1,2,\cdots \right)$ ， $I_{\left(v_n\right)}$ 表示由 $\left(v_t:t=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊理想， $I_u$ 表示由u生成的模糊正则理想。由于

$\mu \left(0,v_t\right)>\frac{1}{2},\mu \left(v_t,u_t\right)>\frac{1}{2},\mu \left(u_t,u\right)>\frac{1}{2}$ ，

于是 $I_{\left(v\right)}\subseteq I_{\left(u\right)}$ 。结合 $u_t\uparrow u$ 且 $\mu \left(0,u_t\right)>\frac{1}{2}$ 和 $v_t={\left(u_t-\epsilon u\right)}^{+}$ ，得到

$v_t\uparrow \left(1-\epsilon \right)u$ 且 $\mu \left(0,v_t\right)>\frac{1}{2}$ 。

因此u是 $\left\{I_{\left(v_n\right)}\right\}$ 中的元素，所以 $I_u\subseteq \left\{I_{\left(v_n\right)}\right\}$ ，故 $I_{\left(v_n\right)}$ 在 $I_u$ 中是模糊序稠密的。由假设可知，模糊理想 $I_{\left(v_n\right)}$ 有可数的模糊quasi序基。令 $\left(z_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是 $I_{\left(v_n\right)}$ 的一个模糊quasi序基，且假设 $z_n\uparrow$ 且 $\mu \left(0,z_n\right)>\frac{1}{2}$ 。因 $z_n\in A$ ，故存在某个大于零的自然数 $c_n$ 和某个 $\left(v_t:t=1,2,\cdots \right)$ 中的元素 $v_{t_n}$ 满足：

$\mu \left(z_n,c_n{v}_{t_n}\right)>\frac{1}{2}$ 。

令 $v_{t_n}={\left(u_{t_n}-\epsilon u\right)}^{+}$ ，由于 $\left(u_{t_n}:n=1,2,\cdots \right)$ 是递增序列，故 $\left(v_{t_n}:n=1,2,\cdots \right)$ 也是递增的。令 $w_{t_n}={\left(u_{t_n}-\epsilon u\right)}^{-}$ ，则 $\left(w_{t_n}:n=1,2,\cdots \right)$ 是递减的，且

$w_{t_n}\perp v_{t_n}$ 。

又因 $\mu \left(z_n,c_n{v}_{t_n}\right)>\frac{1}{2}$ ，故

$w_{t_n}\perp z_n\left(n=1,2,\cdots \right)$ 。

假设 $0\le w\le w_{t_n}$ ，则 $w\in I_u\left(w_{t_n}\in I_u\right)$ ，且

$w\perp z_n\left(n=1,2,\cdots \right)$ ，

故 $w=0$ ，从而得到 $w_{t_n}\downarrow 0$ ，因此 ${\left(u_{t_n}-\epsilon u\right)}^{-}\downarrow 0$ 。

由 ${\left(u_{t_n}-\epsilon u\right)}^{-}\downarrow 0$ 可得

$\mu \left(0,\left(u-u_{t_n}\right)=\left(1-\epsilon \right)u+\left(\epsilon u-u_{t_n}\right)\right)>\frac{1}{2}$ ，

$\mu \left(\left(1-\epsilon \right)u+\left(\epsilon u-u_{tn}\right),\left(1-\epsilon \right)u+{\left(\epsilon u-u_{t_n}\right)}^{+}=\left(1-\epsilon \right)u+{\left(u_{t_n}-\epsilon u\right)}^{-}\right)>\frac{1}{2}$ ，

再由

${\left(u_{t_n}-\epsilon u\right)}^{-}=-\inf \left(u_{t_n}-\epsilon u,0\right)=-\left\{\inf \left(u_{t_n},\epsilon u\right)-\epsilon u\right\}=\epsilon u-\inf \left(u_{t_n},\epsilon u\right)$

可知

$\epsilon u-\inf \left(u_{t_n},\epsilon u\right)\downarrow 0$ ，

因此可得

$\inf \left(u_{t_n},\epsilon u\right)\uparrow \epsilon u$ 。

证毕。

定理3.17 假设 $\left(L,\mu \right)$ 是模糊Archimedean Riesz空间，A是在L中模糊序稠密的任意模糊理想。若A在L中是模糊super序稠密的，则对于L中的任意模糊不交系统 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 和任意的 $g\in L$ ，有

$\inf \left(\left|g\right|,\left|f_n\right|\right)\ne 0$ $\left(n=1,2,\cdots \right)$。

证明：给定L中的模糊不交系统 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 和元素g，用 $I_n$ 表示由 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊正则理想， $I_{\left(f_n\right)}$ 表示由 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊理想。由模糊理想的定义知，每个 $f\in A$ 都满足 $f={\displaystyle \sum k}{f}_k\left(k=1,2,\cdots \right)$ 。因为L是模糊Archimedean的，所以 $I_{\left(f\right)}\oplus I_{\left(f\right)}^d$ 在L中是模糊序稠密的，且

$\left|g\right|=\sup \left(u:u\in I_{\left(f\right)}\oplus I_{\left(f\right)}^d,\mu \left(0,u\right)>\frac{1}{2},\mu \left(u,\left|g\right|\right)>\frac{1}{2}\right)$ 。

由于L中的每个序稠密理想都是super序稠密的，故在 $I_{\left(f\right)}\oplus I_{\left(f\right)}^d$ 中存在一组序列 $\left(u_n:n=1,2,\cdots \right)$ 满足

$u_n\uparrow \left|g\right|$ 且 $\mu \left(\text{0},u_n\right)>\frac{1}{2}$ 。

每个 $h\in I_{\left(f\right)}\oplus I_{\left(f\right)}^d$ 都可分解为有限和

$h={\displaystyle \sum k}{h}_k+h^{\prime }\left(h_k\in I_{nk},h^{\prime }\in I_{\left(f\right)}^d\right)$ 。

由于 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是不交系统，从而 $h\perp f_n$ 成立(除了不符合的有限多个 $f_{nk}$ )。特别地， $u_n\perp f_n$ 成立(除有限个 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ )，因此这有限多个 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 满足 $\left|f_n\right|\wedge \left|u_n\right|\ne 0$ ，

又 $\mu \left(0,u_n\uparrow \left|g\right|\right)>\frac{1}{2}$ ，故

$\left|f_n\right|\wedge \left|g\right|\ne \text{0}$ 。

从而 $\inf \left(\left|g\right|,\left|f_n\right|\right)\ne 0\left(n=1,2,\cdots \right)$ ，证毕。

定理3.18 假设 $\left(L,\mu \right)$ 是模糊Archimedean Riesz空间，A是L中拥有可数模糊序基的任意模糊理想。若每个由 $L^{+}$ 中的元素组成的具有上界的模糊不交系统都是有限或可数的，则A中的模糊理想都有可数或有限的模糊序基。

证明：假设A是L中拥有可数模糊序基 $\left(f_n:n=1,2,\cdots \right)$ 的模糊理想，B是包含在A中的模糊理想，且 $B\ne \left\{0\right\}$ 。由定理4.2.3知，B有一个模糊极大不交系统 $\left(u_t:t=1,2,\cdots \right)$ ，且假设 $u_n\in L^{+}$ 。则对于任意固定的n，有

$v_t=\inf \left(\left|f_n\right|,u_t\right)>0$ ，

从而 $\left(v_t:v_t>0\right)$ 是一个以 $\left|f_n\right|$ 为上界的不交系统，且由假设 $\left(v_t:t=1,2,\cdots \right)$ 是有限或可数的，因此 $\left(u_t:t=1,2,\cdots \right)$ 是有限或可数的。对于每个 $f_n$ ，有

$u_t\perp f_n$ ，

故

$u_t\perp A$ ，

从而 $\left(u_t:t=1,2,\cdots \right)$ 是一个有限或可数的不交系统 $\left(u_n:n=1,2,\cdots \right)$ 。L是模糊Archimedean的，故B中的模糊极大不交系统是B的模糊序基。因此 $\left(u_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是B的一个有限或可数的模糊序基。

定理3.19 假设 $\left(L,\mu \right)$ 是模糊Archimedean Riesz空间，A是L中的任意模糊正则理想。若A中的模糊理想都有一个可数或有限的模糊序基，则L是模糊序可分的。

证明：假设 $u_{\tau }\uparrow u\in L^{+}$ ， $v_{m_n}{\downarrow }_{n}0\in E^{+}\left(n=1,2,\cdots \right)$ 。由定理4.2.6知，对每个固定的自然数m，存在序列 $\left({\tau }_{m_n}:n=1,2,\cdots \right)$ ，有

$\mu \left(0,u-u_{{\tau }_{m_n}}\right)>\frac{1}{2},\mu \left(u-u_{{\tau }_{m_n}},m^{-1}u+v_{m_n}\right)>\frac{1}{2}$ 。

接下来证明

$\sup \left(u_{{\tau }_{m_n}}:m,n=1,2,\cdots \right)=u$ 。

假设对任意的 $m,n$ 都满足

$\mu \left(0,u_{{\tau }_{m_n}}\right)>\frac{1}{2},\mu \left(u_{{\tau }_{m_n}},v\right)>\frac{1}{2},\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}$ ，

由于

$\mu \left(u-v,u-u_{{\tau }_{m_n}}\right)>\frac{1}{2}$ ，

从而

$\mu \left(u-v,m^{-1}u\right)>\frac{1}{2}\left(m=1,2,\cdots \right)$ 。

又因L是Archimedean的，故 $u-v=0$ ，因此 $\sup \left(u_{{\tau }_{m_n}}:m,n=1,2,\cdots \right)=u$ 。综上所述，对每个 $u_{\tau }\uparrow u\in L^{+}$ ，存在子列 $\left(u_{{\tau }_n}:n=1,2,\cdots \right)$ 满足 $u_{{\tau }_n}\uparrow u$ ，即L是模糊序可分的，证毕。

定理3.20 假设 $\left(L,\mu \right)$ 是模糊Archimedean Riesz空间，A是L中的模糊理想。若A是模糊序可分的且在L中是模糊序稠密的，则L也是模糊序可分的。

证明：结合模糊序稠密和模糊super序稠密的定义知，若在L中是模糊序稠密的模糊理想都满足在L中是模糊super序稠密的，则L是模糊序可分的。假设B是在L中模糊序稠密的模糊理想，则 $A\cap B$ 是在A中模糊序稠密的模糊理想。由假设A是模糊序可分的，从而 $A\cap B$ 在A中是模糊super序可分的。又因A在L中是模糊super序稠密的，故 $A\cap B$ 在L中是模糊super序稠密的，证毕。

4. 结论

本文给出了模糊Riesz空间中的模糊序基和模糊不交系统的定义并讨论其基本性质。首先讨论了由可数集 $\left\{v_n:n=1,2,\cdots \right\}$ 生成的模糊带中元素的刻画。其次讨论了若Archimedean Riesz空间中模糊序稠理想是模糊super序稠的，则不交系统具有的一些基本性质。最后给出了模糊Archimedean Riesz空间中模糊理想具有可数或有限的模糊序基的条件，给出了模糊Archimedean Riesz空间模糊序可分的条件。