$\mathcal{K}$-正则和$\mathcal{K}$-反演半群

$\mathcal{K}$-Regular and $\mathcal{K}$-Inversive Semigroups

摘要: 格林关系在半群理论的发展中发挥着根本性作用。本文主要对几类由格林关系所确定的K-正则和K-反演半群进行了研究。首先介绍了K-正则和K-反演半群的相关概念，其次利用格林关系对K-正则半群进行了完整的刻画，同时也给出了两类特殊的K-反演半群的刻画，最后提出了刻画其他K-反演半群等相关问题。

Abstract: Green’s relation plays a fundamental role in the development of semigroup theory. In this paper, several classes ofK-regular andK-inversive semigroups determined by Green’s relation are studied. Firstly, the related concepts ofK-regular andK-inversive semigroups are introduced. Secondly, a complete description ofK-regular semigroups is given by using Green’s relation. At the same time, two kinds of specialK-inversive semigroups are described. Finally, some related problems such as characterization of otherK-inversive semigroups are presented.

1. 引言

正则半群是半群代数理论的主流研究领域，1951年，Green在文献 [1] 中引入了现在称之为格林关系的五个等价关系，即关系 $\mathcal{H},\mathcal{R},\mathcal{L},\mathcal{D},\mathcal{J}$ 。自此，格林关系成为半群研究，特别是正则半群研究的基本工具。目前，正则半群的研究成果已非常丰富，一般正则半群的代数结构已经获得(见文献 [2] [3] [4] [5] [6] 及其参考文献)。

另一方面，在正则半群研究成果的基础上，人们开始了对非正则半群的探讨。E-反演半群作为一类重要的非正则半群，自上世纪就受到半群学者的重视，至今仍有新的成果不断出现(见文献 [7] [8] [9] [10] )。2011年，Mary在文献 [11] 中利用格林关系定义并研究了半群中元素的一种广义逆，给出了群逆，Drazin逆和Mosre-penrose逆的一种统一的处理方式。近年来Mary的思想和结果又被进一步推广(见文献 [12] [13] [14] 及其参考文献)。

受文献 [11] [12] [13] [14] 启发，本文我们定义并研究几类由格林关系所确定的正则半群和E-反演半群，给出了这些半群类的一些性质和刻画。

2. 预备知识

本节给出本文需要的一些已知概念和结果。设S是半群。定义S上的关系 $\mathcal{H},\mathcal{R},\mathcal{L},\mathcal{D},\mathcal{J}$ 如下：对任意S中的元素 $a,b$ ，

$a\mathcal{L}b$ 当且仅当在 $S^1$ 中存在 $x,y$ 使得 $xa=b,yb=a$ ；

$a\mathcal{R}b$ 当且仅当在 $S^1$ 中存在 $u,v$ 使得 $au=b,bv=a$ ；

$a\mathcal{J}b$ 当且仅当在 $S^1$ 中存在 $x,y,u,v$ 使得 $xay=b,ubv=a$ ；

$\mathcal{H}=\mathcal{L}\cap \mathcal{R},\mathcal{D}=\mathcal{L}\circ \mathcal{R}=\left\{\left(x,y\right)\in S\times S|\left(\exists z\in S\right)\left(x,z\right)\in \mathcal{L},\left(z,y\right)\in \mathcal{R}\right\}.$

则上述关系都是S上的等价关系，称它们为S的格林关系。设 $\mathcal{K}\in \left\{\mathcal{L},\mathcal{R},\mathcal{H},\mathcal{D},\mathcal{J}\right\}$ 。按照惯例，用 $K_a$ 表示包含元素a的 $\mathcal{K}$ -类。易见， $\mathcal{L}\subseteq \mathcal{D}\subseteq \mathcal{J}$ ， $\mathcal{R}\subseteq \mathcal{D}\subseteq \mathcal{J}$ 。

设S是半群，对S中的任意元素a，记

$V\left(a\right)=\left\{b\in S|bab=b,aba=a\right\},W\left(a\right)=\left\{b\in S|bab=b\right\}.$

称半群S是正则的，若对任意 $a\in S$ ，有 $V\left(a\right)\ne \Phi$ 。称半群S是反演的，若对任意 $a\in S$ ，有 $W\left(a\right)\ne \Phi$ 。称半群S为双单的，若 $\mathcal{D}=S\times S$ 。而称半群S为单的，若 $\mathcal{J}=S\times S$ 。记 $E\left(S\right)=\left\{e\in S|e^2=e\right\}$ ，即 $E\left(S\right)$ 是S的幂等元的集合。设 $e\in E\left(S\right)$ 。称e本原，若对任意 $f\in E\left(S\right)$ ， $ef=fe=f$ 蕴含 $e=f$ 。若S是单的且含有本原幂等元，则称它为完全单半群。

设S是正则半群。称S完全正则，若对任意 $a\in S$ ，有 $a\mathcal{H}{a}^2$ 。称S是逆半群，若对任意 $e,f\in E\left(S\right)$ ，都有 $ef=fe$ 。完全正则的逆半群称为Clifford半群。每个元素都幂等的交换半群称为半格。设S是半群，Y是半格，对每一个 $\alpha \in Y$ ， $S_{\alpha }$ 是S的子半群且满足下列条件：

$S={\displaystyle \underset{\alpha \in Y}{\cup }{S}_{\alpha }},S_{\alpha }\cap S_{\beta }=\Phi \left(\alpha \ne \beta \right),S_{\alpha }{S}_{\beta }\subseteq S_{\alpha \beta }.$

则称S是 $S_{\alpha }$ 的半格，记作 $S=\left(S_{\alpha },Y\right)$ 。

引理2.1 [3] 设S是半群。

(1) 若 $a\text{'}\in V\left(a\right)$ ，则 $aa\text{'}$ 和 $a\text{'}a$ 均为幂等元且。

(2) 若 $a\mathcal{D}b$ ，则 $ab\in R_a\cap L_b$ 当且仅当 $L_a\cap R_b$ 含幂等元。

(3) S的 $\mathcal{H}$ -类H是群当且仅当H含有幂等元当且仅当存在 $a\in H$ 使得 $a^2\in H$ 。

(4) S中没有 $\mathcal{H}$ -类能包含超过一个幂等元。

引理2.2 [3] 设G是具有单位元e的群， $I,\Lambda$ 是非空集， $P=\left(p_{\lambda i}\right)$ 是G上 $\Lambda \times I$ 矩阵。在 $S=I\times G\times \Lambda$ 上定义如下乘法：

$\left(i,a,\lambda \right)\left(j,b,u\right)=\left(i,a{p}_{\lambda j}b,u\right).$

则S是完全单半群，此时，S每个 $\mathcal{H}$ -类 $H=\left\{\left(i,g,\lambda \right)|g\in G\right\}$ 是群且 $HSH\subseteq H$ 。反之，任意完全单半群均可如此构造。

引理2.3 [3] 设S是完全正则半群，则 $\mathcal{D}=\mathcal{J}$ 且存在半格Y及S的子半群 $S_{\alpha }\left(\alpha \in Y\right)$ 使得 $S=\left(S_{\alpha },Y\right)$ ，诸 $S_{\alpha }$ 是完全单半群， $S_{\alpha },\alpha \in Y$ 是S的全部 $\mathcal{D}$ -类。此时，S是Clifford半群当且仅当诸 $S_{\alpha }$ 是群。

3. 主要结果及其证明

设S是半群， $\mathcal{K}\in \left\{\mathcal{L},\mathcal{R},\mathcal{H},\mathcal{D},\mathcal{J}\right\}$ 。称半群S是 $\mathcal{K}$ -正则半群，若存在 $\mathcal{K}$ -类K使得对任意 $a\in S$ ， $V\left(a\right)\cap K\ne \Phi$ 。称半群S是 $\mathcal{K}$ -反演半群，若存在 $\mathcal{K}$ -类K使得对任意 $a\in S$ ， $W\left(a\right)\cap K\ne \Phi$ 。下面给出 $\mathcal{K}$ - 正则半群的刻画。

定理3.1 设S是半群，则下列陈述等价：

(1) S是 $\mathcal{L}$ -正则半群。

(2) S是 $\mathcal{R}$ -正则半群。

(3) S是完全单半群。

(4) S是 $\mathcal{H}$ -正则半群。

证明. (1) $\Rightarrow$ (3)。设S是 $\mathcal{L}$ -正则半群，则存在 $\mathcal{L}$ -类L使得对任意 $x\in S$ ，都有 $V\left(x\right)\cap L\ne \Phi$ 。设 $a,b\in L$ ， $u\in V\left(a\right)\cap L$ ， $v\in V\left(b\right)\cap L$ ，由引理2.1的(1)知， $a\mathcal{R}au\mathcal{L}u\mathcal{L}a$ ，于是 $a\mathcal{H}au$ 。据引理2.1的(3)，L中的每一个 $\mathcal{H}$ -类都是群，特别地，L中含有幂等元。设 $s,t\in S$ ， $s\text{'}\in V\left(s\right)\cap L$ ， $t\text{'}\in V\left(t\right)\cap L$ 。则 $s\text{'}\mathcal{L}t\text{'}$ 。由引理2.1的(1)知， $s\mathcal{L}s\text{'}s\mathcal{R}s\text{'}\mathcal{L}t\text{'}\mathcal{R}t\text{'}t\mathcal{L}t$ 。于是 $s\mathcal{D}t$ 。这表明S只有一个 $\mathcal{D}$ -类，从而是单半群。设 $e\in L$ ， $e,f\in E\left(S\right)$ 且 $fe=ef=f$ 。取 $u\in V\left(f\right)\cap L$ ，据引理2.1的(1)，

$u\mathcal{L}fu\mathcal{R}f\mathcal{L}uf\mathcal{R}u.$

又 $e,u\in L$ ，故 $e\mathcal{L}u$ 。注意到 $fe=ef=f$ 及 $fu\in E\left(S\right)$ 知 $e\mathcal{L}fu=fe=f\mathcal{L}ef=f\mathcal{R}e$ 。于是 $e\mathcal{H}f$ 。由 $e,f\in E\left(S\right)$ 和引理2.1的(4)知 $e=f$ 。这证明了S是单的且有本原幂等元，即S是完全单半群。

(2) $\Rightarrow$ (3)。这是(1) $\Rightarrow$ (3)的对偶。

(3) $\Rightarrow$ (4)。设S是完全单半群，据引理2.2，不妨设 $S=M\left(G,I,\Lambda ,P\right)$ ，任取其一个 $\mathcal{H}$ -类 $H=\left\{\left(i,g,\lambda \right)|g\in G\right\}$ 。设 $\left(j,h,u\right)\in S$ 。则

$\left(j,h,u\right)\left(i,p_{uj}^{-1}{h}^{-1}{p}_{\lambda j}^{-1},\lambda \right)\left(j,h,u\right)=\left(j,h,u\right),$

$\left(i,p_{uj}^{-1}{h}^{-1}{p}_{\lambda j}^{-1},\lambda \right)\left(j,h,u\right)\left(i,p_{uj}^{-1}{h}^{-1}{p}_{\lambda j}^{-1},\lambda \right)=\left(i,p_{uj}^{-1}{h}^{-1}{p}_{\lambda j}^{-1},\lambda \right).$

故 $\left(i,p_{uj}^{-1}{h}^{-1}{p}_{\lambda j}^{-1},\lambda \right)\in V\left(j,h,u\right)\cap H$ ，于是S是 $\mathcal{H}$ -正则的。

(4) $\Rightarrow$ (1), (2)。显然。

命题3.2 设S是半群，则S是 $\mathcal{D}$ -正则的当且仅当S是双单的正则半群。

证明. 设S是 $\mathcal{D}$ -正则半群，则存在 $\mathcal{D}$ -类D使得对任意 $x\in S$ ，都有 $V\left(x\right)\cap D\ne \Phi$ 。于是S是正则半群。设 $a,b\in S$ ， $u\in V\left(a\right)\cap D$ ， $v\in V\left(b\right)\cap D$ ，则 $u\mathcal{D}v$ 。由引理2.1的(1)知， $a\mathcal{R}au\mathcal{L}u\mathcal{D}v\mathcal{L}bv\mathcal{R}b$ ，于是 $a\mathcal{D}b$ ，故S是双单的。反之，设S是双单的正则半群，则S只有一个 $\mathcal{D}$ -类S，因为S是正则的，故对任意 $x\in S$ ，都有 $V\left(x\right)\ne \Phi$ ，即 $V\left(x\right)\cap S\ne \Phi$ 。这表明S是 $\mathcal{D}$ -正则半群。

命题3.3 设S是半群，H是S的 $\mathcal{H}$ -类，且对任意 $a\in S$ ，都有 $W\left(a\right)\cap H\ne \Phi$ ，则H是群且对任意 $x\in S$ ，都有 $\left|W\left(x\right)\cap H\right|=1$ 。

证明. 设 $a\in H$ ，由条件可设 $b\in W\left(a\right)\cap H$ ，于是 $bab=b$ 且 $a\mathcal{H}b$ 。由 $a\mathcal{H}b$ 可设 $a=ub=bv$ ，其中 $u,v\in S^1$ 。于是

$a^{2}b=aab=ubab=ub=a$ 且 $b{a}^2=baa=babv=bv=a.$

这表明 $a\mathcal{H}{a}^2$ ，由引理2.1的(3)知，H是群。设 $a\in S$ ， $b,c\in W\left(a\right)\cap H$ 。则 $b\mathcal{H}c$ ， $$ ， $cac=c$ ，由 $b\mathcal{H}c$ 知 $b=uc$ ， $c=bt$ ，于是 $c=bt=babt=bac=ucac=uc=b$ 。

命题3.4 设S是半群，则S是 $\mathcal{J}$ -正则的当且仅当S是单的正则半群。

证明. 设S是 $\mathcal{J}$ -正则的，则存在 $\mathcal{J}$ -类J使得对任意 $x\in S$ ，都有 $V\left(x\right)\cap J\ne \Phi$ ，于是S正则。设 $a,b\in S$ ， $u\in V\left(a\right)\cap J$ ， $v\in V\left(b\right)\cap J$ ，则 $uJv$ 。由引理2.1的(1)知， $a\mathcal{R}au\mathcal{L}u\mathcal{J}v\mathcal{L}bv\mathcal{R}b$ ，故 $a\mathcal{J}b$ ，从而S是单的。反之，设S是单的正则半群，则S只有一个 $\mathcal{J}$ -类S。因为S正则，故对任意 $x\in S$ ，都有 $V\left(x\right)\ne \Phi$ ，即 $V\left(x\right)\cap S\ne \Phi$ ，这说明S是 $\mathcal{J}$ -正则半群。

下面考虑 $\mathcal{K}$ -反演半群，先考虑 $\mathcal{K}$ -反演的完全正则半群。

命题3.5 设 $S=\left(S_{\alpha },Y\right)$ 是完全正则半群，则下列叙述等价：

(1) S是 $\mathcal{H}$ -反演的。

(2) S是 $\mathcal{L}$ -反演的。

(3) S是 $\mathcal{R}$ -反演的。

(4) S是 $\mathcal{D}$ -反演的。

(5) Y有最小元。

证明. (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (4)，(1) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (4)显然成立。下证(4) $\Rightarrow$ (5)和(5) $\Rightarrow$ (1)。

(4) $\Rightarrow$ (5)。设S是 $\mathcal{D}$ -反演的，存在 $\mathcal{D}$ -类 $S_{\alpha }$ 使得对任意 $x\in S$ ，都有 $W\left(x\right)\cap S_{\alpha }\ne \Phi$ 。下证 $\alpha$ 是Y的最小元。事实上，设 $\beta \in Y$ ， $a\in S_{\beta }$ ，则由条件可设 $b\in W\left(a\right)\cap S_{\alpha }$ 。于是 $bab=b$ 。故 $\alpha \beta \alpha =\alpha$ 。由Y是半格知， $\alpha \beta =\alpha$ ，即 $\alpha \le \beta$ 。这就证明了 $\alpha$ 是Y的最小元。

(5) $\Rightarrow$ (1)。设 $\alpha$ 是Y的最小元。据引理2.3， $S_{\alpha }$ 是完全单半群，故其每个 $\mathcal{H}$ -类都是群。固定 $S_{\alpha }$ 的一个 $\mathcal{H}$ -类H并记H的单位元为e，当然H也是S的一个 $\mathcal{H}$ -类。任取 $a\in S_{\beta }$ ， $\beta \in Y$ ，则 $eae\in S_{\alpha }{S}_{\beta }{S}_{\alpha }\subseteq S_{\alpha \beta \alpha }=S_{\alpha \beta }=S_{\alpha }$ ，且 $eae\in H$ 。由H是群知 $eae$ 在H中有逆元，记为 ${\left(eae\right)}^{-1}$ ，则 ${\left(eae\right)}^{-1}\in H$ ，且

${\left(eae\right)}^{-1}a{\left(eae\right)}^{-1}={\left(eae\right)}^{-1}\left(eae\right){\left(eae\right)}^{-1}={\left(eae\right)}^{-1}.$

这表明 ${\left(eae\right)}^{-1}\in W\left(a\right)\cap H$ 。故S是 $\mathcal{H}$ -反演的。

下面考虑Bruck-Reilly扩张的 $\mathcal{K}$ -反演性。先回忆Bruck-Reilly扩张的概念。设T是幺半群，1是单位元， $H_1$ 是T的可逆元构成的群， $\theta :T\to H_1$ 是同态， $N^0=\left\{0,1,2,3,\cdots \right\}$ 。在 $S=N^0\times T\times N^0$ 上定义

$\left(m,a,n\right)\left(p,b,q\right)=\left(m-n+t,\left(a{\theta }^{t-n}\right)\left(b{\theta }^{t-p}\right),q-p+t\right)$ ，其中， $t=\max \left(n,p\right)$ ， $a{\theta }^0=a$ 。

则S是半群，称其为由T和 $\theta$ 决定的Bruck-Reilly扩张，并记作 $S=BR\left(T,\theta \right)$ 。对Bruck-Reilly扩张，有以下已知结果。

引理3.6 [3] 设S是由T和 $\theta$ 决定的Bruck-Reilly扩张， $\left(m,a,n\right),\left(p,b,q\right)\in S$ 。

(1) $\left(m,a,n\right)$ 和 $\left(p,b,q\right)$ $\mathcal{L}$ -等价当且仅当a和b $\mathcal{L}$ -等价且 $n=q$ ，从而S的全部 $\mathcal{L}$ -类是： $\left\{\left(m,a,n\right)|m\in N^0,a\in L\right\}$ ，其中 $n\in N^0$ ，L是T的 $\mathcal{L}$ -类。

(2) $\left(m,a,n\right)$ 和 $\left(p,b,q\right)$ $\mathcal{R}$ -等价当且仅当a和b $\mathcal{R}$ -等价且 $m=p$ ，从而S的全部 $\mathcal{R}$ -类是： $\left\{\left(m,a,n\right)|n\in N^0,a\in R\right\}$ ，其中 $m\in N^0$ ，R是T的 $\mathcal{R}$ -类。

(3) $\left(m,a,n\right)$ 和 $\left(p,b,q\right)$ $\mathcal{D}$ -等价当且仅当a和b $\mathcal{D}$ -等价，从而S的全部 $\mathcal{D}$ -类是： $\left\{\left(m,a,n\right)|a\in D\right\}$ ，其中 $m,n\in N^0$ ，D是T的 $\mathcal{D}$ -类。

(4) S是具有单位元 $\left(0,1,0\right)$ 的单半群。

(5) S是逆半群当且仅当T是逆半群。

命题3.7 设S是由T和 $\theta$ 决定的Bruck-Reilly扩张， $\mathcal{K}\in \left\{\mathcal{L},\mathcal{R},\mathcal{H}\right\}$ 。则S不是 $\mathcal{K}$ -反演的。

证明. 只证明 $\mathcal{L}$ 的情况， $\mathcal{R}$ 和 $\mathcal{H}$ 的情况类似可证。设S是 $\mathcal{L}$ -反演的，据引理3.6的(1)，存在S的 $\mathcal{L}$ -类 $L^S=\left\{\left(m,a,n\right)|a\in L,m\in N^0\right\}$ ，其中 $n\in N^0$ ，L是T的 $\mathcal{L}$ -类。使得对任意 $\left(p,b,q\right)\in S$ ，存在 $\left(m,a,n\right)\in L^S$ ，使得 $\left(m,a,n\right)\left(p,b,q\right)\left(m,a,n\right)=\left(m,a,n\right)$ 。

取 $\left(n+1,1,n+1\right)\in S$ 。则存在 $\left(m,a,n\right)\in L^S$ ，使得

$\left(m,a,n\right)\left(n+1,1,n+1\right)\left(m,a,n\right)=\left(m,a,n\right),$

从而 $\left(m+1,a\theta ,n+1\right)\left(m,a,n\right)=\left(m,a,n\right)$ 。这导致 $m+1-\left(n+1\right)+\max \left(n+1,m\right)=m$ 。这是不可能的。故S不是 $\mathcal{L}$ -反演的。

命题3.8设S是由T和 $\theta$ 决定的Bruck-Reilly扩张。若T是 $\mathcal{D}$ -反演的，则S是 $\mathcal{D}$ -反演的。

证明. 设T是 $\mathcal{D}$ -反演的，则存在T的 $\mathcal{D}$ -类 $D^T$ 使得对任意 $x\in T$ ，有 $W\left(x\right)\cap D^T\ne \Phi$ 。据引理3.6的第(3)条， $D^S=\left\{\left(m,a,n\right)|a\in D^T,m,n\in N^0\right\}$ 是S的一个 $\mathcal{D}$ -类。对任意的 $\left(m,x,n\right)\in S$ ，由 $x\in T$ 可知，存在 $a\in D^T$ ，使得 $axa=a$ ，于是

$\left(n,a,m\right)\left(m,x,n\right)\left(n,a,m\right)=\left(n,a,m\right),$

即 $\left(n,a,m\right)\in D^S\cap W\left(\left(m,x,n\right)\right)$ 。故S是 $\mathcal{D}$ -反演的。

注：命题3.8的逆命题不真。事实上，设S是由T和 $\theta$ 决定的Bruck-Reilly扩张，其中 $\theta$ 是平凡同态，即对任意 $x\in T$ ，都有 $x\theta =1$ 。设T是非 $\mathcal{D}$ -反演半群(由命题3.5这种T是存在的)。由引理3.6的(3)知， $D^S=\left\{\left(m,a,n\right)|m,n\in N^0,a\mathcal{D}1\right\}$ 是S的一个 $\mathcal{D}$ -类。设 $\left(p,b,q\right)\in S$ ，则 $\left(q+1,1,p+1\right)\in D^S$ 且

$\left(q+1,1,p+1\right)\left(p,b,q\right)\left(q+1,1,p+1\right)=\left(q+1,1\left(b\theta \right),q+1\right)\left(q+1,1,p+1\right)=\left(q+1,1,p+1\right)$ .

于是 $\left(q+1,1,p+1\right)\in W\left(p,b,q\right)\cap D^S$ 。这说明S是 $\mathcal{D}$ -反演的，但T不是 $\mathcal{D}$ -反演的。

命题3.9 设S是由T和 $\theta$ 决定的Bruck-Reilly扩张。若T是 $\mathcal{J}$ -反演的，则S是 $\mathcal{J}$ -反演的。

证明. 设T是 $\mathcal{J}$ -反演的，则存在T的 $\mathcal{J}$ -类 $J^T$ 使得对任何 $x\in T$ ，有 $W\left(x\right)\cap J^T\ne \Phi$ 。由引理3.6的(4)知S是单半群，从而S有唯一的 $\mathcal{J}$ -类S。设 $\left(m,a,n\right)\in S$ ，则 $a\in T$ ，由于T是 $\mathcal{J}$ -反演的，从而存在 $a\text{'}\in W\left(a\right)\cap J^T$ ，故 $a\text{'}aa\text{'}=a\text{'}$ 。易见，

$\left(n,a\text{'},m\right)\left(m,a,n\right)\left(n,a\text{'},m\right)=\left(n,a\text{'},m\right).$

故 $\left(n,a\text{'},m\right)\in W\left(\left(m,a,n\right)\right)\cap S$ 。这说明了S是 $\mathcal{J}$ -反演的。

注：命题3.9的逆命题不真。事实上，据引理2.3，设 $T=\left(G_{\alpha },Y\right)$ 是Clifford半群且Y中无最小元。由T是Clifford半群可知T是逆半群，由引理3.6的(5)知，S也是逆半群。设 $\left(m,a,n\right)\in S$ ，则 $W\left(\left(m,a,n\right)\right)\ne \Phi$ 。因为S是单的，故S只有一个 $\mathcal{J}$ -类S。显然 $W\left(\left(m,a,n\right)\right)\cap S\ne \Phi$ 。这说明S是 $\mathcal{J}$ -反演的。但由于Y中无最小元，由命题3.5知T不是 $\mathcal{J}$ -反演的。

设 $\mathcal{K}\in \left\{\mathcal{L},\mathcal{R},\mathcal{H},\mathcal{D},\mathcal{J}\right\}$ 。本文已对 $\mathcal{K}$ -正则半群给出了完整的刻画，但仅给出了两类特殊的 $\mathcal{K}$ -反演半群的刻画。于是，下面的问题是自然的。

问题3.10 设 $\mathcal{K}\in \left\{\mathcal{L},\mathcal{R},\mathcal{H},\mathcal{D},\mathcal{J}\right\}$ 。刻画所有的 $\mathcal{K}$ -反演半群。