带有混合奇异项和测度项的分数阶p-Laplace方程解的存在性问题

Existence of Solutions for Fractional p-Laplacian Problems with Mixed Singular Nonlinearities and Radon Measure

摘要: 本文研究下列带有混合奇异项和测度项的分数阶p-Laplace方程：

Abstract: This paper studies the following fractional p-Laplacian problem with mixed singular nonlinearities and Radon measure:

1. 引言

本文考虑如下带有混合奇异项和测度项的分数阶p-Laplace方程：

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}_p^{s}u=\frac{f\left(x\right)}{u^{\gamma }}+\frac{f\left(x\right)}{u}+\mu ,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}x\in \begin{array}{c}\Omega ,\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{l}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{c}\end{array}u>0,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{c}\end{array}x\in \begin{array}{c}\Omega ,\end{array}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{c}\end{array}u=0,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{c}\end{array}x\in \begin{array}{c}{ℝ}^N\backslash \begin{array}{c}\Omega ,\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$ (1.1)

其中 $\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个有界光滑区域， $1<p<\infty$ ， $0<s<1$ ， $N>ps$ ， $\gamma >1$ ， $f\in L^1\left(\Omega \right)$ 且在 $\Omega$ 上几乎处处为正， $\mu$ 是 $\Omega$ 中的非负Radon测度。 ${\left(-\Delta \right)}_p^s$ 是分数阶p-Laplace算子，其定义是：

$\left(-\Delta \right){}_p{}^{s}u\left(x\right)=2\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N\backslash B_{\epsilon }(x)}\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y},x\in {ℝ}^N$ 。 (1.2)

在局部设置下，Crandal M. G.，Rabinowitz P. H.和Tartar L.在 [1] 中最早研究带有奇异非线性项的半线性问题，已经有大量带有奇异非线性项的Laplace方程和p-Laplace方程解的存在性和多重性结果的工作(见 [2] [3] [4] [5] )。

2010年，Boccardo L.和Orsina L.在 [6] 中研究了如下一类带有奇异非线性项的Laplace方程：

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=\frac{f\left(x\right)}{u^{\gamma }}\begin{array}{c},\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}x\in \begin{array}{c}\Omega ,\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{l}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}u>0\begin{array}{c},\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}x\in \begin{array}{c}\Omega ,\end{array}\\ \begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}u=0,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}x\in \begin{array}{c}{ℝ}^N\backslash \begin{array}{c}\Omega ,\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$ (1.3)

其中 $\gamma >0$ ，f是Lebesgue空间中的非负函数， $\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个有界光滑函数。作者通过研究原问题的逼近问题，利用逼近问题解的性质，结合Lebesgue控制收敛定理证明了方程解的存在性，以及解所位于的

空间。在文章结尾部分，作者简要介绍了如果将 $\frac{1}{u^{\gamma }}$ 用混合非线性项 $\frac{1}{u^{\gamma }}+\frac{1}{u}$ 代替，我们仍然可以用类似

的方法证明方程解的存在性。

2015年，Barrios B.，Bonis De I.和Medina M.在 [7] 中研究如下方程解的存在性：

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}_{}^{s}u=F\left(x,u\right):=\lambda \frac{f\left(x\right)}{u^{\gamma }}+M{u}^p,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}x\in \begin{array}{c}\Omega ,\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{l}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}u>0,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}x\in \begin{array}{c}\Omega ,\end{array}\\ \begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}u=0,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}x\in \begin{array}{c}{ℝ}^N\backslash \begin{array}{c}\Omega ,\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$ (1.4)

其中 $\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个有界光滑区域， $N>2s$ ， $M\in \left\{0,1\right\}$ ， $0<s<1$ ， $\gamma >0$ ， $p>1$ ，f是一个非负函数。在 $M=0$ ， $\lambda =1$ 的情况下，作者对原方程解的存在性研究受到 [6] 的启发，用类似 [6] 中的方法证明了原方程弱解的存在性。若令 $s=1$ ，可以得到和局部情况下，即与 [6] 中相一致的结果。

类似这样只带有一个奇异项的研究还有很多。2016年，Canino A.，Sciunzi B.和Trombetta A.在 [8] 中研究了带有奇异非线性项的p-Laplace方程解的存在性，2017年，Canino A.等人在 [9] 中将p-Laplace算子推广到分数阶p-Laplace算子，研究了带有奇异非线性项的分数阶p-Laplace方程解的存在性。也有一些作者研究了带有混合奇异项和测度项的分数阶Laplace方程。2021年，Masoud B.A.，Mahmoud H.在 [10] 中研究了如下的分数阶Lapalce问题：

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}_{}^{s}u=\frac{K\left(x\right)}{u^q}+\frac{f\left(x\right)}{u^{\gamma }}+\mu ,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}x\in \begin{array}{c}\Omega ,\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{l}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{c}\end{array}u>0,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{c}\end{array}x\in \begin{array}{c}\Omega ,\end{array}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{c}\end{array}u=0,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{c}\end{array}x\in \begin{array}{c}{ℝ}^N\backslash \begin{array}{c}\Omega ,\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$ (1.5)

其中 $\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个有界光滑区域， $0<s<1$ ， $q>0$ ， $\gamma >0$ ， $K\left(x\right)$ 是一个Holder连续函数， $0\le f,\mu \in L^1\left(\Omega \right)$ 。在 $0<\gamma \le 1$ 的情况下，作者证明了(1.5)存在一个弱解 $u\in X_0^{s_{1}p}\left(\Omega \right)$ ，其中 $s_1<s$ ，

$p<\frac{N}{N-s}$ 。此外， $T_k\left(u\right)\in X_0^s\left(\Omega \right)$ ，其中 $k>0$ 。

受以上文献的影响，本文在 $0<\gamma \le 1$ 的情况下研究问题(1.1)解的存在性。本文的主要结果如下：

定理1.1 已知 $s\in \left(0,1\right)$ ， $p>1$ ， $f\in L^1\left(\Omega \right)$ ， $f\ge 0$ ， $\mu$ 是 $\Omega$ 中的非负Radon测度，如果 $0<\gamma \le 1$ ，

那么问题(1.1)存在一个正的弱解，且满足 $u$ 在 ${\text{W}}_0^{s_1,q}\left(\Omega \right)$ 中是一致有界的，其中 $q<\frac{N\left(p-1\right)}{N-s}$ ， $s_1<s$ 。更

进一步， $T_k\left(u\right)$ 在 $X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 中一致有界，其中 $k>0$ 。

这里的 $T_k$ 是截断算子，定义为：

$T_k\left(t\right)=\{\begin{array}{l}t\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\left|t\right|\le k,\\ k\mathrm{sign}\left(t\right)\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\left|t\right|\ge k.\end{array}$

2. 预备知识

定义 $L^p\left({ℝ}^N\right)$ 表示 ${ℝ}^N$ 上使得 ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p\text{d}x}<\infty$ 的函数集合，定义 $L^p\left({ℝ}^N\right)$ 上的范数为

${\Vert u\Vert }_{L^p\left({ℝ}^N\right)}={\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}}$ ，已知 $s\in \left(0,1\right)$ ， $N>ps$ ， $p\in \left(1,\infty \right)$ ，定义空间

$W^{s,p}\left({ℝ}^N\right)=\left\{u\in L^p\left({ℝ}^N\right):\left[u\right]<\infty \right\}$ ，

其范数记为 ${\Vert u\Vert }_{W^{s,p}\left({ℝ}^N\right)}={\Vert u\Vert }_{L^p\left({ℝ}^N\right)}+\left[u\right]$ ，其中

$\left[u\right]={\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}}\right)}^{\frac{1}{p}}$

称为Gagliardo半范数。

对于 $0<s<1$ ， $1\le q<+\infty$ ，定义空间 $W^{s,q}\left(\Omega \right)$ 是 $L^q\left(\Omega \right)$ 中使得

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{N+qs}}\text{d}y\text{d}x}}<\infty$

成立的函数集合。 $W^{s,q}\left(\Omega \right)$ 也被称为Aronszajn，Gagliardo或者Slobodeckij空间， $W^{s,q}\left(\Omega \right)$ 是一个Banach空间。在 $W^{s,q}\left(\Omega \right)$ 上定义范数

${\Vert u\Vert }_{W^{s,q}(\Omega )}={\Vert u\Vert }_{L^q(\Omega )}+{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{N+qs}}\text{d}y\text{d}x}}\right)}^{\frac{1}{q}}$ 。

在本文中，定义 $supp\left(f\right)$ 表示函数f的紧支集， $\omega \subset \subset \Omega$ 表示 $\omega$ 是 $\Omega$ 中的一个紧集。对于 $\Omega \subseteq {ℝ}^N$ 是一个有界开集，定义 $W_0{}^{s,q}\left(\Omega \right)$ 是 $C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ 相对于范数 ${\Vert ·\Vert }_{W^{s,q}\left({ℝ}^N\right)}$ 在 $W^{s,q}\left({ℝ}^N\right)$ 中的闭包，在这里

$C_0^{\infty }\left(\Omega \right):=\left\{f:{ℝ}^N\to ℝ|f\in C^{\infty }\left({ℝ}^N\right),supp\left(f\right)\subset \subset \Omega \right\}$ 。

$W_0{}^{s,q}\left(\Omega \right)$ 在范数 ${\Vert ·\Vert }_{W^{s,q}\left(\Omega \right)}$ 下是一个自反的Banach空间。下面回顾分数阶庞加莱不等式。

引理2.1 [11] 令 $\Omega$ 是 ${ℝ}^N$ 中的一个有界开集， $\Omega$ 是属于 $C^{0,1}$ 的， $0<s<1$ ， $1\le q<+\infty$ 。那么存在一个常数 $C\left(N,s,q,\Omega \right)$ 使得对于任意的 $f\in W_0^{s,q}\left(\Omega \right)$ 都有

${\Vert f\Vert }_{L^q(\Omega )}\le C\left(N,s,q,\Omega \right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{N+qs}}\text{d}y\text{d}x}}$ 。

在引理2.1的假设下， $W_0{}^{s,q}\left(\Omega \right)$ 上可以定义范数：

${\Vert u\Vert }_{W_0^{s,q}\left(\Omega \right)}={\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{N+qs}}\text{d}y\text{d}x}}\right)}^{\frac{1}{q}}$

该范数和 ${\Vert u\Vert }_{W_0^{s,q}\left(\Omega \right)}$ 是等价的。

令

$X_0^{s,p}\left(\Omega \right)=\left\{u\in W^{s,p}\left({ℝ}^N\right):u=0\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}在\mathcal{C}\Omega 中\end{array}\right\}$ ，

在这里， $\mathcal{C}\Omega ={ℝ}^N\backslash \Omega$ 表示 $\Omega$ 在 ${ℝ}^N$ 中的补集，定义 $X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 上的范数为

$\Vert u\Vert ={\left({\displaystyle \underset{Q}{\iint }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}}$ 。

其中 $Q={ℝ}^{2N}\backslash \left(\mathcal{C}\Omega \times \mathcal{C}\Omega \right)$ 。

在本文的证明中将用到分数阶索伯列夫嵌入不等式，它表示 $X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 连续嵌入到临界Lebesgue空间

$L^{p_s^{*}}\left(\Omega \right)$ 中，其中 $p_s^{*}=\frac{Np}{N-ps}$ 。其证明可见 [12] [13] 。

定理2.1 (分数阶Sobolev嵌入不等式) 已知 $s\in \left(0,1\right)$ ， $p>1$ ， $N>ps$ ，那么存在一个正常数 $C=C\left(N,p,s\right)$ ，对任意 $f\in C_0^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$ 都有

${\Vert f\Vert }_{L^{p_s^{*}}\left({ℝ}^N\right)}^p\le C{\displaystyle \underset{{ℝ}^{2N}}{\iint }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}$ 。 (2.1)

我们进一步将 $\Omega$ 中的所有非负Radon测度构成的函数空间记为 $M\left(\Omega \right)$ ，其范数记为

${\Vert \mu \Vert }_{M\left(\Omega \right)}={\displaystyle {\int }_{\Omega }\text{d}\left|\mu \right|}$ 。

对 $0<r<\infty$ ， $M{}^r\left(\Omega \right)$ 被称为Marcinkiewicz空间，是所有满足

$meas\left(\left\{x\in \Omega :\left|u\left(x\right)\right|\ge t\right\}\right)\le \frac{C}{t^r}$ ，

其中 $C>0$ ， $t>0$ 的可测函数 $u:\Omega \to ℝ$ 的函数集合。 $M{}^r\left(\Omega \right)$ 上的范数记为

${\Vert u\Vert }_{M^r(\Omega )}=\underset{t>0}{\sup }t{\left(meas\left(\left\{x\in \Omega :\left|u\left(x\right)\right|\ge t\right\}\right)\right)}^{\frac{1}{r}}$ 。

对于 $r>1$ ，我们有 $L{}^r\left(\Omega \right)$ 嵌入到 $M{}^r\left(\Omega \right)$ 是连续的。更多关于 $M{}^r\left(\Omega \right)$ 的相关知识可以参考文献 [14] 。

下面，给出问题(1.1)弱解的定义：

定义2.1 已知 $f\in L^1\left(\Omega \right)$ 是一个非负函数，定义一个可测函数 $u$ 是问题(1.1)的弱解，如果 $u$ 满足：

(1) 对于任意的 $\omega \subset \subset \Omega$ ，都存在 $C_{\omega }>0$ 使得在 $\omega$ 中

$u\left(x\right)\ge C_{\omega }>0$

成立；

(2) 对于任意的 $\phi \in C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ ，都有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{Q}{\iint }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)\left(\phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f\left(x\right)\phi }{u^{\gamma }}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f\left(x\right)\phi }{u^{\gamma }}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\phi \text{d}\mu }\end{array}$

成立。

3. 主要引理的证明

为了证明问题(1.1)解的存在性，考虑其逼近问题。假设 $f\in L^1\left(\Omega \right)$ ， $f\ge 0$ ，对于 $n\in \mathbb{N}$ ，定义截断函数

$f_n\left(x\right)=\min \left(f\left(x\right),n\right),\begin{array}{c}\end{array}x\in \Omega$ 。

考虑如下逼近问题

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}_p^s{u}_n=\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u_n+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}+\frac{f_n\left(x\right)}{u_n+\frac{1}{n}}+{\mu }_n,\begin{array}{c}\end{array}x\in \Omega \begin{array}{c},\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{l}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{c}\end{array}{u}_n>0,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}x\in \Omega \begin{array}{c},\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{c}\end{array}{u}_n=0,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}x\in {ℝ}^N\backslash \Omega \begin{array}{c},\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$ (3.1)

其中 $\mu {}_n$ 是 $L^1\left(\Omega \right)$ 中的非负光滑函数，且依测度弱收敛至 $\mu$ 。我们定义 $u_n$ 是问题(3.1)的弱解，若

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{Q}{\iint }\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right)\left(\phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f_n\left(x\right)\phi }{{\left(u_n+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f_n\left(x\right)\phi }{u_n+\frac{1}{n}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\mu }_n}\phi \text{d}x\end{array}$

对于任意的 $\phi \in X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 都成立。

引理3.1 对于所有 $n\in \text{N}$ ，问题(3.1)有一个弱解 $u_n\in X_0^{s,p}\left(\Omega \right)\cap L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 。

证明：固定 $n\in \text{N}$ ，令 $u\in L^p\left(\Omega \right)$ ，

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}_p^{s}w=\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}+\frac{f_n\left(x\right)}{u^{+}+\frac{1}{n}}+{\mu }_n,\begin{array}{c}\end{array}x\in \Omega \begin{array}{c},\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{l}\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{c}\end{array}w>0,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}x\in \Omega \begin{array}{c},\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{c}\end{array}w=0,\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{cc}& \end{array}x\in {ℝ}^N\backslash \Omega \begin{array}{c},\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$ (3.2)

其中 $u^{+}:=\max \left\{u,0\right\}$ 。由 [9] 中的引理2.1，问题(3.2)的存在唯一的一个弱解 $w$ 。定义映射

$u\in L^p\left(\Omega \right)\mapsto w=S\left(u\right)\in X_0^{s,p}\left(\Omega \right)\subset L^p\left(\Omega \right)$ ，

取 $w$ 作为问题(3.2)的测试函数，得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{Q}{\iint }\frac{{\left|w\left(x\right)-w\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}\frac{f_n\left(x\right)w}{{\left(u^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}\frac{f_n\left(x\right)w}{u^{+}+\frac{1}{n}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\mu }_n}}w\text{d}x\\ \begin{array}{cccc}& & & \end{array}\begin{array}{ccc}& & \end{array}\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\le \end{array}{n}^{\gamma +1}{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\text{d}x}+n^2{\displaystyle {\int }_{\Omega }w}\text{d}x+C\left(n\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }w}\text{d}x.\end{array}$

分数阶Sobolev嵌入不等式，于是

$\Vert w\Vert \le C^{\prime }\left(n^{\gamma +1}+n^2+C\left(n\right)\right)$ ，(3.3)

其中 $C^{\prime }$ 和 $C\left(n\right)$ 与 $u$ 无关。因此半径为 $R:=C^{\prime }\left(n^{\gamma +1}+n^2+C\left(n\right)\right)$ 的球在 $S$ 的作用下是不变的。为了利用Schauder’s不动点定理证明问题(3.1)解的存在性，我们需要证明 $S$ 是一个连续的、紧算子。

我们首先证明 $S$ 是连续的。已知 $u_k\in X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 和 $u\in X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ ，且 $\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert u_k-u\Vert =0$ ，由 ${\left\{u_k\right\}}_{k\in \text{N}}$ 在 $X_0^{s,p}(\; \Omega \; )$

中的强收敛性，存在 ${\left\{u_k\right\}}_{k\in \text{N}}$ 的子列，仍记为 $\left\{u_k\right\}$ ，有

$u_k\to u$ 在 $L^{p_s^{*}}\left(\Omega \right)$ 中，

$u_k\to u$ 对于 $x\in \Omega$ 几乎处处成立。

定义 $w_k:=S\left(u_k\right)$ 和 $w:=S\left(u\right)$ ，我们有

${\left(-\Delta \right)}_p^s{w}_k=\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u_k^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}+\frac{f_n\left(x\right)}{u_k^{+}+\frac{1}{n}}+{\mu }_n$ (3.4)

和

${\left(-\Delta \right)}_p^{s}w=\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u_{}^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}+\frac{f_n\left(x\right)}{u^{+}+\frac{1}{n}}+{\mu }_n$ 。 (3.5)

取 ${\bar{w}}_k:=w_k-w\in X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 为(3.4)和(3.5)的测试函数，可以得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{Q}{\iint }\frac{{\left|w_k\left(x\right)-w_k\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(w_k\left(x\right)-w_k\left(y\right)\right)\left({\bar{w}}_k\left(x\right)-{\bar{w}}_k\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}\frac{f_n\left(x\right){\bar{w}}_k}{{\left(u_k^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}\frac{f_n\left(x\right){\bar{w}}_k}{u_k^{+}+\frac{1}{n}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\mu }_n}}{\bar{w}}_k\text{d}x\end{array}$

和

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{Q}{\iint }\frac{{\left|w\left(x\right)-w\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(w\left(x\right)-w_k\left(y\right)\right)\left({\bar{w}}_k\left(x\right)-{\bar{w}}_k\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}\frac{f_n\left(x\right){\bar{w}}_k}{{\left(u_{}^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}\frac{f_n\left(x\right){\bar{w}}_k}{u_{}^{+}+\frac{1}{n}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\mu }_n}}{\bar{w}}_k\text{d}x.\end{array}$

对上述等式做减法，利用基本不等式，我们得到，当 $1<p<2$ 时，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{Q}{\iint }\frac{{\left(\left|w_k\left(x\right)-w_k\left(y\right)\right|+\left|w\left(x\right)-w\left(y\right)\right|\right)}^{p-2}{\left|{\bar{w}}_k\left(x\right)-{\bar{w}}_k\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u_k^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}-\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\right)\left(w_k\left(x\right)-w\left(x\right)\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{f_n\left(x\right)}{u_k^{+}+\frac{1}{n}}-\frac{f_n\left(x\right)}{u^{+}+\frac{1}{n}}\right)\left(w_k\left(x\right)-w\left(x\right)\right)\text{d}x}.\end{array}$ (3.6)

当 $p\ge 2$ 时，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{Q}{\iint }\frac{{\left|{\bar{w}}_k\left(x\right)-{\bar{w}}_k\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u_k^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}-\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\right)\left(w_k\left(x\right)-w\left(x\right)\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{f_n\left(x\right)}{u_k^{+}+\frac{1}{n}}-\frac{f_n\left(x\right)}{u^{+}+\frac{1}{n}}\right)\left(w_k\left(x\right)-w\left(x\right)\right)\text{d}x}.\end{array}$ (3.7)

对(3.7)右侧的两项用Holder不等式和分数阶Sobolev嵌入不等式，我们得到

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u_k^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}-\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\right)}\left(w_k\left(x\right)-w\left(x\right)\right)\text{d}x\right|\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u_k^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}-\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\right|}^{{(p_s^{*})}^{\text{'}}}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{{(p_s^{*})}^{\text{'}}}}{\Vert {\bar{w}}_k\Vert }_{L^{p_s^{*}}(\; \Omega \; )}\end{array}$

$\le C{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u_k^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}-\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\right|}^{{(p_s^{*})}^{\text{'}}}}\right)}^{\frac{1}{{(p_s^{*})}^{\text{'}}}}\Vert {\bar{w}}_k\Vert ,$

和

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{f_n\left(x\right)}{u_k^{+}+\frac{1}{n}}-\frac{f_n\left(x\right)}{u^{+}+\frac{1}{n}}\right)}\left(w_k\left(x\right)-w\left(x\right)\right)\text{d}x\right|\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\frac{f_n\left(x\right)}{u_k^{+}+\frac{1}{n}}-\frac{f_n\left(x\right)}{u^{+}+\frac{1}{n}}\right|}^{{(p_s^{*})}^{\text{'}}}}\right)}^{\frac{1}{{(p_s^{*})}^{\text{'}}}}{\Vert {\bar{w}}_k\Vert }_{L^{p_s^{*}}(\Omega )}\\ \le C{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\frac{f_n\left(x\right)}{u_k^{+}+\frac{1}{n}}-\frac{f_n\left(x\right)}{u^{+}+\frac{1}{n}}\right|}^{{(p_s^{*})}^{\text{'}}}}\right)}^{\frac{1}{{(p_s^{*})}^{\text{'}}}}\Vert {\bar{w}}_k\Vert ,\end{array}$

其中 ${\left(p_s^{*}\right)}^{\prime }=\frac{Np}{N\left(p-1\right)+sp}$ 。再次利用(3.7)可以得到

$\Vert w_k-w\Vert \le C{\left[{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u_k^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}-\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\right|}^{{(p_s^{*})}^{\text{'}}}}\right)}^{\frac{1}{{(p_s^{*})}^{\text{'}}}}+{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\frac{f_n\left(x\right)}{u_k^{+}+\frac{1}{n}}-\frac{f_n\left(x\right)}{u^{+}+\frac{1}{n}}\right|}^{{(p_s^{*})}^{\text{'}}}}\right)}^{\frac{1}{{(p_s^{*})}^{\text{'}}}}\right]}^{\frac{1}{p-1}}.$

注意到

$\left|\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u_k^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}-\frac{f_n\left(x\right)}{{\left(u^{+}+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\right|\le 2n^{\gamma +1}$

和

$\left|\frac{f_n\left(x\right)}{u_k^{+}+\frac{1}{n}}-\frac{f_n\left(x\right)}{u^{+}+\frac{1}{n}}\right|\le 2n^2$ ，

由控制收敛定理和 $u_k\to u$ 对于 $x\in \Omega$ 几乎处处成立，容易得到

$\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert w_k-w\Vert =0$ 。

对(3.6)式左侧利用三角不等式，右侧重复以上步骤，最终可以得到

$\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert w_k-w\Vert =0$

对于所有的 $p>1$ 都成立，即 $S$ 是连续的。

接下来证明 $S$ 是一个紧算子。令 ${\left\{u_k\right\}}_{k\in \text{N}}\subset X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 且满足 $\Vert u_k\Vert \le C$ 。那么存在 ${\left\{u_k\right\}}_{k\in \text{N}}$ 的一个子列和 $u\in X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ ，我们仍记为 $\left\{u_k\right\}$ ，使得在 $X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 中 $u_k\rightharpoonup u$ ，在 $L^r\left(\Omega \right)$ 中 $u_k\to u$ ，其中 $1\le r<p_s^{*}$ 。定义 $w_k:=S\left(u_k\right)$ 和 $w:=S\left(u\right)$ ，由(3.3)，我们得到在 $X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 中，在 $L^r\left(\Omega \right)$ 中成立。类似于S的连续性的证明过程，取 $w_k-w$ 作为测试函数，利用Holder不等式，很容易得到

$\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert S\left(u_k\right)-S\left(u\right)\Vert =0$ ，

这就表明S是一个紧算子。由Schauder’s不动点定理，存在 $u_n\in X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 使得 $u_n=S\left(u_n\right)$ 。即 $u_n$ 是问题(3.1)的弱解。此外，因为(3.1)的右侧属于 $L^{\infty }\left(\Omega \right)$ ，由 [9] 中的引理2.2，我们得到 $u_n\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 。证毕。

下面的一个引理重复 [9] 中引理2.4的证明方法即可得证，在此我们不再叙述证明过程。

引理3.2引理3.1中的 ${\left\{u_n\right\}}_{n\in \text{N}}$ 满足对于任意的，都存在一个与 $n$ 无关的正常数 $C_{\omega }$ 使得

$u_n\left(x\right)\le u_{n+1}(\; x\; )$

和

$u_n\left(x\right)\ge C_{\omega }>0$

对于任意的 $x\in \omega$ 和 $n\in \text{N}$ 都成立。

引理3.3 [15] 假设 $0<\alpha <1$ ， $a,b>0$ ， $a\ne b$ ，那么

$\frac{a-b}{a^{\alpha }-b^{\alpha }}\le \frac{1}{\alpha }\left(a^{1-\alpha }+b^{1-\alpha }\right)$ 。

引理3.4 令 $u_n\in X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 是问题(3.1)的解。如果 $0<\gamma \le 1$ ，那么序列 $\left\{u_n\right\}$ 在 ${\text{W}}_0^{s_1,q}\left(\Omega \right)$ 中一致有界，其

中 $q<\frac{N\left(p-1\right)}{N-s}$ ， $s_1<s$ 。更进一步， $T_k\left(u_n\right)$ 在 $X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 中一致有界。

证明：固定 $k\ge 1$ ，取 $T_k\left(u_n\right)$ 作为(3.1)的测试函数。所以。我们得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{Q}{\iint }\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right)\left(T_k\left(u_n\left(x\right)\right)-T_k\left(u_n\left(y\right)\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}\frac{f_n{T}_k\left(u_n\right)}{{\left(u_n+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}\frac{f_n\left(x\right)T_k\left(u_n\right)}{u_n+\frac{1}{n}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\mu }_n}}{T}_k\left(u_n\right)\text{d}x.\end{array}$

由 $T_k$ 的定义，可以得到

${\displaystyle \underset{Q}{\iint }\frac{{\left|T_k\left(u_n\left(x\right)\right)-T_k\left(u_n\left(y\right)\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}\le k^{1-\gamma }{\Vert f\Vert }_{L^1(\Omega )}+{\Vert f\Vert }_{L^1(\Omega )}+k{\Vert {\mu }_n\Vert }_{L^1(\Omega )}\le Ck$ ，

其中 $C=2{\Vert f\Vert }_{L^1(\Omega )}+{\Vert \mu \Vert }_{M^b(\Omega ,d\mu )}$ 是一个与 $n$ 无关的常数。所以 $T_k\left(u_n\right)$ 在 $X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 中一致有界。由分数阶索伯列夫嵌入不等式(2.1)，我们得到

$\frac{1}{C\left(N,p,s,\Omega \right)}{\left({{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|T_k\left(u_n\left(x\right)\right)\right|}}^{p_s^{*}}\text{d}x\right)}^{\frac{p}{p_s^{*}}}\le Ck$ 。

对于不等式的左边，在集合 $\left\{u_n\ge k\right\}$ 上，有 $T_k\left(u_n\right)=k$ ，所以

$\frac{1}{C\left(N,p,s,\Omega \right)}{k}^p{\left(meas\left(\left\{u_n\ge k\right\}\right)\right)}^{\frac{p}{p_s^{*}}}\le Ck$ ，

于是

$meas\left(\left\{u_n\ge k\right\}\right)\le \frac{CS}{k^{\frac{N(p-1)}{N-ps}}}$ 。

所以， $\left\{u_n\right\}$ 在 $M^{\frac{N(p-1)}{N-ps}}\left(\Omega ,d\mu \right)$ 中是一致有界的，因此在 $L^r\left(\Omega \right)$ 中是一致有界的，其中 $1\le r<\frac{N\left(p-1\right)}{N-ps}$ 。

对于任意的 $x>0$ 和 $0<\theta \le 1$ ，定义函数

$\varphi \left(x\right)=1-\frac{1}{{\left(1+x\right)}^{\theta }}$ 。

观察到函数 $\varphi$ 满足

$\varphi \left(x\right)\le \min \left(1,x\right)$ 和 $\varphi \left(x\right)\le x^{\gamma }$

对于任意的 $0<\theta \le \gamma \le 1$ 都成立。取 $\varphi \left(u_n\right)$ 作为问题(3.1)的测试函数。于是，我们可以得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{Q}{\iint }\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right)\left(\varphi \left(u_n\left(x\right)\right)-\varphi \left(u_n\left(y\right)\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}\frac{f_n\varphi \left(u_n\right)}{{\left(u_n+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }^{}\frac{f_n\left(x\right)\varphi \left(u_n\right)}{u_n+\frac{1}{n}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\mu }_n}}\varphi \left(u_n\right)\text{d}x\\ \le 2{\Vert f\Vert }_{L^1(\Omega )}+{\Vert {\mu }_n\Vert }_{L^1(\Omega )}\le C.\end{array}$

令 $w_n=u_n+1$ ，我们有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\frac{{\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }-{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}{{\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}\text{d}y\text{d}x}}\le C$ 。

下面将证明 $\left\{u_n\right\}$ 在在 $X_0^{s_1,q}\left(\Omega \right)$ 中一致有界，其中 $q<\frac{N\left(p-1\right)}{N-s}$ ， $s_1<s$ 。

令 $q<p$ ，我们可以得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{N+q{s}_1}}\text{d}y\text{d}x}}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{N+q{s}_1}}\text{d}y\text{d}x}}\\ \begin{array}{c}=\end{array}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\frac{q}{p}N+qs}}\times \frac{{\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }-{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}{\left(w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right){\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}}}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\end{array}\times \frac{\left(w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right){\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}{{\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }-{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }{\left|x-y\right|}^{\frac{p-q}{p}N-q(s-s_1)}}\end{array}\text{d}y\text{d}x\end{array}$

$\begin{array}{l}\begin{array}{c}=\end{array}{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{\frac{q}{p}N+qs}}\times \left(\frac{{(w_n\left(x\right))}^{\theta }-{(w_n\left(y\right))}^{\theta }}{(w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)){(w_n\left(x\right))}^{\theta }{(w_n\left(y\right))}^{\theta }}\right)}}}^{\frac{q}{p}}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{l}\begin{array}{c}\end{array}\times {\left(\frac{{\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }-{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}{\left(w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right){\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}\right)}^{\frac{p-q}{p}}\\ \begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\times \end{array}\frac{\left(w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right){\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}{{\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }-{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }{\left|x-y\right|}^{\frac{p-q}{p}N-q(s-s_1)}}\text{d}y\text{d}x.\end{array}\end{array}\end{array}$

由Holder不等式，我们得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{N+q{s}_1}}\text{d}y\text{d}x}}\\ \le {\left[{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right|}^p}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\times \frac{{\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }-{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}{\left(w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right){\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}}}\right]}^{\frac{q}{p}}\\ {\begin{array}{c}\begin{array}{c}\end{array}\times \left[{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }-{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}{\left(w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right){\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}\times \left(\frac{\left(w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right){\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}{{\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }-{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}\right)}}}^{\frac{p}{p-q}}\frac{\text{d}y\text{d}x}{{\left|x-y\right|}^{N-\beta }}\right]\end{array}}^{\frac{p-q}{p}},\end{array}$

其中 $\beta =\frac{pq\left(s-s_1\right)}{p-q}>0$ 。所以，由引理3.3，

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{N+q{s}_1}}\text{d}y\text{d}x}}\\ \le C^{\frac{q}{p}}{\begin{array}{c}\times \left[{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{\left(w_n\left(x\right)-w_n\left(y\right)\right){\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}{{\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }-{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }}\right)}}}^{\frac{q}{p-q}}\frac{\text{d}y\text{d}x}{{\left|x-y\right|}^{N-\beta }}\right]\end{array}}^{\frac{p-q}{p}}\\ \le {\left(\frac{C}{\theta }\right)}^{\frac{q}{p}}{\begin{array}{c}\times \left[{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\left({\left(w_n\left(x\right)\right)}^{1-\theta }+{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{1-\theta }\right){\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }\right)}}}^{\frac{q}{p-q}}\frac{\text{d}y\text{d}x}{{\left|x-y\right|}^{N-\beta }}\right]\end{array}}^{\frac{p-q}{p}}\\ ={\left(\frac{C}{\theta }\right)}^{\frac{q}{p}}{\begin{array}{c}\times \left[{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(w_n\left(x\right){\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\theta }+w_n\left(y\right){\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\theta }\right)}}}^{\frac{q}{p-q}}\frac{\text{d}y\text{d}x}{{\left|x-y\right|}^{N-\beta }}\right]\end{array}}^{\frac{p-q}{p}}.\end{array}$

由Young不等式，可以得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{N+q{s}_1}}\text{d}y\text{d}x}}\\ \le C_1{\left[{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(w_n\left(x\right)\right)}^{\frac{q(1+\theta )}{p-q}}}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{\text{d}y}{{\left|x-y\right|}^{N-\beta }}}\right)\right]}^{\frac{p-q}{p}}+C_2{\left[{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\frac{q(1+\theta )}{p-q}}}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{\text{d}x}{{\left|x-y\right|}^{N-\beta }}}\right)\right]}^{\frac{p-q}{p}}.\end{array}$

观察到

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{\text{d}y}{{\left|x-y\right|}^{N-\beta }}}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega \cap \left|x-y\right|>1}\frac{\text{d}y}{{\left|x-y\right|}^{N-\beta }}}+{\displaystyle {\int }_{\Omega \cap \left|x-y\right|\le 1}\frac{\text{d}y}{{\left|x-y\right|}^{N-\beta }}}\\ \begin{array}{c}=\left|\Omega \right|\end{array}+{\displaystyle {\int }_{\left|z\right|\le 1}\frac{\text{d}z}{{\left|z\right|}^{N-\beta }}}\begin{array}{c}=\left|\Omega \right|\end{array}+\frac{\left|S^{N-1}\right|}{\beta },\end{array}$

其中 $\left|S^{N-1}\right|$ 表示 ${ℝ}^N$ 中单位球的Lebesgue测度。由 $x$ 、 $y$ 的对称性，存在一个与 $n$ 无关的常数 $C$ 使得

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^q}{{\left|x-y\right|}^{N+q{s}_1}}\text{d}y\text{d}x}}\le C{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(w_n\left(y\right)\right)}^{\frac{q(1+\theta )}{p-q}}}\text{d}y\right)}^{\frac{p-q}{p}}$ 。

现在，我们选择 $\theta >0$ 使得 $\frac{q\left(1+\theta \right)}{p-q}<\frac{N\left(p-1\right)}{N-ps}$ 。也就是说

$\theta <\frac{Np\left(p-1\right)-pq\left(N-s\right)}{q\left(N-ps\right)}$ 。

为了保证 $\theta$ 的存在，必须有 $Np\left(p-1\right)-pq\left(N-s\right)>0$ ，即 $q<\frac{N\left(p-1\right)}{N-s}$ 。因此序列 $\left\{u_n\right\}$ 在 ${\text{W}}_0^{s_1,q}\left(\Omega \right)$ 中一致有界，其中 $q<\frac{N\left(p-1\right)}{N-s}$ ， $s_1<s$ 。证毕。

4. 主要结果的证明

定理1.1的证明：对于引理3.4中的序列 $\left\{u_n\right\}$ ，存在序列 $\left\{u_n\right\}$ 的子列，仍记为 ${\left\{u_n\right\}}_n$ ，以及可测函数 $u\in W_0^{s_1,q}\left(\Omega \right)$ ，使得

$u_n\rightharpoonup u$ 在 $W_0^{s_1,q}\left(\Omega \right)$ 中，

$u_n\to u$ 在 $L^r\left(\Omega \right)$ 中，其中 $r\in \left[1,p_{s_1}^{*}\right)$ ， $p_{s_1}^{*}=\frac{pN}{N-p{s}_1}$ ，

$u_n\to u$ 在 $\Omega$ 中几乎处处成立。

存在一个正函数 $d\in L^r\left(\Omega \right)$ ，其中 $r\in \left[1,p_{s_1}^{*}\right)$ ， $p_{s_1}^{*}=\frac{pN}{N-p{s}_1}$ 使得 $\left|u_n\left(x\right)\right|\le d\left(x\right)$ 对几乎处处的 $x\in \Omega$ 成立。

显然 $u$ 在 ${\text{W}}_0^{s_1,q}\left(\Omega \right)$ 中是一致有界的，其中 $q<\frac{N\left(p-1\right)}{N-s}$ ， $s_1<s$ 。由法图引理， $T_k\left(u\right)$ 在 $X_0^{s,p}\left(\Omega \right)$ 中一

致有界，其中 $k>0$ 。下面证明 $u$ 是问题(1.1)的弱解。

选择 $\phi \in C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ 作为(3.1)的测试函数，于是

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{Q}{\int }\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right)\left(\phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f_n\phi }{u_n+\frac{1}{n}}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f_n\phi }{{\left(u_n+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\mu }_n\phi \text{d}x}.\end{array}$ (4.1)

由引理3.2，对于任意的 $\phi \in C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ ，记 $supp\left(\phi \right)=\omega$ ，那么存在一个与 $n$ 无关的正数 $C_{\omega }>0$ 使得

$0\le \left|\frac{f_n\phi }{{\left(u_n+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\right|\le \frac{\left|f\right|\left|\phi \right|}{C_{\omega }{}^{\gamma }}\in L^1\left(\Omega \right)$ ，

由Lebesgue控制收敛定理，得到

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f_n\phi }{{\left(u_n+\frac{1}{n}\right)}^{\gamma }}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f\phi }{u^{\gamma }}\text{d}x}$ 。

同理，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f_n\phi }{u_n+\frac{1}{n}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f\phi }{u^{\gamma }}\text{d}x}$ ，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\mu }_n\phi }\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\Omega }\phi }\text{d}\mu$ 。

对于(4.1)式等号左侧，由 [9] 中定理3.2的证明过程，显然

$\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \underset{Q}{\int }\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right)\left(\phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}\\ ={\displaystyle \underset{Q}{\int }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)\left(\phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}.\end{array}$

于是，对(4.1)式的左右两边同时取极限，可以得到

${\displaystyle \underset{Q}{\iint }\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^{p-2}\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)\left(\phi \left(x\right)-\phi \left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+ps}}\text{d}y\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f\left(x\right)\phi }{u^{\gamma }}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f\left(x\right)\phi }{u^{\gamma }}\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\phi \text{d}\mu }$

对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ 都成立。即 $u$ 是问题(1.1)的弱解。证毕。