原子介质中分数轨道角动量的传播

Propagation of Fractional Orbital Angular Momentum in Atomic Media

摘要: 本文从理论上研究了三能级系统中原子介质对携带分数轨道角动量(FOAM)涡旋光束的响应。通过模拟和分析，证明了分数拓扑荷数的小数部分的大小影响介质极化率空间分布，但是仍然保持与整数拓扑荷数相同的一些特性。但当叠加模态增大时，极化率空间分布周期性破坏，极化率空间分布不再对称，且所占比例发生变化。此外，本文还研究了外磁场对介质极化率的影响，这些发现为分数涡旋光束在原子系统中的传播和操纵提供了理论支持。为原子系统中涉及分数轨道角动量的应用和增强信息传输能力提供潜在的意义。

Abstract: In this paper, the response of an atomic medium to a vortex beam carrying fractional orbital angular momentum (FOAM) in a three-level system is investigated theoretically. Through simulation and analysis, it is proved that the size of the fractional topological charge affects the spatial distribution of dielectric polarizability, but still retains some of the same characteristics as the integer topological charge. However, when the superposition mode increases, the spatial distribution of polarizability breaks down periodically, and the spatial distribution of polarizability is no longer symmetrical, and the proportion changes. In addition, the influence of external magnetic field on dielectric polarizability is also studied. These findings provide theoretical support for the propagation and manipulation of fractional vortex beams in atomic systems. It provides potential significance for the application of fractional orbital angular momentum in atomic systems and enhancement of information transmission capability.

1. 引言

光与物质相互作用是一个涉及到光学、物理学、化学以及材料科学等多个领域的综合性研究课题。近年来，国内外学者们对于光与物质相互作用的研究取得了许多重要进展，并取得了丰硕的成果，为光学技术的发展和应用提供了重要支持。近几十年来，相干光与原子系统之间的相互作用揭示了许多有趣的现象，包括电磁感应透明(EIT) [1] [2]、相干布居捕获(CPT) [3] [4]和无反转激光(LWI) [5] [6]等。这些相干光学现象在量子信息存储[7]和非线性光学[8] [9]应用中有着各种各样的应用。自1992年Allen等人发现携带轨道角动量(OAM)的Laguerre-Gaussian (LG)光束以来[10]，涡旋光束在各个领域引起了越来越多的关注。由于其额外的自由度，携带OAM的矢量光束提供了更多潜在的应用，如光镊[11] [12]、高容量信息传输[13]和光学操作[14] [15]等。

涡旋光束的拓扑荷数无限增大会增大光束的相位奇异性，给光束传播过程中的测量和稳定传播带来影响。因此选用较小的量子数涡旋光束进行应用是很有必要的。2011年，E. S. Sedov等[16]通过实验观察了FOAM的极化分布，并建立了数值模型。2023年，Wu等[17]将螺旋相位分割函数叠加到螺旋变换上，实现了径向相位跳变到方位相位跳变，展示了螺旋分数光束与常规螺旋分数光束的关系。2022年，Wu等人[18]采用传输矩阵检索算法，基于相位周期识别FOAM的散射模式，然后从强度分布中恢复涡旋光束的螺旋相位。实验结果表明，该方法能较好地识别散射下的分数轨道角动量。Liu等人[19]提出了一种利用FOAM波束的电磁涡流抵消噪声影响的方法，目的是增强成像。仿真结果表明，基于FOAM的涡流成像方法对噪声具有较强的鲁棒性，在低信噪比环境下也能获得较好的成像性能。

耦合场对原子介质极化率特性有影响，外磁场对光与原子体系的相互作用也发挥了重要作用，原子系统中的能级可以根据磁场的强度和方向发生不同程度的分裂[20]。理论上便于对外磁场的定量检测[21]。纳米材料方面，外部磁场可以通过电子激发在纳米结构中诱导表面等离子体共振来放大吸收[22]。此外，磁场的存在会对探针场的极化特性产生影响[23]。磁场还可以延长原子系统的相干时间[24]，从而维持量子相干性。这个扩展将有助量子存储器和量子信息处理[25]方面的应用。

以上研究表明，涡旋光携带的轨道角动量(OAM)在量子领域引发了许多新颖的光学现象。这些研究为光通信、信息存储和信息恢复等技术的发展提供了重要方法和理论支持。本论文主要通过研究携带分数轨道角动量的涡旋光束与原子系统的相互作用，实现了OAM的转移，并对相关物理过程进行了合理解释。

2. 模型与公式

Figure 1. Energy level diagram of a three-level atomic system

图1. 三能级原子系统能级图

如图1是⁸⁷Rb原子三能级系统示意图，其中高能级为$|4\rangle =|5P_{1/2},F=2,m_F=0\rangle$ 和$|4\rangle =|5P_{2/3},F=2,m_F=0\rangle$ ，低能级为$|1\rangle =|5S_{1/2},F=1,m_F=-1\rangle$ 和$|2\rangle =|5S_{1/2},F=1,m_F=0\rangle$ ，$|3\rangle =|5S_{1/2},F=1,m_F=+1\rangle$ 能级$|1\rangle$ 与$|3\rangle$ 由塞曼分裂而成，塞曼能级差为$2\hslash {\beta }_L$ 。能级$|1\rangle$ 与$|4\rangle$ 和能级$|3\rangle$ 与$|4\rangle$ 的跃迁分别由携带相反OAM的探测场Ω₁、Ω₂驱动：

${\Omega }_2={\Omega }_1^{*},$ (1)

对于图1三能级系统，哈密顿量可以表示为：

$\begin{array}{l}H=-{\Delta }_1|4\rangle \langle 4|+\hslash {\beta }_L|3\rangle \langle 3|-\hslash {\beta }_L|1\rangle \langle 1|+\hslash {\beta }_T|1\rangle \langle 2|+\hslash {\beta }_T|2\rangle \langle 3|\\ -\hslash \left({\Omega }_1|4\rangle \langle 1|+{\Omega }_2|4\rangle \langle 3|\right)+\text{H}\text{.c}\text{.}\end{array}$ (2)

其中${\Delta }_1={\omega }_1-{\omega }_{41}$ ，${\omega }_1$ 是场${\Omega }_1$ 的中心频率，${\omega }_{41}$ 是能级$|4\rangle$ 与$|1\rangle$ 的跃迁频率，${\beta }_L={\beta }_0\cos \theta$ ，${\beta }_L={\beta }_0\sin \theta /\sqrt{2}$ ，${\beta }_0=g_F{\mu }_{F}B/\hslash$ ，$g_F$ 为朗德因子，${\mu }_F$ 为玻尔磁子，$\theta$ 为磁场与传播方向的夹角。接下来利用刘维方程求解密度矩阵元：

$\dot{\rho }=-\frac{i}{\hslash }\left[H,\rho \right]+{ℒ}_r\rho +{ℒ}_c\rho ,$ (3)

其中辐射衰减项为：

$\begin{array}{l}{ℒ}_r\rho =-[\frac{{\gamma }_{41}}{2}\left(|4\rangle \langle 4|\rho -2|1\rangle \langle 1|{\rho }_{44}+\rho |4\rangle \langle 4|\right)\\ +\frac{{\gamma }_{42}}{2}\left(|4\rangle \langle 4|\rho -2|2\rangle \langle 2|{\rho }_{44}+\rho |4\rangle \langle 4|\right)\\ +\frac{{\gamma }_{43}}{2}\left(|4\rangle \langle 4|\rho -2|3\rangle \langle 3|{\rho }_{44}+\rho |4\rangle \langle 4|\right)]\end{array}$ (4)

碰撞衰减项为：

$\begin{array}{l}{ℒ}_c\rho =-{\displaystyle \sum _{j=1}^3{\displaystyle \sum _{j\ne i=1}^3\frac{{\gamma }_c}{2}}}\left(|j\rangle \langle j|\rho -2|i\rangle \langle i|{\rho }_{jj}+\rho |j\rangle \langle j|\right)\\ =-\frac{{\gamma }_c}{2}[|1\rangle \langle 1|\rho -2|2\rangle \langle 2|{\rho }_{11}+\rho |1\rangle \langle 1|+|1\rangle \langle 1|\rho -2|3\rangle \langle 3|{\rho }_{11}+\rho |1\rangle \langle 1|\\ +|2\rangle \langle 2|\rho -2|1\rangle \langle 1|{\rho }_{22}+\rho |2\rangle \langle 2|+|2\rangle \langle 2|\rho -2|3\rangle \langle 3|{\rho }_{22}+\rho |2\rangle \langle 2|\\ +|3\rangle \langle 3|\rho -2|1\rangle \langle 1|{\rho }_{33}+\rho |3\rangle \langle 3|+|3\rangle \langle 3|\rho -2|2\rangle \langle 2|{\rho }_{33}+\rho |3\rangle \langle 3|]\end{array}$ (5)

将方程(4)与(5)带入方程(3)，可得密度矩阵元的运动方程：

$\begin{array}{l}{\dot{\rho }}_{11}=-i{\beta }_T{\rho }_{21}+i{\beta }_T{\rho }_{12}+i{\Omega }_1^{*}{\rho }_{41}-i{\Omega }_1{\rho }_{14}+{\gamma }_{41}{\rho }_{44}-2{\gamma }_c{\rho }_{11}+{\gamma }_c{\rho }_{22}+{\gamma }_c{\rho }_{33},\\ {\dot{\rho }}_{12}=i{\beta }_L{\rho }_{12}+i{\beta }_T{\rho }_{11}-i{\beta }_T{\rho }_{22}+i{\beta }_T{\rho }_{13}+i{\Omega }_1^{*}{\rho }_{42}-2{\gamma }_c{\rho }_{12},\\ {\dot{\rho }}_{13}=2i{\beta }_L{\rho }_{13}-i{\beta }_T{\rho }_{23}+i{\beta }_T{\rho }_{12}+i{\Omega }_1^{*}{\rho }_{43}-i{\Omega }_2{\rho }_{14}-2{\gamma }_c{\rho }_{13},\\ {\dot{\rho }}_{14}=i{\beta }_L{\rho }_{14}-i{\Omega }_1^{*}{\rho }_{11}-i{\beta }_T{\rho }_{24}-i{\Omega }_2^{*}{\rho }_{13}+i{\Omega }_1^{*}{\rho }_{44}-i{\Delta }_1{\rho }_{14}-{\gamma }_c{\rho }_{14}\\ -\frac{{\gamma }_{41}}{2}{\rho }_{14}-\frac{{\gamma }_{42}}{2}{\rho }_{14}-\frac{{\gamma }_{43}}{2}{\rho }_{14},\end{array}$

$\begin{array}{l}{\dot{\rho }}_{22}=-i{\beta }_T{\rho }_{12}+i{\beta }_T{\rho }_{21}-i{\beta }_T{\rho }_{32}+i{\beta }_T{\rho }_{23}+{\gamma }_{42}{\rho }_{44}+{\gamma }_c{\rho }_{11}-2{\gamma }_c{\rho }_{22}+{\gamma }_c{\rho }_{33},\\ {\dot{\rho }}_{23}=-i{\beta }_T{\rho }_{13}+i{\beta }_T{\rho }_{22}-i{\beta }_T{\rho }_{33}+i{\beta }_L{\rho }_{23}-i{\Omega }_2{\rho }_{24}-2{\gamma }_c{\rho }_{23},\\ {\dot{\rho }}_{24}=-i{\beta }_T{\rho }_{14}-i{\Omega }_1^{*}{\rho }_{21}-i{\beta }_T{\rho }_{34}-i{\Omega }_2^{*}{\rho }_{23}-i{\Delta }_1{\rho }_{24}-{\gamma }_c{\rho }_{24}\\ -\frac{{\gamma }_{41}}{2}{\rho }_{24}-\frac{{\gamma }_{42}}{2}{\rho }_{24}-\frac{{\gamma }_{43}}{2}{\rho }_{24},\end{array}$ (6)

$\begin{array}{l}{\dot{\rho }}_{33}=-i{\beta }_T{\rho }_{23}+i{\beta }_T{\rho }_{32}+i{\Omega }_2^{*}{\rho }_{43}-i{\Omega }_2{\rho }_{34}+{\gamma }_{43}{\rho }_{44}-2{\gamma }_c{\rho }_{33}+{\gamma }_c{\rho }_{11}+{\gamma }_c{\rho }_{22},\\ {\dot{\rho }}_{34}=-i{\Omega }_1^{*}{\rho }_{31}-i{\beta }_T{\rho }_{24}-i{\beta }_L{\rho }_{34}-i{\Omega }_2^{*}{\rho }_{33}+i{\Omega }_2^{*}{\rho }_{44}-i{\Delta }_1{\rho }_{34}-{\gamma }_c{\rho }_{34}\\ -\frac{{\gamma }_{41}}{2}{\rho }_{34}-\frac{{\gamma }_{42}}{2}{\rho }_{34}-\frac{{\gamma }_{43}}{2}{\rho }_{34},\\ {\dot{\rho }}_{44}=1-{\dot{\rho }}_{11}-{\dot{\rho }}_{22}-{\dot{\rho }}_{33},\end{array}$

方程(6)中${\gamma }_{\left(41,41,43\right)}$ 分别为对应的能级衰减率，γ_c为碰撞衰减率。在本节中，由于塞曼分裂，在初始状态时，能级1、2、3的原子分布符合以下方程：

$\begin{array}{l}{\rho }_{11}^{\left(0\right)}={\rho }_{33}^{\left(0\right)}={\left(\frac{{\beta }_T}{{\beta }_L}\right)}^2,\\ {\rho }_{22}^{\left(0\right)}=1-{\rho }_{11}^{\left(0\right)}-{\rho }_{33}^{\left(0\right)}=1-2{\left(\frac{{\beta }_T}{{\beta }_L}\right)}^2,\end{array}$ (7)

对于其他密度矩阵元${\rho }_{ij}^{\left(0\right)}=0$ ，将方程组(7)带入方程(6)并求解非对角矩阵元${\rho }_{41}$ 与${\rho }_{43}$ 的一阶稳态解：

$\begin{array}{l}{\rho }_{42}^{\left(1\right)}=\frac{N_1}{N}+{\beta }_T^2\frac{N_2{\Omega }_2}{N{\Omega }_1},\\ {\rho }_{42}^{\left(1\right)}=\frac{N_3}{N}+{\beta }_T^2\frac{N_2{\Omega }_1}{N{\Omega }_2},\end{array}$ (8)

其中

$\begin{array}{l}{N}_1=\gamma {\beta }_L^2\left({\Delta }_1+i{\Gamma }_{41}\right)\left({\Delta }_1+i{\Gamma }_{41}+{\beta }_L\right){\rho }_{11}^{\left(0\right)}+\gamma {\beta }_T^2\left(2{\rho }_{11}^{\left(0\right)}-{\rho }_{22}^{\left(0\right)}\right)\\ -\gamma {\beta }_T^2\left[{\rho }_{11}^{\left(0\right)}{\left({\Delta }_1+i{\Gamma }_{41}\right)}^2+{\beta }_L{\rho }_{22}^{\left(0\right)}\left({\Delta }_1+i{\Gamma }_{41}+{\beta }_L\right)\right],\\ N_2=\gamma {\left({\Delta }_1+i{\Gamma }_{41}\right)}^2\left({\rho }_{11}^{\left(0\right)}-{\rho }_{22}^{\left(0\right)}\right)+\gamma {\beta }_L^2{\rho }_{22}^{\left(0\right)}-\gamma {\beta }_T^2\left(2{\rho }_{11}^{\left(0\right)}-{\rho }_{22}^{\left(0\right)}\right),\\ N_3=\gamma {\beta }_L^2\left({\Delta }_1+i{\Gamma }_{41}\right)\left({\Delta }_1+i{\Gamma }_{41}-{\beta }_L\right){\rho }_{11}^{\left(0\right)}+\gamma {\beta }_T^4\left(2{\rho }_{11}^{\left(0\right)}-{\rho }_{22}^{\left(0\right)}\right)\\ -\gamma {\beta }_T^2\left[{\rho }_{11}^{\left(0\right)}{\left({\Delta }_1+i{\Gamma }_{41}\right)}^2+{\beta }_L{\rho }_{22}^{\left(0\right)}\left({\Delta }_1+i{\Gamma }_{41}-{\beta }_L\right)\right],\\ N=\left({\beta }_L^2-{\beta }_T^2\right)\left[{\beta }_L^2+2{\beta }_T^2-{\left({\Delta }_1+i{\Gamma }_{41}\right)}^2\right]\left({\Delta }_1+i{\Gamma }_{41}\right)\end{array}$ (9)

${\Gamma }_{41}={\gamma }_c+\frac{{\gamma }_{41}+{\gamma }_{42}+{\gamma }_{43}}{2}$

系统极化率为：

$\begin{array}{l}{\chi }_{41}=\frac{\mathcal{N}{\left|{\overrightarrow{d}}_{41}\right|}^2}{\gamma \hslash }{\rho }_{41}^{\left(1\right)},\\ {\chi }_{43}=\frac{\mathcal{N}{\left|{\overrightarrow{d}}_{43}\right|}^2}{\gamma \hslash }{\rho }_{43}^{\left(1\right)}.\end{array}$ (10)

$\mathcal{N}$ 为原子数密度，$\left|{\overrightarrow{d}}_{41}\right|$ 与$\left|{\overrightarrow{d}}_{43}\right|$ 为电偶极矩。

3. 结果与讨论

诱导极化率在描述原子介质的性质方面起着至关重要的作用。探测场的空间分布及其光学特性也会发生改变。通过计算介质极化率的虚部和实部，可以得到探测场空间变化的吸收分布。因此，可以通过探测场的空间吸收剖面识别携带OAM的控制场的光信息。本节讨论在探测场分别携带整数与分数OAM的情况下其极化率变化的特点。

探测场Ω₁、Ω₂为携带整数拓扑荷数的涡旋场时：

$\begin{array}{l}{\Omega }_1=\frac{\sqrt{2p!/\pi \left(p+\left|m\right|\right)!}}{{\omega }_0}{\left(\frac{\sqrt{2r}}{{\omega }_0}\right)}^{\left|m\right|}{L}_p^{\left|m\right|}\left(\frac{2r^2}{{\omega }_0^2}\right){\text{e}}^{-r^2/{\omega }_0^2}{\text{e}}^{i\frac{r^2}{w_z^2}\frac{z}{z_R}}{\text{e}}^{-i\left(2p+\left|m\right|+1\right)}{\text{e}}^{-im\phi }{\tan }^{-1}\left(\frac{z}{z_R}\right)\\ {\Omega }_2={\Omega }_1^{*}\end{array}$ (11)

Figure 2. Spatial distribution of dielectric polarizability. (a) $m_{41}=-m_{43}=1$ ; (b) $m_{41}=-m_{43}=2$ ; (c) $m_{41}=-m_{43}=3$ ; Other parameters are $p=0$ , $z=1\mu \text{m}$ , $\gamma ={10}^6$ , ${\omega }_0=2\times {10}^{-4}\text{m}$ , $\alpha =\pi$ , ${\theta }_0=-\pi$ , $M=6.5$ , $\mu =0.5$ , ${\gamma }_c=0$

图2. 介质极化率的空间分布。(a) $m_{41}=-m_{43}=1$ ；(b) $m_{41}=-m_{43}=2$ ；(c) $m_{41}=-m_{43}=3$ ；其他参数为$p=0$ ，$z=1\mu \text{m}$ ，$\gamma ={10}^6$ ，${\omega }_0=2\times {10}^{-4}\text{m}$ ，$\alpha =\pi$ ，${\theta }_0=-\pi$ ，$M=6.5$ ，$\mu =0.5$ ，${\gamma }_c=0$

图2为介质极化率的空间分布。当拓扑荷数$m_{41}=-m_{43}=1$ 时，极化率虚部$\mathrm{Im}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Im}\left({\chi }_{43}\right)$ (第一列与第三列)是相同的，空间吸收剖面为两重对称花瓣，极化率空间分布的周期性2，其色散(第二列与第四列)是互补的，且无论拓扑荷数值的大小，介质对探测场的空间吸收(色散)分布都具有很强的对称性，对称的花瓣都可以完全重合。因此，通过对吸收剖面结构的分析，就可以判断探测场携带的拓扑荷数。

花瓣数目或极化率空间分布周期为$\left|m_{41}-m_{43}\right|$ ，这是因为式(10)中的${\rho }_{41}^{\left(1\right)}$ (${\rho }_{43}^{\left(1\right)}$ )含有$\frac{{\Omega }_2}{{\Omega }_1}$ ($\frac{{\Omega }_1}{{\Omega }_2}$ )且两个光场携带${\text{e}}^{\pm im\phi }$ 的原因。

对于携带整数OAM的探测场，极化率空间分布的周期性由探测场携带的拓扑荷数决定，根据式(10)，影响其大小的因素有原子数密度，外磁场强度，磁场方向与传输方向夹角，探测场失谐等因素。接下来讨论当探测场为携带分数轨道角动量的涡旋光束时介质极化率的变化和影响。

探测场Ω₁、Ω₂为携带分数拓扑荷数的涡旋场时：

$\begin{array}{l}{\Omega }_1={\displaystyle \sum _{m^{\prime }=m_{\min }}^{m_{\max }}{C^{\prime }}_m{\Omega }_0{\Omega }_p^m{\text{e}}^{im\varphi }}{\text{e}}^{i\frac{r^2}{w_z^2}\frac{z}{z_R}}{\text{e}}^{-i\left(2p+\left|m\right|+1\right)}{\tan }^{-1}\left(\frac{z}{z_R}\right)\\ {\Omega }_3={\Omega }_1^{*}\end{array}$ (12)

系数：

${C^{\prime }}_m=\exp \left(i\mu \alpha \right)\frac{i\exp \left[i\left(M-m^{\prime }\right){\theta }_0\right]}{2\pi \left(M-m^{\prime }\right)}\exp \left[i\left(M-m^{\prime }\right)\alpha \right]\left(1-\exp \left(i\mu 2\pi \right)\right),$

$M=m+\mu$ ，m为整数部分，分数部分$\mu$ 的取值范围是$0\le \mu <1$ ，$m_{\min }=Rnd\left[M-n_{\text{modes}}/2\right]$ ，即$\mu \ge 0.5$ 时$m_{\min }$ 向上取最接近且大于M的整数，当$\mu <0.5$ 时，$m_{\min }$ 向下取最接近且小于M的整数，$m_{\max }=m_{\min }+n_{\text{modes}}-1$ ，n为实验中贡献模态的有限数。由于$\mu$ 的原因，携带分数轨道角动量的LG光束特性接近M向上或向下取整的LG光束。

如图3(a)所示，当$M=2.3$ ，即$0<\mu <0.5$ 时，介质极化率分布都与拓扑荷数为2时的空间吸收与色散分布相同，极化率空间分布与图2(b) $m_{41}=-m_{43}=2$ 时相同，$\mathrm{Re}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Re}\left({\chi }_{43}\right)$ 仍然是互补的。花瓣数目仍然为M整数部分的2倍。当$M=2.5$ ，即$\mu =0.5$ 时，$\mathrm{Im}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Im}\left({\chi }_{43}\right)$ (图3(b)第一列与第三列)仍然是相同的，但与图3(a)相比，出现了另外两个花瓣状分布，这是由于分数部分$\mu =0.5$ 引起的，且当$\mu =0.5$ 时，涡旋中心的吸收区域发生了畸变，花瓣数目的增加，图3(c)的介质极化率横向空间分布与图2(b) $m_{41}=-m_{43}=3$ 时极化率空间分布非常相似，但存在一定空间上的偏移，$\mathrm{Re}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Re}\left({\chi }_{43}\right)$ 仍然是互补的，但其花瓣分布不再具有严密的对称性。当$M=2.7$ ，即$\mu >0.5$ 时探测场的色散与空间吸收分布如图3(c)所示，与图2(c) $m_{41}=-m_{43}=3$ 的相似性越来越高，且无论是空间吸收分布还是色散分布其对称性与图3(c) $\mu =0.5$ 相比，呈现出了比较好的对称性，并且由图3(b)~(c)可知，介质极化率实部互补，极化率虚部相同的特点，即探测场色散互补，吸收相同的特点在本文中提出的三能级系统中保持不变。

因此，携带分数OAM的涡旋光束在三能级原子系统中的传播，其分数部分$\mu$ 在0~0.5变化时，探测场的极化率分布与M向下取整时的整数涡旋光束分布相似，且$\mu$ 的值越小，即M越接近向下取整时的整数时，相似度就越高。当$\mu$ 在0.5~1变化时，探测场的极化率分布与M向上取整时的整数涡旋光束分布相似，且$\mu$ 的值越大，即M越接近向上取整时的整数时，相似度就越高。分数部分$\mu$ 影响介质极化率空间分布。在信息传输的通讯容量方面，整数涡旋光束需要间隔整数1或者n (n > 1)才能达到应用目标，而分数涡旋光束间隔0.1或者0.n (n > 1)就能够达到应用目标，即与整数涡旋光束相比，分数涡旋光束的信息容量可以提升10倍。

Figure 3. Spatial distribution of dielectric polarizability. (a) $M=2.3$ , $\mu =0.3$ ; (b) $M=2.5$ ,$\mu =0.5$ ; (c) $M=2.7$ , $\mu =0.7$ . The other parameters are the same as in Figure 2

图3. 介质极化率的空间分布。(a) $M=2.3$ ，即$\mu =0.3$ ；(b) $M=2.5$ ，即$\mu =0.5$ ；(c) $M=2.7$ ，即$\mu =0.7$ 。其他参数与图2相同

Figure 4. Spatial distribution of dielectric polarizability. $M=2.1$ (a) $n=3$ ; (b) $n=4$ ; (c) n = 5. The other parameters are the same as in Figure 2

图4. 介质极化率的空间分布。$M=2.1$ (a) $n=3$ ；(b) $n=4$ ；(c) $n=5$ 其他参数与图2相同

其次，讨论模态数n对介质极化率的影响，实验中的模态数n的选择受到实验中可用的技术和设备的限制，特别是空间光调制器(SLM)的分辨率的能力。空间光调制器(SLM)是一种可以精确控制光波前相位和振幅的设备，能够编程到SLM上的模式数量是有限的，这就决定了“n”的值，因此我们选用较少的模式来研究模态数的影响。如图4，我们展示了不同的n值对极化率的影响，在较为简单的模式叠加中，即n值较小的情况下，如图4(a)所示，介质极化率分布依然保持了$\mathrm{Re}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Re}\left({\chi }_{43}\right)$ 互补，$\mathrm{Im}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Im}\left({\chi }_{43}\right)$ 相等的特点，在图4(a)中，较为简单的模式叠加没有过多的变化。但是随着n的增大$\mathrm{Re}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Re}\left({\chi }_{43}\right)$ ，$\mathrm{Im}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Im}\left({\chi }_{43}\right)$ 的花瓣占比不再相同，即对角关系的花瓣大小不再相等，花瓣分布的区域同样也在变化，但简单模式下的介质极化率空间分布没有发生变化。如图4(b)所示，除去保持了$\mathrm{Re}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Re}\left({\chi }_{43}\right)$ 互补，$\mathrm{Im}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Im}\left({\chi }_{43}\right)$ 相等的特点，$\mathrm{Re}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Re}\left({\chi }_{43}\right)$ ，$\mathrm{Im}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Im}\left({\chi }_{43}\right)$ 的花瓣占比发生变化。n的继续增大，导致$\mathrm{Re}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Re}\left({\chi }_{43}\right)$ ，$\mathrm{Im}\left({\chi }_{41}\right)$ 与$\mathrm{Im}\left({\chi }_{43}\right)$ 的空空间分布发生畸变，花瓣面积变小，出现其他不对称的花瓣分布，对应地，极化率空间分布也发生了变化，如图4(c)所示。

接下来讨论外磁场对极化率的影响，当${\beta }_0=0\gamma$ 时，这意味着能级系统变成了二能级系统，介质极化率实部和虚部都等于0，如图5(a)所示，这说明了介质对探测场没有响应，且对探测场来说是完全透明的。当外磁场增大时，原子介质对探测场的吸收没有发生明显变化，如图5(b)~(c)第一列与第三列所示，但其极化率的实部大小发生了变化，如图5(b)~(c)第二列与第四列所示，根据色散与空间折射率的关系：折射率$=\sqrt{1+\mathrm{Re}\left(\chi \right)}$ ，因此极化率实部的变化，可能导致了光束传播过程中不同的衍射。

Figure 5. Spatial distribution of dielectric polarizability. $M=2.1$ , $n=2$ (a) ${\beta }_0=0\gamma$ ; (b) ${\beta }_0=0.01\gamma$ ; (c) ${\beta }_0=0.1\gamma$ .The other parameters are the same as in Figure 2

图5. 介质极化率的空间分布。$M=2.1$ ，$n=2$ (a) ${\beta }_0=0\gamma$ ； (b) ${\beta }_0=0.01\gamma$ ；(c) ${\beta }_0=0.1\gamma$ 。其他参数与图2相同

4. 结论

在本文中，研究了外磁场作用下⁸⁷Rb原子系统，该系统以携带分数OAM的涡旋光束作为弱探测场，模拟了介质的空间极化率分布，通过对传播方程的数值求解，发现了探测场传播时其花瓣状空间吸收与色散的形成。具体来说，在该三能级系统中，对于分数轨道角动量，其极化率空间分布受分数部分的影响，因为探测场之间存在共轭关系，在0~0.5范围时，极化率空间分布为M向下取整时的2倍。当在0.5~1范围时，极化率空间分布为M向上取整时的2倍。此外极化率的空间分布还受模态n与外磁场大小的影响，这也许会对分数涡旋光束传播的研究有新的启发。