Bergman空间上一类斜Toeplitz算子的不变子空间

Invariant Subspaces of a Class of Slant Toeplitz Operators on the Bergman Space

摘要: 本文研究了单位圆盘的Bergman空间上斜Toeplitz算子的不变子空间问题，分别利用m和p1,p2,⋯,pn的奇偶性和大小关系充分描述了Bergman空间的有限维子空间span{zp1,zp2,⋯,zpn}是以函数φ(z)=zm为符号的斜Toeplitz算子Bφ及其共轭算子Bφ∗的不变子空间的充要条件，以及该子空间何时是算子Bφ的约化子空间，这将有利于对算子Bφ结构特征的认识。

Abstract: In this paper we study the problem of invariant subspaces of slant Toeplitz operators on the Bergman space of the unit disk, and respectively describe the necessary and sufficient condition for the finite dimensional subspacesspan{zp1,zp2,⋯,zpn}of Bergman space to be invariant subspaces of slant Toeplitz operatorsBφand their conjugate operatorsBφ∗with symbolφ(z)=zmby utilizing the parity and size relationship of m andp1,p2,⋯,pn, as well as when this subspace is a reducing subspace of the operatorBφ. This will benefit the knowledge of the structural features of the operatorBφ.

1. 引言

不变子空间问题是线性算子理论中的一个著名问题，该问题研究的是“是否每个无限维的可分Hilbert空间上的有界线性算子都有非平凡的不变子空间”。多年来人们利用各种不同方法对该问题进行大量研究，取得众多结果，但距离问题的解决还比较远。1949年Beurling [1] 通过将移位算子酉等价于Hardy空间上的一类特殊乘法算子，利用内函数完整地刻画了移位算子的不变子空间，得到了Hardy空间 $H^{\text{2}}\left(T\right)$ 的闭子空间M是单边移位算子的不变子空间当且仅当该空间 $M=\phi H^2\left(T\right)$ ，其中 $\phi \in H^{\infty }\left(T\right)$ 是内函数。Bercovici等人 [2] 得到了每个无穷维可分Hilbert空间上的不变子空间问题等价于Bergman空间上以z为符号的乘法算子的不变子空间的万有性问题，这吸引了人们对Bergman空间及该空间上算子性质展开了深入研究。

斜Toeplitz算子是函数空间上的一类算子，是Toeplitz算子的一类推广，由于该类算子的谱和谱半径与小波的光滑性以及一些特殊方程解的性质存在密切联系，所以该类算子吸引了人们的关注。1995年Mark [3] 给出了单位圆周的Lebesgue空间和Hardy空间上的斜Toeplitz算子，并研究该类算子及其共轭算子的表达式、判别标准、谱和谱半径等性质 [3] [4] [5] [6] 。Arora与Batra将Mark给出的斜Toeplitz算子推广为广义斜Toeplitz算子，并探讨了广义斜Toeplitz算子的若干性质 [7] [8] [9] 。此后人们又对该类算子的性质展开更为深入研究，并推广到各类空间上，如：Bergman空间、Dirichlet空间、Fock空间以及环面的Hardy空间和Lebesgue空间等 [10] - [27] 。鉴于斜Toeplitz算子性质的研究，本文主要对Bergman空间上斜Toeplitz算子的不变子空间和约化子空间问题展开研究。

设V是Hilbert空间H上的有界线性算子，X是H的一个闭子空间，如果 $VX\subset X$ ，则称X是V的不变子空间；如果 $VX\subset X$ ， $V^{*}X\subset X$ ，则称X是V的约化子空间，其中 $V^{*}$ 是V的共轭算子。

在本文中设N和 $N_{\text{+}}$ 分别表示自然数集和正整数集，D表示复平面内的单位开圆盘，dA表示单位圆

盘D上的正规化面积测度，即 $dA=\frac{1}{\pi }dxdy$ 。设 $L^2\left(D,dA\right)$ 表示D上平方可积的复值可测函数全体构成的

Hilbert空间，其内积为 $\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{D}f\left(z\right)\overline{g\left(z\right)}dA\left(z\right)}$ ，这里 $f,g\in L^2\left(D,dA\right)$ 。 $L^2\left(D,dA\right)$ 中所有解析函数构成的闭子空间是Bergman空间 $A^2\left(D\right)$ ，既然 $L^2\left(D,dA\right)$ 是Hilbert空间，所以Bergman空间 $A^2\left(D\right)$ 也是Hilbert空间，且该空间的一组正交基是 ${\left\{z^i\right\}}_{i\in N}$ 。设 $L^{\infty }\left(D\right)$ 表示在D上的所有本性有界函数全体构成的

Banach空间。

对于 $\phi \in L^{\infty }\left(D\right)$ ，Bergman空间 $A^2\left(D\right)$ 上以函数 $\phi$ 为符号的斜Toeplitz算子定义为 $B_{\phi }=W{T}_{\phi }$ ，其中W是 $A^2\left(D\right)$ 上的算子：对任意的 $n\in N$ ， $W{z}^{2n}=z^n$ ， $W{z}^{2n+1}=0$ ； $T_{\phi }$ 是 $A^2\left(D\right)$ 上以函数 $\phi$ 为符号的Toeplitz算子，定义为 $T_{\phi }=P{M}_{\phi }$ ，这里P是从 $L^2\left(D,dA\right)$ 到 $A^2\left(D\right)$ 的投影算子，即对于 $f\in L^2\left(D,dA\right)$ ，

$P\left(f\right)\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{D}f\left(w\right)}\frac{1}{{\left(1-z\bar{w}\right)}^2}dA\left(w\right)$ ， $z\in D$ ；

$M_{\phi }$ 是定义在 $A^2\left(D\right)$ 上以函数 $\phi$ 为符号的乘法算子： $M_{\phi }\left(f\right)=\phi f$ ， $f\in L^2\left(D,dA\right)$ 。

2. $B_{\phi }$ 的不变子空间

由于Bergman空间 $A^2\left(D\right)$ 是无穷维的，所以该空间的子空间既有有限维的也有无穷维的。本节主要研究Bergman空间 $A^2\left(D\right)$ 的有限维子空间是一类斜Toeplitz算子 $B_{\phi }$ ( $\phi \left(z\right)=z^m$ ， $m\in N_{+}$ )的不变子空间的充要条件。

既然 ${\left\{z^i\right\}}_{i\in N}$ 是Bergman空间 $A^2\left(D\right)$ 的正交基，那么Bergman空间 $A^2\left(D\right)$ 必定具有以下形式的有限维子空间： $span\left\{z^{p_1},z^{p_2},\cdots ,z^{p_n}\right\}$ ，其中n是正整数， $p_1,p_2,\cdots ,p_n$ 都是非负整数且 $p_i<p_{i+1}$ ( $i=1,2,\cdots ,n-1$ )。为了讨论方便，这里首先给出以下记号：

$G_n=\left\{p_1,p_2,\cdots ,p_n\right\}$ ， $N_0^n=\left\{m+p_i|1\le i\le n,i\in N\right\}$ ， $N_{+}^2=\left\{2k|k\in N\right\}$ ， $a=\text{card}\left(N_{+}^2\cap N_0^n\right)$ ，

这里 $\text{card}\left(A\right)$ 表示集合A中元素的个数。记 $A_n=span\left\{z^{p_1},z^{p_2},\cdots ,z^{p_n}\right\}$ ，下面根据正整数n的取值不同分为三种情况进行分析。

情况I 如果A₁是 $B_{\phi }$ 的不变子空间，那么对任意的 $f\in A_1$ ，必有 $B_{\phi }\left(f\right)\in A_1$ ，从而可得 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)\in A_1$ 。由于 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=\{\begin{array}{l}{z}^{\left(m+p_1\right)/2},m+p_1\in N_{+}^2\\ 0,m+p_1\notin N_{+}^2\end{array}$ ，所以 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=0$ 或者 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=z^{\left(m+p_1\right)/2}$ 。如果 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=0$ ，那么可得 $m+p_1\notin N_{+}^2$ 。如果 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=z^{\left(m+p_1\right)/2}$ ，由于 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)\in A_1$ ，且A₁是一维的，所以只能有 $z^{\left(m+p_1\right)/2}=z^{p_1}$ ，于是可得 $m=p_1$ 。

反之当 $m=p_1$ 时， $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=z^{p_1}$ ，于是由于A₁是由 $z^{p_1}$ 生成的子空间，所以A₁是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间。当 $m+p_1\notin N_{+}^2$ 时， $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=0$ ，而 $0\in A_1$ ，所以A₁是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间。

命题1线性空间A₁是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间当且仅当 $m=p_1$ 或 $m+p_1\notin N_{+}^2$ 。

由上述结论可以得到 $B_{\phi }$ 的一维不变子空间有无穷多个，且一维空间 $span\left\{z^{p_1}\right\}$ 能否成为算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间与该算子的符号函数有关。若 $m\in N_{+}^2$ ，则 $span\left\{z^{p_1}\right\}$ 是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间当且仅当 $A_1=span\left\{z^m\right\}$ 或 $A_1=span\left\{z^{2i+1}\right\}$ ， $i\in N$ ；若 $m\notin N_{+}^2$ ，则 $span\left\{z^{p_1}\right\}$ 是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间当且仅当 $A_1=span\left\{z^m\right\}$ 或 $A_1=span\left\{z^{2i}\right\}$ ， $i\in N$ 。

情况II 如果空间A₂是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间，那么对任意的函数 $f\in A_2$ ，必有 $B_{\phi }\left(f\right)\in A_2$ ，从而可得 $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)\in A_2$ ( $i=1,2$ )。由于 $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)=\{\begin{array}{l}{z}^{\left(m+p_i\right)/2},m+p_i\in N_{+}^2\\ 0,m+p_i\notin N_{+}^2\end{array}$ ，所以 $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)=0$ 或者 $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)=z^{\left(m+p_i\right)/2}$ ( $i=1,2$ )。下面将根据函数 $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)$ ( $i=1,2$ )的性质分为四种情况进行分析。

如果 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=0$ ， $B_{\phi }\left(z^{p_2}\right)=0$ ，那么可得 $m+p_1\notin N_{+}^2$ ， $m+p_2\notin N_{+}^2$ 。

如果 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=0$ ， $B_{\phi }\left(z^{p_2}\right)=z^{\left(m+p_2\right)/2}$ ，那么可得 $m+p_1\notin N_{+}^2$ ， $m+p_2\in N_{+}^2$ 。又由于 $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)\in A_2$ ( $i=1,2$ )，所以有 $z^{\left(m+p_2\right)/2}=z^{p_1}$ 或 $z^{\left(m+p_2\right)/2}=z^{p_2}$ ，于是可得 $m=2p_1-p_2$ 或 $m=p_2$ 。

如果 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=z^{\left(m+p_1\right)/2}$ ， $B_{\phi }\left(z^{p_2}\right)=0$ ，那么可得 $m+p_1\in N_{+}^2$ ， $m+p_2\notin N_{+}^2$ 。又由于 $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)\in A_2$ ( $i=1,2$ )，所以有 $z^{\left(m+p_1\right)/2}=z^{p_1}$ 或 $z^{\left(m+p_1\right)/2}=z^{p_2}$ ，于是可得 $m=p_1$ 或 $m=2p_2-p_1$ 。

如果 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=z^{\left(m+p_1\right)/2}$ ， $B_{\phi }\left(z^{p_2}\right)=z^{\left(m+p_2\right)/2}$ ，那么可得 $m+p_1\in N_{+}^2$ ， $m+p_2\in N_{+}^2$ 。又由于 $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)\in A_2$ ( $i=1,2$ )，所以只有 $z^{\left(m+p_1\right)/2}=z^{p_1}$ 且 $z^{\left(m+p_2\right)/2}=z^{p_2}$ ，于是得 $m=p_1$ 且 $m=p_2$ ，这与已知条件 $p_1<p_2$ 相矛盾。于是可得 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)\ne 0$ ， $B_{\phi }\left(z^{p_2}\right)\ne 0$ 的情况不成立。

反之，当 $m+p_i\notin N_{+}^2$ ( $i=1,2$ )时， $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)=0$ ，而 $0\in A_2$ ，所以空间A₂是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间。当 $m+p_1\notin N_{+}^2$ ， $m=2p_1-p_2$ 或 $m=p_2$ 时， $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=0$ ， $B_{\phi }\left(z^{p_2}\right)=z^{p_1}$ 或 $B_{\phi }\left(z^{p_2}\right)=z^{p_2}$ ，且 $A_2=span\left\{z^{p_1},z^{p_2}\right\}$ ，所以可得A₂是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间。当 $m+p_2\notin N_{+}^2$ ， $m=p_1$ 或 $m=2p_2-p_1$ 时，那么可得 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=z^{p_1}$ 或 $B_{\phi }\left(z^{p_1}\right)=z^{p_2}$ ， $B_{\phi }\left(z^{p_2}\right)=0$ 。又由于 $A_2=span\left\{z^{p_1},z^{p_2}\right\}$ ，所以可得A₂是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间。

命题2 线性空间A₂是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间当且仅当以下条件之一成立：

1) $m+p_i\notin N_{+}^2$ ， $i=1,2$ ；

2) $m+p_i\notin N_{+}^2$ ， $p_j=2p_l-m$ ，其中 $i\in \left\{1,2\right\}$ ， $j\in \left\{1,2\right\}-\left\{i\right\}$ 且 $l\in \left\{1,2\right\}$ 。

根据上述结论显然可以得到 $B_{\phi }$ 的二维不变子空间有无穷多个，且二维空间 $span\left\{z^{p_1},z^{p_2}\right\}$ 是否是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间与该类算子的符号函数有关。

若 $m\in N_{+}^2$ ，则 $A_2=span\left\{z^{p_1},z^{p_2}\right\}$ 是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间当且仅当下列条件之一成立：

$A_2=span\left\{z^{2k+1},z^{2l+1}\right\}$ ， $k,l\in N$ ， $k<l$ ；

$A_2=span\left\{z^{2k+1},z^m\right\}$ ， $k\in N$ ， $k<\left(m-1\right)/2$ ；

$A_2=span\left\{z^{2k+1},z^{4k+2-m}\right\}$ ， $k\in N$ ， $k>\left(m-1\right)/2$ ；

$A_2=span\left\{z^m,z^{2l+1}\right\}$ ， $l\in N$ ， $l>\left(m-1\right)/2$ ；

$A_2=span\left\{z^{4l+2-m},z^{2l+1}\right\}$ ， $l\in N$ ， $l<\left(m-1\right)/2$ 。

若 $m\notin N_{+}^2$ ，则 $A_2=span\left\{z^{p_1},z^{p_2}\right\}$ 是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间当且仅当下列条件之一成立：

$A_2=span\left\{z^{2k},z^{2l}\right\}$ ， $k,l\in N$ ， $k<l$ ；

$A_2=span\left\{z^{2k},z^m\right\}$ ， $k\in N$ ， $k<m/2$ ；

$A_2=span\left\{z^{2k},z^{4k-m}\right\}$ ， $k\in N$ ， $k>m/2$ ；

$A_2=span\left\{z^m,z^{2l}\right\}$ ， $l\in N$ ， $l>m/2$ ；

$A_2=span\left\{z^{4l-m},z^{2l}\right\}$ ， $l\in N$ ， $l<m/2$ 。

情况III 如果空间 $A_n$ $\left(n\ge 3\right)$ 是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间，那么对任意的 $f\in A_n$ ，必有 $B_{\phi }\left(f\right)\in A_n$ ，从而可得 $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)\in A_n$ ， $i=1,2,\cdots ,n$ 。由于

$B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)=\{\begin{array}{l}{z}^{\left(m+p_i\right)/2},m+p_i\in N_{+}^2\\ 0,m+p_i\notin N_{+}^2\end{array}$ ， (1)

所以对任意满足 $1\le i\le n$ 的正整数i， $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)=0$ 或者 $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)=z^{\left(m+p_i\right)/2}$ 。下面就函数 $B_{\phi }\left(z^{p_i}\right)$ 的取值情况展开讨论。

首先，如果对任意的 $p_s\in G_n$ ， $B_{\phi }\left(z^{p_s}\right)=0$ ，那么根据(1)式可得 $m+p_s\notin N_{+}^2$ ，从而可得 $N_{+}^2\cap N_0^n=\varnothing$ ，故 $a=0$ 。

其次，如果存在唯一的 $p_{i_1}\in G_n$ 使得 $B_{\phi }\left(z^{p_{i_1}}\right)\ne 0$ ，那么根据(1)式可得仅有 $m+p_{i_1}\in N_{+}^2$ ，从而可得 $N_{+}^2\cap N_0^n=\left\{m+p_{i_1}\right\}$ ，所以可得 $a=1$ 。又因为 $B_{\phi }\left(z^{p_{i_1}}\right)\in A_n$ 且 $B_{\phi }\left(z^{p_{i_1}}\right)=z^{\left(m+p_{i_1}\right)/2}$ ，所以存在 $p_{t_1}\in G_n$ ，使得 $z^{\left(m+p_{i_1}\right)/2}=z^{p_{t_1}}$ ，即 $m=2p_{t_1}-p_{i_1}$ 。又由于 $m\ge 1$ ，所以 $2p_{t_1}-p_{i_1}\ge 1$ 。

再者，如果仅存在k个 $p_{i_1},p_{i_2},\cdots ,p_{i_k}\in G_n$ 使得 $B_{\phi }\left(z^{p_{i_j}}\right)\ne 0$ ( $j=1,2,\cdots ,k$ )，其中 $k\in N_{+}$ 且 $2\le k\le n-1$ ， $p_{i_j}<p_{i_{j+1}}$ ( $j=1,2,\cdots ,k-1$ )，那么根据(1)式可得 $m+p_{i_j}\in N_{+}^2$ ( $j=1,2,\cdots ,k$ )，即

$N_{+}^2\cap N_0^n=\left\{m+p_{i_1},m+p_{i_2},\cdots ,m+p_{i_k}\right\}$ ，

所以 $a=k$ 。又因为 $B_{\phi }\left(z^{p_{i_j}}\right)\in A_n$ ( $j=1,2,\cdots ,k$ )，且 $B_{\phi }\left(z^{p_{i_j}}\right)=z^{\left(m+p_{i_j}\right)/2}$ ，所以存在 $p_{t_1},p_{t_2},\cdots ,p_{t_a}\in G_n$ ，使得 $z^{\left(m+p_{i_j}\right)/2}=z^{p_{t_j}}$ ( $j=1,2,3,\cdots ,a$ )，于是可得 $m=2p_{t_1}-p_{i_1}$ ，且 $p_{t_c}=p_{t_1}+\frac{1}{2}\left(p_{i_c}-p_{i_1}\right)$ ， $c\in \left\{2,3,\cdots ,a\right\}$ 。又因为 $m\ge 1$ ，所以 $2p_{t_1}-p_{i_1}\ge 1$ 。

最后，如果对所有的 $p_s\in G_n$ ， $B_{\phi }\left(z^{p_s}\right)\ne 0$ ，那么 $m+p_s\in N_{+}^2$ ， $p_s\in G_n$ ，即 $N_{+}^2\cap N_0^n=N_0^n$ ，故 $a=n$ 。又因为对任意的 $p_s\in G_n$ ，都有 $B_{\phi }\left(z^{p_s}\right)\in A_n$ 且 $B_{\phi }\left(z^{p_s}\right)=z^{\left(m+p_s\right)/2}$ ，所以只能有

$z^{\left(m+p_1\right)/2}=z^{p_1}$ ， $z^{\left(m+p_2\right)/2}=z^{p_2}$ ， $\cdots$ ， $z^{\left(m+p_n\right)/2}=z^{p_n}$ ，

从而 $m=p_1=p_2=\cdots =p_n$ ，这与已知条件 $p_i<p_{i+1}$ ( $i=1,2,3,\cdots ,a-1$ )相矛盾，故对所有的 $p_s\in G_n$ ， $B_{\phi }\left(z^{p_s}\right)\ne 0$ 的情况不成立。

反之，如果 $a=0$ ，那么对所有的 $p_s\in G_n$ ， $m+p_s\notin N_{+}^2$ ，从而 $B_{\phi }\left(z^{p_s}\right)=0$ ，而 $0\in A_n$ ，所以 $A_n$ 是 $B_{\phi }$ 的不变子空间。如果 $a=1$ ，且存在 $p_{i_1},p_{t_1}\in G_n$ 使得 $m=2p_{t_1}-p_{i_1}$ ，那么可得

$B_{\phi }\left(z^{p_{i_1}}\right)=z^{m+p_{i_1}/2}=z^{p_{t_1}}$ ， $B_{\phi }\left(z^{p_s}\right)=0$ $\left(p_s\in G_n-\left\{p_{i_1}\right\}\right)$ ，

从而可得空间 $A_n$ 是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间。如果 $n-1\ge a\ge 2$ ，且存在 $p_{i_j},p_{t_j}\in G_n$ ( $j=1,2,\cdots ,a$ )使得 $m=2p_{t_1}-p_{i_1}$ ， $p_{t_c}=p_{t_1}+\frac{1}{2}\left(p_{i_c}-p_{i_1}\right)$ ， $c\in \left\{2,3,\cdots ,a\right\}$ ，那么可以得到

$B_{\phi }\left(z^{p_{i_j}}\right)=z^{m+p_{i_j}/2}=z^{p_{t_j}}$ ( $j=1,2,\cdots ,a$ )， $B_{\phi }\left(z^{p_s}\right)=0$ $\left(p_s\in G_n-\left\{p_{i_1},p_{i_2},\cdots ,p_{i_a}\right\}\right)$ ，

于是可得 $A_n$ 是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间。

根据上述分析可以得到以下结论。

定理1 线性空间 $A_n$ $\left(n\ge 3\right)$ 是算子 $B_{\phi }$ 的不变子空间当且仅当下列条件之一成立：

1) $a=0$ ；

2) $a=1$ ，且存在 $p_{i_1},p_{t_1}\in G_n$ ，使得 $m=2p_{t_1}-p_{i_1}$ ；

3) $n-1\ge a\ge 2$ ，且存在 $p_{i_j},p_{t_j}\in G_n$ ( $j=1,2,\cdots ,a$ )，使得

$m=2p_{t_1}-p_{i_1}$ ， $p_{t_c}=p_{t_1}+\frac{1}{2}\left(p_{i_c}-p_{i_1}\right)$ ， $c\in \left\{2,3,\cdots ,a\right\}$ 。

3. $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间

由于斜Toeplitz算子 $B_{\phi }$ 与其共轭算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 之间存在密切联系，所以本节将对Bergman空间 $A^2\left(D\right)$ 的有限维子空间何时是 $B_{\phi }^{\ast }$ ( $\phi \left(z\right)=z^m$ ， $m\in N_{+}$ )的不变子空间问题展开讨论。记 $A_n=span\left\{z^{p_1},z^{p_2},\cdots ,z^{p_n}\right\}$ ，其中n是正整数， $p_1,p_2,\cdots ,p_n$ 都是非负整数且 $p_i<p_{i+1}$ ( $i=1,2,\cdots ,n-1$ )， $b=\text{card}\left\{p_s|m\le 2p_s,p_s\in G_n\right\}$ ，这里 $\text{card}\left\{A\right\}$ 表示集合 $\left\{A\right\}$ 中的元素个数。下面根据正整数n的取值不同分为三种情况进行分析。

情况I如果空间A₁是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间，那么对任意的函数 $f\in A_1$ ，必有 $B_{\phi }^{\ast }\left(f\right)\in A_1$ ，从而可得 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)\in A_1$ 。又由于 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)={\left(W{T}_{\phi }\right)}^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=T_{\bar{\phi }}{W}^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=T_{\bar{\phi }}\left(\frac{2p_1+1}{p_1+1}{z}^{2p_1}\right)=\{\begin{array}{l}\frac{2p_1-m+1}{p_1+1}{z}^{2p_1-m},m\le 2p_1\\ 0,m>2p_1\end{array}$ ，所以显然可得 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=0$ 或者 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=\frac{2p_1-m+1}{p_1+1}{z}^{2p_1-m}$ 。如果 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=0$ ，那么可得 $m>2p_1$ 。如果 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=\frac{2p_1-m+1}{p_1+1}{z}^{2p_1-m}$ ，那么 $m\le 2p_1$ ，并且由于 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)\in A_1$ ，空间A₁是一维的，所以只能有 $z^{2p_1-m}=z^{p_1}$ ，于是可得 $m=p_1$ 。

反之，当 $m=p_1$ 时， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=z^{p_1}$ ，又由于A₁是由函数 $z^{p_1}$ 生成的子空间，所以A₁是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。当 $m>2p_1$ 时， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=0$ ，而常值函数 $0\in A_1$ ，所以A₁是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。

命题3线性空间A₁是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间当且仅当 $m=p_1$ 或 $m>2p_1$ 。

由上述结论可以得到一维空间 $span\left\{z^{p_1}\right\}$ 是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间当且仅当 $A_1=span\left\{z^m\right\}$ 或 $A_1=span\left\{z^i\right\}$ ，其中 $i\in N$ 且 $i<\frac{m}{2}$ 。

情况II 如果空间A₂是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间，那么对任意函数 $f\in A_n$ ，必有 $B_{\phi }^{\ast }\left(f\right)\in A_n$ ，从而可得 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_i}\right)\in A_2$ ( $i=1,2$ )。由于 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_i}\right)=\{\begin{array}{l}\frac{2p_i-m+1}{p_i+1}{z}^{2p_i-m},m\le 2p_i\\ 0,m>2p_i\end{array}$ ，所以可得 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_i}\right)=\frac{2p_i-m+1}{p_i+1}{z}^{2p_i-m}$ 或 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_i}\right)=0$ ( $i=1,2$ )。

如果 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=0$ ， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_2}\right)=0$ ，那么可得 $m>2p_2$ 。

如果 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=0$ ， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_2}\right)=\frac{2p_2-m+1}{p_2+1}{z}^{2p_2-m}$ ，那么可得 $2p_2\ge m>2p_1$ 。由于 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_i}\right)\in A_2$ ( $i=1,2$ )，所以 $z^{2p_2-m}=z^{p_1}$ 或 $z^{2p_2-m}=z^{p_2}$ ，于是可得 $m=2p_2-p_1$ 或 $m=p_2$ 。

如果 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=\frac{2p_1-m+1}{p_1+1}{z}^{2p_1-m}$ ， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_2}\right)=0$ ，那么可得 $m>2p_2$ ， $m<2p_1$ ，这与已知条件 $p_1<p_2$ 相矛盾，于是 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=\frac{2p_1-m+1}{p_1+1}{z}^{2p_1-m}$ ， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_2}\right)=0$ 的情况不成立。

如果 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=\frac{2p_1-m+1}{p_1+1}{z}^{2p_1-m}$ ， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_2}\right)=\frac{2p_2-m+1}{p_2+1}{z}^{2p_2-m}$ ，那么可得 $m\le 2p_1$ 。由于 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_i}\right)\in A_2$

( $i=1,2$ )，所以只有 $z^{2p_1-m}=z^{p_1}$ 且 $z^{2p_2-m}=z^{p_2}$ ，于是得 $m=p_1$ 且 $m=p_2$ ，这与已知条件 $p_1<p_2$ 相矛盾，故 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=\frac{2p_1-m+1}{p_1+1}{z}^{2p_1-m}$ ， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_2}\right)=\frac{2p_2-m+1}{p_2+1}{z}^{2p_2-m}$ 的情况不成立。

反之，当 $m>2p_2$ 时， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_i}\right)=0$ ( $i=1,2$ )，而常值函数 $0\in A_2$ ，所以空间A₂是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。当 $2p_2\ge m>2p_1$ ， $m=2p_2-p_1$ 或 $m=p_2$ 时， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_1}\right)=0$ ， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_2}\right)=z^{p_1}$ 或 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_2}\right)=z^{p_2}$ ，所以A₂是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。

命题4 线性空间A₂是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间当且仅当以下条件之一成立：

1) $m>2p_2$ ；

2) $2p_2\ge m>2p_1$ ，且 $m=2p_2-p_1$ 或 $m=p_2$ 。

由上述结论可以得到二维空间 $span\left\{z^{p_1},z^{p_2}\right\}$ 是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间当且仅当下列条件之一成立：

1) $A_2=span\left\{z^{p_1},z^{p_2}\right\}$ ， $p_1,p_2\in N$ 且 $p_2<\frac{m}{2}$ ；

2) $A_2=span\left\{z^{p_1},z^{\frac{m+p_1}{2}}\right\}$ ， $p_1\in N$ 且 $p_1<\frac{m}{2}$ ；

3) $A_2=span\left\{z^{p_1},z^m\right\}$ ， $p_1\in N$ 且 $p_1<\frac{m}{2}$ 。

情况III 如果空间 $A_n$ $\left(n\ge 3\right)$ 是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间，那么对任意的 $f\in A_n$ ，必有 $B_{\phi }^{\ast }\left(f\right)\in A_n$ ，从而可得 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_i}\right)\in A_n$ ， $i=1,2,\cdots ,n$ 。由于

$B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_i}\right)=\{\begin{array}{l}\frac{2p_i-m+1}{p_i+1}{z}^{2p_i-m},m\le 2p_i\\ 0,m>2p_i\end{array}$ ， (2)

所以对任意满足 $1\le i\le n$ 的正整数i， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_i}\right)=0$ 或者 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_i}\right)=\frac{2p_i-m+1}{p_i+1}{z}^{2p_i-m}$ 。下面就 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_i}\right)$ 的取值情况展开分析。

如果对于所有的 $p_s\in G_n$ ， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_s}\right)=0$ ，那么根据(2)式可得 $m>2p_n$ ，故 $b=0$ 。

如果仅存在一个 $p_n\in G_n$ 使得 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_n}\right)\ne 0$ ，那么根据(2)式可得 $2p_{n-1}<m\le 2p_n$ ，故 $b=1$ 。又因为 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_n}\right)\in A_n$ 且 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_n}\right)=\frac{2p_n-m+1}{p_n+1}{z}^{2p_n-m}$ ，所以存在 $p_{d_1}\in G_n$ ，使得 $z^{2p_n-m}=z^{p_{d_1}}$ ，即 $m=2p_n-p_{d_1}$ 。

如果仅存在k个元素 $p_n,p_{n-1},\cdots ,p_{n-k+1}\in G_n$ 使得 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_j}\right)\ne 0$ ( $j=n-k+1,n-k+2,\cdots ,n$ )，其中 $k\in N$ 且 $n-1\ge k\ge 2$ ，那么根据(2)式可得 $2p_{n-k}<m\le 2p_{n-k+1}$ ，故 $b=k$ 。又因为 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_j}\right)\in A_n$ 且

$B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_j}\right)=\frac{2p_j-m+1}{p_j+1}{z}^{2p_j-m}$ ( $j=n-k+1,n-k+2,\cdots ,n$ )，

所以必定存在b个元素 $p_{d_1},p_{d_2},\cdots ,p_{d_b}\in G_n$ 使得 $z^{2p_{n-g}-m}=z^{p_{d_{b-g}}}$ ( $g=0,1,\cdots ,b-1$ )，于是可得 $m=2p_n-p_{d_b}$ 且 $p_n-p_{n-g}=\frac{1}{2}\left(p_{d_b}-p_{d_{b-g}}\right)$ ， $g\in \left\{0,1,2,\cdots ,b-1\right\}$ 。

最后如果对于所有的 $p_s\in G_n$ ， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_s}\right)\ne 0$ ，那么根据(2)式可得 $m\le 2p_1$ ，故 $b=n$ 。又因为对任意 $p_s\in G_n$ ，都有 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_s}\right)\in A_n$ 且 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_s}\right)=\frac{2p_s-m+1}{p_s+1}{z}^{2p_s-m}$ ，所以只能有

$z^{2p_1-m}=z^{p_1}$ ， $z^{2p_2-m}=z^{p_2}$ ， $\cdots$ ， $z^{2p_n-m}=z^{p_n}$ ，

于是 $m=p_1=p_2=\cdots =p_n$ ，这与已知条件 $p_i<p_{i+1}$ ( $i=1,2,3,\cdots ,n-1$ )相矛盾，故对所有的 $p_s\in G_n$ ， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_s}\right)\ne 0$ 的情况不成立。

反之，如果 $b=0$ ，即 $m>2p_n$ ，那么可得对任意的 $p_s\in G_n$ ， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_s}\right)=0$ ，而常值函数 $0\in A_n$ ，所以 $A_n$ 是 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。如果 $b=1$ ，且存在 $p_{d_1}\in G_n$ 使得 $m=2p_n-p_{d_1}$ ，即 $2p_{n-1}<m\le 2p_n$ ，那么可得 $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_n}\right)=\frac{p_{d_1}+1}{p_n+1}{z}^{p_{d_1}}$ ， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_u}\right)=0$ ( $p_u\in G_n-\left\{p_n\right\}$ )，所以可得 $A_n$ 是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。若 $n-1\ge b\ge 2$ ，且存在b个元素 $p_{d_h}\in G_n$ ( $h=1,2,\cdots ,b$ )使得 $m=2p_n-p_{d_b}$ ， $p_n-p_{n-g}=\frac{1}{2}\left(p_{d_b}-p_{d_{b-g}}\right)$ $\left(g\in \left\{0,1,2,\cdots ,b-1\right\}\right)$，即 $2p_{n-b}<m\le 2p_{n-b+1}$ ，那么根据(2)式可得

$B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_{n-g}}\right)=\frac{p_{b-g}+1}{p_{n-g}+1}{z}^{p_{b-g}}$ $\left(g\in \left\{0,1,2,\cdots ,b-1\right\}\right)$， $B_{\phi }^{\ast }\left(z^{p_l}\right)=0$ ， $p_l\in G_n-\left\{p_{n-g}|g\in \left\{0,1,2,\cdots ,b-1\right\}\right\}$ ，

所以可得 $A_n$ 是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间。

定理2 线性空间 $A_n\left(n\ge 3\right)$ 是算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间当且仅当以下条件之一成立：

1) $b=0$ ；

2) $b=1$ 且存在一个元素 $p_{d_1}\in G_n$ ，使得 $m=2p_n-p_{d_1}$ ；

3) $n-1\ge b\ge 2$ 且存在b个元素 $p_{d_h}\in G_n$ ( $h=1,2,\cdots ,b$ )，使得

$m=2p_n-p_{d_b}$ ， $p_n-p_{n-g}=\frac{1}{2}\left(p_{d_b}-p_{d_{b-g}}\right)$ ， $g\in \left\{0,1,2,\cdots ,b-1\right\}$ 。

4. $B_{\phi }$ 的约化子空间

本节中将根据前面2部分的讨论进一步分析Bergman空间 $A^2\left(D\right)$ 的有限维子空间 $A_n$ 何时是斜Toeplitz算子 $B_{\phi }$ 和共轭算子 $B_{\phi }^{\ast }$ 的不变子空间的问题，即 $A_n$ 何时是算子 $B_{\phi }$ 的约化子空间的问题。首先根据命题1和命题3以及约化子空间的概念显然可以得到以下结论。

命题5 线性空间A₁是算子 $B_{\phi }$ 的约化子空间当且仅当 $p_1=m$ 或 $p_1$ 与m的奇偶性互异且 $p_1<\frac{m}{2}$ 。

根据命题2和命题4以及约化子空间的概念可以得到以下结论。

命题6 线性空间A₂是算子 $B_{\phi }$ 的约化子空间当且仅当以下条件之一成立：

1) $m+p_i\notin N_{+}^2$ ( $i=1,2$ )， $p_2<\frac{m}{2}$ ；

2) $m+p_1\notin N_{+}^2$ 且 $p_1<\frac{m}{2}$ ， $p_2=m$ ；

3) $m+p_2\notin N_{+}^2$ 且 $p_1<\frac{m}{2}<p_2$ ， $2p_2-p_{\text{1}}=m$ 。

根据定理1和定理2以及约化子空间的定义可以得到以下结论。

定理3 线性空间 $A_n\left(n\ge 3\right)$ 是算子 $B_{\phi }$ 的约化子空间当且仅当下列条件之一成立：

1) $m+p_i\notin N_{+}^2$ ( $i=1,2,\cdots ,n$ )且 $p_n<\frac{m}{2}$ ；

2) 存在唯一的 $p_d\in G_n$ 使得 $m+p_d\in N_{+}^2$ ， $2p_n-p_d=m$ 且 $p_{n-1}<\frac{m}{2}$ ；

3) 仅存在 $a\left(n-1\ge a\ge 2,a\in N\right)$ 个元素 $p_{d_i}\in G_n$ ( $i=0,1,\cdots ,a-1$ )使得

$m+p_{d_i}\in N_{+}^2$ $\left(i=0,1,2,\cdots ,a-1\right)$， $2p_n-p_{d_a}=m$ 且 $p_n-p_{n-i}=\frac{1}{2}\left(p_{d_a}-p_{d_{a-i}}\right)$ $\left(i=1,2,\cdots ,a-1\right)$，

且 $p_{a-1}<\frac{m}{2}<p_{n-a+1}$ 。

基金项目

国家自然科学基金项目(No: 11301046)；辽宁省教育厅科学研究经费项目(JDL2019026)。