基于基面力元法钢纤维轻骨料混凝土损伤分析

Damage Analysis of Steel Fiber Lightweight Aggregate Concrete Based on Base Force Element Method

摘要: 以势能原理的基面力元法为基础，本文建立了钢纤维轻骨料混凝土的分析模型，使用该模型对轴压作用下钢纤维轻骨料混凝土的破坏及力学性能进行了数值模拟，将计算结果与试验结果进行了对比，并对钢纤维混凝土的受压破坏进行了分析，探究了钢纤维长度对钢纤维轻骨料混凝土受压强度的影响。结果表明，采用该方法，钢纤维轻骨料混凝土的力学分析结果与宏观试验结果基本吻合，钢纤维长度过短或过长均会使混凝土受压强度下降。该模型可较为准确地反映钢纤维轻骨料混凝土的单轴受压破坏过程，为分析钢纤维轻骨料混凝土的力学性能提供了新路径。

Abstract: In this paper, based on the base force element method of principle energy potential, an analytical model of steel fiber lightweight aggregate concrete is established. The model is used to numerically simulate the damage and mechanical properties of steel fiber lightweight aggregate concrete under axial compression. The calculated results are compared with experimental results, and the compression failure of steel fiber concrete is analyzed to explore the influence of steel fiber length on the compressive strength of steel fiber lightweight aggregate concrete. The results indicate that using this method, the mechanical analysis results of steel fiber lightweight aggregate concrete are in basic agreement with macroscopic experimental results. Moreover, both too-short and too-long steel fiber lengths result in decreased compressive strength of concrete. The model can accurately reflect the uniaxial compression failure process of steel fiber lightweight aggregate concrete and provides a new approach for analyzing the mechanical properties of steel fiber lightweight aggregate concrete.

1. 引言

轻骨料混凝土(LWAC)自身的密度相对较小，用其作为主要的建筑材料能够有效减轻结构物的自重，降低对建筑物的地基承载力要求，同时也提高了结构的抗震性能。但轻骨料混凝土的劈裂抗拉强度远低于相同强度等级的普通混凝土，最大降低30% [1] 。掺入纤维可提高轻骨料混凝土的拉伸性能与延性。刘汉勇等 [2] 研究发现，轻骨料混凝土掺入钢纤维可使劈裂抗拉强度明显提高，增幅最大可达92.5%。蒋进波 [3] 等研究发现，掺入钢纤维可使轻骨料混凝土梁开裂荷载提高33.3%，极限承载力提高17.1%，且梁在破坏中裂缝宽度更小。

钢纤维轻骨料混凝土作为一种复合材料，从宏观角度探究其内在破坏机理难度较大，且在试验过程中，由于钢纤维轻骨料混凝土比其他种类混凝土制作难度更大，会导致如搅拌不匀等许多人为因素极大地影响试验结果，难以取得清晰统一的试验规律。因此，可以将细观力学损伤的研究方法引入到钢纤维轻骨料混凝土的研究中来。

2003年，Gao [4] 提出了基面力概念，并提出了推导单元刚度矩阵和柔度矩阵显示表达式的思路，Peng等 [5] 在基面力基础上提出了基面力元法，该模型计算效率高，对网格依赖度较小。2015年，王耀 [6] 综合基面力概念和基面力单元法，建立了三维基面力单元数值模型，模拟再生混凝土的单轴压缩试验，这一方法适用于任意坐标系的平面及空间单元 [7] 。2018年，孟德泉等 [8] 从细观力学角度出发，利用势能原理的基本面单元法，提出了界面等效模型，对再生混凝土进行了单轴拉伸试验模拟，表明了此模型可以提高模拟效率。同年，崔云璇等 [9] 借鉴Gao的基面力单元法，生成随机圆骨料模型，利用数值模拟的方法探究了应变率对于再生混凝土动态力学性能的影响。2020年，吴正昊等 [10] 使用势能基面力单元法理论，探究了碳纳米管–水泥基复合材料在单轴受压下的力学性能。

本文设计了一种钢纤维轻骨料混凝土计算模型，并采用Fortran程序生成相应二维模型，基于势能原理的基面力元法进行了力学性能分析，将计算数据与试验数据进行对比，绘制了破坏图，并分析了其破坏规律。

2. 基面力元法

Gao [4] 在2003年提出了基面力的概念，在此基础上，Peng等 [5] 提出了基面力单元法，推导得出了一个三角形单元刚度矩阵中任意元素 $K^{IJ}$ 的表达式：

$K^{IJ}=\frac{E}{2A\left(1+\nu \right)}\left[\frac{2\nu }{1-2\nu }{m}^I\otimes m^J+m^{IJ}U+m^J\otimes m^I\right]$ ， $\left(I,J=1,2,3,4\right)$ (1)

式中， $I,J$ 为单元节点编码；E为材料杨氏模量；A为三角形单元面积； $\nu$ 为材料泊松比； $U$ 为单位张量；， $U=P_{\alpha }\otimes P^{\alpha }=P^{\alpha }\otimes P_{\alpha }$ ； $m^{IJ}=m^I\cdot m^J$ ，其中：

$m^I=m_{\alpha }^l{P}_{\alpha }=\frac{1}{2}\left(L_{IJ}{n}^{IJ}+L_{IK}{n}^{IK}\right)$ (2)

式中， $P_{\alpha }$ 表示径矢， $P^{\alpha }$ 为 $P_{\alpha }$ 的共轭向量。

三角形单元如图1所示。

Figure 1. Triangular element

图1. 三角形单元

3. 钢纤维轻骨料混凝土二维细观模型

3.1. 钢纤维轻骨料混凝土力学模型

本文在细观层次上将钢纤维轻骨料混凝土视为由轻骨料、砂浆、骨料–砂浆界面、钢纤维组成的复合材料。如图2所示，本文采用将钢纤维强度等效到混凝土单元强度中的方式在轻骨料混凝土中添加钢纤维。

为将钢纤维强度嵌入到混凝土单元中，通过变形协调计算钢纤维对混凝土单元节点刚度的贡献，计算钢纤维的贡献刚度矩阵，将贡献刚度矩阵叠加到轻骨料混凝土刚度矩阵中进行计算。

Figure 2. Steel fiber embedding model

图2. 钢纤维嵌入模型

3.2. 模型的本构关系

在小变形下的情况下，线弹性本构模型适用于钢纤维，本构关系如图3所示。

Figure 3. Linear elastic constitutive model of steel fiber

图3. 钢纤维的线弹性本构模型

混凝土材料在外加荷载作用下应力–应变曲线之所以呈非线性，主要是由于混凝土内部微裂缝的发展所致。本文采用多折线损伤本构模型 [11] 描述轻骨料混凝土的损伤演变过程，如图4所示。

Figure 4. Multi-fold damage constitutive model

图4. 多折线损伤本构模型

$D_t=\{\begin{array}{lll}0\hfill & \hfill & \epsilon \le {\epsilon }_{t0}\hfill \\ 1-\frac{{\epsilon }_{t0}}{\epsilon }+\frac{\epsilon -{\epsilon }_{t0}}{{\eta }_t{\epsilon }_{t0}-{\epsilon }_{t0}}\frac{{\epsilon }_{t0}}{\epsilon }\left(1-\alpha \right)\hfill & \hfill & {\epsilon }_{t0}<\epsilon \le {\eta }_t{\epsilon }_{t0}\hfill \\ 1-\frac{\alpha }{{\xi }_t-{\eta }_t}\frac{\epsilon -{\eta }_t{\epsilon }_{t0}}{\epsilon }+\frac{\alpha {\epsilon }_{t0}}{\epsilon }\hfill & \hfill & {\eta }_t{\epsilon }_{t0}<\epsilon \le {\xi }_t{\epsilon }_{t0}\hfill \\ 1\hfill & \hfill & \epsilon >{\xi }_t{\epsilon }_{t0}\hfill \end{array}$ (3)

$D_c=\{\begin{array}{lll}1-\frac{\beta }{\lambda }\hfill & \hfill & \epsilon \le \lambda {\epsilon }_{c0}\hfill \\ 1-\frac{1-\beta }{1-\lambda }\frac{\epsilon -\lambda {\epsilon }_{c0}}{\epsilon }-\beta \frac{{\epsilon }_{c0}}{\epsilon }\hfill & \hfill & \lambda {\epsilon }_{c0}<\epsilon \le {\epsilon }_{c0}\hfill \\ 1-\frac{1-\gamma }{1-{\eta }_c}\frac{\epsilon -{\epsilon }_{c0}}{\epsilon }-\frac{{\epsilon }_{c0}}{\epsilon }\hfill & \hfill & {\epsilon }_{c0}<\epsilon \le {\eta }_c{\epsilon }_{c0}\hfill \\ 1-\frac{\gamma {\epsilon }_{c0}}{\epsilon }\hfill & \hfill & {\eta }_c{\epsilon }_{c0}<\epsilon \le {\xi }_c{\epsilon }_{c0}\hfill \\ 1\hfill & \hfill & \epsilon >{\xi }_c{\epsilon }_{c0}\hfill \end{array}$ (4)

式中， ${\epsilon }_0$ 为峰值应变； $\eta$ 为残余应变系数， $1<\eta \le 5$ ； $\xi$ 为极限应变系数， $\xi >\eta$ ； $\lambda$ 为弹性应变系数， $0<\lambda \le 1$ ； $\beta$ 为弹性抗压强度系数， $0<\beta \le 1$ ； $\gamma$ 为残余抗压强度系数； $\alpha$ 为残余抗拉强度系数；下标t和c分别代表抗拉与抗压状态。

3.3. 钢纤维轻骨料混凝土细观模型建立

为研究钢纤维对轻骨料混凝土力学性能的影响，文献 [12] 进行了相关试验研究，本文模拟文献中的LC35试验建立模型。本文建立了尺寸为100 mm × 100 mm的钢纤维轻骨料混凝土二维模型。

首先，基于随机骨料模型，建立轻骨料混凝土二维模型，并对模型进行Delaunay剖分，判别单元属性。

参照文献 [13] 中的数据，计算出不同钢纤维体积率的试件中应投放的钢纤维数量，并且，为了使钢纤维在二维模型中表达出钢纤维在真实试验中的三个维度分量，本文在投放钢纤维时，取钢纤维长度为其在二维平面上的投影长度。在实际操作中，给每根钢纤维设定一个随机的在第三个方向上的角度，并根据这个角度计算出其投影长度，使得钢纤维在二维模型中表达出第三个方向的分量。投放时，让钢纤维避开骨料投放在砂浆中，并且尽量保证钢纤维在混凝土砂浆中的均匀分布。如图5所示，其中红色线条代表所投放钢纤维。

Figure 5. Grid delineation of steel fiber lightweight aggregate concrete and fine view model of fiber placement

图5. 钢纤维轻骨料混凝土网格划分及纤维投放细观模型

参照文献 [12] 中的LC35试验钢纤维混凝土试验参数生成三个混合随机骨料模型，如图6所示。图中灰色为砂浆，蓝色为轻骨料，白色为界面，红色为钢纤维。其中，图6(a)为钢纤维体积率0%，图6(b)为钢纤维体积率0.5%，图6(c)为钢纤维体积率1%，三个模型除钢纤维体积率外其余参数都保持统一。

(a) 试件一 (b) 试件二 (c) 试件三

Figure 6. Steel fiber concrete model

图6. 钢纤维混凝土模型

4. 数值模拟及破坏分析

4.1. 模型参数选取

本文采用单轴静态压缩模式进行数值模拟。在试件底部限制单元节点竖向位移。且限制底部中央节点水平位移。通过位移方式对试件进行加载，每步加载为0.005 mm，如图7所示。

Figure 7. Uniaxial pressure loading model

图7. 单轴受压加载模型

为验证程序，对试验 [12] 中的LC35批次试件进行模拟计算。对于试验中已给出的参数直接使用，对于未给出的参数本文参考文献 [14] - [20] 进行选取。以上参数为参考值，以未掺纤维轻骨料混凝土试验结果为控制量，结合数值模拟结果对参数进行优化。所取参数如表1和表2所示。

Table 1. The first set of concrete material parameters

表1. 第一组混凝土材料参数

Table 2. The first set of steel fiber material parameters

表2. 第一组钢纤维材料参数

4.2. 计算结果与试验对比

对LC35批次试件采用势能原理的基面力元法进行模拟力学性能计算，获得了钢纤维混凝土试件的峰值应力结果，如表3所示，并与文献 [12] 中的试验结果进行比较，如图8所示。

Table 3. Peak stress of steel fiber lightweight aggregate concrete specimen

表3. 钢纤维轻骨料混凝土试件的峰值应力

Figure 8. Comparison of calculated strength and test strength under different steel fiber volume fractions

图8. 不同钢纤维体积率下计算强度与试验强度对比

从图8中可以看出，计算结果与试验结果基本吻合。随着钢纤维体积率的增加，计算强度随之提高。

4.3. 损伤破坏分析

采用Fortran程序绘制三种钢纤维体积率下的钢纤维轻骨料混凝土模型破坏过程图，如图9所示。图中砂浆为灰色，轻骨料为蓝色，界面单元为白色，钢纤维为红色，破坏单元为黑色。

Figure 9. Uniaxial compression failure mode

图9. 单轴压缩破坏模式

由图9可知，轻骨料混凝土未掺钢纤维时，最初的破坏单元主要集中在较薄弱的轻骨料内以及界面处，且随着进一步的加载，破坏单元附近出现应力集中现象，轻骨料之间的砂浆部分开始出现破坏，使得破坏单元逐渐相连，继续加载，可以发现轻骨料混凝土的破坏单元集中出现在轻骨料较为密集的部分，破坏区域进一步扩展并贯穿模型，导致模型整体的破坏，裂隙普遍与水平面夹角在45~60度之间，且裂隙普遍呈X形与V形。当轻骨料混凝土中掺入钢纤维后，最初的破坏单元不仅集中在轻骨料及界面处，由于轻骨料混凝土砂浆中加入钢纤维使得砂浆部分出现应力集中现象，导致最初的破坏单元有一部分出现在砂浆中，可以看到，在钢纤维体积率较低时，最初的破坏单元出现的位置依然主要受轻骨料分布影响，但随着钢纤维体积率的增大，钢纤维体积率为1.0%时，可以看到初始破坏单元出现的位置与未掺钢纤维轻骨料混凝土的初始破坏位置区别较大，初始破坏单元主要出现在钢纤维分布较少的位置，可以认为此时破坏单元出现位置受钢纤维影响较大。随着模型进一步加载，可以看到，由于应力集中，破坏单元之间依然逐渐相连形成裂隙，但可以看到掺入钢纤维后，由于有钢纤维的存在，裂隙的发展受到一定的阻碍，且随着钢纤维体积率的增加，对裂隙的发展阻碍作用越大。继续加载，可以看到掺入钢纤维明显改变了混凝土的裂隙发展。在钢纤维体积率0.5%时，依然出现了裂隙的贯通现象，裂隙与水平面夹角也基本集中在45~60度之间，但与未掺钢纤维轻骨料混凝土相比，裂隙的发展避开了钢纤维较多的区域，且裂隙也较少呈X形与V形。在钢纤维体积率为1%时，裂隙变得更为细碎，裂隙更加难以贯通混凝土。

4.4. 应力–应变曲线对比

由于试验 [12] 没有给出应力–应变曲线，为对比该模型的应力–应变曲线，单独计算三个钢纤维体积率为0.8%的试件与试验 [21] 中的曲线进行比较。参照文献 [13] [22] [23] [24] 对材料参数进行取值，材料参数如表4和表5所示。

Table 4. The second set of concrete material parameters

表4. 第二组混凝土材料参数

Table 5. The second set of steel fiber material parameters

表5. 第二组钢纤维材料参数

对三个试件进行模拟力学性能计算，获得了钢纤维轻骨料混凝土试件的峰值应力结果，并与文献中的试验结果进行比较，如表6所示。

Table 6. Peak stress of a specimen with a steel fiber volume fraction of 0.8%

表6. 钢纤维体积率为0.8%试件的峰值应力

以 $\sigma /{\sigma }_0$ 为纵坐标，以 $\epsilon /{\epsilon }_0$ 为横坐标，绘制归一化应力–应变曲线图，如图10所示。

Figure 10. Uniaxial compressive normalized stress-strain curve of steel fiber lightweight aggregate concrete

图10. 钢纤维轻骨料混凝土单轴压缩归一化应力–应变曲线

由图10可见，在加载的初始阶段，随着位移加载的增加，试件应力–应变曲线呈直线上升，此时，试件整体处于弹性变形阶段，在应力即将达到峰值时，应力增速开始放缓，意味着此时试件内部部分单元开始出现损伤状态，在应变加载经过峰值点后，内部单元继续损伤与破坏，裂隙不断发展，试件整体应力逐渐下降，钢纤维在裂隙发展过程中起到增韧与阻碍裂隙发展的作用。由图可知，数值模拟计算应力–应变曲线的结果与试验结果拟合相对较好，说明该模型及参数选择合理性。同时，可以看到单轴受压状态下的三个试件应力–应变曲线模拟计算结果基本重合，说明在单轴压缩状态下，不同钢纤维分布对试件整体应力–应变变化规律影响不大。

5. 钢纤维长度对抗压强度的影响

为分析钢纤维长度与钢纤维轻骨料混凝土抗压强度的关系，采用上文建立的模型，对不同钢纤维长度的试件进行数值模拟，试件为100 mm × 100 mm，钢纤维体积率固定为1%，钢纤维等效直径取0.6 mm，分别取钢纤维长度20 mm、30 mm、40 mm、50 mm。每种钢纤维长度分别进行模拟计算三次，以此减少钢纤维随机分布对试件力学性能的影响，为方便统计，对试件进行编号，例如CFC-20-1 (代表钢纤维长度20 mm的第一个试件)。表7给出了相应情况下的钢纤维轻骨料混凝土抗压强度，图11为不同钢纤维长度下的混凝土强度。

Table 7. Compressive strength of steel fiber lightweight aggregate concrete corresponding to different steel fiber lengths

表7. 不同钢纤维长度对应的钢纤维轻骨料混凝土抗压强度

Figure 11. Change law of compressive strength of steel fiber lightweight aggregate concrete

图11. 钢纤维轻骨料混凝土受压强度变化规律

通过表7及图11可看出，钢纤维长度为20 mm、30 mm、40 mm、50 mm时，钢纤维轻骨料混凝土的抗压强度分别为37.24 MPa、39.34 MPa、40.56 MPa、39.17 MPa。可从数据中得出在钢纤维长度小于40 mm时，混凝土强度随着长径比的增大而增大，且钢纤维长度由20 mm到30 mm时，强度上升速率较大。当钢纤维长度到达50 mm时，混凝土强度开始出现下降。这是由于当钢纤维长度过短时，混凝土裂隙较易绕过钢纤维继续发展，钢纤维难以起到组织裂隙发展的作用，当钢纤维长度过长时，在同等钢纤维体积率情况下，钢纤维的绝对数量较少，导致钢纤维分布较为稀疏，裂隙也容易绕过钢纤维继续发展。所以钢纤维过长或过短都会导致钢纤维轻骨料混凝土的抗压强度降低。

6. 结论

1) 本文建立了钢纤维轻骨料混凝土模型，对其单轴压缩过程进行了模拟。建立了不同钢纤维体积率的模型，并将其模拟结果与试验数据进行对比，得到的结果与试验结果基本吻合，表明该模型可相对准确地模拟钢纤维轻骨料混凝土的力学性能。

2) 当除钢纤维外参数相同时，钢纤维体积率的增加使得试件整体强度增大，在弹性阶段整体刚度增大，并且在过峰值应力点后，钢纤维轻骨料混凝土的残余强度更高。

3) 钢纤维轻骨料混凝土在不同钢纤维体积率下的破坏形态有明显不同，说明钢纤维的加入对钢纤维轻骨料混凝土的破坏过程与损伤机理影响较大。

4) 通过对应力–应变曲线对比发现，本文模型模拟计算结果与试验结果基本吻合，进一步说明了该模型的合理性与准确性，在单轴受压状态下，不同钢纤维分布对试件应力–应变曲线影响不大。

5) 当钢纤维体积率及等效直径不变时，钢纤维长度过短或过长都会降低钢纤维轻骨料混凝土的抗压强度。