三维不可压MHD方程在变指数Lebesgue空间中的适定性

Well-Posedness for 3D Incompressible MHD Equations in Lebesgue Spaces with Variable Exponents

摘要: 该文主要考虑了三维不可压MHD方程在变指数Lebesgue空间中的适定性。通过克服变指数Lebesgue空间与经典的Lebesgue空间不同所带来的困难，建立了三维不可压MHD方程在空间ℒ3p(⋅)(ℝ3,L∞(0,∞))中小初值问题的整体适定性，并在空间Lp(⋅)([0,T],Lq(ℝ3))中证明了大初值问题的局部适定性。

Abstract: In this paper, we are mainly concerned with the well-posedness of the 3D incompressible MHD equations in Lebesgue spaces with variable exponents. By overcoming some difficulties caused by the differences between the Lebesgue spaces with variable exponents and the usual one, we establish, for the 3D incompressible MHD equations, the global well-posedness in spaceℒ3p(⋅)(ℝ3,L∞(0,∞))with small initial data, and the local well-posedness inLp(⋅)([0,T],Lq(ℝ3))with general initial data.

1. 引言

本文我们将研究磁流体动力学(Magneto-hydrodynamics)的基本方程，即MHfD方程，它是流体力学中的不可压的Navier-Stokes方程和电动力学中的Maxwell方程的耦合，其初值问题具体形式如下：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}u+\left(u\cdot \nabla \right)u-\nu \Delta u+\nabla P=\left(b\cdot \nabla \right)b,\\ {\partial }_{t}b+\left(u\cdot \nabla \right)b-\mu \Delta b=\left(b\cdot \nabla \right)u,\\ \nabla \cdot u=0,\nabla \cdot b=0,\\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),b\left(x,0\right)=b_0\left(x\right).\end{array}$ (1.1)

这里未知函数 $u=\left(u_1,u_2,u_3\right)$ 和 $b=\left(b_1,b_2,b_3\right)$ 分别表示流体的速度场和磁场， $P=p+\frac{1}{2}{\left|b\right|}^2$ 表示压力， $u_0$ 和 $b_0$ 是给定的满足条件 $\nabla \cdot u_0=0$ 和 $\nabla \cdot b_0=0$ 的初值。 $\nu$ 和 $\mu$ 分别表示流体的粘性系数和磁场耗散系数，由于它们的具体取值不影响本文的主要结果，所以为简单起见，我们假设 $\nu =\mu =1$ 。

注意到，若在方程(1.1)中我们不考虑磁场，即 $b=0$ ，则方程(1.1)约化为下述经典的不可压Navier-Stokes (NS)方程：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}u+\left(u\cdot \nabla \right)u-\nu \Delta u+\nabla P=0,\\ \nabla \cdot u=0,\\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right).\end{array}$ (1.2)

在其开创性工作中，Leray [1] 证明了对任意的初值 $u_0\in L^2\left({ℝ}^3\right)$ ，NS方程(1.2)存在唯一的整体弱解(证明也可见Hopf [2] )

$u\in L^{\infty }\left(\left(0,\infty \right),L^2\left({ℝ}^3\right)\right)\cap L^2\left(\left(0,\infty \right),{\stackrel{\dot{}}{H}}^1\left({ℝ}^3\right)\right).$

但众所周知，三维Leary Hopf [2] 弱解的正则性和唯一性还是悬而未决的开问题。另一方面，基于解析半群理论及NS方程(1.2)自身满足的Scaling不变性，Fujita-Kato [3] 证明了NS方程(1.2)在临界Sobolev空间 $H^{1/2}\left({ℝ}^3\right)$ 中小初值问题的整体适定性和大初值问题的局部适定性。其后，许多学者建立了NS方程(1.2)在各种临界空间中的适定性，例如，Lebesgue空间 $L^n\left({ℝ}^n\right)$ 中结果见Kato [4] 和Giga [5] ，Besov空间 $u_0\in B_{p,\infty }^{-1+3/p}\left({ℝ}^3\right)$ 中结果见Cannone [6] 和Planchon [7] ，Modulation空间 $M_{q,\sigma }^s\left({ℝ}^n\right)$ 中的结果见Iwabuchi [8] ， $BM{O}^{-1}$ 中的结果见Koch-Tataru [9] 。

对于MHD方程(1.1)，Duraut和Lions [10] ，Sermange和Temam [11] 分别证明了三维MHD方程(1.1)在空间 $H^s\left({ℝ}^3\right)$ ( $s\ge 3$ )中的局部适定性，并且对任意的 $\left(u_0,b_0\right)\in L^2\left({ℝ}^3\right)$ ，其Leray-Hopf弱解 $\left(u,b\right)$ 也是整体存在的，且满足如下的能量不等式：

${\Vert u\Vert }_{L^2}+{\Vert b\Vert }_{L^2}+2{\displaystyle {\int }_0^t\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}+{\Vert \nabla b\Vert }_{L^2}\right)\text{d}\tau }\le {\Vert u_0\Vert }_{L^2}+{\Vert b_0\Vert }_{L^2}.$ (1.3)

类似于三维NS方程(1.2)、三维MHD方程(1.1)的Leray-Hopf弱解的正则性和唯一性也是开问题。随后，MHD方程(1.1)在各种函数空间中的适定性得到了广泛的研究。Kozono [12] 证明了二维MHD方程初边值问题整体弱解的存在性及经典解的存在唯一性。Miao和Yuan [13] 建立了MHD方程在Besov空间 ${\stackrel{\dot{}}{B}}_{p,r}^{n/p-1}\left({ℝ}^n\right)$ ( $1\le p<\infty$ , $1\le r\le \infty$ )中小初值问题的整体适定性和大初值的局部适定性。Liu和Cui [14] 研究了MHD方程在Modulation空间 $M_{q,\sigma }^s\left({ℝ}^n\right)$ 中的适定性。Miao，Yuan和Zhang [15] 建立了方程(1.1)在空间BMO-1中小初值问题的整体适定性以及空间VMO-1中的局部适定性。有关MHD方程及广义MHD方程更多的适定性结果见文献 [16] - [21] 。

最近，Chamorro和Vergara-Hermosilla [22] 研究了三维NS方程在变指数Lebesgue空间中的适定性。具体来说，他们证明了当初值 $u_0$ 属于混合型变指数Lebesgue空间 ${\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}\left({ℝ}^3\right)$ 时，NS方程(1.2)存在唯一的整体解；进一步，当初值 $u_0$ 属于次临界Lebesgue空间 $L^q\left({ℝ}^3\right)$ 时，作者还证明了解关于时间属于变指数Lebesgue空间 $L^{p(\cdot )}\left(\left[0,T\right]\right)$ 中的局部存在性。本文主要将上述结果推广至MHD方程(1.1)，我们建立了MHD方程(1.1)在变指数Lebesgue空间 ${\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}\left({ℝ}^3,L^{\infty }\left(0,\infty \right)\right)$ 中小初值问题解的整体存在性以及在变指数空间 $L^{p(\cdot )}\left(\left[0,T\right],L^q\left({ℝ}^3\right)\right)$ 中解的局部存在性。

下面我们陈述本文的主要结果，其中出现一些符号的具体含义见第二节。第一个结果是MHD方程(1.1)在变指数Lebesgue空间中小初值问题的整体适定性。

定理1.1 设 $p(\cdot )\in {\mathcal{P}}^{\log }\left({ℝ}^3\right)$ ， $\left(u_0,b_0\right)\in {\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}\left({ℝ}^3\right)$ 且满足 $\nabla \cdot u_0=0$ ， $\nabla \cdot b_0=0$ 。则存在常数 $\eta >0$ ，使得若初值 ${\Vert u_0\Vert }_{{\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}}+{\Vert b_0\Vert }_{{\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}}\le \eta$ ，MHD方程(1.1)存在唯一的整体解 $\left(u,b\right)\in {\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}\left({ℝ}^3,L^{\infty }\left(0,\infty \right)\right)$ 。

本文的第二个结果是MHD方程(1.1)在变指数Lebesgue空间中大初值问题的局部适定性。

定理1.2 设 $p(\cdot )\in {\mathcal{P}}^{\log }\left({ℝ}^3\right)$ 且满足 $\underset{x\in {ℝ}^n}{\text{infess}}\left\{p\left(x\right)\right\}>2$ ，并设 $q>3$ 且满足关系式 $2/p(\cdot )+3/q<1$ 。则对任意的满足条件 $\nabla \cdot u_0=0$ ， $\nabla \cdot b_0=0$ 的初值 $\left(u_0,b_0\right)\in L^q\left({ℝ}^3\right)$ ，存在 $T>0$ 使得MHD方程(1.1)存在唯一的局部解 $\left(u,b\right)\in L^{p(\cdot )}\left(\left[0,T\right],L^q\left({ℝ}^3\right)\right)$ 。

本文的结构安排如下：第2节，首先我们通过Luxemburg范数给出了变指数Lebesgue空间的定义，然后介绍了Hardy-Littlewood极大函数及Riesz位势在变指数Lebesgue空间中的一些有界性结果。第3节和第4节，我们通过建立MHD方程(1.1)在变指数Lebesgue空间相应的线性及双线性估计，然后利用Banach不动点定理分别给出了定理1.1和定理1.2的证明。

2. 准备工作

变指数Lebesgue空间 $L^{p(\cdot )}$ 首次出现在1931年Orlicz [23] 空间理论中，它与经典 $L^p$ 空间的不同之处在于指数 $p(\cdot )$ 不是一个常数，而是一个从 $\Omega$ 到 $\left[1,\infty \right]$ 的可测函数。空间 $L^{p(\cdot )}$ 符合Musielak-Orlicz [24] [25] 空间的框架，因此也是半模空间。在Orlicz空间理中，对于 $\lambda >0$ ，定义空间 $L^{\phi }$ ( $\phi$ 必须满足某些条件)为满足条件 $\varrho \left(\lambda u\right)={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\phi \left(\lambda \left|u\left(x\right)\right|\right)\text{d}x}<\infty$ 的可测函数 $u:\Omega \to ℝ$ 全体构成的集合。我们首先定义模空间 [26] [27] 和Musielak-Orlicz空间，它为变指数Lebesgue空间提供了框架。

定义2.1 设X是数域 $\mathbb{K}$ 上的向量空间，函数 $\varrho :X\to \left[0,+\infty \right]$ 如果满足以下性质，则称为X上的半模。

(i) $\varrho \left(0\right)=0$ ；

(ii)对于所有 $x\in X,\lambda \in \mathbb{K}$ 与 $\left|\lambda \right|=1$ 有；

(iii) $\varrho$ 是凸的；

(iv) $\varrho$ 是左连续的；

(v)对所有的 $\lambda >0$ ， $\varrho \left(\lambda x\right)=0$ 意味着 $x=0$ 。

进一步，若 $\varrho \left(x\right)=0$ 蕴含着 $x=0$ ，则半模 $\varrho$ 称为模。

定义2.2 若 $\varrho$ 是X上的半模或者模，则 $X_{\varrho }:=\left\{x\in X:\underset{\lambda \to 0}{\lim }\varrho \left(\lambda x\right)=0\right\}$ 称为半模空间或者模空间。

定义2.3 设 $\phi \in \Phi \left(A,\mu \right)$ ，对于所有 $f\in L^0\left(A,\mu \right)$ ， ${\varrho }_{\phi }$ 由 ${\varrho }_{\phi }\left(f\right):={\displaystyle \underset{A}{\int }\phi \left(y,\left|f\left(y\right)\right|\right)\text{d}\mu \left(y\right)}$ 给出，则半模空间

${\left(L^0\left(A,\mu \right)\right)}_{{\varrho }_{\phi }}=\left\{f\in L^0\left(A,\mu \right):\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\varrho }_{\phi }\left(\lambda f\right)=0\right\}=\left\{f\in L^0\left(A,\mu \right):{\varrho }_{\phi }\left(\lambda f\right)<\infty ,\lambda >0\right\}$ (2.1)

被称为Musielak-Orlicz空间，通常表示为 $L^{\phi }\left(A,\mu \right)$ 或者 $L^{\phi }$ 。

现在，为定义变指数Lebesgue空间 $L^{p(\cdot )}$ ，对于可测函数 $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ ，我们考虑与 $p(\cdot )$ 相关的模函数 ${\varrho }_{p(\cdot )}$ ，它由下列表达式给出

${\varrho }_{p(\cdot )}\left(f\right)={{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left|f\left(x\right)\right|}}^{p\left(x\right)}\text{d}x.$ (2.2)

若 $p(\cdot )$ 是常数，则我们得到的就是经典的Lebesgue空间，其范数可以由经典Lebesgue空间的范数定义，即 ${\Vert f\Vert }_{L^p}={\left({{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left|f\left(x\right)\right|}}^p\text{d}x\right)}^{1/p}$ 。然而若 $p(\cdot )$ 是可测函数，显然不能简单用 $1/p(\cdot )$ 取代范数中的常指数 $1/p$ 。为了克服这个困难，我们考虑与模函数 ${\varrho }_{p(\cdot )}$ 相关的Luxemburg范数。

引理2.4 设 $\varrho$ 是X上的半模， $X_{\varrho }$ 是 $\mathbb{K}$ 上的赋范线性空间，定义

${\Vert x\Vert }_{\varrho }:=\inf \left\{\lambda >0,\varrho \left(x/\lambda \right)\le 1\right\}.$ (2.3)

称上述范数为Luxemburg范数，并且我们将变指数Lebesgue空间 $L^{p(\cdot )}\left({ℝ}^n\right)$ 定义为使上面给出的范数 ${\Vert \cdot \Vert }_{L^{p(\cdot )}}$ 有限的所有可测函数构成的集合。

为了能使一些有效的分析工具能应用于变指数Lebesgue空间，我们再做一些假设。对 $\Omega \subset {ℝ}^n$ ，用符号 $\mathcal{P}\left(\Omega \right)$ 表示 $\Omega$ 上可测函数构成的集合。并对任意的 $p\left(x\right)\in \mathcal{P}\left(\Omega \right)$ ，令

$p^{-}=\underset{x\in {ℝ}^n}{\text{infess}}\left\{p\left(x\right)\right\}$ , $p^{+}=\underset{x\in {ℝ}^n}{\inf \sup }\left\{p\left(x\right)\right\}$ .

为避免一些技术上的困难，本文我们假设

$1<p^{-}\le p^{+}<\infty .$

在这个条件下我们考虑上述定义的Luxemburg范数，则 $L^{p(\cdot )}\left(\Omega \right)$ 空间具有赋范线性空间的结构和性质，但也呈现出一些新的特性。特别的，为了将Hardy-Littlewood极大函数在 $L^p$ ( $1<p<\infty$ )空间中的有界性推广至变指数Lebesgue空间，我们还需要引入下面的Log-Hölder连续性条件。

定义2.5 我们定义函数 $p:\Omega \to ℝ$ ，若存在 $c_1>0$ 使得对所有 $x,y\in \Omega$ ，有

$\left|p\left(x\right)-p\left(y\right)\right|\le \frac{C}{\log \left(e+1/\left|x-y\right|\right)},$ (2.4)

则称函数p在 $\Omega$ 上是局部Log-Hölder连续的。同时若存在 $p_{\infty }\in ℝ$ 和正常数 $c_2$ 使得对所有 $x\in \Omega$ ，有

$\left|p\left(x\right)-p_{\infty }\right|\le \frac{C}{\log \left(e+\left|x\right|\right)},$ (2.5)

则我们称p满足Log-Hölder衰减条件。我们说p在 $\Omega$ 上是整体Log-Hölder连续的是指它是局部Log-Hölder连续，且满足Log-Hölder衰减条件。

定义2.6 定义如下变指数类

${\mathcal{P}}^{\log }\left(\Omega \right)=\left\{p(\cdot )\in \mathcal{P}\left(\Omega \right)是全局\text{log-H <mover accent="true"> o <mo> ¨ </mo> </mover> lder}连续的\right\}.$

下面我们介绍Hardy-Littlewood极大函数 [28] [29] 及Riesz位势 [28] 在空间 ${\mathcal{P}}^{\log }\left({ℝ}^n\right)$ 上的有界性，我们有以下结果成立：

引理2.7 设 $f:{ℝ}^n\to ℝ$ 是局部可积函数， $\mathcal{M}$ 是由 $\mathcal{M}\left(f\right)\left(x\right)=\underset{x\in B}{\sup }\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y}$ 给出的Hardy-Littlewood极大函数，其中B是 ${ℝ}^n$ 上的开球。若 $p(\cdot )\in {\mathcal{P}}^{\log }\left({ℝ}^n\right)$ ，则有

${\Vert \mathcal{M}\left(f\right)\Vert }_{L^{p(\cdot )}}\le C{\Vert f\Vert }_{L^{p(\cdot )}}.$ (2.6)

特别的，我们有

${\Vert {\mathcal{R}}_j\left(f\right)\Vert }_{L^{p(\cdot )}}\le C{\Vert f\Vert }_{L^{p(\cdot )}},$ (2.7)

其中 ${\mathcal{R}}_j$ 是Riesz变换，即 $\widehat{{\mathcal{R}}_j\left(f\right)}\left(\xi \right)=-\hat{f}\left(\xi \right)i\xi /\left|\xi \right|$ ， $1\le j\le n$ 。

进一步，对于 $0<\sigma <n$ ，定义Riesz位势如下：

${\mathcal{I}}_{\sigma }\left(f\right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left|f\left(y\right)\right|/{\left|x-y\right|}^{n-\sigma }}\text{d}y.$ (2.8)

若 $p(\cdot )\in {\mathcal{P}}^{\log }\left({ℝ}^n\right)$ ， $0<\sigma <n/p^{+}$ ，则有

${\Vert {\mathcal{I}}_{\sigma }\left(f\right)\Vert }_{L^{q(\cdot )}}\le C{\Vert f\Vert }_{L^{p(\cdot )}},$ 其中 $1/q(\cdot )=1/p(\cdot )-\sigma /n.$ (2.9)

由于(2.9)中参数 $p(\cdot )$ 和 $q(\cdot )$ 之间的关系是确定的，这并不利于公式的实际应用。为此，我们引入混合变指数Lebesgue空间： ${\mathcal{L}}_r^{p(\cdot )}\left({ℝ}^n\right)=L^{p(\cdot )}\left({ℝ}^n\right)\cap L^r\left({ℝ}^n\right)$ ，其中 $1<r<+\infty$ ，并定义范数如下：

(2.10)

在此基础上，文献 [30] 中证明了以下引理。

引理2.8 设 $1<r<+\infty$ ， $p(\cdot )\in {\mathcal{P}}^{\log }\left({ℝ}^n\right)$ ， $0<\sigma <\min \left\{n/p^{+},n/r\right\}$ 。若 $f\in {\mathcal{L}}_r^{p(\cdot )}\left({ℝ}^n\right)$ ，则

${\Vert {\mathcal{I}}_{\sigma }\left(f\right)\Vert }_{L^{\rho \left(\cdot \right)}}\le C{\Vert f\Vert }_{{\mathcal{L}}_r^{p(\cdot )}},$ (2.11)

其中指标 $\rho (\cdot )$ 满足下列关系式

$\rho (\cdot )=np(\cdot )/\left(n-\sigma r\right).$ (2.12)

我们还需要利用变指数Lebesgue空间中的嵌入定理，具体证明见文 [31] 。

引理2.9 设 $\Omega \subset {ℝ}^n$ 是有界区域， $p_1(\cdot ),p_2(\cdot )\in \mathcal{P}\left(\Omega \right)$ 且满足 $1<p_1^{+},p_2^{+}<+\infty$ 。则 $L^{p_2(\cdot )}\left(\Omega \right)\subset L^{p_1(\cdot )}\left(\Omega \right)$ 当且仅当 $p_1\left(x\right)\le p_2\left(x\right)$ ，a.e. $x\in \Omega$ 。并且以下嵌入不等式成立：

${\Vert u\Vert }_{L^{p_1(\cdot )}}\le \left(1+\left|\Omega \right|\right){\Vert u\Vert }_{L^{p_2(\cdot )}}.$ (2.13)

最后我们介绍证明定理1.1和定理1.2的Banach不动点定理。

定理2.10 设 $\left(E,{\Vert \cdot \Vert }_E\right)$ 是Banach空间。若双线性算子 $B:E\times E\to E$ 有是有界的，即

${\Vert B\left(e,e\right)\Vert }_E\le C_B{\Vert e\Vert }_E{\Vert e\Vert }_E,$

则对任意的 $0<\delta <1/\left(4C_B\right)$ 及满足 ${\Vert e_0\Vert }_E\le \delta$ 的 $e_0\in E$ ，方程

$e=e_0+B\left(e,e\right)$

存在唯一的解 $e\in E$ ，且满足 ${\Vert e\Vert }_E\le 2\delta$ 。

3. 定理1.1的证明

为消除压力项P产生的影响，在方程(1.1)两端同时作用Leray投影算子 $\mathbb{P}$ ，并利用Duhamel原理可将方程(1.1)约化为如下等价的积分方程：

$\{\begin{array}{l}u\left(x,t\right)=g_t\ast u_0\left(x\right)-{\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \mathbb{P}\left(div\left(u\otimes u\right)\right)}+{\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \mathbb{P}}\left(div\left(b\otimes b\right)\right),\\ b\left(x,t\right)=g_t\ast b_0\left(x\right)-{\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \mathbb{P}\left(div\left(u\otimes b\right)\right)}+{\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \mathbb{P}}\left(div\left(b\otimes u\right)\right).\end{array}$ (3.1)

这里的 $g_t\left(x\right):=\frac{1}{{\left(4\pi t\right)}^{3/2}}{\text{e}}^{-\frac{{\left|x\right|}^2}{4t}}$ 表示高斯核。

为应用定理2.10，对任意的 $0<T\le \infty$ ，我们取解空间 $E={\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}\left({ℝ}^3,L^{\infty }\left(0,T\right)\right)$ ，并赋予其上范数为

${\Vert \cdot \Vert }_E=\max \left\{{\Vert \cdot \Vert }_{L_x^{p(\cdot )}\left(L_t^{\infty }\right)},{\Vert \cdot \Vert }_{L_x^3\left(L_t^{\infty }\right)}\right\},$ (3.2)

其中 $p(\cdot )\in {\mathcal{P}}^{\log }\left({ℝ}^3\right)$ 且 $1<p^{-}\le p^{+}<\infty$ 。再令

$B\left(u,v\right)={\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \mathbb{P}\left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}.$

则证明定理1.1，我们需要证明对任意的 $u_0\in {\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}\left({ℝ}^3\right)$ ， $u,v\in E$ ，有下面的线性及双线性估计成立：

${\Vert g_t\ast u_0\Vert }_E\le C{\Vert u_0\Vert }_{{\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}},$ (3.3)

${\Vert {\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \mathbb{P}\left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\Vert }_E\le C{\Vert u\Vert }_E{\Vert v\Vert }_E.$ (3.4)

接下来我们分别证明估计(3.3)和(3.4)。我们先介绍如下引理，其证明可见文 [29] 。

引理3.1 若 $\phi$ 是径向递减函数，f是局部可积函数，则有

$\left|\left(\phi \ast f\right)\left(x\right)\right|\le {\Vert \phi \Vert }_{L^1}\mathcal{M}\left(f\right)\left(x\right),$ (3.5)

其中 $\mathcal{M}$ 是Hardy-Littlewood极大函数。

注意到，热核 $g_t$ 关于空间变量是径向递减函数，初值 $u_0$ 是局部可积函数，从而由引理3.1可知

${\Vert g_t\ast u_0\Vert }_{L_t^{\infty }}\le C\mathcal{M}\left(u_0\right)\left(x\right).$

因此，我们有

$\begin{array}{c}{\Vert g_t\ast u_0\Vert }_E=\max \left\{{\Vert g_t\ast u_0\Vert }_{L_x^{p(\cdot )}\left(L_t^{\infty }\right)},{\Vert g_t\ast u_0\Vert }_{L_x^3\left(L_t^{\infty }\right)}\right\}\\ \le C\max \left\{{\Vert \mathcal{M}\left(u_0\right)\Vert }_{L_x^{p(\cdot )}},{\Vert \mathcal{M}\left(u_0\right)\Vert }_{L_x^3}\right\}.\end{array}$ (3.6)

进一步，由于 $p(\cdot )\in {\mathcal{P}}^{\log }\left({ℝ}^3\right)$ ，由(2.6)可知极大函数 $\mathcal{M}$ 在变指数Lebesgue空间 $L^{p(\cdot )}\left({ℝ}^3\right)$ 中是有界的，当然其在Lebesgue空间 $L^3\left({ℝ}^3\right)$ 中的有界性是熟知的。因此，

${\Vert g_t\ast u_0\Vert }_E\le C\max \left\{{\Vert u_0\Vert }_{L_x^{p(\cdot )}},{\Vert u_0\Vert }_{L_x^3}\right\}\le C{\Vert u_0\Vert }_{{\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}}.$ (3.7)

这样我们就得到了(3.3)。

下面我们证明(3.4)。首先我们利用Leray投影算子的性质，有

${\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \mathbb{P}\left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}=\mathbb{P}\left({\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\right).$ (3.8)

其次我们利用热核的衰减性质及Fubini定理可得

$\begin{array}{c}\left|{\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\right|\le C{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left|\left|\nabla g_{t-s}\left(x-y\right)\right|\left|u\left(s,y\right)\right|\left|v\left(s,y\right)\right|\right|\text{d}y\text{d}s}}\\ \le C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{{\left|t-s\right|}^2+{\left|x-y\right|}^4}\left|u\left(s,y\right)\right|\left|v\left(s,y\right)\right|\text{d}s\text{d}y}}.\end{array}$ (3.9)

注意到 $\left|u\left(t,x\right)\right|\le {\Vert u\left(\cdot ,x\right)\Vert }_{L_t^{\infty }}$ ，从而

$\begin{array}{c}\left|{\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\right|\le C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{{\left|t-s\right|}^2+{\left|x-y\right|}^4}\text{d}s}\right)}{\Vert u\left(\cdot ,x\right)\Vert }_{L_t^{\infty }}{\Vert v\left(\cdot ,x\right)\Vert }_{L_t^{\infty }}\text{d}y\\ \le C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{1}{{\left|x-y\right|}^2}{\Vert u\left(\cdot ,x\right)\Vert }_{L_t^{\infty }}{\Vert v\left(\cdot ,x\right)\Vert }_{L_t^{\infty }}}\text{d}y.\end{array}$ (3.10)

由引理2.8 (取 $\sigma =1$ )，有

$\left|{\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\right|\le C{\mathcal{I}}_1\left({\Vert u\Vert }_{L_t^{\infty }}{\Vert v\Vert }_{L_t^{\infty }}\right)\left(x\right).$ (3.11)

回到(3.8)可知

$\mathbb{P}\left({\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\right)\le C\mathbb{P}\left({\mathcal{I}}_1\left({\Vert u\Vert }_{L_t^{\infty }}{\Vert v\Vert }_{L_t^{\infty }}\right)\left(x\right)\right).$ (3.12)

基于Leray投影算子( $R=\left(R_1,R_2,R_3\right)$ )及Riesz算子 $R_j$ 在 ${\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}\left({ℝ}^3\right)$ 空间中的有界性(2.7)可得

${\Vert \mathbb{P}\left({\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\right)\Vert }_{L_x^{p(\cdot )}\left(L_t^{\infty }\right)}\le C{\Vert {\mathcal{I}}_1\left({\Vert u\Vert }_{L_t^{\infty }}{\Vert v\Vert }_{L_t^{\infty }}\right)\Vert }_{L_x^{p(\cdot )}\left(L_t^{\infty }\right)},$ (3.13)

${\Vert \mathbb{P}\left({\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\right)\Vert }_{L_x^3\left(L_t^{\infty }\right)}\le C{\Vert {\mathcal{I}}_1\left({\Vert u\Vert }_{L_t^{\infty }}{\Vert v\Vert }_{L_t^{\infty }}\right)\Vert }_{L_x^3\left(L_t^{\infty }\right)}.$ (3.14)

最后我们再次利用引理2.8 (取 $\sigma =1,r=3/2$ )可知： ${\Vert {\mathcal{I}}_1\left(f\right)\Vert }_{L^3}\le C{\Vert f\Vert }_{L^{3/2}}$ 及 ${\Vert {\mathcal{I}}_1\left(f\right)\Vert }_{L^{p(\cdot )}}\le C{\Vert f\Vert }_{{\mathcal{L}}_{3/2}^{p(\cdot )/2}}$ ，并利用Hölder不等式，可得

${\Vert \mathbb{P}\left({\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\right)\Vert }_{L_x^{p(\cdot )}\left(L_t^{\infty }\right)}\le C{\Vert {\Vert u\Vert }_{L_t^{\infty }}{\Vert v\Vert }_{L_t^{\infty }}\Vert }_{{\mathcal{L}}_{3/2}^{p(\cdot )/2}}\le C{\Vert u\Vert }_{{\mathcal{L}}_{3,x}^{p(\cdot )}\left(L_t^{\infty }\right)}{\Vert v\Vert }_{{\mathcal{L}}_{3,x}^{p(\cdot )}\left(L_t^{\infty }\right)},$ (3.15)

${\Vert \mathbb{P}\left({\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\right)\Vert }_{L_x^3\left(L_t^{\infty }\right)}\le C{\Vert {\Vert u\Vert }_{L_t^{\infty }}{\Vert v\Vert }_{L_t^{\infty }}\Vert }_{L_x^{3/2}}\le C{\Vert u\Vert }_{L_x^3\left(L_t^{\infty }\right)}{\Vert v\Vert }_{L_x^3\left(L_t^{\infty }\right)}.$ (3.16)

综合上述(3.15)和(3.16)，我们就证明了

${\Vert {\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \mathbb{P}\left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\Vert }_E\le C{\Vert u\Vert }_E{\Vert v\Vert }_E,$

此即为(3.4)。

基于估计(3.3)和(3.4)，我们可知存在正常数 $C_1$ 和 $C_2$ 使得

${\Vert \left(u,b\right)\Vert }_E\le C_1{\Vert \left(u_0,b_0\right)\Vert }_{{\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}}+C_2{\Vert u\Vert }_E{\Vert v\Vert }_E.$

再由Banach不动点定理2.10可知只要 ${\Vert \left(u_0,b_0\right)\Vert }_{{\mathcal{L}}_3^{p(\cdot )}}\le \frac{1}{4C_1{C}_2}$ ，MHD方程(1.1)存在唯一的解 $\left(u,b\right)\in E$ 。定理1.1得证。

4. 定理1.2的证明

在定理1.2的假设条件下，我们选取解空间 $E=L^{p(\cdot )}\left(\left[0,T\right],L^q\left({ℝ}^3\right)\right)$ ，其中 $p(\cdot )\in {\mathcal{P}}^{\log }\left(\left(0,+\infty \right)\right)$ ， $0<T<+\infty$ 待定，并且赋予E上的范数为：

${\Vert f\Vert }_E=\inf \left\{\lambda >0,{\displaystyle {\int }_0^T{\left|{\Vert f\left(t,\cdot \right)\Vert }_{L_q}/\lambda \right|}^{p\left(t\right)}\text{d}t\le 1}\right\}.$ (4.1)

类似于定理1.1的证明，我们需要建立下面的线性和双线性估计：

${\Vert g_t\ast u_0\Vert }_E\le C\left(t\right){\Vert u_0\Vert }_{L_x^q},$ (4.2)

${\Vert {\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \mathbb{P}\left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\Vert }_E\le C\left(t\right){\Vert u\Vert }_E{\Vert v\Vert }_E,$ (4.3)

其中 $C\left(t\right)$ 表示依赖于时间变量t有关的常数，其具体的依赖关系将在下面给出。

为证明(4.2)和(4.3)。我们先介绍如下引理，其证明可见文 [28] 。

引理4.1设 $p(\cdot )\in \mathcal{P}\left(\left(0,\infty \right)\right)$ ，其中 $1<p^{-}\le p^{+}<\infty$ ，则有

$\frac{1}{C}\min \left\{T^{1/p^{-}},T^{1/p^{+}}\right\}\le {\Vert 1\Vert }_{L_t^{p(\cdot )}\left(\left[0,T\right]\right)}\le C\max \left\{T^{1/p^{-}},T^{1/p^{+}}\right\}.$ (4.4)

下面我们证明(4.2)。首先根据卷积的Young不等式可知

${\Vert g_t\ast u_0\Vert }_{L_x^q}\le {\Vert g_t\Vert }_{L_x^1}{\Vert u_0\Vert }_{L_x^q}={\Vert u_0\Vert }_{L_x^q}.$ (4.5)

对(4.5)式两端关于时间变量取 $L^{p(\cdot )}$ 范数，并利用引理4.1可知

${\Vert g_t\ast u_0\Vert }_{L_t^{p(\cdot )}\left(L_x^q\right)}\le C{\Vert 1\Vert }_{L_t^{p(\cdot )}\left(\left[0,t\right]\right)}{\Vert u_0\Vert }_{L_x^q}\le C\max \left\{T^{1/p^{-}},T^{1/p^{+}}\right\}{\Vert u_0\Vert }_{L_x^q}.$ (4.6)

此即为(4.2)，其中 $C\left(t\right)=C\max \left\{T^{1/p^{-}},T^{1/p^{+}}\right\}$ 。

接下来我们证明(4.3)。再次利用卷积的Young不等式可知

$\begin{array}{c}{\Vert {\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \mathbb{P}\left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\Vert }_{L_x^q}\le C{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \nabla g_{t-s}\ast \left(u\otimes v\right)\Vert }_{L_x^q}\text{d}s}\\ \le C{{\displaystyle {\int }_0^t\Vert \nabla g_{t-s}\Vert }}_{L_x^{q/\left(q-1\right)}}{\Vert u\otimes v\Vert }_{L_x^{q/2}}\text{d}s\\ \le C{\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{{\left(t-s\right)}^{1/2+3/\left(2q\right)}}}{\Vert u\Vert }_{L_x^q}{\Vert v\Vert }_{L_x^q}\text{d}s.\end{array}$ (4.7)

对(4.7)式两端关于时间变量取 $L^{p(\cdot )}$ 范数得

${\Vert {\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \mathbb{P}\left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\Vert }_{L_t^{p(\cdot )}\left(L_x^q\right)}\le C{\Vert {\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{{\left(t-s\right)}^{1/2+3/\left(2q\right)}}}{\Vert u\Vert }_{L_x^q}{\Vert v\Vert }_{L_x^q}\text{d}s\Vert }_{L_t^{p(\cdot )}\left(\left[0,T\right]\right)}.$

利用范数的共轭定义，有

${\Vert {\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{{\left(t-s\right)}^{1/2+3/\left(2q\right)}}}{\Vert u\Vert }_{L_x^q}{\Vert v\Vert }_{L_x^q}\text{d}s\Vert }_{L_t^{p(\cdot )}\left(\left[0,T\right]\right)}=\underset{{\Vert \phi \Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}\le 1}{\sup }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\left|\phi \left(t\right)\right|}{{\left(t-s\right)}^{1/2+3/\left(2q\right)}}}{\Vert u\Vert }_{L_x^q}{\Vert v\Vert }_{L_x^q}\text{d}s}\text{d}t,$

这里 $p^{\prime }(\cdot )$ 是 $p(\cdot )$ 的共轭指标，即满足 $1/p(\cdot )+1/p^{\prime }(\cdot )=1$ 。再利用Fubini定理可知

${\Vert {\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{{\left(t-s\right)}^{1/2+3/\left(2q\right)}}}{\Vert u\Vert }_{L_x^q}{\Vert v\Vert }_{L_x^q}\text{d}s\Vert }_{L_t^{p(\cdot )}\left(\left[0,T\right]\right)}=\underset{{\Vert \phi \Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}\le 1}{\sup }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^T\frac{1_{\left\{0<s<t\right\}}\left|\phi \left(t\right)\right|}{{\left(t-s\right)}^{1/2+3/\left(2q\right)}}\text{d}t}}{\Vert u\Vert }_{L_x^q}{\Vert v\Vert }_{L_x^q}\text{d}s.$ (4.8)

为利用引理2.8，我们将函数 $\phi \left(t\right)$ 在 $t<0$ 和 $t>T$ 上进行零延拓(我们仍用 $\phi \left(t\right)$ 表示延拓之后的函数)，从而(4.8)可重新表示为

$\begin{array}{c}\underset{{\Vert \phi \Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}\le 1}{\sup }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_0^T\frac{1_{\left\{0<s<t\right\}}\left|\phi \left(t\right)\right|}{{\left(t-s\right)}^{1/2+3/\left(2q\right)}}\text{d}t}}{\Vert u\Vert }_{L_x^q}{\Vert v\Vert }_{L_x^q}\text{d}s=\underset{{\Vert \phi \Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}\le 1}{\sup }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\left|\phi \left(t\right)\right|}{{\left(t-s\right)}^{1/2+3/\left(2q\right)}}\text{d}t}}{\Vert u\Vert }_{L_x^q}{\Vert v\Vert }_{L_x^q}\text{d}s.\\ =\underset{{\Vert \phi \Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}\le 1}{\sup }{\displaystyle {\int }_0^T{\mathcal{I}}_{\sigma }\left(\left|\phi \right|\right)\left(s\right){\Vert u\Vert }_{L_x^q}{\Vert v\Vert }_{L_x^q}\text{d}s,}\end{array}$ (4.9)

其中(4.9)式中的 ${\mathcal{I}}_{\sigma }$ 是1维的Riesz位势， $\sigma =\frac{1}{2}-\frac{3}{2q}<1$ 。因此，利用Hölder不等式(指标关系为 $\frac{1}{p(\cdot )}+\frac{1}{p(\cdot )}+\frac{1}{\tilde{p}(\cdot )}=1$ )及(2.9)可知

$\begin{array}{c}\underset{{\Vert \phi \Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}\le 1}{\sup }{\displaystyle {\int }_0^T{\mathcal{I}}_{\sigma }\left(\left|\phi \right|\right)\left(s\right){\Vert u\Vert }_{L_x^q}{\Vert v\Vert }_{L_x^q}\text{d}s}\le C\underset{{\Vert \phi \Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}\le 1}{\sup }{\Vert {\mathcal{I}}_{\sigma }\left(\phi \right)\Vert }_{L_t^{\tilde{p}(\cdot )}}{\Vert {\Vert u\Vert }_{L_x^q}\Vert }_{L_t^{p(.)}}{\Vert {\Vert v\Vert }_{L_x^q}\Vert }_{L_t^{p(.)}}\\ \le C\underset{{\Vert \phi \Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}\le 1}{\sup }{\Vert \phi \Vert }_{L_t^{r(.)}}{\Vert u\Vert }_{L_t^{p(.)}\left(L_x^q\right)}{\Vert v\Vert }_{L_t^{p(.)}\left(L_x^q\right)},\end{array}$ (4.10)

其中 $\frac{1}{\tilde{p}(\cdot )}=\frac{1}{r(\cdot )}-\frac{\sigma }{n}=\frac{1}{r(\cdot )}-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2q}\right)$ 。注意到定理1.2的假设条件要求 $\frac{2}{p(\cdot )}+\frac{3}{q}<1$ ，从而由 $\frac{1}{\tilde{p}(\cdot )}=1-\frac{2}{p(\cdot )}$ 及 $\frac{1}{p^{\prime }(\cdot )}=1-\frac{1}{p(\cdot )}$ 可知 $\frac{2}{\tilde{p}(\cdot )}=\frac{2}{r(\cdot )}-1+\frac{2}{p(\cdot )}+\frac{3}{q}$ ，这就说明了 $r(\cdot )<p^{\prime }(\cdot )$ 。因此我们就可以利用引理2.9可得

$\begin{array}{c}\underset{{\Vert \phi \Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}\le 1}{\sup }{\Vert \phi \Vert }_{L_t^{r(\cdot )}}{\Vert u\Vert }_{L_t^{p(\cdot )}\left(L_x^q\right)}{\Vert v\Vert }_{L_t^{p(\cdot )}\left(L_x^q\right)}\le \underset{{\Vert \phi \Vert }_{L^{p^{\prime }(\cdot )}}\le 1}{\sup }\left(1+T\right){\Vert \phi \Vert }_{L_t^{p^{\prime }(\cdot )}}{\Vert u\Vert }_{L_t^{p(.)}\left(L_x^q\right)}{\Vert v\Vert }_{L_t^{p(.)}\left(L_x^q\right)}\\ \le \left(1+T\right){\Vert u\Vert }_{L_t^{p(.)}\left(L_x^q\right)}{\Vert v\Vert }_{L_t^{p(.)}\left(L_x^q\right)}.\end{array}$ (4.11)

结合(4.7)~(4.11)，我们证明了

${\Vert {\displaystyle {\int }_0^t{g}_{t-s}\ast \mathbb{P}\left(div\left(u\otimes v\right)\right)\text{d}s}\Vert }_{L_t^{p(\cdot )}\left(L_x^q\right)}\le \left(1+T\right){\Vert u\Vert }_{L_t^{p(.)}\left(L_x^q\right)}{\Vert v\Vert }_{L_t^{p(.)}\left(L_x^q\right)}.$

此即为(4.3)，其中 $C\left(t\right)=C\left(1+t\right)$ 。

基于估计(4.2)和(4.3)，我们可知存在正常数 $C_1$ 和 $C_2$ 使得

${\Vert \left(u,b\right)\Vert }_E\le C_1\max \left\{T^{1/p^{-}},T^{1/p^{+}}\right\}{\Vert \left(u_0,b_0\right)\Vert }_{L_x^q}+C_2\left(1+T\right){\Vert u\Vert }_E{\Vert v\Vert }_E.$

再由定理2.10可知只要取T充分小使得

${\Vert \left(u_0,b_0\right)\Vert }_{L_x^q}\le \frac{1}{4C_1{C}_2\left(1+T\right)\max \left\{T^{1/p^{-}},T^{1/p^{+}}\right\}},$

则MHD方程(1.1)存在唯一的局部解 $\left(u,b\right)\in E$ 。定理1.2得证。

5. 总结

本文我们证明了定理1.1和定理1.2，主要建立了MHD方程组在变指数Lebesgue空间中的适定性。由于变指数Lebesgue空间在应用于发展方程适定性问题方面局限性较大，在这类空间中最基本的Young不等式都不再成立，因此我们引入一类混合变指数Lebesgue空间，通过建立奇异积分算子及Riesz位势在这类混合变指数Lebesgue空间中的有界性，克服了一般变指数Lebesgue空间应用于发展方程时遇到的困难，然后利用Banach不动点定理证明了MHD方程组在混合变指数Lebesgue空间中小初值问题的整体适定性以及一般初值对应的局部适定性。

基金项目

国家自然科学基金(No.11961030)，陕西省自然科学基金(No.2022JM-034)。