考虑实验误差的纠缠探测

Entanglement Detection Considering Experimental Inaccuracies

摘要: 本文研究了存在有限误差的实验测量进行的纠缠探测。这对应于这样一种场景，即测量设备没有得到完美控制，但以有限的不精确度运行。本文基于保真度这一概念对该误差进行量化。借助对量子相关性集合的信息约束来更有效地优化线性见证。展示了随着维度增加，误差对纠缠见证影响的趋势。制定了考虑不精确度的纠缠标准，并对该标准进一步优化，以此得到了纠缠见证更精确的上界。

Abstract: This paper investigates entanglement detection in the presence of finite errors in experimental measurements. This corresponds to a scenario where measurement devices are not perfectly controlled but operate with finite inaccuracies. The paper quantifies these errors based on the concept of fidelity. It utilizes constraints on the information of the quantum correlation set to optimize linear witnesses more effectively. The trend of how errors affect entanglement witnesses is demonstrated as the dimension increases. Standards for entanglement considering inaccuracies are formulated, and these standards are further optimized to obtain more precise upper bounds for entanglement witnesses.

1. 引言

确定初始未知的量子态是否为纠缠态是量子信息科学的核心挑战之一 [1] [2] [3] 。最常见的方法是纠缠见证，即假设量子态接近一个已知目标，然后找到合适的局部测量来揭示其纠缠 [4] [5] [6] 。原则上，这个方法可以检测任意纠缠态。然而，它要求实验者完美地执行规定的量子测量。但这只是一种理想情况，因为即使测量最简单的两个量子比特系统，小的对齐误差也会导致误报 [7] [8] 。与之相反，通过采用一种与设备无关的方法，即可无需再考虑关于测量设备建模的问题。这种方法将其视为量子黑箱，通过违反贝尔不等式来探测纠缠 [9] [10] [11] 。然而，贝尔实验实际上要求很高 [11] 。与此同时，许多纠缠态要么不能，要么不知道是否违反贝尔不等式 [12] [13] 。另外一种折中的方法是假设可以完全控制其中一些设备，将另一些视为量子黑箱 [14] 。然而，这种方法仍然存在与设备无关的情况类似的缺点。

这里，我们即不假设测量可被完美控制，也不假设大部分操作无法被控制。我们采用定量估计实验设备不精确度的方法，以此为基准进行纠缠探测。基于保真度这一概念量化预期的目标测量和实验测量之间的不精确度，并且这一精确度通过实验即可获得。

在接下来的内容中，我们首先应用 [15] 中的思想方法，通过从信息约束的量子相关性集合(the set of quantum correlations, Q)的内部优化任意给定的线性见证(linear witness, W)，得到了量子相关性的下界，进而证明了与测量误差相关的消极影响不会随着系统维数的增加而减少。这一结论很有意义，因为高维系统在实验中越来越重要 [16] [17] [18] [19] [20] ，但通常达不到与控制一个量子比特相当的精确度。其次，我们制定了明确考虑不精确度的纠缠标准。对于局部给定任意维数的一对系统，我们可以看到制定的标准本质上是对一组简单的标准纠缠见证的修正。最后，我们展示了Q的一个半定松弛的层次，以此为给定相关性建立越来越精确的界。

2. 基本概念

2.1. 贝尔场景

考虑两个空间上分离的观测者Alice和Bob，对一个共享的物理系统 $\rho ={\rho }_{AB}$ 进行测量，例如一对纠缠的粒子，其中 ${\beta }_{AB}$ 是在任意维数的希尔伯特空间 $H_A\otimes H_B$ 上的量子态。每个观测者都可以选择m种不同的测量在各自维数为d的子系统上执行，我们把该测量选择分别记为 $x,y$ ，满足 $x,y\in \left\{1,\cdots ,m\right\}$ 。每种测量会产生在o种不同的输出结果，将输出结果分别记为a和b，满足 $a,b\in \left\{1,\cdots ,o\right\}$ 。表示测量选择的 $x,y$ 和输出结果 $a,b$ 本身的值并没有实际意义，仅仅是为了区别不同概率的标签。

理论上，实验者利用投影测量 $\left\{{\tilde{A}}_{a|x}\right\},\left\{{\tilde{B}}_{b|y}\right\}$ 来测量各自的子系统，我们将这些测量称为目标测量。即使两次实验的测量选择 $x,y$ 是相同的，得到的输出结果 $a,b$ 也可能不同。将给定输入对 $\left(x,y\right)$ 得到输出对 $\left(a,b\right)$ 的联合概率记为 $p\left(a,b|x,y\right)$ ，那么这一贝尔场景可由 $o^2{m}^2$ 个联合概率完全描述，其中每一个值对应一对可能的输入和输出。

然而在实验中，实际进行的测量往往不能精确对应到目标测量，而是利用正算子值测量(positive operator-valued measures, POVMs) $\left\{A_{a|x}\right\},\left\{B_{b|y}\right\}$ 来描述，满足 $A_{a|x}\ge 0$ 且 ${\displaystyle \sum {}_{a=1}^o}{M}_{a|x}=I$ ， $B_{b|y}$ 同理。我们将该测量称为实验测量。根据玻恩定理，我们可以得到相应的量子关系满足：

$p\left(a,b|x,y\right)=Tr\left[A_{a|x}\otimes B_{b|y}\rho \right]$ (1)

2.2. 保真度

我们通过平均保真度量化每个目标测量和与之对应的实验测量的关系：

$F_x^A\equiv \frac{1}{d}{\displaystyle \underset{a=1}{\overset{o}{\sum }}Tr\left[A_{a|x}{\tilde{A}}_{a|x}\right]},F_y^B\equiv \frac{1}{d}{\displaystyle \underset{b=1}{\overset{o}{\sum }}Tr\left[B_{b|y}{\tilde{B}}_{b|y}\right]}$ (2)

其中保真度(fidelity，F)满足 $F\in \left[0,1\right]$ ， $F=1$ 当且仅当实验测量和目标测量一致。由于F也可被理解为当实验测量应用于张成第 $a\left(b\right)$ 个目标投影的特征空间的每个标准正交态时，得到输出结果 $a\left(b\right)$ 的平均概率，因此 $\left\{F_x^A,F_y^B\right\}$ 可以通过对来自校准良好的辅助源的量子比特进行实验测量来直接确定。这不需要纠缠态并且可以常规实现 [21] 。因此我们可以假设误差是有限的，即 $\left\{F_x^A,F_y^B\right\}$ 满足：

$F_x^A\ge 1-{\epsilon }_x^A,F_y^B\ge 1-{\epsilon }_y^B$ (3)

其中参数 $\epsilon \in \left[0,1\right]$ 即为我们考虑的实验测量的不精确度。

在最简单的情况下，当输出结果的数量 $o=2$ 时，限制(3)可以被简化为：

$Tr\left(A_x{\tilde{A}}_x\right)\ge d\left(1-2{\epsilon }_x^A\right),Tr\left(B_y{\tilde{B}}_y\right)\ge d\left(1-2{\epsilon }_y^B\right)$ (4)

其中我们定义测量 $A_x\equiv A_{1|x}-A_{2|x},B\equiv B_{1|y}-B_{2|y}$ 。测量可以为任意厄米算子，其极值特征值的界为1，即 ${\Vert A_x\Vert }_{\infty }\le 1,{\Vert B_y\Vert }_{\infty }\le 1$ 。

2.3. 信息约束

首先我们先在量子制备-测量场景中，定义量子相关性的信息约束。发送人Alice接收从随机变量X中采样的输入 $x\in \left\{1,\cdots ,n\right\}$ ，将该输入编码成一个量子态 ${\rho }_x$ 传送给Bob，Bob也接收了随机输入 $y\in \left\{1,\cdots ,l\right\}$ ，并对接收的量子态进行测量，该测量为POVMs，记为 $\left\{M_{b|y}\right\}$ ，得到输出结果 $b\in \left\{1,\cdots ,k\right\}$ 。则观察到的相关性如下：

$p\left(b|x,y\right)=Tr\left({\rho }_x{M}_{b|y}\right)$ (5)

我们指定由Bob接收的物理系统 ${\rho }_x$ 的信息约束为上界 $G\in \left[{\max }_x\left\{q_x\right\},1\right]$ ，即

$P_g\left(X|B\right)\le G$ (6)

其中

$P_g\left(X|B\right)=\underset{{\left\{N_x\right\}}_x}{\max }{\displaystyle \underset{x}{\sum }{q}_x}Tr\left[{\rho }_x{N}_x\right]$ (7)

是输入X上的猜测概率(guessing probability)， $\left\{N_z\right\}$ 是任意可能的POVM。

现在我们将该信息约束应用到贝尔场景。考虑Alice和Bob利用预共享的量子态 ${\rho }_{AB}$ 进行经典信息传输的场景，在接收到输入x后，Alice对她这部分的态 ${\rho }_{AB}$ 执行测量 $\left\{A_{a|x}\right\}$ 得到结果a，这把Bob的系统投影到 ${\sigma }_{a|x}=T{r}_A\left(\left[A_{a|x}\otimes I_B\right]{\rho }_{AB}\right)/p\left(a|x\right)$ ，其中 $p\left(a|x\right)=Tr\left(\left[A_{a|x}\otimes I_B\right]{\rho }_{AB}\right)$ 。之后Alice向Bob发送经典信息，我们将其表示为d维量子态 ${\mu }_{a|x}$ 的集合。由此，Bob在经典–量子态 ${\mu }_{a|x}\otimes {\sigma }_{a|x}$ 上执行测量，从而建立相关性 $p\left(b|x,y\right)$ 。这一协议的信息仅来自于传送的经典信息。

现在，我们构建一个量子通信协议来模拟上述相关性。在接收到输入x后，Alice以概率分布 $p\left(a|x\right)$ 采样，发送给Bob经典–量子态 ${\mu }_{a|x}\otimes {\sigma }_{a|x}$ 。显然，现在Bob可重现相关性 $p\left(b|x,y\right)$ 。可将关于Alice

消息的系综写为 ${{\rm E}}_{QC}=\left\{p_X\left(x\right),{\tau }_x\right\}$ ，其中 ${\tau }_x={\displaystyle {\sum }_{a}p\left(a|x\right)}{\mu }_{a|x}\otimes {\sigma }_{a|x}$ 。与之对应的猜测概率为

$P_g^{QC}=\underset{\left\{N_x\right\}}{\max }{\displaystyle \underset{a,x}{\sum }{p}_X}\left(x\right)p\left(a|x\right)Tr\left({\mu }_{a|x}\otimes {\sigma }_{a|x}{N}_x\right)$ (8)

由 $tr\left({\mu }_{a|x}\otimes {\sigma }_{a|x}{N}_x\right)\le tr\left({\sigma }_{a|x}{N}_x^B\right)$ ，其中 $N_x^B$ 是 $N_x$ 在第一个系统(经典信息空间)上的偏迹。我们可得：

$P_g^{QC}\le \underset{\left\{N_z\right\}}{\max }{\displaystyle \underset{x}{\sum }{p}_X}\left(x\right)Tr\left(\left({\displaystyle \underset{a}{\sum }p\left(a|x\right){\sigma }_{a|x}}\right)N_x^B\right)$ (9)

由于对于每个x系综 $\left\{p\left(a|x\right),{\sigma }_{a|x}\right\}$ 是由Alice远程准备的，因此有：

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{a}{\sum }p\left(a|x\right){\sigma }_{a|x}}={\displaystyle \underset{a}{\sum }T{r}_A}\left(A_{a|x}\otimes I_B{\rho }_{AB}\right)\\ =T{r}_A\left({\rho }_{AB}\right)={\rho }_B\end{array}$ (10)

因此，猜测概率满足：

$P_g^{QC}\le \underset{\left\{N_z\right\}}{\max }{\displaystyle \underset{x}{\sum }{p}_X}\left(x\right)Tr\left(N_x^B{\rho }_B\right)$ (11)

由此我们得到了相应的信息约束，以此来建立更强的量子相关性，从而可在下文优化问题中获得更精确的界。

3. 误差对纠缠见证的影响

对于本文的方法来说，我们需要考虑的一个关键问题是测量设备所产生的误差 $\epsilon \ll 1$ 是否以及在多大程度上影响了对常规的纠缠见证的分析。

我们考虑一对d维系统的纠缠见证。由 [22] 我们可知 $W_{sep}^d=1+\frac{1}{d},W_{ent}^d=2$ 。现考虑测量的不精确度，我们利用交替凸搜索算法对实验测量和共享可分离态进行数值优化，得到下界 $W_{sep}^{\left(d\right)}\left(\epsilon \right)$ 。这样的搜索相当于试图通过交替地对量子态和测量分别进行重复优化来解决完全优化问题。

首先，为了在满足信息约束的Q上优化W，我们遇到了一个不那么直接的情况。对于一组固定的量子态，在测量集合上的优化可以作为一个半定规划(semidefinite program, SDP)来评估。相比之下，对于一组固定的测量，由于约束 $P_g\le G$ 自身涉及到在 $POVM{\left\{N_x\right\}}_x$ 上取最大值，在量子态的集合上的优化问题变得更加复杂。在下文展示了如何克服这一困难，从而通过交替使用SDPs有效计算在信息约束下量子相关性的下界。

考虑纠缠见证的一般形式：

$W={\displaystyle \underset{a,b,x,y}{\sum }{c}_{abxy}p\left(a,b|x,y\right)}={\displaystyle \underset{a,b,x,y}{\sum }{c}_{abxy}Tr\left[A_{a|x}\otimes B_{b|y}\rho \right]}$ (12)

对于一些实系数 $c_{abxy}$ ，要在信息约束下的量子态 $\rho$ 和测量 $A_{a|x}\otimes B_{b|y}$ 上求其最大值。为此，我们定义一个辅助正半定算子 $\sigma$ ，满足：

$\forall x:\sigma \ge p_X\left(x\right){\rho }_B$ (13)

将其代入(11)，我们可在猜测概率上设置下述上界：

$\begin{array}{l}{P}_g^{QC}\le \underset{\left\{N_z\right\}}{\max }{\displaystyle \underset{x}{\sum }{p}_X}\left(x\right)Tr\left(N_x^B{\rho }_B\right)\\ \le \underset{\left\{N_z\right\}}{\max }{\displaystyle \underset{x}{\sum }Tr\left[\sigma N_x^B\right]}=Tr\left[\sigma \right]\end{array}$ (14)

这里，我们利用了 ${\displaystyle {\sum }_x{N}_x^B=I}$ 。引入 $\sigma$ 是根据猜测概率的半定对偶性，因此并不构成问题的一个松弛。它的优点是允许我们把信息约束转变为通过附加的半定约束(13)推出的迹约束。由此，W的最大值问题转换为下述优化问题：

$\begin{array}{l}\underset{\rho ,\sigma ,A_{a|x}\otimes B_{b|y}}{\max }{\displaystyle \underset{a,b,x,y}{\sum }{c}_{abxy}Tr\left[A_{a|x}\otimes B_{b|y}\rho \right]}\\ \text{suchthat}\rho \ge \text{0,}Tr\left[\rho \right]=1,\\ \sigma \ge p_X\left(x\right){\rho }_B,Tr\left[\sigma \right]\le G,\\ A_{a|x}\ge 0,{\displaystyle \underset{a}{\sum }{A}_{a|x}}=I,\\ B_{b|y}\ge 0,{\displaystyle \underset{b}{\sum }{B}_{b|y}}=I.\end{array}$ (15)

如果我们固定测量投影 $\left\{A_{a|x}\otimes B_{b|y}\right\}$ ，这个问题就变为一个量子态 $\left\{\rho \right\}$ 和 $\sigma$ 的SDP。反过来，如果我们固定量子态 $\left\{\rho \right\}$ 和 $\sigma$ ，这个问题就变为一个测量投影 $\left\{A_{a|x}\otimes B_{b|y}\right\}$ 的SDP。由此，我们可以交替利用这些SDPs来获得最优值的下界。注意到这里包含一个隐含条件，即这些SDPs必须在给定维度的希尔伯特空间中进行，并且可以通过增加维度找到更好的下界。

为了比较测量误差对不同维度的影响，我们考虑以下比率：

$\Delta \equiv \frac{W_{ent}^{\left(d\right)}\left(0\right)-W_{sep}^{\left(d\right)}\left(\epsilon \right)}{W_{ent}^{\left(d\right)}\left(0\right)-W_{sep}^{\left(d\right)}\left(0\right)}=\frac{d}{d-1}\left[2-W_{sep}^{\left(d\right)}\left(\epsilon \right)\right]$

注意到由于 $\epsilon$ 本身并不是实验者的信息源，因此分子是 $W_{ent}^{\left(d\right)}\left(0\right)$ 而不是 $W_{ent}^{\left(d\right)}\left(\epsilon \right)$ 。对于 $\epsilon$ 的不同选择，数值结果见图1所示。我们观察到 $\Delta$ 在d中并不是单调的，而是有一个最大值，当 $\epsilon$ 增加时在d上向下移动。超过这个最大值后，测量误差的影响随着维数的增加而增大。

最后，对于多量子比特态，由于测量的误差会在不同的子系统中分别累积，可以预测误差的影响会随着所考虑的量子比特的数量增加而增大。这一结论由 [8] 中的模型得以验证。这也进一步证实了考虑测量误差的必要性。

Figure 1. Numerically obtained ∆ for entanglement witness based on two conjugate bases at different degrees of measurement inaccuracy

图1. 基于两个共轭基在不同测量不精确度下的纠缠见证由数值计算得到的∆

4. 考虑不精确度的纠缠标准

现在我们制定考虑到不精确度的纠缠标准。考虑一对d维系统以及 $$ 个测量。对于系统A，理论上可观测量对应于一组广义Bloch基 ${\left\{{\lambda }_i\right\}}_{i=1}^n$ 的一个子集，对于系统B，理论上可观测量是其复共轭 ${\left\{{\bar{\lambda }}_i\right\}}_{i=1}^n$ 。这里， ${\lambda }_i$ 满足 $tr\left({\lambda }_i{\lambda }_j^{†}\right)=d{\delta }_{ij}$ [23] 。定义 $\rho =\frac{1}{d}\left(I+{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{d^2-1}{\mu }_i{\lambda }_i}\right)$ ，满足 ${\Vert \stackrel{\to }{\mu }\Vert }^2\le d-1$ 。由此，我们基于总共n次测量，给出一个简单的标准纠缠见证：

$W^{\left(d\right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\langle {\lambda }_i\otimes {\bar{\lambda }}_i\rangle }$ (16)

利用Hölder不等式，我们可得可分离态满足 $W_{sep}^{\left(d\right)}=d-1$ 。当选择的Bloch基固定，纠缠态最多可达到 $W_{ent}^{\left(d\right)}={\nu }_{\max }\left[{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i\otimes {\bar{\lambda }}_i}\right]$ ，其中 ${\nu }_{\max }$ 表示选择与最大特征值对应的特征向量。当选择的Bloch基不固定，由 [24] 可知纠缠态的一般上界是 $W_{ent}^{\left(d\right)}\le \min \left\{\sqrt{n\left(d^2-1\right)},n\left(d-1\right)\right\}$ 。注意到只有当 $d=2$ 时 $n\left(d-1\right)$ 才有意义，并且无论选择何种Bloch基，对于最大纠缠态 $|{\varphi }_d^{+}\rangle =\frac{1}{\sqrt{d}}{\displaystyle {\sum }_{i=0}^{d-1}|ii\rangle }$ 均可得到 $W^{\left(d\right)}=n$ 。

现在考虑实验测量仅分别近似于 $\left\{{\lambda }_i\right\}$ 和 $\left\{{\bar{\lambda }}_i^{\perp }\right\}$ ，我们将其写为 $A_i=q{\lambda }_i+\sqrt{1-q^2}{\lambda }_i^{\perp }$ 与 $B_i=q{\bar{\lambda }}_i+\sqrt{1-q^2}{\lambda }_i^{\perp }$ ，其中 $q\in \left[-1,1\right]$ ， $q=1-2\epsilon$ ，且 ${\lambda }_i^{\perp }$ 和 ${\bar{\lambda }}_i^{\perp }$ 是与 ${\lambda }_i$ 和 ${\bar{\lambda }}_i$ 分别垂直的可观测量，位于广义的Bloch空间。由 [24] 可知对于纠缠见证 $W^{\left(d\right)}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\langle A_i\otimes B_i\rangle }$ ，当 $q\ge \frac{1}{\sqrt{n}}$ 时，可分离态满足：

$W_{sep}^{\left(d\right)}\left(\epsilon \right)\le \left(d-1\right){\left(q+\sqrt{n-1}\sqrt{1-q^2}\right)}^2$ (17)

否则，有 $W_{sep}^{\left(d\right)}\left(\epsilon \right)\le n\left(d-1\right)$ ，这是代数最大值。

5. 上界：半定松弛的层次

前文引入辅助算子 $\sigma$ 这一想法，可进一步用于在有信息约束的Q上系统性获取越来越精确的上界，使我们可以对形如 $W\le W_{sep}^{\uparrow }\left(\epsilon \right)$ 进行一般和系统性地建构。现在基于非交换多项式(non-commutative polynomial, NPA)优化层次 [25] 的迹变换 [26] ，提出一个Q的半定松弛层次。

首先我们先将问题(15)改写为：

$\begin{array}{l}\underset{\rho ,\sigma ,A_{a|x}\otimes B_{b|y}}{\max }{\displaystyle \underset{a,b,x,y}{\sum }{c}_{abxy}Tr\left[A_{a|x}\otimes B_{b|y}\rho \right]}\\ \text{suchthat}\rho \ge 0,Tr\left[\rho \right]=1,\\ \sigma -p_X\left(x\right){\rho }_B\ge 0,GI-\sigma \ge 0,Tr\left[\sigma \right]\le G,\\ A_{a|x}{A}_{a^{\prime }|x}={\delta }_{a{a}^{\prime }}{A}_{a|x},B_{b|y}{B}_{b^{\prime }|y}={\delta }_{b{b}^{″}}{B}_{b|y},\\ {\displaystyle \underset{a}{\sum }{A}_{a|x}}=I,{\displaystyle \underset{b}{\sum }{B}_{b|y}}=I,\\ F_x^A\ge 1-{\epsilon }_x^A,F_y^B\ge 1-{\epsilon }_y^B.\end{array}$ (18)

其中限制条件 $\rho \ge 0$ 结合约束 $\sigma \le GI$ ，保证了(18)的可行集满足阿基米德假设，并且矩矩阵元保持有界。在不失一般性的情况下，如果我们不限制希尔伯特空间的维数，可以假设测量 $\left\{A_{a|x}\right\},\left\{B_{b|y}\right\}$ 为投影。现在我们解释如何应用迹非交换优化方法。

定义算子列表 $S=\left\{\rho ,\sigma ,I,{\left\{A_{a|x}\right\}}_{a,x},{\left\{B_{b|y}\right\}}_{b,y},{\left\{{\tilde{A}}_{a|x}\right\}}_{a,x},{\left\{{\tilde{B}}_{b|y}\right\}}_{b,y}\right\}$ ，令 $\omega$ 为一个单项式，是S中元素的积。我们把在单项式 $\omega$ 中基本算子的个数k称为该单项式的阶。按照惯例，单位算子I是阶为0的单项式。记 $W_k$ 为所有阶最大为k的单项式构成的集合，并记 $n\left(k\right)$ 该集合的元素个数。单项式的线性组合 $p={\displaystyle {\sum }_{\omega \in W_k}{\alpha }_{\omega }\omega }$ 即是基本算子的k阶多项式。

记L为一个线性泛函，为 $W_{2k}$ 中的每个单项式 $\omega$ 赋值实数 $L\left(\omega \right)$ ，因此可为每个2k阶多项式 $p={\displaystyle {\sum }_{\omega \in W_{2k}}{\alpha }_{\omega }}\omega$ 赋值实数 $L\left(p\right)={\displaystyle {\sum }_{\omega \in W_{2k}}{\alpha }_{\omega }}L\left(\omega \right)$ ，给定这样一个泛函L，我们定义：

矩矩阵 ${\Gamma }_k\left(L\right)$ ，作为大小为 $n\left(k\right)$ 阶的矩阵，其矩阵元以单项式 $u,v\in W_k$ 为索引，并且满足 ${\left[{\Gamma }_k\left(L\right)\right]}_{u,v}=L\left(u^{†}v\right)$ ；

定域矩阵 ${\Gamma }_k\left(L;p\right)$ ，是关于二阶及以下多项式p，大小为 $n\left(k\right)-1$ 的矩阵，其矩阵元以单项式 $u,v\in W_{k-1}$ 为索引，并且满足 ${\left[{\Gamma }_k\left(L;p\right)\right]}_{u,v}=L\left(u^{†}pv\right)$ 。

现在考虑下述问题，对任意 $k\ge 1$ ，

$\begin{array}{l}\underset{L}{\max }{\displaystyle \underset{a,b,x,y}{\sum }{c}_{abxy}}L\left(A_{a|x}\otimes B_{b|y}\rho \right)\\ \text{suchthat}{\Gamma }_k\left(L\right)\ge 0,\text{L}\left(\rho \right)=1\\ {\Gamma }_k\left(L;\sigma -p_X\left(x\right){\rho }_B\right)\ge 0,{\Gamma }_k\left(L;GI-\sigma \right)\ge 0,\\ L\left(\sigma \right)\le G,\\ L\left(p\right)=L\left(p^{\prime }\right),\text{if}Tr\left[p\right]=Tr\left[p^{\prime }\right]\end{array}$ (19)

其中在最后一个条件中， $p,p^{\prime }$ 为任意2k阶多项式，由测量算子满足的多项式恒等式 $A_{a|x}{A}_{a^{\prime }|x}={\delta }_{a{a}^{\prime }}{A}_{a|x}$ 和 ${\displaystyle {\sum }_a{A}_{a|x}=I}$ 所推得， $\left\{B_{b|y}\right\}$ 同理。由于这个优化问题相当于优化 $n\left(2k\right)$ 个变量，阶数不超过2k的单项式 $\omega$ 的值 $L\left(\omega \right)$ 受限于线性约束，以及矩阵元与这些变量线性相关的矩阵的正性。因此，这个优化问题是一个SDP。

显然，可以通过 $L\left(\omega \right)=Tr\left[\omega \right]$ ，我们可将不精确约束条件改写为以下线性约束：

$\frac{1}{d^2}{\displaystyle \underset{a=1}{\overset{o}{\sum }}L\left(A_{a|x}^{†}{\tilde{A}}_{a|x}\right)}\ge 1-{\epsilon }_x^A,\frac{1}{d^2}{\displaystyle \underset{b=1}{\overset{o}{\sum }}L\left(B_{b|y}^{†}{B}_{b|y}\right)}\ge 1-{\epsilon }_y^B.$ (20)

并且可得，对于(18)的任何解都是(19)联合(20)得到的解。因此，我们得到了(18)的一个SDP松弛，从外部逼近Q。通过增加松弛水平k，可以得到在Q上约束条件不断增加的层次。

对于任意的不精确度和任意目标测量，这个方法既适用于来自纠缠态的相关性，也适用于来自可分离态的相关性。由此，我们可系统性建立上界 $W_{ent}^{\uparrow }\left(\epsilon \right)\ge W_{ent}\left(\epsilon \right),W_{sep}^{\uparrow }\left(\epsilon \right)\ge W_{sep}\left(\epsilon \right)$ 。这让我们可以系统性地构建形式如 $W\le W_{sep}^{\uparrow }\left(\epsilon \right)$ 的纠缠见证。

我们利用两个简单的纠缠见证， $W_2=\langle {\sigma }_X\otimes {\sigma }_X\rangle +\langle {\sigma }_Z\otimes {\sigma }_Z\rangle \le 1$ 和 $W_3=\langle {\sigma }_X\otimes {\sigma }_X\rangle +\langle {\sigma }_Y\otimes {\sigma }_Y\rangle +\langle {\sigma }_Z\otimes {\sigma }_Z\rangle \le 1$ ，来举例说明通过向SDP中添加信息约束得到了更紧的界。与附录中的方法对比，所得结果见图2，图3。

6. 结论

本文介绍并研究了当实验测量只近似于目标测量时的纠缠探测。本文首先介绍了贝尔场景，保真度和信息约束等概念，通过保真度量化测量不精确度，并引入关于Q的信息约束得到更强的量子相关性，以此对W进行更有效地优化，证明了误差导致的影响不会随着维度增加而减少，并得到了纠缠见证更

Figure 2. Solid lines. Bounds $W_{sep}^{\uparrow }\left(\epsilon \right)$ obtained for the witness $W_2$ via SDP relaxations where separability is relaxed to the set of entangled states obeying $W_2\left(0\right)\le 1$ . Dashed lines: Optimal separable bound calculated in Appendix

图2. 实线：通过SDP松弛方法所得关于见证 $W_2$ 的界 $W_{sep}^{\uparrow }\left(\epsilon \right)$ ，其中可分离性被松弛为满足 $W_2\left(0\right)\le 1$ 的纠缠态集合。虚线：附录所得最优可分离界

Figure 3. Solid lines. Bounds $W_{sep}^{\uparrow }\left(\epsilon \right)$ obtained for the witness $W_3$ via SDP relaxations where separability is relaxed to the set of entangled states obeying $W_3\left(0\right)\le 1$ . Dashed lines: Optimal separable bound calculated in Appendix

图3. 实线：通过SDP松弛方法所得关于 $W_3$ 的界 $W_{sep}^{\uparrow }\left(\epsilon \right)$ ，其中可分离性被松弛为满足 $W_3\left(0\right)\le 1$ 的纠缠态集合。虚线：附录所得最优可分离界

精确的上界。这些结果为基于设备的纠缠探测提供了理论框架，帮助纠缠探测设备可以以具有操作意义和实验可访问的方式进行定量基准测试。本文的工作仅限于两粒子纠缠，若有兴趣，可继续考虑在有限的测量误差下，为多粒子纠缠制定有效的纠缠见证。

致谢

感谢我的导师贺衎教授，在整个研究过程中给予我悉心的指导和宝贵的建议。您的专业知识和耐心指导对我的研究工作产生了重要影响。感谢实验室的同学们，他们提供了良好的学术氛围和技术支持，使我能够顺利完成学习研究。感谢家人和朋友们在我整个学习生涯中的支持和鼓励。没有你们的支持，我无法取得这样的成就。致以诚挚的感谢！

附录

考虑最简单的纠缠见证，涉及两个量子比特以及两对泡利可观测量： $W=\langle {\sigma }_X\otimes {\sigma }_X\rangle +\langle {\sigma }_Z\otimes {\sigma }_Z\rangle$ 。对于可分态我们有 $W\le W_{sep}=1$ ，对于纠缠态我们有 $W\le W_{ent}=2$ 。现在考虑实验测量 $\left\{A_1,A_2\right\}$ 和 $\left\{B_1,B_2\right\}$ 只与目标测量 $\left\{{\sigma }_X,{\sigma }_Z\right\}$ 近似对应。由于 $W_{ent}=2$ 是代数极大值，因此保持不变，但是可分态的界 $W_{sep}$ 与之不同。当所有测量设备都具备相同的不准确度时，即 ${\epsilon }_x^A={\epsilon }_y^B=\epsilon$ ，可得：

$\begin{array}{l}Tr\left(A_1{\sigma }_X\right)\ge 2-4\epsilon ,Tr\left(A_2{\sigma }_Z\right)\ge 2-4\epsilon ,\\ Tr\left(B_1{\sigma }_X\right)\ge 2-4\epsilon ,Tr\left(B_2{\sigma }_Z\right)\ge 2-4\epsilon .\end{array}$

由于W在一方交换下的对称性，我们可以令 $A_1=B_1,A_2=B_2$ 。因为测量可以由一对Bloch向量描述，我们可以不失一般性地假设他们位于Bloch空间中的XZ-平面。由此可得 $A_k=B_k=\cos {\theta }_k{\sigma }_X+\sin {\theta }_k{\sigma }_Z$ 。代入相关等式可得：

$\begin{array}{l}{\theta }_1=-\arccos \left(1-2\epsilon \right),\\ {\theta }_2=\arcsin \left(1-2\epsilon \right).\end{array}$

由于部分对称性，我们可以选择一个形式为 $|\varphi \rangle \otimes |\varphi \rangle$ 的积态，其中 $|\varphi \rangle =\cos z|0\rangle +\sin z|1\rangle$ 由此我们得到：

$W=1+4\left(1-2\epsilon \right)\sqrt{\epsilon \left(1-\epsilon \right)}\sin (\; 4\; z\; )$

在 $z=\frac{\pi }{8}$ 取最优值。因此：

$W_{sep}=1+4\left(1-2\epsilon \right)\sqrt{\epsilon \left(1-\epsilon \right)}$

此等式在 $\epsilon \le \frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}$ 时成立。对于更大的 $\epsilon$ 我们有 $W_{sep}=2$ 。此外，我们可以将这一纠缠见证推广为 $W=\langle {\sigma }_X\otimes {\sigma }_X\rangle +\langle {\sigma }_Y\otimes {\sigma }_Y\rangle +\langle {\sigma }_Z\otimes {\sigma }_Z\rangle$ ，在存在测量误差的情况下，可以用类似的方法得到可分态的界

$W_{sep}=2+4\sqrt{2}\left(1-2\epsilon \right)\sqrt{\epsilon \left(1-\epsilon \right)}-{\left(1-2\epsilon \right)}^2$

当 $\epsilon \le \frac{3-\sqrt{3}}{6}$ 时该等式成立，否则有 $W_{sep}=3$ 。

NOTES

^*通讯作者。